A.B. Strabbe - Algebra

Aanvullende gegevens:
A.C. Clairaut, Gronden der Algebra, Amsterdam: J. Morterre (1760). Vertaling van A.B. Strabbe.
Opgenomen zijn de eerste vijf paragrafen (pp. 1-7) en de paragrafen 58 tot en met 62 (pp. 90-95) uit deel I, de paragrafen 1 tot en met 7 van deel II (pp. 133-142), de paragrafen 1 en 2 van deel III (pp. 179-182), en de laatste paragraaf van deel V (pp. 394-398).
Het boek begint met 2 pp. ,,privilegie'' (ongenummerd) en bestaat uit een ongenummerde voorrede van de auteur 18 pp, met een voorrede van de vertaler van 4 pp. (eveneens ongenummerd) daar achteraan. Het boek zelf beslaat 398 pp., afsluitende met een 20 pp. tellende (ongenummerde) inhoudsopgave en een "Aanhangzel van eenige voortstellen, op het voorgaande toepasselyk", genummerd pp. 423-539. Op p. 540 volgt een errata-lijstje, en tot slot bevat de pp. 541-544 nog uitgeversreclame van Jan Morterre. Tegenover de pp. 67, 78, 159, 213, 328 (2 maal) en 507 zijn bovendien uitklapbladen gevoegd.
De tekstopmaak van de fragmenten uit het boek zijn in tweekolomsopmaak. De kolom aan de open zijde van het boek is de kolom waarin Strabbe (en ook Clairaut) korte aanduidingen schreef van wat hij aan het doen was. Deze opmaak is zo goed mogelijk getracht te behouden. De opmaak van de formules is in de meeste gevallen niet geïmiteerd. Voor de beide voorreden is een nummering ingevoerd die correspondeert met de pagina's beginnend bij 1.
Het Nederlandse pond-teken is vervangen door ¥.

VOORREDEN

Van den Heer

CLAIRAUT

aan den

LEEZER.

