MEETKUNDIG

SCHOOLBOEK,


BEVATTENDE EENE BEREDE-
NEERDE ONTWIKKELING VAN
DE EERSTE GRONDEN DER
MEETKUNST; ALSMEDE DER-
ZELVER TOEPASSING OP EE-
NIGE ONDERWERPEN GE-
SCHIKT OM, BIJ JONGE
LIEDEN, DEN LUST TOT
VERDER ONDERZOEK
OP TE WEKKEN.



DOOR


P.J. BAUDET.


Te DEVENTER, bij
L.A. KARSENBERGH
EN J. DE LANGE.
1824.





Aanvullende gegevens:
P.J. Baudet, Meetkundig Schoolboek, Deventer: L.A. Karsenbergh en J. de Lange (1824), VIII + 181 pp. + X uitklapplaten.
Opgenomen zijn, na het voorberigt (pp. V-VI) en de inhoudsopgave (pp. VII-VIII), de drie eerste en de laatste ``zamenspraken'' (pp. 1-29, 179-181). De platen zijn niet opgenomen; zij laten zich eenvoudig uit de tekst afleiden.
Opgedragen aan de Maatschappij tot Nut van 't Algemeen.
Op de achterkant van de titelpagina stond het volgende motto:

Je ne prétends point apprendre la Géometrie
à Emile; c'est lui qui me l'apprendra: je cher-
cherai les rapports et il les trouvera; car je
les chercherai de manière à les lui faire trouver.


J.J. ROUSSEAU. Emile, Livre II.



VOORBERIGT


Bezield met de zucht om der jeugd nuttig te zijn, en alzoo, naar zijn vermogen, het edele doel der Maatschappij: tot Nut van 't Algemeen te helpen bereiken, is de Schrijver lang bedacht geweest op het uitgeven van een Meetkundig Schoolboek. Een onafgebroken omgang van bijna dertig jaren met jonge lieden van zeer verschillende geestvermogens heeft hem de gelegenheid verschaft om, van tijd tot tijd, aanteekeningen te houden van die zaken, welke hun, bij het onderwijs der meetkunst het moeijelijkst voorkwamen; alsmede van de middelen, die hij alsdan gebruikte om zijne leerlingen de waarheden duidelijk te doen inzien. Van dit een en ander gebruik makende, heeft de Schrijver het werk vervaardigd, zoo als het thans in 't licht komt; terwijl het plan, in de inleiding, meer uiteen is gezet.
[pag. VI] Intusschen heeft hij het genoegen gehad te zien dat de weg welken hij is ingeslagen overeenkomt met de vereischten van een zoodanig werk, in de voortreffelijke prijsverhandeling van den Heer W.H. Suringar, voorkomende, alwaar men van § 134 tot 145 de uitmuntendste voorschriften dien aangaande leest.

De Schrijver neemt deze gelegenheid waar om HOOFDBESTUURDERS der Maatschappij tot Nut van 't Algemeen, zijnen opregten dank te betuigen voor de hem bewezene gunst van dit werk aan de Maatschappij te mogen opdragen.
Mogt dit Meetkundig Schoolboek dienen om de zucht voor wiskundige kennis meer algemeen te verspreiden, en alzoo de jonge lieden bekwamer te maken tot het onderzoek van de heerlijke wetten der Natuur.




BLADWIJZER.

Bladz.
INLEIDING 1
EERSTE ZAMENSPRAAK. Over de Meetkunde in 't algemeen, derzelver onderwerpen en nut. 2
TWEEDE ZAMENSPRAAK. Algemeene begrippen. 9
DERDE ZAMENSPRAAK. Over eenige eigenschappen van hoeken en driehoeken. 22
VIERDE ZAMENSPRAAK. Vervolg van het voorgaande. 29
VIJFDE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige toepassingen van het voorgaande. 36
ZESDE ZAMENSPRAAK. Over de eigenschappen der loodregte en schuinsche lijnen. 44
ZEVENDE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige toepassingen van het voorgaande. 48
ACHTSTE ZAMENSPRAAK. Over de eigenschappen van evenwijdige lijnen. 57
NEGENDE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige toepassingen van het voorgaande. 63
TIENDE ZAMENSPRAAK. Over de eigenschappen van driehoeken en vierhoeken. 71
ELFDE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige toepassingen. 82
TWAALFDE ZAMENSPRAAK. Vervolg van de tiende zamenspraak. 88
DERTIENDE ZAMENSPRAAK. Bevattende de Vlaktemeting. 96
VEERTIENDE ZAMENSPRAAK. Bevattende de verandering en deeling der figuren. 102
VIJFTIENDE ZAMENSPRAAK. Over de leer de kwadraatgetallen en de kwadraatworteltrekking. 109
ZESTIENDE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige toepassingen van de vorige les. 116
ZEVENTIENDE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige veranderingen en deelingen van figuren op zuivere meetkundige gronden. 125
ACHTTIENDE ZAMENSPRAAK. Over de evenredigheden. 133
NEGENTIENDE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige toepassingen van het voorgaande. 140
TWINTIGSTE ZAMENSPRAAK. Over de evenredigheid van vlakken en derzelver omtrekken; benevens eenige toepassingen van derzelve. 146
EEN EN TWINTIGSTE ZAMENSPRAAK. Over de eigenschappen van den cirkel. 153
TWEE EN TWINTIGSTE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige toepassingen van het voorgaande. 163
DRIE EN TWINTIGSTE ZAMENSPRAAK. Bevattende eenige toepassingen op de veelhoeken in en om den cirkel beschreven, en daaruit voortvloeijende waarheden. 170
VIER EN TWINTIGSTE ZAMENSPRAAK. Tot besluit. 179



INLEIDING


Een Onderwijzer, in een voornaam dorp, had zich gedurende eenen geruimen tijd, met de meestgevorderde zijner leerlingen, over de Natuurkunde onderhouden. Hij had hen namelijk, met de uitmuntende lessen van den verdienstelijken BUIS gemeenzaam gemaakt, en hun alzoo door eenvoudige proeven en duidelijke verklaringen, niet alleen de algemeene eigenschappen der ligchamen leeren kennen, maar ook een gegronde kennis van het Zonnestelsel medegedeeld.
Onder het getal dier leerlingen bevonden er zich vijf, die, door vlijt, goeden wil en vorderingen, boven al de anderen uitmuntten, en de meester nam voor, om zich met hen over de Meetkunde te onderhouden, met het doel om hen aan meetkundige beschouwingen te gewennen, en hun verstand voor een opzettelijk onderwijs in de wetenschap te bereiden. Deze wijze van behandeling kwam hem de verkieslijkste voor, om meer dan eene reden. Vooreerst, had hij veeltijds opgemerkt, dat jonge lieden veel moeite hadden om de Meetkunde te verstaan, niet om de moeijelijkheden van de zaak zelve, maar omdat de allereerste denkbeelden niet duidelijk voor hunnen geest [pag. 2] waren; ten tweeden, was hij daarop bedacht, om, in het volgend jaar, dat zelfde onderwijs aan een grooter getal zijner leerlingen mede te deelen, en hij begreep, dat ieder mensch in de maatschappij, veel nut kan trekken uit eene gegronde kennis van de voornaamste meetkundige waarheden, zonder dat hij juist in staat zij, alles in den gewonen trant te betogen, en zonder dat hij al de waarheden kenne, welke in een' volledigen cursus voorkomen. De goede meester stelde zich derhalve voor, om zijne kweekelingen zulke denkbeelden aangaande de uitgebreidheid en de meetkundige redeneertrant mede te deelen, dat zij naderhand, bij een opzettelijk onderwijs, in korten tijd groote vorderingen zouden kunnen maken, en tevens hun de waarheden zoodanig voor te dragen, dat hun oordeel daardoor gescherpt zoude worden; en om dat onderwijs nuttiger en aangenamer te maken, wilde hij bij de waarheden eenige toepassingen voegen, van zaken, in het dagelijksch leven voorkomende. Hij bepaalde dan eenige daartoe bestemde uren, en, alvorens een' aanvang te maken, verzocht hij zijne kweekelingen bij zich, om hen met zijn voornemen bekend te maken.


