GROEPENTHEORETISCHE ONDERZOEKINGEN

 DOOR

P.J.H. BAUDET


HOOFDSTUK IV.

Groepen van de orde pqrt.


23. De eigenschap van Frobenius. Aangaande de groepen, waarvan de orde niet deelbaar is door het kwadraat van eenig priemgetal, heeft FROBENIUS de volgende eigenschap bewezen:
Is de orde van een groep G gelijk aan p1p2p3 .... pn (p1 < p2 < .... < pn), dan bevat die groep juist p1p2p3 .... pj operaties, waarvan de orde deelbaar is op p1p2p3 .... pj (j = 1, 2, ...., n) 1).
Hieruit besluit FROBENIUS dan, dat deze p1p2p3 .... pj operaties een normaaldeeler vormen; immers, dit geldt zeker voor de p1 operaties, waarvan de orde op p1 deelbaar is, daar eene operatie P1 van de orde p1 (waarvan de existentie verzekerd is) eene cyclische groep genereert, die juist p1 operaties bevat. Deze is een normaaldeeler van G, daar G geene andere operaties bevat, waarvan de orde op p1 deelbaar is. De factorgroep G/{P1} bezit nu volgens dezelfde redeneering een normaaldeeler van de orde p2, waaruit blijkt, dat G een normaaldeeler H van de orde p1p2 bezit. Door nu G/H te beschouwen blijkt, dat G ook een normaaldeeler van de orde p1p2p3 bezit, enz. Hieruit volgt, dat de groep G eene compositiereeks bezit, waarvan de compositiefactoren in volgorde zijn:
pn, pn-1, ...., p3, p2, p1.
We merken op, dat de laatste eigenschap gelijkwaardig is met de eerstgenoemde. Hiertoe bewijzen we de volgende stelling:
Bezit eene groep G, waarvan de orde het product is van de ongelijke priemgetallen p1, p2, ...., pn, eene compositiereeks, waarvan de compositiefactoren in volgorde zijn
pn, pn-1, ...., p3, p2, p1.
dan bevat de groep juist p1p2 .... pj operaties, waarvan de orde op p1p2 .... pj deelbaar is (j = 1, 2, ... n).
In de compositiereeks komt klaarblijkelijk een deeler H van G voor, waarvan de orde p1p2 .... pj is. Daar de factorgroepen alle van verschillende orde zijn, leert theorema LX van n°. 12 ons, dat H een normaaldeeler van G is. G/H is nu eene groep van de orde pj+1pj+2 .... pn. Hieruit blijkt, dat van eene operatie van G, die niet tot H behoort, de exponent van de laagste positieve macht, welke in H voorkomt, door minstens één der priemgetallen pj+1, pj+2, ...., pn deelbaar is. Krachtens de eigenschap LII van n°. 12 is de orde van eene zoodanige operatie deelbaar door minstens een der priemgetallen pj+1, pj+2, ...., pn. Hieruit blijkt, dat H alle operaties van G bevat, waarvan de orde op p1p2 .... pj deelbaar is, waaruit de juistheid onzer bewering direct volgt.
In 't bijzonder vindt men voor de groepen van de orde pqrt (p > q > r > t) uit het theorema van FROBENIUS de eigenschap, dat er juist één normaaldeeler van de orde pqr aanwezig is.


Noten

1) FROBENIUS, Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 1893 en 1895.