IK hebbe voorgenomen om in dit werk, dezelve Leerwyze als in mijnen gronden der Geometria of Meetkonst te volgen: Ik hebbe getragt om 'er regelen der Algebra in te geeven in een order welke de uytvinders hadden konnen volgen. Geene waarheid word `er onder de gedaante van Theoremâs (bewysbare voorstellen) voorgesteld, alle schynenze ontdekt te weezen als men zig op de Voorstellen oeffend welke de nood of de nieuwsgierigheid hebben doen onderneemen te ontbinden.
Voorstellen nuttig voor den Koophandel, gelyk die alwaar men sommen onder onderscheidene persoonen na reden van het geene zy inleggen of van eenige tusschen haar gemaakte verbintenissen, begeerd te verdeelen, regelen van Menginge &c. Zyn de Voorstellen welke ik [pag. II] onderstel de eerste Stel-Konstenaaren bezig gehouden te hebben.
Ik begin, met de oplossing van een der eenvoudigste van die Voorstellen te geeven, zooals men dezelve zonder eenige kennisse van de Algebra te hebben, kan vinden. Het is in deze oplossing gemakkelyk te bekennen, dat in dien het geheugen bekwaam is om alle de redeneeringen (welke men gebruyken moet om daar toe te komen) te onthouden, is om dat het gevolg niet zeer lang is, en men ziet ter zelver tyd dat als men zig tot voorstellen verheft welke 'er een grooter vereysschen, men zoeken moet om dezelve op een zeer korte manier te Schryven, men moet eenige tekenen uytdenken met welkers hulp men de staat waartoe de zwaarigheid in ieder stap welke men doet om dezelve te ontbinden, gebragt is, uyt kan drukken. Deeze manier om de Vraagen te schryven, is de Algebra welke ik, om zoo te spreeken, den Leezer doe uytvinden.
Om altyd van het eenvoudigste tot het meer zaamengestelde over te gaan, zoo stel ik in het eerst geen andere als vraagen op getallen voor, om dat het deeze zyn, welke het meest de geest der aanvangers [pag. III] oplettendheid toebrengen. Na 'er verscheiden van ontbonden te hebben, welke van malkanderen niet als door de in de uytdrukking gegeeven getallen verschillen, word men gemakkelyk gewaar dat 'er altoos een gedeelte van de bewerking is, welke in ieder ontbinding gemeen bevonden word, en welke welke te wenschen zou zyn maar eene reis te maken: Ik neem deze Gelegenheid waar, om de manier van de Voorstellen algemeen te onbinden, uyt te leggen, door in plaats van de door de Conditien gegeeven getallen, letteren te gebruyken welke alle zoorten van grootheden uytdrukken: en toone vervolgens aan om uit de algemeene Oplossingen door middel van het stelsel der getallen in plaats van letteren, de byzondere oplossingen te trekken.
Onder de onderscheidene voorstellen waar in ik in plaats van getallen, letteren gebruyke, worden 'er genoeg gevonden welke zodanig aan verscheiden omstandigheden gebonden zyn, dat dezelve niet ontbonden konnen worden, zonder de Regelen van Vergaaringe, Aftrekkinge, Vermenigvuldiging en Deeling te gebruyken: ik wyze [pag. IV] als dan aan hoe men die bewerkingen doen moet. Ik hebbe gemeend dat ik dezelve niet eerder behoorde te leeren, om dat de aanvangers dezelve met moeite en afkeer nagaan, als men haar dezelve in een tyd leerd, waarin zy nog geen denkbeeld van de grootheden waar over zy werken hebben.
De vermenigvuldiging is van alle die bewerkingen de geene welke gemeenlyk de aanvangers het meest stil doet staan, en waar van de Verklaring de Meesters het meest verlegen maakt. Deeze grondregel welke dezelve bevat, dat twee Negative grootheden voor haar vermenigvuldigde een Positive grootheyd voortbrengen, is byna altyd de klip van de een en de anderen.
Om te vermyden van 'er op te vervallen, zoo stel ik deeze grondregel niet in, als na bewerkingen te hebben doen maaken, waar in men daar van de noodzaakelykheid heeft moeten aanmerken. Ik begin met te onderwyzen om een grootheid uit verscheidene Positive en Negative Termen te zaamen gesteld, met eenige Term te vermenigvuldigen, welke ik altijd Positif stelle, om dat men zig gemeenlyk niet gewend om een Negative grootheyd als [pag. V] alleen bestaande aan te merken. Deeze vermenigvuldiging verklaard zynde, ga ik over tot die geene waar in de vermenigvuldiger zoo wel als het vermenigvuldigende getal uyt verscheiden Positive en Negative Termen te zaamen gesteld is, en doe gemakkelyk zien dat deeze bewerking niet anders is, als de eerste zoo veel maalen herhaald als 'er Termen in de vermenigvuldiger zyn, en dat, na dat de Termen van deeze vermenigvuldiger Positief of Negatif zyn, de Producten welke dezelve voortbrengen, vergaard of, afgetrokken moeten worden.
Door dit middel, gewen ik de aanvangers aan de vermenigvuldiging, zonder dat ik alleenlyk nodig hebbe om deeze gemeene Grondregelen uyt te drukken, dat min met meer, min; min met min, meer voortbrengt &c. Welke, als voor het oor een strydigheid in de woorden opdoende, byna altyd doen gelooven dat 'er in de zaak is.
Men zou ten eersten kunnen meenen, dat ik de zwaarigheid maar hebbe zoeken te vermyden, en ik zou dezelve weezentlyk vermyd hebben, indien ik niet sprak van de vermenigvuldiging [pag. VI] van enkel Negative grootheden, met andere ook gantschelyk Negative grootheden, zynde een bewerking waar in men de waarcshynelyke strydigheid waar van ik zoo even gesproken hebbe, niet vemyden kan. Maar ik handele grondig over die vermenigvuldiging, na daar van de noodzaakelykheid den Leezer aangetoond te hebben, met hem tot een Voorstel te brengen, waar in men genoodzaakt is Negative grootheden onafhankelyk van eenige Positive grootheden waar van zy afgetrokken zyn, te beschouwen.
Als ik in dit Voortsel gekomen ben, tot het punct alwaar men Negative grootheden met of door malkander moet vermenigvuldigen of deelen, zoo neem ik het besluyt het welk zonder twyffel de eerste Analysten welke van die bewerkingen te maaken gehad hebben, genomen hebben, en welke een gantsch zeekere weg hebben willen volgen, ik zoek een oplossinge tot het voorstel waar door ik alle zoort van vermenigvuldiging of Deeling van Negative grootheden myden kan, door dit middel geraak ik tot het besluyt, zonder andere redeneeringen als die welke [pag. VII] men niet in twyffel kan trekken, te gebruyken; en zie wat deeze Producten of Quaotienten der Negative grootheden, welke de eerste oplossing voortgebragt hadde, weezen moeten. Het is vervolgens niet moeyeliyk om daar uyt deeze zoo vermaarde grondregelen te trekken, dat min met min; meer voortbrengt &c.
Ik bevryde aldus deeze grondregelen van al het geene zy aanstootelyk hebben, en den Leezer geraakt terzelver tyd om de natuur der Negative oplossingen der voorstellen te kennen; hy leerd deeze zoo nuttige Waarheid, dat als men in een oplossing geraakt om het Negative onbekende te vinden, het zelve in een zin genomen moet worden, strydig aan die geene, volgens welke men het zelve, in het uytdrukken der Conditien van het Voorstel, gebruykt hadde.
Het eerste Deel van dit werk handeld enkel over de Vergelykingen van de eerste magt het zy met een of verscheiden onbekenden, en over al de bewerkingen, welke deeze Vergelijkingen vereysschen, zoo om tot hunne ontbinding te komen, als om dezelve zoo eenvoudig als dezelve weezen kan, te maaken. Zodanig is, [pag. VIII] by voorbeeld, de regel welke men volgen moet om de grootste gemeene deeler te vinden, welke uyt de noodzakelykheid van een breuk tot deszelfs eenvoudigste uytdrukking te brengen, voortkomt. Deeze regel is op een nieuwe manier verklaard, en ik hebbe 'er verscheiden overweegingen bygevoegd, welke dezelve op gevallen toepasselyk maaken, waarin de gemeene manier van dezelve te verhandelen, door de langheid der reekeningen de moed zou beneemen, en niet altyd de grootheid welke men zoekt voort zou brengen.
In het tweede Deel spreek ik van de Vergelykingen der tweede Magt, een Voorstel het welk van Intrest op Intrest handeld, brengt my tot eene van die Vergelykingen; ik hebbe het van die Natuur verkoozen, om voor deszelfs beyde oplossingen twee Positive getallen voort te brengen, ten eynde te beter te doeb zien hoe twee onderscheidene getallen het zelve Voorstel ontbinden. Ik hebbe 'er aldus meede gehandeld, uyt vreeze dat de aanvangers, welke niet gaarne de Negative wortelen als waare Oplossingen aanmerken, niet meenden dat het Voorstel [pag. IX] weezenlyk maar eene oplossing hadde.
Om haar nogtans aan de Negative wortelen te gewennen, zoo geeft ik vervolgens een Voorstel waar in een van die Wortelen is, en evenwel zodanig dat geen aanvanger zig beletten kan te zien, dat dezelve alzoo wel als de Positive aan het Voorstel voldoet.
De ontbinding der vergelykingen welke die Voorstellen vereysschen, en die van hetzelve zoort welke men zig voor kan stellen, verbinden de Leezers om verscheiden weezentlyke bewerkingen der Algebra te leeren, gelyk als de Uyttrekkingen der vierkante Wortelen; de herleyding der Radicale grootheden, hunne vergaaringen, aftrekkingen, &c. bewerkingen welke men gemeenelyk in het begin van de gronden der Algebra geeft, maar welke myn bestek vereyschte op die plaats te stellen.
Van deeze bewerkingen, gaa ik tot een Voorstel over, waar in men verscheiden Vergelykingen van de tweede Magt, bevattende ieder verscheiden onbekenden, gebruyken moet, en geeve de middelen om alle die Vergelykingen tot eenige te brengen welke maar een onbekende bevat. Ik doe ter zelver [pag. X] tyd zien dat deeze Leerwyze niet alleen tot de Vergelykingen waar in de onbekenden alleen tot de tweede Magt komen, bekwaam is, maar dat dezelve zig tot alle Magten uytstrekt.
Het derde Deel heeft de Vergelykingen van alle Magten in het algemeen genomen tot onderwerp; ik handele over het getal hunner wortelen, over de eigenschappen welke de Coëfficienten van de tweede, derde &c. Term hebben, van, of de Som der Wortelen, of die der Producten van die wortelen &c. te weezen. Ik trek uyt die eigenschappen de vermaarde regel van Descartes, om alle de afmeetelyke wortelen, welke in een Vergelyking zyn, te vinden; en dewyl deeze Leerwyze tot uytermaaten groote rekeningen aanleiding geeft, ter oorzaake van de groote menigte deelers welke men beproeven moet, zoo geef ik de Leerwyze van M. Newton, welke zig niet alleen tot de afmeetelyke wortelen of deelers van eenige afmeetinge uytstrekt, maar ook tot de deelers van zoo veel afmeetingen als men begeerd.
Ik vergenoege my niet met het Bewys van deeze Leerwyze te geeven het welk M. Newton, verzweegen hadde, maar ik doe zien door welke weg hy [pag. XI] dezelve heeft kunnen vinden. Dit is een voordeel het welk ik niet geloof dat men vinden zal in het Bewys het wel M. 's Gravezande daar van (in zyne Specimen commentary in Arithmeticam universalum, op het eynde van zyn gronden der Algebra ingelast) gegeeven heeft, en welke het eenige is, hetwelk ik weet gegeeven te zyn, niet tegenstaande de groote meenigte verhandelingen over de Algebra welke zedert M. Newton uytgekomen zyn. Ik hebbe nogtans vernomen dat de R.P. Jacquier bekend van de hoogste aantekeningen van M. Newton opgehelderd te hebben, de moeite genomen hadde van deeze te verhandelen, maar hetgeen hy over die stof gedaan heeft, is niet tot myn kennisse gekomen.
Voor het overige, houde ik my in dit Deel en in de volgende, niet gelyk in de beyde voorgaande op, met de Voorstellen aan te toonen, welke tot de Vergelykingen die ik onderzoek aanleiding zouden hebben kunnen geeven, om dat ik deeze beweegreden niet meer nodig meen te hebben om de nieuwsgierigheid der Leezers op te wekken. Zy hebben genoegzaam door de eerste Voorstellen behooren te zien, [pag. XII] van welke aangelegentheid het was om alle zoorten van Vergelykingen te weeten ontbinden.
Ik handele in het vierde Deel over de Vergelykingen van alle Magten als dezelve maar twee termen hebben, of als dezelve 'er drie hebben, en tot de Leerwyze der Vergelykingen van de tweede Magt door een eenvoudige verandering gebragt kunnen worden. Ik leer, door dit middel, de aanvangers, een groote meenigte bewerkingen over der Radicale grootheden van alle zoort, en geeve haar een volslagen kennisse van de verheffing der Magten, en uittrekking der wortelen.
Een regel welke volstrekt voor de volkomen ontbinding van die Vergelijkingen nodzaakelyk is, en welke altyd in alle Autheuren welke over de gronden geschreven hebben, (behalven M. 's Gravezande) ovegeslagen is, is de uittrekking der wortelen uit grootheden ten deele afmeetelyk en ten deele onafmeetelyk: M. Newton aan wien men deeze regel schuldig is, hebbende dezelve op zyn gewoone manier zonder Bewys gegeeven, zoo hebbe ik dezelve hier als een Voorstel verhandeld; [pag. XIII] door dit middel gaan de ontdekking en het Bewys altyd zaamengepaard.
De Leerwyze van M. Newton strekt zig tot de grootheden uyt hoedanig het Exponent van de wortel ook zy, maar dezelve word niet op de letterlyke grootheden toegepast, als dit Exponent de tweede Magt overteft; ik volmaake het geene aan die Leerwyze ontbreekt, met de handelwyze te geven, welke men voor de letterlyke grootheden volgen moet. Daarenboven doe ik zien, dat de Leerwyze van M. Newton, voor de grootheden op getallen, in eenige gelegentheden tot misrekening aanleiding kan geeven, dat is als de wortel van een grootheid breuken bevat, schoon de grootheid dezelve niet bevat. Ik toone aan wat men als dan doen moet om tegen deeze zwaarigheid raad te verschaffen.
M. s'Gravezande welke het Artykel der Algemeene Rekenkonst (Arithmetica Universalis) van M. Newton, waar in deeze Leerwyze gevonden word, opgehelder heeft, heeft de gevallen niet aangemerkt welke buyten dezelve kunnen zyn, en hy heeft de [pag. XIV] manier om dezelve op de letterlyke grootheden van alle Magten toe te passen, niet gegeeven.
Onderstellende alle die bewerkingen in het geval van een na believen genomen Magt de Formule van het tweenaamig getal, zoo geef ik daar van een nieuw Bewijs, en toone de onderscheiden nuttigheden aan, welke men uit die Formule kan trekken, om door nadering alle zoorten van grootheden na believen uyt Radicale grootheden, breuken &c. zaamengesteld, te vinden; het geen de aanvangers tot de ontbindingskonst van het oneindige (Analysis Infinitorum) bereiden kan.
Het vyfde Deel handeld over de Vergelykingen van de derde en vierde Magt welke alle hunne termen hebben, dat is, alle de veelvuldigheid welke derzelve hebben kunnen. Ik geef ten eersten de algemeene oplossing van de Vergelykingen der derde Magt, en doe vervolgens de byzondere Vergelykingen zien, waar in deeze oplossing de waarde van het onbekende niet leerd, het geen het geval het welk men onherleydbaar noemd, zaamensteld. Ik leer in die vergelykingen [pag. XV] by gebrek van nauwkeurige wortelen, dezelve door nadering vinden; ik geef om daar toe te geraaken een nieuwe Leerwyze veel eenvoudiger als die welke tot nu toe aan de dag gekomen zyn. Door deeze Leerwyze verkryge ik met de eerste bewerkinge de waarde van de gezogte wortel op een duyzenste na, en met de tweede tot op een tienmaalhonderdduyzendste na, en alzo vervolgens.
Hier van gaa ik tot de Vergelykingen van de vierde Magt over, en na hunne algemeene ontbinding gegeeven te hebben, doe ik zien dat die ontbinding, zoo wel als die der Vergelykingen van de tweede Magt, dit voordeel op de ontbindingen van der Vergelykingen der derde Magt heeft, dat een eenige en zelve Formule, met behulp der tekenen meer en min, alle wortelen der Vergelyking kan uytdrukken. Ik bewyze ook, het geen de Autheuren welke over de gronden geschreeven hebben maar ondersteld hebben, dat de vier wortelen van een vergelykinge der vierde magt, altyd, of alle vier waare, of alle vier valsche, of twee waare; en twee valsche zyn; [pag. XVI] dat is, dat ik bewyze dat de valsche wortelen der Vergelykingen van de vierde Magt, gelyk als die van de tweede, aangemerkt kunnen worden, als uyt een weezentlyk deel, en uyt een deel het welk de vierkante wortel uyt een Nagative [sic] grootheid is, zaamengesteld zynde.
De ontbinding der Vergelykingen van de vierde Magt op die der Vergelykingen van de derde Magt gegrond zynde, zoo heeft dezelve, op dezelve wyze als die Vergelykingen, deeze hinderpaal, dat men in een geval de wortelen niet als door nadering verkrygen kan. Ik geef een zeer eenvoudige manier om deeze nadering te vinden, met die welke ik te voren voor de Vergelykingen van de derde Magt gegeeven hadde; te gebruyken.
Wat de Vergelykingen die hooger als de vierde Magt zyn, aangaan, ik geef niets voor hunne oplossing in het algemeen, om dat men 'er tot nu toe niet heeft kunnen toe geraaken, welke moeyten de eerste Analysten ook aangewend hebben.
Men is behalve eenige byzondere gevallen welke ik meest in het derde [pag. XVII] en vierde Deel verhandeld hebbe, tot eenvoudige naderingen gebragt welke veel gemakkelyker zyn als men de Meetkonst tot hulp heeft; Waarom ik ook het handelen over die Vergelykingen uitstelle, tot dat ik de Theorie der kromme lynen leeren zal.
Men behoorde te denken, na het geene ik in berichten van myne gronden der Algebra gezegd hade, om 'er toepassingen van deeze weetenschap op de Meetkonst in te vinden. Ik hebbe nochtans gemeend dezelve voor een ander werk te moeten behouden, het heeft my toegescheenen dat als ik een gantsche verhandeling over louter Algebra gaf, dat zulks was de aanvangers middelen aan te bieden om zich daar meerder in te versterken, en dat zy aanwinnen zouden als zy dezelve niet op de Meetkonst toepasten, als wanneer haar de Analytische bewerkingen niets meer kosten zouden. Ik hoope dat de grondregelen welke zy in dit werk vinden zullen, haar in staat zullen stellen om de grootste zwaarigheden welke zy in de hooge Meetkonst ontmoeten zullen, te boven te komen.
Voor het overige, stel ik niets voor [pag. XVIII] de bevattinge van deeze verhandeling, als de voornaamste bewerkingen der gemeene Reekenkonst waar onder ik de Regel van Drien rekene; die geene welke myne gronden der Meetkonst geleezen hebben, zullen de Theorie der evenredigheden zoo veel bezitten als het noodig is, om al het geen ik heir zegge, te verstaan. Ik had in eerste staat gemaakt om in hetzelve boek, zoo wel de gronden der Rekenkonst als die der Algebra te geeven, en ik zou als dan niet nagelaaten hebben, om van de evenredigheden grondiger als ik in myn gronden der Meetkonst gedaan hebbe, te handelen; maar de order die ik gevolgd hebbe heeft my toegescheenen een afzonderlyke verhandeling over die beyde weetenschappen te eysschen. In der daad dewyl ik de weg der Uytvinders zoo veel hebbe willen naderen als mogelyk is, zoo heb ik de Rekenkonst gemeenzaam moeten stellen, voor de geene welke de Algebra wilden onderzoeken. [pag. XIX]

VOORREDEN

VAN DEN

VERTAALER,

AAN DEN

LEEZER.