EERSTE ZAMENSPRAAK.

Over de Meetkunde in het algemeen, derzelver
onderwerpen en nut.


MEESTER. Mijne jonge vrienden, toen wij te zamen het Natuurkundig Schoolboek gelezen hebben, heb ik u menigmaal beloofd, dat ik u naderhand eenige meetkundige waarheden zoude leeren, waardoor gij [pag. 3] in staat zoudt zijn, om in die voortreffelijke wetenschap, namelijk de Natuurkunde, nog grooter vorderingen te maken, en, om door eigene overtuiging, het een en ander te weten, dat gij tot nu toe niet anders weet dan door het vertrouwen dat gij, met regt, in den schrijver stelt.
HENDRIK. Meester, is dat niet genoeg? Als ik iets weet, kan ik dan nog meer dan weten?
MEESTER. Ja, Hendrik, gij kunt overtuigd wezen. Laat mij dit met een voorbeeld ophelderen. Gij hebt in de Aardrijkskunde geleerd, dat Rome eene stad in Italie is, gij weet zulks, gij kunt er ook niet aan twijfelen, omdat zulks door geloofwaardige menschen geschreven is; gij zijt er wel van overtuigd. Gij weet ook dat een halve gulden minder is, dan een' heele gulden, daarvan zijt gij ook overtuigd. Welke overtuiging is nu bij u verkieslijker, de eerste of de laatste?
HENDRIK. Wel, Meester! dat spreekt van zelf, dat laatste, dat kan niet anders wezen, dat weet ik zoo zeker, als ik weet dat wij hier zijn.
MEESTER. Nu, het is een diergelijke verzekering of overtuiging, dat ik u wil geven van een aantal dingen, die gij nog niet, dan met de eerste soort van overtuiging, kent. Ik wil u namelijk over de Meetkunde onderhouden.
WILLEM. De Meetkunde! Meester! dat zal plezierig wezen, zal dan de Meester ons ook in de Wiskunst onderwijzen? dat moeten mooije wetenschappen zijn.
MEESTER. Bedaar eenigzins, Willem ! vorm u daarvan geene al te hooge denkbeelden, en laat mij u vooreerst verklaren, wat men door de woorden Wiskunst en Meetkunst te verstaan hebbe.
[pag. 4] Het woord Wiskunst heeft eene zeer uitgebreide beteekenis: het bevat alle kundigheden, welke de onderscheidene soorten van grootheden tot onderwerp hebben.
KAREL. Meester, mag ik u vragen, of er onderscheidene soorten van grootheden bestaan, en wat men daardoor verstaat?
MEESTER. Ik verblijd mij, Karel, dat gij deze vraag doet. Men noemt grootheid in het algemeen allesm wat, eigenlijk gezegd, voor vermeerdering en vermindering vatbaar is. Hieruit volgt, dat er verscheidene soorten van grootheden zijn; bij voorbeeld: een getal guldens kan vermeerderen of verminderen, namelijk, wanneer men er guldens bijvoegt of afneemt; en dus is een getal guldens eene grootheid. De zwaarte van een baal koffij kan ook, door bijvoeging of afneming, vermeerderen of verminderen, en dus is de zwaarte ook eene grootheid, maar zeer verschillend van een getal guldens. De onderscheidene soorten van grootheden zijn het onderwerp van onderscheidene wetenschappen; en wanneer men die wetenschappen met een enkel woord vereenigen wil, dan gebruikt men het woord Wiskunst. De Meetkunde is eene dier onderscheidene wetenschappen, die in het woord Wiskunst begrepen zijn; want derzelver onderwerp is eene bijzondere soort van grootheden.
De Meetkunde is eigenlijk de wetenschap, welke ons de eigenschappen der uitgebreidheid leert kennen. Ik zal trachten dit op te helderen. In de Natuurkunde leerden wij de onderscheidene zelfstandigheden, door derzelver bijzondere eigenschappen kennen; als, bij voorbeeld, dat het water vloeibaar, en het goud rekbaar is. Wij hebben ook eigenschappen opgemerkt, welke aan alle zelfstandigheden gemeen zijn, [pag. 5] als, bij voorbeeld, de poreusheid, de uitgebreidheid enz. In de Meetkunde bepaalt men zich bij het beschouwen der uitgebreidheid, zonder op andere eigenschappen te letten. Wanneer men dus in de Meetkunst eenen kogel beschouwt, dan onderzoekt men niet of die kogel van lood, of van glas, zwaar of ligt, donker of doorschijnend is; men beschouwt niets anders, dan deszelfs gedaante en grootte.
KAREL. De Meetkunde moet zeer moeijelijk zijn om te leeren, Meester; toen mijn broeder die leerde, heb ik hem wel hooren spreken van AB gelijk CD, daar kon ik niets van verstaan.
MEESTER. Het gebruiken van letters bij het behandelen der Meetkunde, heeft in het geheel die zwarigheden niet, die gij verwacht, Karel. Gij hebt daar een vooroordeel tegen.
WILLEM. Meester, wat is een vooroordeel?
MEESTER. Om u dat duidelijk te doen verstaan, zal ik eerst Karel op den regten weg helpen. Let alle wel op. Daar is een theeblad met zes witte kopjes. Als ik een van u verzoek om mij één van die kopjes te geven; doch niet om het even welk kopje, dan ben ik verlegen om u te beduiden, welk van de zes ik hebben wil. Maar als ik op elk kopje eenen bijzonderen letter geschreven had, namelijk van A af, tot F toe, is het niet waar, dat ik dan gemakkelijk het kopje konde aanwijzen dat ik begeerde? dan zoude ik, bij voorbeeld, zeggen: geef mij het kopje waarop eene D staat, en gij zoudt mij verstaan/
KAREL. Ja, Meester, dat spreekt van zelf.
MEESTER. Maar, als wij vooraf bepaald hadden, dat wij van die kopjes en niet van andere voorwerpen zouden spreken, en ik zeide u dan: geef mij D. Wat zoudt gij dan verstaan? [pag. 6]
KAREL. Ik zoude verstaan, dat Meester ook dat kopje vraagt, waarop de D staat, dat is natuurlijk.
MEESTER. Juist zoo. Maar als ik eene lijn trek, dan zal die lijn immers twee einden hebben; en wanneer ik u het eene einde van het andere wil doen onderscheiden, hoe kan ik zulks op eene gepaste wijze doen?