HET gebrek der boeken, welke alle de Regelen, tot de gronden der Algebra behoorende, op een klaare en verstaanbare manier verklaaren, is de beweeg-oorzaak geweest, die my de vertaling van dit nuttig werkje heeft doen onderneemen.
Onnodig agt ik, deze Voorreden op te vullen, met den Leezer de nuttigheden uitvoerig aan te tonen; nadien de heer Clairaut zulks zelve in zyn Voorreden gedaan heeft, en het Werk zich zelven genoeg pryzen zal.
Die geene welke des Autheurs Voorreden geleezen hebben, hebben kunnen bespeuren waar toe dezelve dit Werkje ingerigt heeft; naamelyk, om een ieder alle de bewerkingen, welke [pag. XX] in de gronden der Algebra voor kunnen komen, en waar van de ontbindingen van alle zoorten van vergelykingen wel de voornaamste uytmaaken, te onderwyzen: En om hun klaar te doen zien, waar toe die bewerkingen dienstig zyn, geeft hy in het eerste en tweede Deel eenige Voorstellen, welke tot die bewerkingen aanleiding geven. De order welke den Autheur doorgaans in dit Werkje houd, is zeer wel geschikt; Leerende de regelen van vergaaring, aftrekking, vermenigvuldiging, Deeling &c. welke men in andere Autheuren voor aan gesteld vind, niet als in Voorstellen, waar in de Liefhebbers bespeuren kunnen, hoe noodzaakelyk het is die Regelen te weeten; Dit is waarlyk de beste weg om in de weetgierige altoos een geduurige lust en yver te verwekken, om meer en meer in deeze konst te vorderen: Daar in tegendeel veele daar van afschrikken, ja byna de geheele moed benomen word, wanneer zy de nuttigheid dier bewerkingen nog niet kennen.
In het vertalen van dit Werkje, myn doelwit zynde het zelve tot een [pag. XXI] algemeen gebruik te maaken, hebbe ik niet kunnen nalaaten voor minder weetende agter het gemelde Werkje eenige voorstellen te voegen, als niet twyffelende of zullen tot meerder oeffening den leerlingen verstrekken.
Zommige voorstellen zyn door my op een eenvoudige manier ontbonden, om als trapsgewys de eerste beginnende op te scherpen, en zoo veel mogelyk is des Autheurs handelwyze in de bewerkingen vatbaar te maaken; Hebbe daarom de gemelde voorstellen op allerhande onderwerpen toegepast: Als my niet onbekend zynde, dat in veele wetenschappen de verscheidenheid van stoffe den oeffenaar tot lust en leergierigheid is verwekkende.
Eindelyk is myn vriendelyk verzoek, dat indien den Leezer eenige gebreken, zoo in het vertaalen als in de byvoegzelen mogte ontdekken, hy zich gelieve te 'erinneren dat wy alle menschen zyn, en dat de gebreken als onafscheidelyk aan ons alle verknocht blyven.
Wensche dat dit Werkje van Liefhebbers en Leergierige met zoo veel genegenheid ontfangen zal worden, als [pag. XXII] het hun van my uit liefde myner Landgenooten word medegedeeld; zullende my niets aangenaamer zyn, als eenigzins te bespeuren myn begonnen arbeid ten dienste onzer nyvre Hollanders aangewend te hebben: Als hoopende dat dit eerste tot een spoor voor verdere onderneeminge zal verstrekken.

Amsterdam
den 14 July
1760.

A.B. STRABBE.

[pag. 1]

GRONDEN

DER

ALGEBRA.

EERSTE DEEL.

Van de Stelkonstige manier, om de Voor-
stellen, door Vergelykingen uyt te druk-
ken, en van de oplossing der Verge-
lykingen van de eerste magt.

Onder de verscheyden Voorstellen, waar mede de eerste Wiskonstenaars (die men de naam van Stelkonstenaaren gaf) zich hebben bezig gehouden, hebbe ik dit volgende, als het bekwaamste uytgekoozen, om te doen zien, hoe zy gekomen zyn tot het uytdenken van die Wetenschap, welke men noemt Algebra (Stelkunde) of Analysis (ontbindings-kunst). [pag. 2]

Voorbeeld van een Voorstel gelyk aan de geene die de eerste Stelkonste- naars malkander hebben kunnen voorstellen. Ontbinding van dit Voorstel zoo als men het zelve buyten Algebra zou kunnen vinden.

I. Een som te verdeelen, by voorbeeld 890 ¥ onder drie persoonen, sodanig dat de eerste 180 ¥ meerder als de tweede, en de tweede 115 ¥ meerder als de derde, ontfangt.
Zie hier ten eersten hoe ik my verbeelde, dat een man, die geene kennis heeft van de Algebra, om dit Voorstel te ontbinden zal redeneren.
Het is blykbaar zoo men een der drie deelen bekend had, dat men dan aanstonds ook de twee anderen bekend sou hebben, by voorbeeld, laat ons onderstellen, dat men het derde deel, dat het kleynste is, bekend heeft, zoo zal men er 115 ¥ moeten byvoegen, en men zal de waarde van het tweede verkrygen; vervolgens om het eerste te bekomen, zal men 180 ¥ by dit tweede moeten bydoen, het geen op het selve uytkomt dan of men 180 ¥ en 115 ¥ of 295 ¥ by het derde voegde.
Hoedanig nu het derde deel mag zyn, wy weeten dan, dat dit deel, en het zelve nog eens, en 115 ¥, en hetzelve deel nog eens, en 295 ¥, een som gelyk aan 890 ¥ moet uytmaaken.
Waar uyt volgt, dat het drievoud van het kleynste deel, en 115 ¥ en 295 ¥, of in een maal 410 ¥ aan 890 ¥ gelyk is.
Nadien nu het drievoud van het gesogte deel, en 410 ¥ aan 890 ¥ gelyk [pag. 3]

is, zoo moet dan dit drievoud van het gesogte deel zoo veel kleinder zyn als 890 ¥, dan 410 ¥ kleinder is als 890 ¥ derhalven is dit drievoud van het kleinste deel gelyk aan 480 ¥, en daarom is het kleinste deel gelyk aan 160 ¥.
Het tweede zal by gevolg 275 ¥, en het eerste of het grootste 450 ¥ zyn.
De eerste Stelkonstenaars hebben waarschynlyk aldus geredeneerd, wanneer zy zich diergelyke Vraagen voorstelden, en zonder twyffel, naar maate zy vorderden in de ontbinding van eene Vraag, bezwaarden zy hun geheugen met alle de redeneeringen, die hun tot dit hoofdpunct gebragt hadden, en als de Vraagen niet verwarder als de voorgaande waaren, was 'er niets dat hun de moed beneemen kon: maar zoo dra hunne naspeuringen meer denkbeelden aan het geheugen aanboden, moesten zy een korter manier om zig uyt te drukken zoeken, en eenige eenvoudige teekenen hebben, waar mede, hoe gevorderd zy ook waaren in de ontbinding van een Voorstel, zy in een oogenblik konden zien, wat zy gedaan hadden, en wat hun nog te doen stond. Het zoort nu van de byzondere reden styl, die zy daar toe verzonnen hebben, is de Algebra.

II.

Om nu des te beter de grondregels van deeze Weetenschap te toonen, zoo zullen wy het zelfde Voorstel wederom herhaalen, [pag. 4]

Stelkundige manier om het voorgaande

Voorstel uyt te drukken	wy zullen in een gewoone styl beschryven de redeneeringen, die de Stelkonstenaar doet om zyn Voorstel te ontbinden, en uytdrukken is Stelkonstige Tekens; het geen hem dient om zyn geheugen te verligten. Het kleinste of het derde deel dan, hoedanig het ook zy, druk ik uit door eene enkelde letter, by voorbeeld door . . . . x.
Het teken + toond de vergaaring aan.	Het tweede deel zal dan by gevolg zyn x meer 115, hetgeen ik aldus schryf . . . . x + 115, verkiezende het teeken + dat meer genoemd word, om de vergaaring van twee grootheden (waar tusschen men het zelve plaatst) aan te toonen. Wat het eerste of het grootste deel aangaat, dewyl het zelve het tweede 180 overtreft, zoo wordt het zelve uytgedrukt door . . . . x + 115 + 180.
Het teken = betekend de gelykheyd	Deeze drie deelen te saamen voegende zal men krygen . . . . 3x + 115 + 115 + 180 of met te verkorten 3x + 410. Maar deze som der drie deelen moet aan 890 ¥ gelyk weezen, hetgeen aldus uytgedrukt word 3x + 410 = 890. Gebruykende het teeken =, dat gelyk genaamd word, om de gelykheid van twee grootheden (tusschen welke het geplaatst word) uyt te drukken. Door deeze rekening dan, is de Vraag in een ander veranderd, alwaar de Vraag is om een grootheyd, waar van het drievoud, [pag. 5]

by 410 gevoegd zynde, 890 uytmaakt, te vinden. De ontbinding van diergelyke Vraagen te vinden, is het geene dat men noemt een Vergelyking ontbinden. De Vergelyking is in dit geval 3x + 410 = 890 (men noemt dezelve aldus, omdat dezelve de gelykheid van twee grootheden aanwyst), en deezer Vergelyking te ontbinden is de waarde van het onbekende deel x te vinden, onder deeze voorwaarde, dat deszelfs drievoud, en 410 te zamen uytmaakt 890.	Een Vergelyking is de gelykheid van twee grootheden. Men ontbind een Vergelyking als men de waarde van het onbekende, die de zelve in zig bevat, vind.
III.
Om deeze Vergelyking te ontbinden, zie hier hoe de Stelkonstenaar redeneerd, en hoe hy zyne redeneeringen beschryft. De te ontbindene Vergelyking 3x + 410 = 890 leerd my, dat men 410 by 3x moet voegen om de som van 890 uyt te maaken, en dewyl dat 3x zoo veel minder zyn 890: dan of men 410 van hetzelve aftrekt, het geen ik aldus schryf . . . . 3x = 890 - 410 neemende het teeken -, dat min genoemd word, om gedagtig te doen zyn, dat de grootheyd voor welke het geplaatst is, van de voorgaande moet weggenomen worden. Uyt deeze nieuwe Vergelyking 3x = 890 - 410 trekt men, met in der daad 410 van 890 weg te neemen, deeze ander Vergelyking 3x = 480. Maar zoo 3x zoo veel waardig zyn als 480, dan is één x het derden deel van [pag. 6]	Ontbinding der Vergelyking die het voorgaande voorstel uytdrukt. Het teken - toont de Aftrekking aan.

	480 dat is 160 waardig, hetgeen ik aldus schryf, x = 480/3 = 160, en de Vraagstelling is ontbonden, dewyl het genoeg is één der deelen bekend te hebben, om het andere bekend te krygen.
	IV.
Een andere Ontbinding van het voorgaande voorstel.	Indien men de Vraag hadde willen ontbinden, met te beginne met het grootste deel te zoeken, zoude men het zelve op gelyke wyze kunnen ondernemen. Zie hier hoe men het aangevangen zou hebben. Genomen zynde voor dit eerste deel y. Zoo zal het tweede, zynde 180 minder, zyn y - 180. En het derde, zynde 115 minder als het tweede, zal zyn y - 180 - 115. Dewyl nu de som van deeze drie grootheden is 3y - 180 - 180 - 115, dat is 3y - 475, en deeze som aan 890 gelyk moet weezen. Zoo heeft men derhalven deeze Vergelyking 3y - 475 = 890, dewelke leerd, dat 3y het getal 890 zoo veel overtreft, dan 475 bedraagt, dewyl men 475 van 3y moet wegneemen, om 890 te hebben. Derhalven 3y = 890 + 475 of 3y = 1365. Derhalve y of het grootste deel = 455 als boven.
	V.
	Soo men in het Voorstel een grooter

of kleinder som (als die men gebruykt heeft) hadde moeten verdeelen, en dat de verschillen andere getallen (als die men gebruykt heeft) waaren, zoo is het blykbaar, dat men het op dezleve wyze zou ontbonden hebben. By voorbeeld, laat ons onderstellen, dat het Voorstel aldus uytgedrukt was.

Aan vier Persoonen 9600 te verdeelen, zodanig dat de eerste 300 meerder als de tweede, de tweede 250 meerder als de derde, en de derde 200 meerder als de vierde ontfangt.
Men zoude op de volgende wyze geredeneerd hebben:
Noem het vierde deel . . . . x,
Zoo zal het derde zyn x + 200.
Het tweede x + 200 + 250.
Het eerste x + 200 + 250 + 300.
Dewyl nu de som van alle deeze deelen aan 9600 moet gelyk weezen. Zoo heeft men derhalven deeze Vergelyking 4x + 1400 = 9600.
Om deeze Vergelyking te ontbinden, merk ik, als in de voorige, aan, dat zoo 4x, als men 'er 1400 bygevoegd heeft, aan 9600 gelyk zyn, zy dan ook aan het overschot van 9600 (als men 'er 1400 afgenomen heeft) gelyk moet weezen, het geen men aldus schryft . . . . 4x = 9600 - 1400 of 4x = 8200.
Maar zoo vier x aan 820 gelyk zyn, dan moet één x het vierde deel van [pag. 8]

Een ander Voorbeeld van het voorgaande voorstel.

8200 waardig zyn, dat is x = 8200/4 = 2050; het kleinste deel x nu bekend zynde, worden alle de anderen vervolgens gevonden, het derde = 2250, het tweede = 2500, en het eerste = 2800.

. . . . .

	LVIII.
Ander Voorbeeld	Laat ons nu vooronderstellen, dat de eerste Bron geduurende 4 dagen, en de tweede geduurende 6 dagen geloopen hebbende, zy beide een vyver van 120 vaten gevuld hebben. Vervolgens dat de eerste 3 en de tweede 7 dagen geloopen hebbende, beide een vyver van 190 vaten gevuld hebben. [pag. 91]

Men zal in dit geval hebben, a=120, b=4, c=6, d=190, e=3, f=7 en by gevolg dc - af = 300, ce - bf = -10, ae - bd = -400, het welk zal voortbrengen . . . . x = (dc - af)/(ce - bf) = 300/(-10) en y = (ae - db)/(ce - bf) = (-400)/(-10).
De eerstemaal dat, men diergelyke waardens gevonden zal hebben, dat is, Negative grootheden gedeeld door Negative grootheden, en Positive gedeeld door Negative, zal men hebben moeten verlegen staan om te weeten wat dezelve betekenen moesten; en de geene die gevreest hebben om quade boven natuurkundige redeneeringen te doen, zullen gezogt hebben, om de Vraag een weynig hooger te hervatten, om deeze zoorten van deelingen te vermyden: zoo zie hier, by voorbeeld, wat men daar voor in deeze Vraag heeft konnen doen.	Zeld- zaamheyd der uytdrukkingen, waar toe men in dit voorbeeld gekomen is.
Men zal de beide algemeene Vergelykingen bx + cy = a, en ex + fy = d, wedernemen, en stellende in deeze, voor a, b, c, d, e, f, de waardens, die deeze letteren in dit voorbeeld hebben, zoo zal men krygen 4x + 6y = 120 en 3x + 7y = 190. Uyt deeze Vergelykingen, x = 30 - 3y/2, en x = 190/3 - 7y/3 getrokken hebbende, zoo zal men deeze beyde waardens met elkander vergelyken, het [pag. 92]	Manier om te kennen wat dezelve beteekenen kunnen.

geen zal voortbrengen 30 - 3y/2 = 190/3 - 7y/3 of ⁷/₃y - ³/₂y = 190/3 - 30, of y = 40.
Vervolgens deeze waarde van y stellende in 30 - ³/₂y de waarde van x, zal men verkrygen x = 30 - 60 dat is x = -30. Door deeze weg zal men zien, zonder daar aan te kunnen twyffelen, dat het Quotient van -400 gedeelt door -10 is +40, en dat van +300 door -10, is -30.

LIX.

Men zal hier uyt wel haast, als algemeene grondregelen hebben konnen aanmerken, dat

+ gedeeld door + voortbrengt +
+ gedeeld door - voortbrengt -
- gedeeld door + voortbrengt -
- gedeeld door - voortbrengt +

Deeze grondregelen zyn zoo veel te gemakkelyker te verbeelden geweest, om dat men 'er als toe op geleyd wierd, door de overwegingen, die men heeft moeten doen omtrent de tekenen, die men in de termen der Producten en Quotienten vond, wanneer men de grondregelen voor de vermenigvuldiging en deeling der veelnaamige grootheden gegeeven, in 't werk stelde.
Maar nadien men gemaklyk, om zoo te spreeken, deeze grondregelen [pag. 93]

in twyffel kan trekken, zoo dient men aan te merken, dat men dezelve niet, als na verscheide daar over gemaakte overweegingen, bevestigen kan, en het is waarschynlyk, dat de eerste stelkonstenaars of Analysten daar van niet zyn verzekerd geweest, als na dezelve door veele voorbeelden bekragtigd te hebben.

LX.

Om ons te verzeekeren, dat de vermenigvuldiging van - met - altyd in het Product + moet voortbrengen; zoo laat ons zien, welk licht wy uyt de algemeene leerwyze der vermenigvuldigingen, gegeeven Art. XLV. trekken kunnen. Volgens deeze leerwyze, ziet men zeer klaar, dat het vermenigvuldigde van eene grootheid, gelyk a - b met een ander c - d, moet zyn ac - bc - ad + bd, en bygevolg, zoo ziet men terzelver tyd, dat de term bd, welke door de vermenigvuldiging van b met d voortgekoomen het teken + voor zich heeft, terwyl de termen b en d, die dit Product voortbrengen, het teken - zyn toegedaan. Daar blyft dan niets meer overig als te moeten weeten, dat van twee Negative grootheeden gelyk -b en -d, een Positive grootheid voor zich hebbende, haar vermenigvuldigde nogtans zal zyn +bd. Hier van nu kan men gemakkelyk de waarheyd erkennen, dewyl de leerwyze, waar door men ontdekt heeft, dat het vermenigvuldigde van [pag. 94]

Men bewyst dat -b maal -d, +bd is; schoon dat deeze grootheeden door niets voor afgegaan zyn.

	a - b met c - d, was ac - bc - ad + bd, alwaar geen byzondere grootheyd nog door a nog door c wordt uytgedrukt, en ook geen plaats kan hebben, als deeze grootheden gelyk niet zyn: doch, in dit geval, wordt het Product ac - bc - ad + bd gebragt tot +bd, derhalven -b × -d = +bd. LXI.
De andere gevallen worden op dezelve wyze beweezen	Wat de andere gevallen aangaat, in opzigt der vermenigvuldiging en deeling van + met -, men kan dezelve op gelyke wyze bewyzen. LXII.
Hoe de Negative waarde, welke men gevonden heeft het Voorstel ontbind.	Om nu weeder tot onze laatste toepassing van het voorgaande Voorstel te koomen, zoo laat ons aanmerken, na x = -30 en y = +40, gevonden te hebben, dat men nog in een ander zoort zwaarigheid heeft moeten vervallen, dat is om te weeten, wat deeze waarden van x beteekene; om dan met zekerheyd de weg, die men waarschynlyk gehouden heeft, te ontdekken, zoo moet men weder tot de voorwaardens van het Voorstel opklimmen, of het geen op zelve uytkomt, tot de Vergelykingen 4x + 6y = 120 en 3x + 7y = 190, die dezelve als dan uytdrukken, en zien hoe de waardens van x en y, zynde -30 en +40 met deeze Vergelykingen overeen komen. Men vind eerstelyk, dat in dit geval 4x moet zyn 120, en [pag. 95]

dat is 6y is 240, waar uyt bygevolg 4x + 6y, moet zyn -120 + 240, dat in der daad gelyk is aan 120. Men vind van 's gelyken dat 4x + 7y, is -90 + 280, 't welk = is aan 190.
Ziende dan hoe de waardens van x en y, zynde -30 en +40, voldoen aan de Vergelykingen 4x + 6y = 120 en 3x + 7y = 190, zoo ontdekt men terzelver tyd, hoe dezelve aan de voorwaarden van het Voorstel voldoen; want dewyl het gebruik, dat men van de grootheden 4x en 3x (die als dan de menigte van water, door den eerste Bron uytgeleverd, uytdrukken) in de eerste en tweede bewerking maakt, is, dat men dezelve met 6y en 7y (die de menigte van water, door de tweede Bron uytgeleverd, uytdrukken) af trekt, zoo moet men in dit geval de eerste Bron aanzien als water uyt de vyvers genomen, in plaats van zulks daar in te leveren, gelyk dezelve in het voorgaande voorbeeld deed, en gelyk men het zelve in het uytdrukken der voorwaardens van het Voorstel voorondersteld had.
Men ziet, in deeze gelegentheid, een voorbeeld van de algemeenheid der ontbindingskonst (Analysis,) welke in een Vraag gevallen doet vinden, die men aanstonds niet voorzien zou hebben, dat 'er in beslooten konnen zyn.

. . . . .

GRONDEN

DER

ALGEBRA.

TWEEDE DEEL.

Van de ontbindinge der Vergelykingen
van de tweede Magt.

Wy hebben nu genoeg van de Voorstellen van de eerste Magt gehandeld, om tot die der andere Magten, en byzonder tot de Voorstellen van de tweede Magt (welke wy in dit tweede Deel zullen onderzoeken) over te gaan. Wat de manier aangaat om derzelver voorwaardens Analytisch of stelkonstig uyt te drukken, die is dezelve als in de Voorstellen van de eerste Magt; men gebruykt alleenlyk onderscheydene leerwyzen, om de Vergelykingen, waar toe men in het uytdrukken der Voorstellen geraakt, [pag. 134]

	volgens de Magten van die Vergelykingen te ontbinden. Men kan daar van een voorbeelt zien in 't volgende Voorstel, het welk in zyn algemeenheyd Voorstellen van alle Magten insluyt, en niet zwaarder is, om volgens de meest zamengestelde, als volgens de eenvoudigste Magt, Analytisch of stelkonstig uyt te drukken.
	I.
Voorstel, het welk in zyn algemeenheid voorstellen van alle magten bevat.	Een Man, hebbende besteed een zom a in een koophandel, waar in hy verliest, wil met het eerste Jaar van dezelve afscheyden, maar daar toe de gelegentheyd verzuymende, welke hy niet als na het tweede of derde, of in 't algemeen, na het n^de Jaar weder kan vinden, zoo bevind hy, dat de zom van het eerste Jaar de grootheyd b verminderd is. Vraag hoe veel ten honderd 's Jaarlyks zyn verlies beliep? Neemende x voor het gezogt getal, dat is het geene hy op ieder honderd guldens na het eerste Jaar verlooren heeft. Als men deeze evenredigheyd maakt 100 : 100-x = a : a × (100-x)/100, zoo zal die vierde term a × (100-x)/100, of a × (1 - ¹/₁₀₀) uytdrukken het geen de zom a na het eerste Jaar word. Als men vervolgens deeze evenredigheid [pag. 135]

vervolgd met te zeggen . . . 100 : 100 - x = a × (100-x)/100 : a × (100-x)²/10.000 zoo zal de vierde term a × (100-x)²/10.000, of a × (1 - x/100)² uytdrukken, het welk dezelve zom a na het tweede Jaar word. Men zal van 's gelyken het geen deeze zom na het derde Jaar word door a × (1 - x/100)³ uytdrukken; en in 't algemeen, het geen dezelve na het n^de Jaar word zal zyn a × (1 - x/100)ⁿ, dat is a vermenigvuldigt met de grootheyd 1 - x/100 tot de n^de Magt verheeven.
II.
Indien men nu weeten wil, welke de te ontbindene Vergelykingen weezen zal, als men ondersteld, dat de Koopman met het tweede Jaar uytgescheyden was, zoo zal men de grootheyd a × (1 - x/100)² aan de [pag. 136]

	grootheyd a × (1 - x/100) min de grootheyd b moeten gelyk stellen, het welk voort zal brengen a × (1 - x/100)² = a × (1 - x/100) - b, of, als men 1 - x/100 met zich zelfs vermenigvuldigd, gelyk de Exponent 2 aanwyst a × (1 - 2x/100 + xx/10.000) = a × (1 - x/100) - b het welk gebragt word tot x² - 100x = -10.000b/a, zynde een Vergelyking van de tweede Magt, welke de voorgaande leerwyzen, niet bereyken kunnen.
	III.
	Indien men nu vervolgens ondersteld, dat hy nu het derde Jaar de Koophandel verlaat, zoo zal de te ontbindene Vergelyking zyn. a × (1 - x/100)³ = a × (1 - x/100) - b, welke, als men 1 - x/100 twee maalen met zich zelfs vermenigvuldigd, gelyk de Exponent 3 aanwyst, zal worden [pag. 137]

a × (1 - 3x/100 + 3x²/10.000 - x³/1.000.000) = a × (1 - x/100) - b, of eyndelyk . . . . . x³ - 300x² + 20.000x = 1.000.000b/a, zynde een Vergelyking welke natuurlyk meer zwaarigheyd, als de voorgaande belooven moet.	Voor de derde Magt.
IV.
Wat de andere gevallen aangaat: men ziet ligtelyk hoe men vervolgens tot het maaken der Vergelykingen, welke dezelve zullen voort brengen, geraaken zal; en het gevolg toond aan, dat de Vergelyking altyd van de zoo veelste Magt zal zyn, als het getal n uytdrukt; zoo men de Vergelyking in het Algemeen begeerd te hebben, zonder het getal n uyt te drukken, behoefd men maar alleenlyk de Algemeene uytdrukking . . . . . a × (1 - x/100)ⁿ van de grooheyd, welke a na het n^de Jaar word, te gebruyken, en de Vergelyking zal zyn a × (1 - x/100)ⁿ = a × (1 - x/100) - b, of (1 - x/100)ⁿ = 1 - x/100 - b/a. [pag. 138]	Voor de nde Magt.