HENDRIK. Dat begrijp ik. Dan plaatst Meester daar letters bij.
MEESTER. Zeer wel, Hendrik. Ik zet, bij voorbeeld, bij het eene einde eene A, en bij het andere een B. Dus zullen die twee letters niets anders zijn, dan aanwijzingen van de twee einden der lijn; en wanneer ik de lijn zelve wil noemen, dan zeg ik de lijn AB; dat is te zeggen de lijn welke van het einde A tot het einde B getrokken is, en om kort te spreken, kan ik ook wel zeggen AB, in plaats van lijn AB. Vindt nu iemand van u nog zwarigheid, in het gebruiken van letters bij de Meetkunde?
KAREL. Is dat alles, Meester? Wel ik meende dat ik dat nooit zou kunnen leeren.
MEESTER. Ja, Karel. Als ik op de vier hoeken van deze tafel, de letters A, B, C en D, en op de vier hoeken van deze lei, de letter E, F, G en H schreef, dan zou ik de tafel ABCD, en de lei EFGH kunnen noemen.
Begrijpt gij ook wel, Willem, dat Karel zich in zijn oordeel, over het gebruiken der letters in de Meetkunde, vergist heeft?
WILLEM. Ja, Meester. Hij heeft verkeerd geoordeeld; want hij dacht dat zulks moeijelijk was, en het is gemakkelijk.
MEESTER. De verkeerheid van zijn meening [pag. 7] komt daaruit voort, dat hij over eene zaak geoordeeld heeft, alvorens de zaak te kennen, of te onderzoeken, en dit geeft mij gelegenheid, om ook uwe vraag te beantwoorden. Gij hebt mij namelijk gevraagd, wat een vooroordeel was. Nu, zulk een oordeel, als dat van Karel, voor dat men eene genoegzame kennis van de zaak verkregen heeft, noemt men een vooroordeel. Om vrij van vooroordeelen te zijn, behoort men de zaken, die men onderzoeken kan, zorgvuldig te onderzoeken.
De Meetkunde is een best middel, om ons daaraan te gewennen, om dat men in dezelve niets aanneemt, zonder een voldoend bewijs; en daar men in dezelve geene getuigenis van anderen noodig heeft, zoo onderzoekt men alles zelf, en verkrijgt men dus ook, in de ruimste maat, de eigene overtuiging.
JAN. Meester heeft ons de vrijheid gegeven, om altijd regt uit te zeggen wat wij denken. Kan ons de Meetkunde nuttig wezen? Wij worden immers geen landmeters.
MEESTER. Ik verblijd mij, dat gij mij door deze vraag gelegenheid geeft, om u nog het een en ander over het nut der Meetkunde mede te deelen; ofschoon gij zulks niet regt begrijpen kunt, dan wanneer gij eenige vorderingen zult gemaakt hebben.
Vooreerst. De Meetkunde is niet enkel, zoo als de naam schijnt aan te duiden, de kunst om te meten. Neen, men onderzoekt in de Meetkunde alle eigenschappen der uitgebreidheid, en men leert in dezelve de grootheden met elkander vergelijken. Ver van daan dat de Meetkunde zich bij het landmeten zoude bepalen, is dezelve voor de meeste kunsten en handwerken van het grootste nut. Ik wil niet eens van mikroskopen, verrekijker, horlogien en [pag. 8] zooveel andere gewrochten van de kunst spreken, welke men, zonder meetkundige kennis, niet kan vervaardigen; maar een metselaar, een timmerman, een smit, een kuiper en meer andere handwerkslieden, werken gedurig op meetkundige gronden. En zoo gij in acht neemt, dat ons Vaderland zulk een groot aandeel van deszelfs welvaart aan de scheepvaart en koophandel verschuldigd is, zult gij ook wel gevoelen, dat eene wetenschap, die op de volmaking van alles wat daartoe dienstig is, eenen zeer grooten invloed heeft, eene voor ons in het bijzonder, zeer nuttige wetenschap moet zijn. Het is immers algemeen bekend, dat de Stuurmanskunst op de Meetkunde steunt; dat men geene schepen, geene bruggen, geene molens, geene sluizen kan bouwen, geene dijken aanleggen (zal men zulks behoorlijk doen) zonder meetkundige kennis.
De kracht van alle werktuigen, zoo als de hefboom, katrol, hellend vlak, pompen, spuiten, wordt door de Meetkunde berekend; en ieder, die eene gegronde kennis der Meetkunde heeft, zal ook die werktuigen, op de meest gepaste wijze, weten te gebruiken.
Wanneer men de Meetkunde op deze wijze beschouwt, als nuttig om het eene of andere werk tot meerdere volmaaktheid te brengen, dan noemt men dezelve de beoefenende Meetkunde. Maar behalve dat de Meetkunde voor een aantal handwerken zeer nuttig, en voor sommige onontbeerlijk is, is zij ook nog in het algemeen, voor ieder mensch in de maatschappij, van het hoogste belang; want
Ten tweeden. De Meetkunde is zeer geschikt, om, zoo als ik u reeds heb doen opmerken, de eigene overtuiging te doen verkrijgen, en de vooroordeelen [pag. 9] te weren. En daar men in dezelve eigenschappen der uitgebreidheid zeer geregeld beschouwt, leert men ook, om, uit reeds bekende eigenschappen, andere eigenschappen af te leiden; dat is, men leert geregeld denken en redeneren. Wanneer men de Meetkunde uit dat oogpunt beschouwt, dan noemt men dezelve de bespiegelende Meetkunde.
Wel nu, mijne jonge vrienden, zijt gij genegen om eenige uren aan eene zoo nuttige wetenschap te besteden; dan zullen wij morgen een' aanvang maken.
ALLEN. Ja, Meester, met zeer veel genoegen zullen wij dat onderwijs van u ontvangen.
MEESTER. Ik kan dit gesprek niet eindigen, zonder u aan te sporen, tot volharding in dien ijver en die aandacht, daar gij mij altijd blijken van gegeven hebt; en vooral, wanneer het een of ander u eenigzins onduidelijk voorkomt, om het mij aanstonds te zeggen, opdat ik in staat zij, u zulks alsdan nog duidelijker voortedragen; want in deze wetenschap is het noodzakelijk, niets over te slaan, zonder het wel begrepen te hebben.