Manier om tot de algemeene oplossing der Vergelykingen van de tweede Magt te komen.

Laaten we ons nu vergenoegen met het Voorstel te ontbinden in het geval, waar in deszelfs Vergelyking is van de tweede Magt, dat is, als dezelve is x² - 100x = -10.000b/a, of liever laat ons een leerwyze zoeken, om in 't Algemeen alle de Vergelykingen van de tweede Magt te ontbinden. De geene welke hoogere gevallen van het zelve Voorstel begeeren te ontbinden, zullen daar toe gemakkelyk geraaken, zoo haast als zy in 't vervolg, de Algemeene leerwyzen, die met de Magten, welke deeze Vergelykingen voortbrengen, overeenkoomen, zullen gezien hebben.
Het geene, dat zig het natuurlykste opdoet, als men een leerwyze zoekt, om de Vergelykingen van de tweede Magt Algemeen te ontbinden, bestaat in 't erkennen der overeenkomst, die er tusschen deeze Vergelykingen en die van de eerste Magt weezen kan, nadien het klaar is, dat alle Vergelykingen van de eerste Magt zullen worden van de tweede, als men de beyde leden Quadrateerd: by voorbeeld, x + a = b (Gequadrateerd zynde) brengt voort x² + 2ax + a² = b²; daar blyft dan nog over om te weeten, of men door eene tegengestelde bewerkinge, alle Vergelykingen van de tweede Magt tot een van de eerste zal kunnen brengen: [pag. 139]

laat ons by voorbeeld, neemen de Vergelyking x² + px = q, welke uytdrukt alle Vergelykingen van de tweede Magt, volgens de waarden welke p en q hebben, en welke letteren alle zoorten van Positive of Negative grootheeden kunnen uytdrukken. Volgens het geene wy zoo even gezegt hebben, moet men maar alleenlyk zien, of x² + px niet zy het vierkant van eenige grootheyd, waarvan het eerste deel x en het tweede deel een bekende grootheyt is, ten eynde door dat middel te vinden de Vergelyking van de eerste Magt, welke, in dezelve tot een vierkant verheeven is, zal worden x² + px = q. Men ziet dan ligtelyk, dat x² + px geen vierkant is, doch men ziet ook, dat het zelve door eene Vergaaring zodanig kan worden, en men heeft, gelyk men weet, de vryheid om deeze Vergaaring te doen, mits dat men 'er dezelve grootheyd meede ter andere zyde der Vergelyking byvoegd.
Om te vinden het ontbreekende aan x² + px, om daar van een vierkant te maaken, is 'er niets anders te doen, als deeze grootheyd met het vierkant xx + 2ax + aa te vergelyken; en dewyl de term px met 2ax overeenkomt, zoo zal p met 2a, en dien volgens a met ½p overeenkomen. Nadien dan a² dat geene is, het welk aan x² + 2ax ontbreekt, om daar van een vierkant te maaken, zoo zal het vierkant van ½p, dat is ¼p² het geene zyn, 't welk aan [pag. 140]

Het teeken \/ wyst de vierkante wortel aan.

xx + px ontbreekt, om daar van een vierkant te maaken, dat is, dat xx + px + ¼p² een vierkant zal zyn, het welk het in der daad is, en wel dat van x + ½p. Hebbende dan ¼pp by het eerste lid der Vergelykinge gevoegd, zoo moet men 'er net zoo veel aan de andere zyde byvoegen, en de Vergelyking zal zyn xx + px + ¼pp = q + ¼pp. Nadien de grootheyd x + ½p, met zich zelfs vermenigvuldigd, voortbrengt xx +px + ¼pp; zoo moet dan deeze grootheyd ook aan het getal, het welk in zich zelfs vermenigvuldigd q + ¼pp voortbrengt, gelyk weezen. Om dit getal, of liever deeze grootheyd in 't Algemeen uyt te drukken, schryft men \/(q + ¼pp). Gebruykende het teeken \/, het welk men de Radicaal of wortelteken noemt, om te doen* gedagtig zyn, dat men de vierkante wortel trekken moet uyt de grootheyd, die op het zelve teken volgt, boven 't welk altyd, om alle verwarring te myden, een streep getrokken, of 't welk tusschen twee Parentheezen gesteld moet worden.
Men heeft derhalven, als men deeze benaaming gebruykt x + ½p = \/(q + ¼p²),

* Het getal, 'twelk, in zich zelfs vermenigvuldigd zynde, daar door een ander voortbrengt, word gezegd deszelfs vierkante wortel of alleenlyk deszelfs wortel te zyn; deeze in de Reekenkunde bekende bepaaling is ook in de Algebra voor allerley grootheden aangenomen.

waar uyt men bepaalt x = -½p + \/(q + ¼p²), zynde de waarde van x, voorgesteld in de Vergelykinge xx + px = q, en deeze waarde zal voor alle gegeevene Vergelykingen dienen, zoo haast men door deeze Vergelyking met xx + px = q te vergelyken, de byzondere waardens van p en q ter neer gesteld zal hebben.
VI.
Zoo men zich nu herinnerd, 'twelk men (I. Deel Art. LX.) gevonden heeft, dat, als men een Negative grootheyd met een Negative grootheyd vermenigvuldigd, 'er zoo wel een Positive grootheyd komt, als of men twee Positive grootheden met malkander vermenigvuldigd had, zoo zal men zien, dat de wortel uyt een Positive grootheyd, altyd, met welk teken men ook wil, aangedaan kan zyn; aldus kan men in plaats van de Vergelykinge x + ½p = +\/(q + ¼p²), schryven x + ½p = -\/(q + ¼p²), het geen als dan voort zal brengen x = -½p -\/(q + ¼p²); waar uyt men deeze Algemeene grondregel trekt: dat een gegeevene Vergelyking van de tweede magt, altyd twee wortels heeft. Men verstaat als dan door de wortel van een Vergelyking, de waarde van het onbekende in deeze Vergelykinge. Men moet wel in agt neemen, dat men [pag. 142]	De vierkante wortel uit een grootheyd is zoo wel Negatif als Positif. Een vergelyking van de tweede magt heeft twee wortelen, dat is twee waarden van x.

	deeze uytdrukking niet met die van de vierkante wortel vermengt.
	VII.
	Om de twee wortels of waardens van x in de voorgaande Vergelyking xx + xp = q in een eenige en zelve uytdrukking te besluyten, gebruykt men het teken ±, en schryft deeze twee waardens aldus x = -½p ±\/(q + ¼p²)

. . . . .

GRONDEN

DER

ALGEBRA.

DERDE DEEL.

Waar in men vind eenige algemeene grondregels
voor Vergelykingen van alle Magten, als
mede de leerwyze om uyt deeze Vergely-
kingen die van de eerste en tweede
Magt, welke zy mogten bevatten
te trekken.

Indien de hoogere Vergelykingen, als die van de tweede Magt groote zwaarigheeden voorgesteld hebben, wanneer men ondernam om dezelve in alle gevallen te ontbinden, zoo is het nogtans gemakkelyk genoeg geweest, om aangaande die Vergelykingen algemeene overweegingen te maaken, die ons derzelver natuur konden doen kennen en [pag. 180]

	dienen om dezelve in veel byzondere gevallen te ontbinden. By voorbeeld, hebbende gezien, dat de Vergelykingen van de eerste Magt maar eene wortel; dat die van de tweede er twee hadden, zoo is men genoodzaakt geweest te gelooven, dat die van de derde Magt 'er drie hadden, en alzoo vervolgens; en om zich van deeze waarheyd te verzekeren, of liever om te begrypen, hoe een Vergelyking zoo veel wortelen als Magten kan hebben, zoo heeft men gezogt het tegengestelde van het Voorstel, het welk men zich ten eersten voorgesteld hadde, dat is, dat men, in plaats van de wortelen van eene Vergelyking te zoeken, gezogt heeft, welke de Vergelyking zou zyn, die voor derzelver wortelen hebben zou de gegeevene grootheeden: een Voorstel oneyndig gemakkelyker als het eerste.
	I.
Manier om een Vergelyking door middel van derzelver wortelen zaamen te stellen.	Als men, by voorbeeld, vraagd welke de Vergelyking is, waar in x te gelyk 2, 3 of 5 voor waarde kan hebben; zoo heeft men maar deeze drie enkelvoudige Vergelykingen te maaken x - 2 = 0, x - 3 = 0, x - 5 = 0. Als men vervolgens de beyde eersten met malkander, en hun Product nog met het derde, vermenigvuldigd, zoo krygt men x³ - 10x² + 31x = 30 = 0, waar in men te gelyk x = 2, of = 3, of = 5 stellen kan. Men ziet ligtelyk, dat als men ieder van deeze [pag. 181]

waardens stelt in de plaats van x in de Vergelyking x³ - 10x² + 31x = 30 = 0 dezelve ontbonden moet worden of het geen op het zelve uytkomt, daar van alle Termen moet doen verdwynen; want dewyl deeze Vergelyking aldus geschreeven kan worden (x - 2) × (x - 3) × (x - 5) = 0, en ieder van deszelfs deelen gelyk nul is, zoo moet, om dat de zelve alle andere vermenigvuldigd, dezelve ter zelver tyd doen verdwynen: nadien de onderstelling van x = 2, of = 3, of = 5, altyd het eene der drie deelen x - 2, x - 3, x - 5 gelyk nul maakt.
II.
Door deeze leerwyze ziet men, hoe een Vergelyking zoo veel wortelen als Magten hebben kan; om de Vraag algemeender te behandelen; zoo laat a, b, c, d, e de wortelen van eene Vergelyking zyn, en laat dievolgens x - a = 0, x - b = 0, x - c = 0, x - d = 0, x - e =0, zyn de enkelvoudige Vergelykingen, welke de Vergelyking, waar van deeze grootheeden de wortelen zyn, zaamenstellen: als mendan alle die Vergelykingen met malkander vermenigvuldigd, zal men verkrygen [pag. 182]	Een Vergelyking heeft zoo veel wortelen als Magten.

x⁵

ax⁴

abx³

abcx²

abcdx

abcde

abd

abce

abe

abde

acd

acde

ace

bcde

ade

bcd

bce

bde

cde

Voor de Vergelyking, waar in x te gelyk de gegeevene waardens a, b, c, d, e hebben kan.

. . . . .

GRONDEN

DER

ALGEBRA.

VIERDE DEEL.

Van de Ontbindige der Vergelijkingen van na
welgevallen genomene Magten, of als dezelve
maar twee Termen hebben, of als dezelve 'er
drie hebben (konnende dan door de leerwyze der
Vergelykingen van de tweede Magt tot de geene
welke 'er maar twee hebben gebragt worden) met
de onderscheidene nodige bewerkingen voor
die Vergelykingen, als de verheffing
der Magten, de uittrekking der
wortelen, de vermindering der
Radicaale grootheeden &c.