TWEEDE ZAMENSPRAAK

Algemeene begrippen.


MEESTER. Mijne jeugdige vrienden, ik zie met vermaak, dat gij stiptelijk op den bepaalden tijd hier zijt. Wij zullen dan ook den tijd ten nutte besteden en aanstonds beginnen. Ziedaar een stuk hout, dat ik opzettelijk voor onze les van heden heb laten vervaadigen. Alle zelfstandigheden in de natuur zijn immers ligchamen? Dus is dat stuk hout ook een ligchaam. [pag. 10] Let nu wel op; ik zal mijn best doen, om u omtrent eenige dingen opmerkzaam te maken.
Dit stuk hout (Fig. I.) heeft acht hoeken, en daar heb ik acht letters bij geschreven; namelijk A, B, C, D, E, F, G, H. Hetzelve is in drie onderscheidene riftingen uitgebreid, als in lengte van A tot B, in breedte van A tot E en in hoogte van A tot D. Deze onderscheidene rigtingen noemt men afmetingen; zoodat een ligchaam drie afmetinden heeft, te weten, lengte, breedte en hoogte.
Maar wanneer wij op het hout zelve geen acht slaan, en wij alleen letten op de plaats, waar hetzelve zich bevindt; dan is die plaats de ruimte, en eene diergelijke ruimte, waar een ligchaam wezen kan, noemt men in de Meetkunde ook een ligchaam. Dus is ABCDEFGH een ligchaam, om het even of het hout er is, of niet. Wij besluiten dan:
§. 1. De ruimte heeft drie afmetingen: lengte, breedte en hoogte.
Gaan wij nu verder, en beschouwen wij de eindpalen van dat ligchaam.
WILLEM. Meester, wat zijn de eindpalen?
MEESTER. De eindpalen zijn eigenlijk de plaatsen, waar een grootheid eindigt; bij voorbeeld, het ligchaam, (Fig. 1) eindigt aan den onderkant in de uitgebreidheid ABFE; aan den bovenkant, in de uitgebreidheid DCGH enz., met de overige kanten. Zulk eene uitgebreidheid, als DCGH, die niet binnen de grootheid zelve is, en ook niet buiten dezelve, noemt men eene eindpaal van die grootheid. DCGH, de eindpaal van het ligchaam, is uitgebreid in lengte van D tot C, en in breedte van D tot H. Dezelve heeft dus twee afmetingen, en eene zoodanige uitgebreidheid noemt men een vlak. [pag. 11]
§. 2. Een vlak is een eindpaal van een ligchaam, en heeft twee afmetingen: lengte en breedte.
Het vlak CDGH nu in het bijzonder beschouwd, heeft ook zijne eindpalen. Immers is hetzelve niet verder uitgebreid dan tusschen CD en GH. Eene zoodanige uitgebreidheid, als CD, of de eindpaal van een vlak, noemt men een lijn, en dezelve heeft niet meer dan eene afmeting, namelijk lengte.
§. 3. Eene lijn is eene eindpaal van een vlak, en heeft slechts eene afmeting: lengte.
De lijn CD zelve heeft ook hare eindpalen; namelijk in C en D. Deze eindpalen van de lijn noemt men punten. Dezelve hebben geene afmetingen en zijn dus in het geheel niet uitgebreid.
§. 4. Een punt is eene eindpaal eener lijn, en heeft geene uitgebreidheid.
Ik vertrouw dat gij dit een en ander wel zult begrepen hebben, en dat gij nu duidelijke denkbeelden hebt van ligchamen, vlakken, lijnen en punten.
LODEWIJK. Ja, Meester, ik begrijp dat alles wel; en toch begrijp ik niet regt, hoe eene lijn alleen lengte en geene breedte kan hebben. Als Meester eene lijn op het bord teekent; dan heeft dezelve toch altijd meer of minder breedte.
MEESTER. Gij hebt wel begrepen dat de lijn, als eindpaal van een vlak, geene breedte heeft, maar zulk eene lijn moeten wij niet teekenen. Wanneer wij eene lijn moeten vertoonen, dan maken wij daarvoor eene streep, en die streep moet men beschouwen, als of dezelve geen breedte had; dat is, men moet op de breedte niet letten, en dan zal die streep, met het denkbeeld, dat wij nu van de lijn hebben, overeenkomen.
LODEWIJK. Nu begrijp ik het, Meester, en het [pag. 12] is zeker ook zoo met een punt. Om dat Meester geen punt op het bord kan maken, maakt Meester daarvoor een stipje, en men moet dan op de grootte van dat stipje niet letten. Is dat niet zoo?
MEESTER. Uitmuntend, Lodewijk. Uwe aanmerking is zeer juist. Gaan wij nu verder.
Eene lijn kan regt of krom zijn. Ik ben overtuigd, dat gij op het hooren van die twee woorden, regte lijn en kromme lijn, oogenblikkelijk begrijpt hoedanig die lijnen zijn; en evenwel zoudt gij verlegen zijn, als ik u deze vraag deed: wat is eene regte lijn?.
WILLEM. Ja, Meester. Ik zou er geen goed antwoord op weten.
MEESTER. Het is echter in de Meetkunde zeer noodzakelijk, om de zaken, waarvan men spreekt, met duidelijke woorden te doen kennen, en zulks te doen, is eene bepaling van de zaak geven. Zoo heb ik u reeds de bepalingen van ligchamen, vlakken, lijnen en punten gegeven. Wij moeten ook eene bepaling van de regte lijn hebben en wij kunnen ons met de volgende vergenoegen/
§. 5. Eene regte lijn is de kortste, die men van een punt A tot een punt B kan trekken. AB (Fig. 2)
Uit deze bepaling volgt, dat de regte lijn, in al hare deelen, dezelfde rigting heeft. Gij zult ook ligtelijk begrijpen, dat men eene regte lijn verlengen kan, en dat de rigting van die verlenging dezelfde zal moeten zijn, als die van de lijn zelve; bij voorbeeld, wordt (Fig. 2) AB tot C verlengd, dan zal BC in dezelfde rigting als AB moeten zijn.
HENDRIK. Meester, men kan immers ook van B tot D eene lijn trekken, net zoo wel als van B [pag. 13] tot C, en die is toch niet in dezelfde rigting als AB?
MEESTER. Hebt gij daar wel op gelet, Hendrik, dat ik sprak van het verlengen van AB. Dat moet immers verstaan worden, dat AB met het aangevoegde stuk te zamen weder eene regte lijn maken, en AB, BD zijn in dat geval niet.
HENDRIK. Neen, Meester, en nu begrijp ik ook, dat er maar eene rigting is om AB te kunnen verlengen.
MEESTER. Namelijk aan den kant B; maar aan den kant A kan de lijn immers ook verlengd worden; bij voorbeeld van A tot E. Wanneer men nu van E tot C eene regte lijn trekt, zal dezelve ook op AB vallen.
Wanneer men dan de lijn AB verlengen moet, is men genoodzaakt om zulks in dezelfde rigting te doen, om het even of de punten AB ver van elkander zijn of niet; en daarom zegt men dat eene lijn door twee van hare punten bepaald is.
WILLEM. Dat versta ik niet wel, Meester; dat eene lijn door twee van hare punten bepaald is.
MEESTER. Dat zal ik u duidelijk maken, Willem. Als ik u een punt A (Fig. 3.) opgeef, en ik zeg u: trek eens eene regte lijn door dat punt; dan kunt gij BC, DE, of een aantal andere lijnen trekken. Gij zijt dan in de rigting van die lijn niet bepaald. Maar als ik u twee punten A en B (Fig. 4.) opgeef, om door die beide punten eene regte lijn te trekken; dan zijt gij geen meester van de rigting van die lijn, gij moet u aan die twee punten houden, en de lijn, die gij trekken zult, zal door die twee punten moeten gaan, en dus daardoor bepaald zijn. Dat is hetgeene men verstaat, wanneer men zegt, dat eene [pag. 14] regte lijn door twee harer punten bepaald is. Gij begrijpt ook ligt, dat men van een punt tot een ander, niet meer dan eene regte lijn kan trekken.