Na gezien te hebben, hoe men uyt een hoogere Vergelykinge, als die van de tweede Magt, die van de eerste en tweede Magt, welke dezelve in zich bevatten kan, trekt; zoo diend men te [pag. 249] zien, wat men gedaan heeft om de Vergelykingen, welke buyten deeze leerwyze zyn, te ontbinden.

. . . . .

GRONDEN

DER

ALGEBRA.

VIJFDE DEEL.

Van de Ontbindinge der Vergelykingen
van de derde en vierde Magt.

Als men de ontbindingen der Vergelykingen, in 't algemeen uytgedrukt door ax^m = b en ax^2m + bx^m = c, heeft willen overgaan tot die geene, welke behalve deeze Termen ook de daar tusschen zynde bevatteden, zoo heeft men wel haast zwaarigheeden bemerkt, welke de hoop om deeze Vergelykingen in het algemeen te ontbinden, hebben opgegeeven. Men heeft nog niet als tot de oplossing van die van de derde en vierde Magt kunnen geraaken; evenwel is de leerwyze, welke men gevonden heeft om dezelve te ontbinden, een aanmerkelyke uytzondering onderworpen: Zie hier de weg, welke men in het ontdekken van deeze leerwyze heeft kunnen volgen.

. . . . .

XLV. Na in de ontbindingen der Vergelykingen, zoo van de tweede als van de derde en vierde Magt, gezien te hebben, hoe men, met behulp der Radicaale tekenen, geraakt, om de waarde van het onbekende in die Vergelyking uyt te drukken, zoo kan het ons te binnen komen om te zoeken hoe men de Vergelykingen weder zou vinden, waar van men de wortelen door een Radicaale uytdrukking kend. By voorbeeld, men kan zich voorstellen, om te weeten, welke de Vergelyking zy, waar van de wortel is x = ⁴\/(ab³) + ³\/(a²b) + ³\/(a²c), en van die waar in x zou zyn, ³\/(a³ + b³) - ³\/(a³ - b³), &c. [pag. 395]

Om alle Voorstellen van dit geslagt te ontbinden, of het geen op het zelve uytkomt om de Radicaalen uyt een na welgevallen genomene Vergelyking te doen verdwynen, zoo zal men het op de volgende wyze aanvangen, welke zeer gemakkelyk te verbeelden was, volgens het geene in het tweede Deel, Artikel XXXV. geleerd is.
Men zal in plaats van ieder Radicaal een onbekende stellen, en men zal door dit middel verkrygen. 1°. In plaats van de gegeevene Vergelykinge, een nieuwe Vergelyking, welke geen Radicalen meer bevatten zal. 2°. Zoo veel Vergelykingen met twee Termen, als er Radicalen in de voorgestelde Vergelykinge waaren. Ieder nu van die Vergelykingen met twee Termen zal vervolgens van derzelver Radicalen bevryd zyn, als men derzelver beyde leden verheft tot de Magt door de Exponent van het Radicaale teeken uytgedrukt, het welk een van deszelfs beyde Termen bevatten zal. Derhalven zal men maar alleenlyk, uyt alle die van Radicalen bevryde Vergelykingen, de ingevoerde onbekenden moeten verdryven, zynde een bewerking, welke men in het XXXV. Artykel van het tweede Deel geleerd heeft.	Manier om de Radicale grootheden uyt een na believen genomen Vergelykinge te doen verdwynen.
Om dit zoo even gezegde met een voorbeeld op te helderen, zoo laat voorgesteld zyn om de Radicaalen uyt de [pag. 396]	Voorbeeld

Vergelykinge x = ³\/(ab²) + ³\/(add) te doen verdwynen, hebbende ³\/(ab²) = y en ³\/(add) = z gemaakt, zoo zal men de drie Vergelykingen x = y + z; y³ = ab²; z³ = ad² verkrygen; als men uyt de eerste y = x - z trekt, en dezelve in de tweede steld, zoo zal men verkrygen x³ - 3x²z + 3xz² - z³ = ab², waar uyt men met behulp van de Vergelyking z³ = ad², alleenlyk z moet verdryven.
Om dit te doen, begin ik in de eerste van die Vergelykingen, x³ - 3x²z + 3xz² - z³ = ab² in plaats van z³ te stellen ad², welke de tweede voortbrengt, en dezelve word x³ - 3x²z + 3xz² - ad² = ab², waar uyt ik trekke z² = (ad² + ab² - x³ + 3x²z)/3x. als ik vervolgens de beyde leden van deeze Vergelykinge met z vermenigvuldige, en in plaats van z³ deszelfs waarde ad² stelle, zoo verkryge ik een nieuwe Vergelyking . . . . . .
ad² = (ad²z + ab²z - x³z + 3x²zz)/3x.
welke voortbrengt . . . . . .
zz = (3ad²x - ad²z - ab²z + x³z)/(3x²).
Ik vergelyk als dan deeze beyde waarden van zz, en trek 'er een Vergelyking [pag. 397]

uyt, waar in z maar tot de eerste Magt is, ik ontbinde dezelve en verkryge
z = [x⁴ + 2ad²x - ab²x]/[ab² + ad² + 2x³],
welke in een der voorgaanden gesteld zynde, by voorbeeld in x³ - 3x²z + 3xz² - ad² = ab², eyndelyk voortbrengt de Vergelyking x⁹ - a³d²x⁶ - 3ab²x⁶ + 3a²b⁴x³ + 3a²d⁴x³ - 21a²d²b²x³ = a³b⁶ + 3a³b⁴d² + 3a³d⁴b² + a³d⁶, welke geen ander onbekende, als die welke in de voorgestelde was, bevat, en welke van alle Radicale grootheeden bevryd is; men zou zich op dezelve wyze uyt ieder Vergelykinge, welke men verkrygt, konnen redden.
Zomtyds zyn de voorgestelde Vergelykingen zoo gemakkelyk van Radicaale grootheeden te bevryden, dat het onnodig is tot de voorgaande leerwyze zyn toevlugt te neemen, en genoeg is de Termen te verplaatzen, en de beyde leden tot de Magt door het Radicaale teken, het welk als dan alleen in een der leeden is, aangetoond, te verheffen: by voorbeeld, indien men de Vergelyking x = y + ³\/[a³ + \/[a⁵x]] hadde, zo zal men, als men y aan de andere zyde brengt en de beyde leden tot de derde Magt verheft, een Vergelyking verkrygen, welke geen ander Radicaal als \/(a⁵x) meer bevatten zal, [pag. 398]

	als men dan deeze Term alleen aan een zyde steld, en de beyde leden tot een vierkant verheft, zoo zal men een Vergelyking verkrygen, welke geen Radicaale grootheeden meer bevatten zal: en het zal daar meede in verscheyden voorvallen het zelve zyn.
	EYNDE.

TAFEL

Der zaaken in dit Werk verhandeld.

EERSTE DEEL.

Van de stelkonstige manier, om de voor-
stellen door Vergelykingen uyt te druk-
ken, en van de oplossing der Verge-
lykingen van de eerste Magt.

	[inleiding]	[Pag. 1]
I.	Voorbeeld van een voorstel, gelyk aan die geene die de eerste stelkonstenaars malkander hebben kunnen voorstellen.	Pag. 2
	Ontbinding van dit voortsel zoals men het zelve zonder Algebra zou kunnen vinden.	ibid.
II.	Stelkonstige manier van het voorgaande Voorstel uyt te drukken.	3
	Het teeken + toont de vergaaring aan.	4
	Het teeken = beteekend de gelykheyd.	ibid.
	Een Vergelyking is de gelykheyd van twee grootheeden.	5
	Men ontbind een Vergelyking, als men de waarde van het onbekende, 't welk dezelve in zich bevat, vind.	ibid.
III.	Ontbinding der Vergelyking, die het voorgaande Voorstel uytdrukt.	ibid.
	Het teeken - toond de aftrekking aan.	ibid.
IV.	Een andere ontbinding van het voorgaande voorstel.	6
V.	Tweede voorbeeld van het voorgaande voorstel.	7
VI.	Derde voorbeeld van het voorgaande voorstel.	8
	Het teken × toond de vermenigvuldiging aan.	9
VII.	Nieuw voorstel van dezelfde natuur als het voorgaande.	10
VIII.	Analystische ontbinding van een tweedeelig Problema.	11
	In het eerste drukt men dit voorstel door een Vergelyking uyt.	ibid.
	In het tweede ontbind men deeze Vergelyking.	ibid.
IX.	De Vergelykingen van de eerste Magt zyn die, waar in het onbekende niet als met of door bekende grootheden vermenigvuldigd of gedeeld is.	12
X.	De Termen eener Vergelyking zyn derzelver deelen, door + of - van malkander gescheyden.	13
XI.	Alle Termen kunnen van de eene zyde der Vergelyking, naar de andere gebragt worden, mits het teken veranderende.	14
XII.	Men noemd de leden van een Vergelyking, derzelver twee deelen door het teeken = van malkander gescheyden.	15
XIV.	Manier om de vermenigvuldiger, die het onbekende eigen is, te doen verdwynen.	16
XV.	Manier om de deeler die het onbekende eigen is, te doen verdwynen.	17
XVI.	Voorbeelden van Vergelykingen van de eerste Magt door de voorgaande grondregels ontbonden.	ibid.
XVII.	Manier om de breuken uyt een Vergelyking te doen verdwynen.	18
XVIII.	Een andere leerwyze, waar door men dezelve alle op een maal doet verdwynen.	19
XIX.	Derde voorstel.	22
	Men gebruykt, zoo wel in de Algebra, als in de Arithmetica, een streep om de deeling aan te toonen.	ibid.
XXI.	Een andere ontbinding van het zelve voorstel.	25
XXII.	Vierde voorstel.	26
	Manier om de Proportien of evenredigheden in de Algebra uyt te drukken.	27
XXIV.	Ontbinding van het voorgaande voorstel op een algemeene wyze.	31
	Men gebruykt de eerste letteren van het Alphabeth om het bekende en de laatsten om de onbekende uyt te drukken.	32
	De letters, die zonder eenig teeken tusschen beyde op malkander volgen, worden geacht malkander te vermenigvuldigen.
XXV.	Toepassing van de voorgaande ontbinding op getallen.	39.
	Een andere toepassing.	ibid.
XXVI.	Vyfde voorstel.	40
XXVII.	Voorbeeld op getallen.	42
	Een ander voorbeeld	ibid.
XXIX.	De regelen van Art. X en volgende zyn genoeg voor de letterlyke Vergelyking.	44
	De toepassing van die regelen heeft aan verscheyden bewerkingen der Algebra haar oorsprong gegeeven.	ibid.
	Eerste voorbeeld van de ontbinding der Vergelykingen in letteren.	ibid.
XXX.	Tweede voorbeeld van de ontbinding der Vergelykingen in letteren.	45
XXXI.	Vermindering der grootheden tot haare eenvoudigste uytdrukking.	ibid.
	Men noemd Positive Termen de geene welke + voor aan hebben, en Negative de geene welke - voor aan hebben.	46
XXXII.	De stelkonstige vergaaring is dezelve bewerking als de voorgaande.	47
XXXIII.	Hoe men zeggen kan, dat men een Negative grootheyd vergaard.	49
XXXIV.	Men trekt nog de stelkonstige aftrekking uyt de voorgaande bewerking.	50
	Manier der aftrekkinge.	ibid.
XXXV.	Men vermeerderd eene grootheyd, als men daar een Negative grootheyd van aftrekt.	51
XXXVI.	Derde Voorbeeld van de ontbinding der Vergelykingen in letteren.	52
XXXVII.	Een Cyffer, ter regter zyde boven een letter geplaatst, toond aan dat dezelve zoo veel maalen door de vermenigvuldiging herhaald zou hebben geworden.	54
	En in dit geval word dezelve letter gezegd tot de Magt dor deeze Cyffer uytgedrukt verheeven te zyn, welke Cyffer Exponent genaamd word.	ibid.
	De Cyffers welke ter slinkerzyde en op dezelve regel zyn, worden C0ëfficienten genaamd.
XXXVIII.	Vierde voorbeeld van de ontbinding der Vergelykingen in letteren.	55
XXXIX.	De eennaamige grootheeden zyn die, welke maar eene Term hebben.	56
	Vermenigvuldiging der eennaamige grootheeden, uyt de twee voorgaande voorbeelden getrokken.	57
XL.	Vyfde voorbeeld, van de ontbinding der Vergelykingen in letteren.	ibid.
XLI.	Deelinge der eennaamige grootheeden.	59
XLII.	Zesde voorbeeld, van de ontbinding der Vergelykingen in letteren.	60
	Het gebruyk der streepen, boven de grootheeden, is het zelve als dat der Parentheezen.	ibid.
XLIII.	Vermenigvuldiging der veelnaamige grootheeden uyt het voorgaande Artikel getrokken.	62
	Voorbeeld der vermenigvuldiging van veelnaamige grootheeden.	63
XLIV.	Fondamentale grondregel der vermenigvuldigingen.	65
XLV.	Leerwyze die men in de vermenigvuldiging moet volgen.	ibid.
XLVI.	Toepassing van de voorgaande leerwyze op een voorbeeld.	66
XLVII.	Zevende voorbeeld van de ontbinding der Vergelykingen in letteren.	69
	Manier om de aangeweezene deeling in dit voorbeeld te doen.	70
XLVIII.	Algemeene leerwyze voor de deelingen van veel naamige grootheeden.	71
	Manier om in de deeling alle beproeving te vermyden.	72
	Wat het is een grootheyd ten opzigte van een letter te schikken.	73
XLIX.	Toepassing van de voorgaande leerwyze op een voorbeeld.	74
L.	Een ander voorbeeld.	77
LI.	De oplettendheyd, welke men in 't schikken moet hebben, als 'er verscheyden letteren zyn.	78
LII.	Voorstel waar in men twee onbekenden gebruykt.	79
LIV.	Toepassing van de voorgaande ontbinding op een voorbeeld.	85
LVI.	Een ander voorstel, waarin men twee onbekenden heeft.	87
LVII.	Voorbeeld van het voorgaande voorstel in getallen.	90
LVIII.	Een ander voorbeeld.	ibid.
	Zeldzaamheyd der uytdrukkingen, waar toe men in dit voorstel gekomen is.	91
	Manier om te erkennen wat dezelve betekenen kunnen.	ibid.
LIX.	Algemeene grondregels belangende de tekenen der Quotienten of der Producten.	92
LX.	Men bewyst dat -b maal -d, +bd is; schoon dat deeze grootheeden door niets voor af gegaan worden.	93
LXI.	De andere gevallen worden op dezelve wyze beweezen.	94
LXII.	Hoe de Negative waarde, welke men gevonden heeft, het voorstel ontbind.	ibid.
LXIII.	De onbekende Negatif wordende, moeten in een tegengestelde zin aan die der uytdrukking van het voorstel genomen worden.	96
	Met de bekende is 't het zelve.	ibid.
LXIV.	Voorbeeld van het gebruyk der bekende Negatif gemaakte grootheden.	ibid.
LXV.	Een ander voorbeeld van het zelve gebruyk van de bekende Negatif gemaakte grootheeden.	98
LXVI.	Twee Vergelykingen van de eerste Magt met twee onbekenden, kunnen altyd door de voorgaande opgelost worden.	100
	Voorbeeld.	ibid.
LXVII.	Een ander voorbeeld.	101
LXVIII.	Een andere Manier om het zelve voorbeeld te ontbinden.	105
LXIX.	Vergelyking der twee voorgaande ontbindingen.	107
LXXI.	Algemeene leerwyze om de grootste gemeene deeler van twee getallen te vinden.	110
LXXIII.	Algemeene leerwyze om de grootste gemeene deeler van twee stelkonstige grootheeden te vinden.	115
LXXIV.	Eerste voorbeeld.	116
LXXV.	Tweede voorbeeld.	118
LXXVI.	Derde voorbeeld.	119
LXXVII.	Een andere Manier om het zelve voorbeeld te ontbinden.	121
LXXVIII.	Andere grootheeden waar van men de grootste gemeene deeler buyten de voorgaande leerwyze zoekt.	122
LXXIX.	Als 'er drie onbekenden in een voorstel zyn, heeft men drie Vergelykingen nodig om het zelve te ontbinden.	123
	Hoe men de onbekende uyt die Vergelykingen trekt.	ibid.
LXXX.	Voorstel waar in men drie onbekende gebruykt.	124
LXXXI.	Manier om de rekeningen, door byzondere benaamingen, te verkorten.	127
LXXXII.	Voorbeeld van het voorgaande voorstel in getallen.	128
LXXXIII.	Alle voorstellen van de eerste Magt met drie onbekenden, kunnen, in Vergelykingen gesteld zynde, in het voorgaande begreepen worden.	129