Van de kromme lijn zal ik u deze bepaling geven:
§. 6. Iedere lijn, die niet regt is, is eene kromme lijn als AB (Fig. 5.)
Uit het denkbeeld, dat gij nu van de regte lijn hebt, en uit deze bepaling, volgt, dat de kromme lijn niet de kortste weg is van een punt tot een ander, en dat dezelve gedurig van rigting verandert. Daar uit volgt ook, dat alle regte lijnen aan elkander gelijken, maar dat de kromme lijnen zeer verschillend kunnen zijn.
Een vlak kan plat of krom zijn. Een plat vlak is dat, waaraan geen deel zich boven de andere verheft, of
§. 7. Een plat vlak, is een vlak, waarop men in alle rigtingen regte lijnen kan trekken.
ABCD (Fig. 6) zal een plat vlak zijn, indien men op hetzelve, niet alleen de lijnen EF en GH kan trekken; maar ook in alle andere rigtingen en op alle andere plaatsen.
§. 8. Een vlak dat niet plat is, is krom
De oppervlakte van eene tafel, van eene lei, van eenen spiegel zijn platte vlakken, in zooverre dezelve volkomen effen zijn. Daarentegen is de oppervlakte van een' kogel krom.
In onze zamenspraaken over de Meetkunde, zullen wij geene andere lijnen beschouwen, dan de regte lijn, die wij, kortheidshalve, in het vervolg alleen lijn zullen noemen, en ééne kromme lijn, namelijk de omtrek des cirkels.
WILLEM. Meester, wat is de omtrek des cirkels?
MEESTER. Ik zal daarvan eene bepaling geven. [pag. 15]
§. 9. Een cirkel is een plat vlak, besloten binnen een kromme lijn, waarvan alle punten even ver van een punt binnen het vlak verwijderd zijn. ABCDO (Fig. 7)
§. 10. De kromme lijn ABCD, welke den cirkel insluit, noemt men den omtrek des cirkels.
§. 11. Het punt O, waarvan alle punten van den omtrek even ver af staan, is het middelpunt.
§. 12. De lijnen OA, OB, OC, OD, die van het middelpunt tot aan den omtrek getrokken kunnen worden, noemt men de stralen, dus zijn alle stralen eens cirkels aan elkander gelijk
§. 13. Wanneer twee stralen met elkander eene regte lijn maken, gelijk AO en OC, noemt men zulk eene lijn AC, de middellijn. Dezelve snijdt den cirkel, alsmede den omtrek, in twee gelijke deelen.
§. 14. Een gedeelte van den omtrek, groot of klein als AB of ABCD noemt men eenen boog.
Deze bepalingen, gelijk ook de vorige, moet gij overschrijven en nalezen, om u de denkbeelden, in dezelve voorkomende, eigen te maken. ,,Een cirkel is een plat vlak.'' Veeltijds denkt men dat de cirkel de kromme lijn is, die het vlak insluit, en men verwart alzoo de denkbeelden van cirkel en cirkels omtrek. Jan, kunt gij eenige voorwerpen noemen, die de gedaante van eenen cirkel hebben?
JAN. Ja, Meester, deze ronde tafel, een gulden, de zon.
MEESTER. Juist zoo; en gij Lodewijk, kunt gij wel voorwerpen noemen, die de gedaante hebben van eenen cirkelomtrek? [pag. 16]
LODEWIJK. Ja, Meester, een hoepel, eene ring.
MEESTER. Zeer wel. Gaan wij nu verder.
§. 15. Om te meten moet men eene maat hebben; die gelijksoortig zij, met de grootheid die men meten wil.
HENDRIK. Dat versta ik niet wel, Meester.
MEESTER. Dat zal ik u nader verklaren, Hendrik. Meten is eigenlijk vergelijken. Wil ik bij voorbeeld weten, hoe lang dat touw is; dan neem ik eene el, en ik onderzoek hoeveel malen de lengte van de el, in de lengte van het touw begrepen is. Ik vind 8 ellen, en dan weet ik nog niets meer dan een woord; maar als ik toch regt weet wat eene el is, dan ga ik na met mijne gedachten, en ik krijg het denkbeeld van 8 maal die lengte die ik ken; dat is, ik vergelijk de el met het touw, en ik vind dat hetzelve tot de el staat, als 8 tot 1. Gij weet, dat men men ongelijksoortige grootheden met elkander niet vergelijken kan, en dus kan men ook niet meten, dan met eene maat, die gelijksoortig is, met de grootheid, die men wil meten. De regt lijnen worden, even als het touw, met eene regte lijn gemeten; daartoe gebruikt men veeltijds de el, en soms ook nog de oude maten, als voeten, roeden, enz.
WILLEM. Dat begrijp ik best, Meester, en om de cirkelsomtrek te meten, gebruikt men zeker eene kromme maat.
MEESTER. Neen, Willem. Deze gedachte heeft wel eenigen grond; maar eene zoodanige maat, waarmede men al de cirkelsomtrekken konde meten, zoude niet kunnen bestaan, want, daar zijn groote cirkels en kleine cirkels, de kromte van eenen kleinen omtrek, is verschillende van die van eenen grooten omtrek. De maat kon toch maa eene kromte hebben, [pag. 17] en dus zoude dezelve voor verschillende cirkels niet dienstig zijn; maar daartoe heeft men een ander middel uitgedacht.
Verbeeldt u dat de omtrek eens cirkels (Fig. 8.) in 360 gelijke deelen gedeeld is, als: Am, mn, np, pq, qB enz., dan noemt men die deelen graden; een graad is dus een driehonderd en zestigste gedeelte van den omtrek. Zoo men nu uit het middelpunt O, de stralen OA, Om, On, Op, Oq, OB trekt, en men dezelve onbepaald verlengt, dan zullen zij den omtrek in 360 gelijke deelen verdeelen, niet alleen van den cirkel ABCDO; maar ook van ieder ander' cirkel, die uit hetzelfde middelpunt O kan getrokken worden, zoo dat de bogen EF en GH, mede door deze stralen, in graden verdeeld zijn. Door dit middel kan men naauwkeurig uitdrukken, welk gedeelte van den omtrek men bedoelt: zegt men, bij voorbeeld, een boog van 90 graden; dan verstaan men een vierde gedeelte des omtreks, omdat 90 een vierde gedeelte van 360 is. Om het woord graden niet te schrijven, plaatst men wel het teken ° achter het getal; dus is 90° hetzelfde als 90 graden.
Gelijk een el in palmen en duimen gedeeld is, is ook de graad in 60 minuten afgedeeld; en iedere minuut wederom in 60 sekonden. De minuten schrijft men met ', en de sekonden met ''. 60° - 30' - 20'' beteekent 60 graden, 30 minuten en 20 sekonden.
§. 16. De omtrek eens cirkels bevat 360 graden, ieder graad 60 minuten, en ieder minuut 60 sekonden.
Na deze beschouwing van den cirkel in het algemeen, laat ons nu eens het een en ander onderzoeken, aangaande de doorsnede van twee regte lijnen, en wel vooreerst. [pag. 18]
§. 17. Twee regte lijnen kunnen elkander niet meer dan in één punt snijden. Bij voorbeeld AB en CD, (Fig. 9), snijden elkander in het punt E, en kunnen zulks in geen ander punt meer.
De ruimte tusschen AE en DE is wel langs deze twee lijnen bepaald; doch niet tusschen A en D. Zulk eene onbepaalde ruimte, als AED, door de ontmoeting van twee regte lijnen daargesteld, noemt men eenen hoek. De grootte van den hoek hangt af, van de meerdere of mindere helling der lijnen AE en DE tot elkanderen, maar geenszins van de lengte dier lijnen; en om een duidelijk denkbeeld van de grootte der hoeken en derzelver maat te hebben, laat ons dezelve met den cirkel vergelijken.
Uit het punt O (Fig. 10.) waar twee lijnen AB en CD elkaar snijden, als middelpunt, beschrijven wij een' cirkel mnpq zoo groot of zoo klein als wij willen; en noemen wij de vier hoeken a, b, c en d. De hoek a is aan denzelfden kant als de boog mn. Indien nu de boog mn in graden afgdeeld was, a;s mr, rs; en men de stralen Or, Os trok; is het niet waar, dat die stralen in het punt O kleine hoeken zouden maken, en dat de hoek a even zooveel van die kleine hoeken zoude bevatten, als de boog mn kleine bogen mr, rs bevat? Die kleine hoeken noemt men ook graden, en alzoo worden de hoeken, even als de bogen, met graden gemeten. Indien de boog mn honderd graden bevat, zal de hoek a ook honderd gradeb bevatten, en dus een hoek van honderd graden zijn.
WILLEM. Dat begrijp ik. En als de boog np zestig graden is, dan zal de hoek b ook zestig graden zijn. [pag. 19]
MEESTER. Juist zoo. Maar als nu de lijnen OA, OD, OB langer getrokken worden, zoude dat wel eenige verandering aan de bogen mn of np kunnen toebrengen>
KAREL. Neen, Meester.
MEESTER. Neen zeker niet. En daarom kan het verlengen van die lijnen, de hoeken a en b ook niet grooter maken. Gaan wij nu verder.
Wanneer eene lijn CD, op eene ander lijn AB (Fig. 10), zoodanig geplaatst is, dat zij met dezelve twee gelijke hoeken maakt; dan helt CD, nog aan den eenen kant AC, nog aan den anderen kant BC; en de twee gelijke hoeken p en q noemt men regte hoeken, terwijl de lijn CD, eene loodlijn op AB genoemd wordt.
Maar, indien nu de lijn CD, hellende naar B getrokken werd, als in Fig. 11, zouden dan de twee hoeken p en q aan elkander gelijk zijn?
WILLEM. Neen, Meester; dan zoude p grooter zijn dan q.
MEESTER. Zeer wel, Willem; en p zoude ook grooter zijn dan eene regte hoek, terwijl q kleiner zoude zijn.
Een zoodanige hoek als p, die grooter is dan een regte hoek, noemt men een' stompen hoek. En een hoek als q, die kleiner is dan een regte, noemt men een' scherpen hoek. In ieder hoek is het punt waar de lijnen elkander snijden, de top des hoeks; terwijl de lijnen zelve, de beenen des hoeks genoemd worden.
Om een' hoek te schrijven, gebruikt men dit teeken /, en voor een regte hoek dit teeken | . Gewoonlijk schrijft men een' hoek met drie letters, en plaatst men in het midden, den letter die bij den top [pag. 20] staat. De hoek p zal dus ook /ACD, en de hoek q, /BCD genoemd kunnen worden.
Laat ons nu die onderscheidene hoeken in den cirkel beschouwen. Daar heb ik eenen cirkel getrokken (Fig. 12). Door het middelpunt O, trek ik eene onbepaalde lijn AB, deze lijn van A tot B, zal de middellijn des cirkels zijn (§. 13), en zal den omtrek in twee gelijke deelen, deelen. Weet gij nog, Jan ! hoeveel graden de geheele omtrek bevat?
JAN. Ja, Meester, 360 (§. 16).
MEESTER. En gij, Lodewijk, kunt gij nu wel uitrekenen, hoeveel graden de helft van den omtrek bevatten moet?
LODEWIJK. Ja, Meester. Ik deel den omtrek, of 360°, door 2, en dan komt er 180° voor den halven omtrek.
MEESTER. Zeer wel. En als ik nu in het punt O eene loodlijn OC oprigt, kunt gij wel berekenen, Karel ! hoeveel graden AC zal hebben?
KAREL. Meester heeft ons verklaard, dat de hoeken AOC en BOC gelijk zijn; dus zal de boog AC 90° zijn.
MEESTER. Uitmuntend, Karel ! en daaruit zien wij, dat iedere regte hoek 90° bevat, det een stompe hoek meer dan 90°, en een scherpe hoek minder dan 90° is.
En gij, Hendrik ! als ik uit het middelpunt nog eenige stralen trek, als OE, OF, OG, en daardoor een aantal hoeken rondom het middelpunt maak, zoudt gij mij wel kunnen zeggen, hoeveel graden al die hoeken, te zamen genomen, moeten bevatten?
HENDRIK. Ja, Meester, dat spreekt van zelve, 360°.
MEESTER. Zeer wel. Maar dewijl een regte [pag. 21] hoek een vierde gedeelte daarvan bevat, kan men ook zeggen, dat al die hoeken te zamen genomen, gelijk zijn aan vier regte hoeken. Insgelijks zullen al de hoeken, die men boven AB kan maken, gelijk zijn aan twee regte hoeken; dat is, zij zullen te zamen genomen 180° bevatten.
Maar nu, als ik er dan maar twee maakte, AOE en BOE, en de omtrek des cirkels werd uitgeveegd, zoudt gij dan wel kunnen bepalen, Willem ! hoe groot die beide hoeken te zamen zijn?
WILLEM. Ja, Meester, dat volgt van zelve: dan bevatten die twee te zamen toch den halven omtrek, en zijn dus zoo groot als twee regte hoeken.
MEESTER. Allerbest, Hendrik. Dat volgt uit den aard der zaak. Gij zijt allen zeer aandachtig geweest. Onze les van heden is eigenlijk afgeloopen; maar kunt gij alles wel onthouden?
KAREL. Ik niet, Meester. Wel zoo ver als ik opgeschreven heb, dat is tot §. 17.
MEESTER. Laat ons dus nog een klein uittreksel van het overige van onze les maken, zoo als ik het voor mij zelven vooraf aangeteekend had; en al de figuren kunt gij er bij maken.
§. 18. De onbepaalde ruimte, bevat tusschen twee lijnen die elkander ontmoeten, noemt men een' hoek. Het punt, waar de lijnen elkander ontmoeten, is de top des hoeks. De twee lijnen zijn de benen des hoeks.
§. 19. De hoeken worden, even als de bogen, met graden gemeten.
§. 20. Eene lijn is loodlijn op eene andere, wanneer zij met dezelve twee gelijke hoeken maakt. Deze hoeken worden regte hoeken genoemd. [pag. 22]
§. 21. Alle regte hoeke zijn even groot. Een stompe hoek is grooter dan een regte; een scherpe hoek is kleiner dan een regte.
§. 22. Een regte hoek bevat 90°
§. 23. Al de hoeken, die men om het middelpunt eens cirkels kan maken, zijn te zamen genomen gelijk aan 4 regte.
§. 24. Al de hoeken, die men in eenen halven cirkel kan maken, zijn gelijk aan 2 regte.
§. 25. Wanneer eene regte lijn OE, op eene andere regte lijn, AB (Fig. 13), getrokken is, maakt zij met dezelve twee hoeken, die, te zamen genomen, gelijk zijn aan 2 regte.
Hier is onze les geëindigd. Leest nu de opgeschrevene waarheden met aandacht na, en morgen zullen wij onze beschouwingen hervatten.