TWEEDE DEEL.

Van de ontbindinge der Vergelykingen
van de tweede Magt.

	[inleiding]	[Pag. 133]
I.	Voorstel het welk in zyn algemeenheyd, voorstellen van alle Magten bevat.	134
II.	Vergelyking van het voorgaander voorstel, voor het geval van de tweede Magt.	136
III.	Voor de derde Magt.	137
IV.	Voor de nde Magt	ibid.
V.	Manier om tot de algemeene oplossing der Vergelykingen van de tweede Magt te komen.	138
	Het teken \/ wyst de vierkante wortel aan.	140
VI.	De vierkante wortel uyt een grootheyd, is zoo wel Negatif als Positif.	141
	Een Vergelyking van de tweede Magt heeft twee wortelen, dat is twee waarden van x.	ibid.
VII.	Formule bevattende deeze beyde wortelen.	142
VIII.	Toepassinge van de voorgaande Formule op de Vergelykinge van Artikel II.	ibid.
IX.	Vermindering van de waarde van x met de wortel van het Product uyt die der voortbrengzelen te maaken.	143
X.	Voorbeeld van ditr voorstel	144
XI.	Ander voorbeeld.	145
XII.	Derde voorbeeld het welk, eyschende de wortel van een Negative grootheyd, onmogelyk is.	ibid.
	Deeze wortelen worden gezegt valsch te zyn.	146
XIII.	Welke de Vergelykingen van de tweede Magt zyn, waarvan de wortelen valsch zyn.	ibid.
XIV.	Ontbindinge der Vergelykingen van de tweede Magt, zonder dezelve met de algemeene Formule te Vergelyken.	147
XV.	Een ander voorstel van de tweede Magt.	148
XVI.	Van de beyde voorgaande waardens is de eene noodzaakelyk Positif, en de andere Negatif.	151
XVII.	Gebruyk van de Negative waarde.	ibid.
XX.	Nieuwe voorbeelden van de ontbindingen van Vergelykingen der tweede Magt.	156
XXI.	Handelwyze der uyttrekkinge van de vierkante wortel door een voorbeeld verklaard.	159
XXII.	Andere voorbeelden van de uyttrekkingen der vierkante wortelen	160
XXIII.	Voorbeelden van de herleyding der Radicaale grootheeden.	162
XXIV.	De grootheeden, welke geen nauwkeurige wortelen hebben worden gezegd onafmeetbaar of Irrationaal, dat is onreedelyk te zyn.	ibid.
	De vergaaring en aftrekking van die grootheeden onderstellen alleenlyk hunne herleydinge.	163
XXV.	Vermenigvuldiging der t'zaamen onmeetbaare grootheeden.	164
XXVI.	Deeling der t'zaamen onmeetbaare grootheeden.	166
XXVII.	Voorstel van de tweede Magt vereyschende verscheyde onbekenden.	167
XXVIII.	Een andere manier om de voorgaande Vergelykingen te ontbinden.	170
XXIX.	Voorbeeld van Vergelykingen der tweede Magt met twee onbekenden, verwarder als de voorgaande.	171
	De laatste Vergelyking, waar toe die Vergelykingen aanleyding geeven.	172
XXX.	Een andere manier om het zelve voorbeeld te verhandelen.	ibid.
XXXII.	Als y tot een gegeeven Magt; en x alleenlyk tot de tweede Magt verheeven is, zoo zou men de beyde Vergelykingen van s'gelyken verhandelen.	175
XXXIII.	Wat men zou moeten doen, om tot de laatste Vergelykinge te geraaken, als x tot de derde Magt verheven is.	176
XXXIV.	Het zoude het zelve zyn, indien x tot een hooger Magt verheven was.	177
XXXV.	En indien er meer als twee onbekenden in waaren, zou men van 's gelyken tot de laatste Vergelykinge komen.	ibid.

DERDE DEEL.

Waar in men vind eenige algemeene grondregels
voor Vergelykingen van alle Magten, als
mede de leerwyze om uyt deeze Vergely-
kingen die van de eerste en tweede
Magt, welke zy mogten bevatten
te trekken.

	[inleiding]	[Pag. 179]
I.	Manier om een Vergelyking door middel van derzelver wortelen t'zaamen te stellen.	180
II.	Een Vergelyking heeft zoo veel wortelen als Magten.	181
III.	Eygenschap der Vergelykingen van alle Magten.	182
IV.	In een Vergelykinge zonder tweede Term, is de zom der Positive gelyk aan die der Negative wortelen.	183
V.	Een Vergelyking, welke geen bekende Term heeft, heeft ten minste een wortel die gelyk aan nul is.	184
VI.	Conditien welke men in eene Vergelykinge in agt moet neemen, om daar van de voorgaande eygenschappente vinden.	ibid.
VII.	Leerwyze om de afmeetelyke wortelen van een Vergelykinge te verkrygen.	185
VIII.	In een Vergelykinge, waar van alle Coëfficienten geheel zyn, kan het onbekende geen breuk weezen.	186
IX.	Verandering waar door men de breuken van eene na welgevallen genomene Vergelykinge doet verdwynen.	188
X.	Door deeze veranderinge word de voorgaande leerwyze op de Vergelykingen met breuken toegepast.	189
XI.	Hinderpaal van de voorgaande leerwyze.	ibid.
XII.	Overweegingen, welke gediend hebben, om deeze leerwyze te volmaaken.	190
XIII.	Fondamenteele grondregel om de t'zaamen meetbaare wortelen te vinden	191
XIV.	Toepassing van de voorgaande leerwyze op een voorbeeld.	193
XVI.	Manier om alle deelers van een getal te verkrygen.	198
XVII.	Een ander voorbeeld van de leerwyze om de afmeetelyke wortelen te vinden.	200
XVIII.	Derde voorbeeld van de leerwyze om de afmeetelyke wortelen te vinden.	202
XIX.	Leerwyze om uit een gegeevene Vergelykinge de afmeetelyke Vergelykingen van de tweede Magt te vinden.	204
XX.	Toepassing van de voorgaande leerwyze.	207
XXI.	Een ander Toepassing van de voorgaande leerwyze.	212
XXII.	Leerwyze om de deelers van eene afmeetinge te vinden, als x een Coëfficient moet hebben.	216
XXIII.	Toepassing van deeze leerwyze op een voorbeeld.	217
XXIV.	Leerwyze om de deelers van twee afmeetingen te vinden, als x een Coëfficient moet hebben.	219
XXV.	Toepassing van deeze leerwyze op een voorbeeld.	220
XXVI.	Alle gegeevene grootheyd, van minder als zes afmeetingen en welke deelers heeft, kan geen deeler hebben als zodanig een die minder dan als drie afmeetingen heeft.	223
XXVII.	Indien de grootheyd zes of meerder afmeetingen heeft, zoo zou dezelve geen deelers als van drie of meer afmeetingen kunnen hebben.	ibid.
XXIX.	Leerwyze om alle deelers met twee letteren in eene grootheyd, welke 'er drie heeft te vinden.	225
XXX.	Voorbeeld.	226
XXXI.	Een ander voorbeeld.	ibid.
XXXII.	Leerwyze om de deelers met drie letteren en met eene afmeeting te vinden.	227
XXXIII.	Toepassing van de voorgaande leerwyze op een voorbeeld.	229
XXXIV.	Een ander voorbeeld.	230
XXXV.	Derde voorbeeld alwaar men de deelers met twee letteren ter zelver tyd als die met drie letteren vind.	232
XXXVI.	Leerwyze om de deelers van twee afmeetingen en met drie letteren te vinden	236
XXXVII.	Toepassing van deeze leerwyze op een voorbeeld.	237
XXXVIII.	Een ander voorbeeld.	240
	Toepassing van de gegeevene leerwyze Art. XIV. om alle deelers van een getal in de grootheeden op letteren te vinden.	ibid.
XL.	Wat men doen moet om de deelers van de grootheeden, welke niet gelykslagtig zyn, te vinden.	246
XLI.	Geval alwaar de deeler gemakkelyker, als door de voorgaande leerwyzen gevonden word.	247

VIERDE DEEL.