DERDE ZAMENSPRAAK.

Over eenige eigenschappen van hoeken en driehoeken.


MEESTER. Mijne vrienden. Hetgene gij nu opgeschreven hebt, bevat zeer eenvoudige dingen, en daarop zullen wij in het vervolg belangrijke dingen bouwen. Hetgene wij nu zullen hebben, moet volgen uit die 25 waarheden, welke gij geboekt hebt.
Wanneer twee lijnen, AB en CD (Fig. 14), elkander in een punt E snijden, dan maken zij om dat punt, vier hoeken, m, p, n, q, waarvan de beide, die tegen elkander over zijn, als p en q of m en n, de tegenoverstaande hoeken genoemd worden; en die tegenoverstaande hoeken zijn even groot; dat os, p is [pag. 23] gelijk aan q en m gelijk aan n. Alvorens u dit te bewijzen, moet ik u aan twee teekens herinneren, die men kortheidshalve in de Wiskunst veel gebruikt, namelijk + en = die gij in de Rekenkunst ook gebruikt hebt. Gij weet dus wel Jan, wat dit beteekent /p + /m?
JAN. Ja, Meester! dat beteekent de hoek p en de hoek m te zamen genomen.
MEESTER. Juist. En gij, Hendrik ! weet gij de beteekenis hiervan /p + /m = 2 | ?
HENDRIK. Dat laatste teeken is, geloof ik, een regte hoek.
MEESTER. Gij hebt gelijk, Hendrik ! dat hebben wij in onze laatste les gehad. En wat beteekent dan het geheel?
HENDRIK. Het geheel wil zeggen, dat de hoek p en de hoek m te zamen genomen, gelijk zijn aan twee regte hoeken.
KAREL. Maar, Meester, die twee hoeken zijn toch niet regt.
MEESTER. Neen, Karel ! dat wordt hiermede ook niet gemeend. De regte beteekenis is hier, dat de twee hoeken p en m te zamen genomen, zoo groot zijn als twee regte hoeken te zamen genomen. Begrijpt gij dit nu wel?
KAREL. Ja, Meester, nu begrijp ik het. Als ik drie gulden heb, Willem vijf gulden, Jan en Hendrik ieder vier gulden, dan heb ik met Willem, zoo veel als Jan en Hendrik met elkanderen.
MEESTER. Uwe vergelijking is zeer juist, Karel. En op dezelfde wijze is /q + /m = 2| . Hier boven vonden wij /p + /m = 2| , wat kunnen wij hieruit besluiten? . . . . . Gij antwoordt niet; deze vraag was ook moeijelijk. Laat mij dan eene [pag. 24] andere vraag doen. Wat is grooter /q + /m of /p + /m?
WILLEM. Zij zijn gelijk, Meester, want zij zijn gelijk aan twee regte hoeken.
MEESTER. Dus kan ik ook schrijven /p + /m = /q + /m. En als ik van twee gelijke grootheden evenveel aftrek; dat wil zeggen, als ik van de eene zoo veel aftrek als van de andere. Hoe zal het dan met de overblijvende gelegen zijn?
HENDRIK. Zij zullen weer even groot zijn, Meester.
MEESTER. Dat spreekt immers van zelf. Als ik nu van /p + /m de hoek m aftrek, dan blijft er /p alleen; en van /q + /m, als ik /m aftrek, dan blijft er /q. En volgens uw eigen gezegde moet dus /p = /q zijn. Die dit wel begrepen heeft, kan ook wel bewijzen, dat de hoek m gelijk is aan den hoek n. Kunt gij dat Lodewijk ?
LODEWIJK. Ik geloof ja, Meester. /p + /m = 2 | , en /p + /n = 2 | en dan is ook, zoo als Meester straks gewezen heeft /p + /m = /p + /n, en als ik nu /p aftrek, dan blijft er /m = /n. Is dat goed, Meester?
MEESTER. Dat is uitmuntend, Lodewijk. Indien wij deze waarheid in een bijzonder geval beschouwen; namelijk, als de hoeken p en m regt zijn; als in Fig. 15, hoe zal het dan met de hoeken q en n gelegen zijn?
HENDRIK. Zij zullen ook regt zijn, Meester.
MEESTER. Zeer wel. En omdat /p en /m regt zijn, kunnen wij zeggen dat CE loodregt op AB is. Insgelijks kan men zeggen, dat AB loodregt op CD staat.
JAN. Meester! dat moet ik eerst goed zien. Ach [pag. 25] ja, als ik de figuur op de zijde zie, dan is A boven en B onder, en dan is AB loodregt op CD.
MEESTER. Mijne lieve jongen, hierin is eene misvatting. Gij vergelijkt de figuur, of met den rand van het bord, of met de plaats, waar gij u bevindt. Daarvan staat immers niets, in alles wat wij nu daarvan gezegd hebben. Zoudt gij, uit de figuur zelve, geene reden kunnen vinden, waarom AB loodregt op CD staat? Welke is de eigenschap der hoeken p en n in dat geval?
JAN. Ja, Meester, ik heb het al begrepen; die hoeken moeten gelijk zijn, en zij zijn gelijk, daarom is AB loodregt op CD. Is dat niet zoo, Meester?
MEESTER. Allerbest. Laat ons nu iets van de driehoeken zien. Ziet nu eens vooraf uwe aanteekeningen §. 17. Wat staat daar?
LODEWIJK. Twee regte lijnen kunnen elkander niet meer dan in één punt snijden.
MEESTER. En daaruit volgt, dat twee regte lijnen geen vlak kunnen insluiten. Om een vlak in te sluiten, moet men ten minsten drie regte lijnen gebruiken, en zulk eene figuur, door drie regte lijnen begrensd, noemt men een' driehoek, als ABC (Fig. 16.) Gij moet nu wel begrijpen wat een driehoek is, het is niet een zamenstelsel van de drie lijnen, maar het vlak, dat door de die lijnen begrensd is. Een driehoek wordt met dit teeken /\ aangewezen. /\ABC beteekent, de driehoek ABC. In ieder' driehoek heeft men aantemerken, de drie zijden, de drie hoeken en de grootte van het vlak.
Voor dat wij de eigenschappen der driehoeken beschouwen, moet ik u vragen: wat gij wel over de gelijkheid van twee figuren zoudt besluiten, als gij [pag. 26] overtuigd waart, dat die twee figuren, op elkander gelegd zijnde, elkander volkomen dekken?
WILLEM. Ik zou besluiten dat zij even groot zijn, Meester.
MEESTER. Wij kunnen nog meer besluiten. Zij konden wel even groot zijn, en dezelfde gedaante niet hebben; bij voorbeeld: mijn tuin is een halve bunder groot; de tuin van mijnen buurman is ook een halve bunder; maar de mijne is juist zoo lang als breed, en de zijne is langer en smaller.
WILLEM. Ik begrijp het, Meester, als de twee figuren elkander dekken, zijn zij niet alleen even groot, maar zij hebben ook dezelfde gedaante.
MEESTER. Zij zijn dus gelijk in al hare deelen. Let nu wel op. Daar zijn twee driehoeken, ABC en DEF (Fig. 17.) Ik wil nu weten, of die beide driehoeken gelijk zijn. Veronderstelt dat ik, door een of ander middel, bevonden heb, dat de hoek q gelijk is aan den hoek p. Ik meet de zijde De naast den hoek q, en die vind ik gelijk aan AB naast /p; insgelijks vind ik DF mede naast /q, gelijk aan AC naast /p. Wat dunkt u? zoude ik mijn onderzoek nog verder moeten doorzetten? Wat denkt Hendrik daarvan?
HENDRIK. Ik zou denken, dat Meester ook de twee overige hoeken en de derde zijde moest meten.
MEESTER. Neen, Hendrik. Ik heb nu genoeg onderzocht, en dat zal ik u bewijzen. Als ik /\DEF konde opligten, en op /\ABC leggen, zoodanig dat het punt D op A kwam, en De langs AB, hoever zou dan het punt E wel komen, Lodewijk ?
LODEWIJK. Het punt E zoude op B komen, omdat DE = AB is. [pag. 27]
MEESTER. En de lijn DF, waar zou die wel vallen, Willem ?
WILLEM. DF zou zeker op AC vallen, Meester.
MEESTER. Juist, Willem ! om dat /p = /q is. En waar zou dan F vallen, Jan ?
JAN. F zou op C vallen, want DF is gelijk aan AC.
MEESTER. Regt zoo. En nu zullen wij tot een besluit komen. Het punt E is nu hetzelfde als het punt B. Het punt F is hetzelfde als het punt C. Hoeveel regte lijnen kan men van B tot C trekken?
WILLEM. Een, Meester, volg. §. 5.
MEESTER. Best geantwoord. De lijn EF zal dus dezelfde zijn, als de lijn BC, derhalve dekken de beide driehoeken elkander volkomen, en zijn zij in al derzelver deelen gelijk. EF = BC, /DEF = /ABC, /DFE = /ACB, en /\DEF = /\ABC
Dit is een geval, waarin men bepaaldelijk kan zeggen, dat twee driehoeken gelijk zijn. Laat ons een tweede geval onderzoeken.
De twee driehoeken, ABC en DEF (Fig. 18,) zullen ook gelijk zijn, als DE gelijk is aan AB, /q gelijk aan /p, en /m gelijk aan /n; dat is, twee hoeken met de lijn tusschen de beide hoeken.
Dit zal ik u mede bewijzen, door den driehoek DEF op den driehoek ABC te leggen, zoodanig, dat D op A komt, en DE langs AB. Waar zal dan E vallen, Willem ?
WILLEM. E zal op B vallen, omdat DE = AB is.
MEESTER. Waar zal DF vallen, Lodewijk ?
LODEWIJK. DF zal op AC vallen, Meester, omdat /q = /p is. [pag. 28]
MEESTER. Namelijk, langs AC, in dezelfde rigting als AC: maar het is immers nog niet bepaald, dat DF juizt zoo lang als AC is. Dewijl nu /m = /n is, zal ook EF langs BC, of in de rigting van BC vallen. En, als wij ons nu herinneren, dat twee regte lijnen elkander slechts in één punt snijden, §. 17. Wat moeten wij dan, ten opzigte der punten F en C, besluiten, Jan ?
JAN. Dat zij op elkander vallen, Meester.
MEESTER. Natuurlijk; en dan hebben wij verder DF = AC, EF = BC, /DFE = /ACB en /\DEF = /\ABC.
Dus is dit een tweede geval, waarin twee driehoeken aan elkander gelijk zijn.
Wij zullen morgen nog een derde geval hebbem; maar ik moet u vooraf eenige bepalingen opgeven. Wij zullen dan eerts het een en ander uit deze les opschrijven, en die bepalingen daarop laten volgen.
§. 26. Wanneer twee lijnen elkander snijden, zijn de tegenoverstaande hoeken even groot.
§. 27. Wanneer een hoek, en de beide zijden om dien hoek, in eenen driehoek, gelijk zijn aan eenen hoek, en de beide zijden om dien hoek, in eenen anderen driehoek, dan zijn de twee driehoeken gelijk.
§. 28. Wanneer een zijde, en de beide hoeken op die zijde, in eenen driehoek, gelijk zijn aan eene zijde, en de beide hoeken op die zijde, in een' anderen driehoek, dan zijn de twee driehoeken gelijk.
§. 29. Een driehoek, waarin twee zijden aan elkander gelijk zijn, noemt men een gelijkbeenigen driehoek, als ABC of DEF (Fig. 19.) De zijde AB of DE, die [pag. 29] korter of langer is dan de gelijke zijden, noemt met de grondlijn.
§. 30. Een driehoen, waarin de drie zijden aan elkander gelijk zijn, noemt men eenen gelijkzijdigen driehoek.
§. 31. Een ongelijkzijdige driehoek heeft de drie zijden ongelijk.
Ik vertrouw, dat gij deze drie bepalingen wel verstaat, en verwacht u morgen, op den gewonen tijd.



. . . . .





VIER EN TWINTIGSTE ZAMENSPRAAK.

Tot besluit


MEESTER. Waarde leerlingen het onderwijs dat ik voorgenomen had u in de meetkunde te geven, is thans afgeloopen.
DE LEERLINGEN. Is dat onderwijs afgeloopen? Zal Meester ons niet meer in de meetkunde onderwijzen? Dat spijt ons.
MEESTER. Ik zeg niet dat ik u niet meer in de meetkunde zal onderwijzen: Ik zeg alleen dat het plan dat ik mij voorgeschreven had met u te volgen, thans ten einde is; echter, indien gij zulks begeert, zal ik de uren voor deze les bestemd nog eenen geruimen tijd met u doorbrengen, om onze wiskundige gesprekken voorttezetten. Maar, Willem, zeg mij eens, welke is het doel van een redelijk mensch, wanneer hij iets leert?
WILLEM. Ik heb weleer gedacht, Meester, dat het was om die dingen te weten; maar Meester heeft ons zulke schoone toepassingen van de meetkundige waarheden geleerd, dat ik nu geloof dat men die dingen leert om ze te kunnen toepassen.
MEESTER. Dat moet een hoofddoel zijn. De mensch die enkel uit weetlust leert, en altijd naar meer kennis zoekt zonder zich aan een behoorlijk gebruik van die kennis te storen, heeft wel eenige gelijkenis met eenen gierigaard, die altijd meer en meer geld wenscht te hebben, om het in koffers op te sluiten, zonder dat het in omloop kome, en dus zonder nut voor de maatschappij. Zulk een mensch heeft het vermogen om nuttig te zijn; maar het ontbreekt hem [pag. 180] aan wil, of ten minsten aan eenen wel aangewenden wil. Wij kunnen dus tot dit besluit komen: ,,De mensch die minder weet; doch hetgene hij weet op eene behoorlijke wijze kan toepassen, is nuttiger voor de maatschappij, dan de mensch, die meer weet; maar hetgene hij geleerd heeft niet weet te gebruiken.''
HENDRIK. Zou dan een mensch die veel leert niet wel doen, Meester?
MEESTER. Als hij slechts leert om te weten; neen, dan doet hij niet wel. Maar als hij tevens het gepaste gebruik van zijne kennis leert maken, dan verdient hij de achting der maatschappij, en verwerft dezelve ook. Hoe meer hij met deze gesteldheid leert, hoe nuttiger kan hij zijn.
LODEWIJK. Moet men dan alleen voor het nut van de maatschappij werken, Meester?
MEESTER. Uwe vraag zal ik met eene vraag beantwoorden, Lodewijk. Uw vader heeft een kantoorbediende, die de zaken uws vaders behartigt, en met veel oordeel en bekwaamheid waarneemt. Ik heb zulks van uw vader zelven hooren zeggen, en, dat hij hem voor zeer veel geld niet zou willen missen. Waarom is uw vader aan dien man toch zo gehecht?
LODEWIJK. Om dat hij een zeer braaf man is, en dat hij voor de zaken zeer geschikt is.
MEESTER. Dus om twee redenen. De eerste om dat hij zeer braaf is. Daar zullen wij niet van spreken, wat daar uit volgt moet gij gevoelen, de tweede reden is om dat hij bekwaam is. Hij is nuttig in uw huis, hij is een nuttig en werkzaam lid der maatschappij, en daardoor is hij nuttig voor zich zelven en voor zijn huisgezin. Als uw vader met den handel uitscheidde, dan zou die man nooit verlegen zijn. [pag. 181] Hij is braaf en bekwaam; hij zou derhalve zeer spoedig een ander kantoor vinden. Wel nu wat die man in uw huis is behoort ieder mensch in de maatschappij te zijn.
Ik vertrouw dat deze korte woorden genoeg zijn om u te doen volharden, in eene welmeenende en gewillige aanwending, van de verstandelijke vermogens, die de Algoede Schepper en Beschikker van alles u gegeven heeft, tot nut der maatschappij, en met dat vertrouwen, stel ik u voor om de meetkundige kennis, die gij nu hebt, zoo veel mogelijk tot het bereiken van dat doel te doen medewerken. Wij zullen dus eenige stukken van het Natuurkundig Schoolboek, nog eens zamen lezen, en wel bepaaldelijk het gedeelte dat over de beginsels van werktuigkunde handelt, en met behulp van meetkundige waarheden zullen wij een aantal werkstukken kunnen oplossen.
De Meester ging met dat onderwijs nog eenen geruimen tijd voort, en daar hij merkte dat hunne zucht voor wiskundige wetenschappen aanwies, leerde hij hen in volgende zamenspraken, de eigenschappen der ligchamen kennen, vervolgens ga hij hun eenig onderwijs in de Stelkunst; waardoor zij spoedig in staat waren om de bekende eigenschappen der uitgebreidheid bondig en geregeld te schrijven.
Hij plukte van zijnen arbeid die aangename vruchten, dat al zijne leerlingen, welke in de rekenkunst gevorderd waren, het genoegen ziende, waarmede zich hunne vijf makkers in de meetkunde oefenden, hem ook om een zoodanig onderwijs verzochten.


EINDE.