Van de Ontbindige der Vergelijkingen van na
welgevallen genomene Magten, of als dezelve
maar twee Termen hebben, of als dezelve 'er
drie hebben (konnende dan door de leerwyze der
Vergelykingen van de tweede Magt tot de geene
welke 'er maar twee hebben gebragt worden) met
de onderscheidene nodige bewerkingen voor
die Vergelykingen, als de verheffing
der Magten, de uittrekking der
wortelen, de vermindering der
Radicaale grootheeden &c.

	[inleiding]	[Pag. 248]
I.	Van de Vergelykingen van de derde Magt met twee Termen.	249
	Men steld een 3 boven het teken \/ om de Cubicq wortel uit te drukken.	ibid.
II.	De Radicaale Cuben kunnen te gelyk maar een teken hebben.	ibid.
IV.	Hoe men de Radicaale Cuben vermenigvuldigd.	252
V.	Wortelen van de Vergelykinge der derde Magt met twee Termen	ibid.
VI.	Van de Vergelykingen met twee Termen en van een na believen genomen Magt.	253
	Deze Vergelykingen kunnen nooit meer als twee waare wortelen hebben.	ibid.
VII.	Overweegingen over de verheffing der Magten.	255
VIII.	Toepassing van de voorgaande overweegingen op de uyttrekkinge der wortelen	256
IX.	Van de uyttrekkinge der wortelen, als men veel naamige Magten heeft.	257
XI.	Waar in de Cubus van een tweenamig getal bestaat.	259
XII.	Leerwyze welke men volgen moet, om de Cubicq wortel uit eennaamige grootheeden te trekken.	260
XIII.	Eerste voorbeeld.	261
XIV.	Tweede voorbeeld.	262
XV.	Vergaaringen en aftrekkingen der Radicaale grootheeden van alle zoorten.	264
XVI.	Vermenigvuldiging en Deeling der Radicaale grootheeden, welke gelyke exponenten hebben.	ibid.
XVII.	Om deeze bewerkingen over de Radicaale grootheeden van onderscheidene Exponenten te doen, moet men dezelve onder eenzelfde exponent brengen.	266
	Leerwyze daar van.	ibid.
XVIII.	Een andere manier om de voorgaande bewerkingen te doen.	264
XIX.	Wat een gebrooken Magt is.	274
	Wat een Negative Magt is.	ibid.
	Wat de Magt 0 is.	ibid.
XX.	Van de Vergelykingen met drie Termen, welke door de leerwyze van de tweede Magt ontbonden worden.	277
XXI.	Voorbeeld van de voorgaande leerwyze.	278
XXII.	Een ander voorbeeld.	ibid.
XXIII.	Tweede voorbeeld.	279
XXIV.	Derde voorbeeld.	ibid.
XXV.	Leerwyze om de vierkante wortelen uyt grootheeden ten deele afmeetelyk en ten deele uyt Radicaale grootheeden bestaande te vinden.	281
XXVII.	Toepassinge van de voorgaande leerwyze op een voorbeeld.	284
XXVIII.	Een ander voorbeeld.	285
XXX.	Derde voorbeeld.	ibid.
XXXI.	Leerwyze om de Cubicq wortelen uyt grootheeden ten deele afmeetelyk en ten deele onafmeetelyk te vinden.	287
XXXII.	Toepassing van de voorgaande leerwyze op een voorbeeld.	291
XXXIII.	Een ander voorbeeld.	292
XXXV.	Leerwyze om de Cubicq wortel uyt grootheeden in getallen ten deele afmeetelyk &c. te vinden	296
XXXVI.	Toepassing van de voorgaande leerwyze op een voorbeeld.	298
XXXVII.	Een ander voorbeeld.	299
XXXVIII.	Eenvoudiger maaking van de voorgaande leerwyze.	300
XXXIX.	Toepassing van de nieuwe leerwyze	ibid.
XL.	Deeze nieuwe leerwyze zou in de gevallen, waar in A en B van onderscheydene tekenen zyn, gebrekkig kunnen weezen.	301
	Wat men in dit geval doen moet	302
XLI.	Geval waarin de voorgaande leerwyze tot een misreekening aanleyding zou kunnen geeven.	305
	Middel om zich daar van te bevryden.	ibid.
XLIII.	Wat men doen moet, als de Cubicq wortel de zom van twee Radicaale grootheeden moet zyn.	308
XLIV.	Hoe men de wortel van de vierde Magt uyt grootheeden van het zelve zoort als de voorgaande trekt/	309
XLV.	Wat men ieder reys, als de Exponent van de wortel een even getal is, doen moet	ibid.
XLVI.	Voor de wortelen van de vyfde Magt.	ibid.
XLVII.	Voor de wortelen van alle Magten.	310
XLVIII.	Van de manier om een tweenaamig getal tot een na believen genomene Magt te verheffen.	311
	Algemeene Formule voor de verheffing van p + q tot de Magt m	318
L.	Bewys van het Theorema in het XLVII. Artykel	ibid.
LI.	Toepassing van de voorgaande Formule op een voorbeeld.	319
LII.	Hoe men de voorgaande Formule op de grootheeden van meer als twee Termen toepast.	321
LIII.	Voorbeeld.	ibid.
LIV.	Alwaar men doet zien, dat de voorgaande Formule nog goed is als de Exponent een gebrooken is.	325
LV.	Dezelve Formule gaat nog tot de Negative Magten.	326
LVI.	Voorbeeld van een vierkante wortel, door de Formule voor de verheffing der Magten getrokken.	328
LVII.	Als de grootheeden geen naauwkeurige wortelen hebben, zoo vind men 'er genaderde door de voorgaande leerwyze.	330
	Voorbeeld.	ibid.
	Wat een Série of oneyndige reeks is.	331
LVIII.	Alle zoorten van grootheeden kunnen door de voorgaande Formule in Sérien gebragt worden.	332

VIJFDE DEEL.

Van de Ontbindinge der Vergelykingen
van de derde en vierde Magt.

	[inleiding]	[Pag. 334]
I.	De meest zaamengestelde Vergelykinge van de derde Magt.	335
II.	Verandering waar door men een na believen genomen Term van deeze Vergelyking doet verdwynen.	ibid.
III.	De voorgaande verandering op een Vergelykinge van de vierde Magt toegepast.	338
	Men doet gemeenlyk de tweede Term alleen verdwynen.	339
IV.	Verdwyning van de tweede Term in een Vergelykinge van de vyfde Magt.	ibid.
V.	In een Vergelykinge van de na welgevallen genomene Magt m.	ibid.
VI.	Ontbindinge van de algemeene Vergelyking x³ + px + q = 0.	340
VII.	De voorgaande Formule brengt maar een der drie wortelen voort.	342
	Manier om de beyde anderen te verkrygen.	343
VIII.	Geval waar in de voorgaande Formule, x niet kan doen bekend worden, ter oorzaake der valsche waarden, welke dezelve bevat.	344
IX.	Men bewyst nogtans, dat x in dit geval wezentlyk is.	345
X.	Door dezelve leerwyze zal men een genaderde waarde van x verkrygen.	347
XI.	De beyde andere waarden van x zyn ook in het zelve geval weezentlyk.	348
XII.	Hoe men uit de wortelen der Vergelykinge y³ + px + q = 0 die van de Vergelykinge y³ + dy² + ey + f = 0 trekt.	349
XIII.	Een Vergelyking van de derde Magt heeft drie waare wortelen, of eene waare met twee valsche.	350
XIV.	Hoe men die gevallen onderscheid.	ibid.
XV.	Welke de wortelen zyn als ½p³ Negatif en = ¼qq is.	351
XVI.	Toepassing der voorgaande Leerwyzen op een voorbeeld.	352
XVII.	Een ander voorbeeld bevattende een Vergelykinge van de zesde Magt, welke tot de derde gebragt word.	353
	Hoogere Vergelykingen, welke daar ook toegebragt zouden worden.	354
XIX.	Vierde voorbeeld waar in de Formule van het VI. Artykel onvoldoende is.	355
	Toepassing der leerwyze van het X. Artykel om ten naasten by de wortelen te vinden.	356
	Onoplosbaar geval der derde Magt.	358
XX.	Hinderpaal der Artykel X. geleerde naderinge.	ibid.
XXI.	Een andere leerwyze van naderinge algemeen en gemakkelyk in de oefening.	359
	De leerwyze, welke men zoo even geleerd heeft, brengt x ten minste tot op ¹/₁₀₀₀ste na voort.	361
XXII.	Manier om de nadering veel nauwkeuriger te maaken.	362
XXIII.	Toepassing van deeze leerwyze op een voorbeeld.	363
XXIV.	Een ander voorbeeld.	364
XXV.	Ontbinding eener algemeene Vergelykinge van de vierde Magt.	365
	De ontbinding van eene Vergelyking van de vierde Magt hangt van een Vergelykinge der derde Magt af.	367
	Deeze Vergelykinge word de verminderde genoemd.	ibid.
XXVI.	In de vierde Magt kan men de wortelen door een eenige Formule uitdrukken.	368
XXVIII.	Men geraakt tot dezelve wortelen van een Vergelykinge der vierde Magt, hoedanig die der wortelen van de verminderde ook zy, welke men genomen heeft.	371
XXIX	De wortelen van een Vergelykinge der vierde Magt, zyn alle waare of alle valsche, of twee waare en twee valsche.	374
XXX.	De valsche wortelen van de vierde Magt zyn van de zelve natuur als die van de tweede.	375
XXXI.	Als van de vier wortelen twee waare en twee valsche zyn, zoo ontbind men de Vergelyking naukeurig.	376
	Het is het teegendeel als de vier wortelen alle waare of alle valsche zyn.	ibid.
XXXII.	Manier om het geval der vier waare wortelen van dat der vier valsche te onderscheiden.	377
	Conditien der vier waare wortelen.	378
	Conditien der vier valsche wortelen.	379
XXXIII.	Ieder Vergelyking van de vierde Magt zonder tweede Term, en welke de derde Positif heeft, heeft valsche wortelen.	ibid.
XXXV.	Voordeel welke men met het zoeken der afmeetelyke deelers, eerder in de verminderde als in de voorgesteld vind.	381
XXXVI.	Manier om de Vergelykingen van de vierde Magt te kennen, welke geen ander Radicaale grootheeden als die van de tweede Magt hebben.	382
XXXVII.	Wat men doen moet om de naaste waardens der vier wortelen, als dezelve weezentlyk zyn te verkrygen.	383
XXXVIII.	Toepassing der voorgaande leerwyzen op een voorbeeld.	384
XXXIX.	Een ander voorbeeld.	386
XL.	Derde voorbeeld.	387
XLI.	Vierde voorbeeld.	390
XLII.	Vyfde voorbeeld.	391
XLIII.	Zesde voorbeeld.	392
XLIV.	Zevende voorbeeld.	393
XLV.	Manier om de Radicaale grootheeden uit een na believen genomen Vergelykinge te doen verdwynen.	394
	Voorbeeld.	395