DE ONBETROUWBAARHEID
DER LOGISCHE PRINCIPES.


Aanvullende gegevens:
Oorspronkelijk verschenen in 1908 in het Tijdschrift voor Wijsbegeerte. Deze versie is ontleent aan het bundeltje Wiskunde, Waarheid, Werkelijkheid dat in 1919 verscheen bij P. Noordhoff te Groningen.
12 pp.; voetnoten op elke pagina opnieuw begonnen met nummeren.
Begin tekst op p. 5
Op p. 11 is voor de Griekse letters alpha en gamma een cursieve latijnse letter gebruikt. Op p. 12 is voor de griekse letter die de verhouding van omtrek en diameter van een cirkel uitdrukt het woordje ,,pi'' gesubstitueerd.


1. De Wetenschap beschouwt herhaling in den tijd van als onderling gelijk stelbare volgreeksen van qualitatieve verscheidenheid in den tijd. Dit vereenzamen der idee tot waarneembaarheid, en als zoodanig tot herhaalbaarheid, verschijnt na religielooze scheiding 1) tusschen subject en tot iets anders geworden onbereikte bereikbaarheid. De drang tot bereiking dezer bereikbaarheden wordt in het intellect volgens een wiskundig systeem van gestelde stelbaarheden, geboren uit abstractie van herhaling en herhaalbaarheden, gestuurd langs onmiddellijke bereiktheden.
Alles wat verschijnen kan als onbereikte bereikbaarheid, laat zich in systemen van gesteldheden intelligeeren, zoo ook religie; maar dan is de religieuze wetenschap religieloos: gewetensussend, of ijdel spel, of slechts van doelnajagende beteekenis.
En, als alle religieloosheid, heeft wetenschap nòch religieuze betrouwbaarheid, nòch betrouwbaarheid in zich. Allerminst kan een wiskundig systeem van gesteldheden, los van de waarnemingen, die het [pag. 6] intelligeerde, onbepaald vervolgd, betrouwbaar blijven in het richten langs die waarnemingen.
Zoodat onafhankelijk van de waarneming volvoerde logische redeneeringen, die immers beteekenen wiskundige transformaties in het intelligeerende wiskundig systeem, uit wetenschappelijk aanvaarde praemissen onaannemelijke conclusies kunnen afleiden.
De klassieke opvatting, die in de ervaringsgeometrie uit aanvaarde praemissen door volgens de logische principes gevoerde redeneeringen slechts onaanvechtbare conclusies zag afleiden, induceerde de logische redeneeringen als methode van opbouw der wetenschap en de logische principes als menschelijke vermogens tot opbouw van wetenschap.
Maar de geometrische redeneeringen gelden slechts voor een onafhankelijk van eenige ervaring in het intellect opbouwbaar wiskundig systeem, en dat een zoo populaire groep van waarnemingen als de geometrie het bedoelde wiskundig systeem zoo blijvend verdraagt, verdient, als alle proefhoudende natuurwetenschap, met wantrouwen te worden aangezien.
Het inzicht van de wetenschappelijke onbetrouwbaarheid der logische redeneeringen maakt, dat de conclusiën van Aristoteles omtrent de constitutie der natuur zonder practische verifieering niet overtuigen; dat de waarheid, die bij Spinoza opengaat, geheel onafhankelijk wordt gevoeld van zijn logische systematiek; dat men niet gehinderd wordt door de antinomieën van Kant, en evenmin door het ontbreken van in al haar consequenties door te voeren physische hypothesen. [pag. 7]
Bovendien zijn bij de betoogen betreffende op wiskundige systemen gespannen ervaringswerkelijkheden de logische principes niet het richtende, maar in de begeleidende taal achteraf opgemerkte regelmatigheid, en zoo men los van wiskundige systemen spreekt volgens die regelmatigheid, is er altijd gevaar voor paradoxen als die van Epimenides.

2. In religieuze waarheid, in wijsheid, die de splitsing opheft in subject en iets anders, is geen wiskundig intelligeeren, daar de verschijning van den tijd niet langer wordt aanvaard, nog minder dus betrouwbaarheid van logica. Integendeel, de taal der inkeerende wijsheid verschijnt ordeloos, onlogisch, omdat ze nooit kan voeren langs in het leven gedrukte systemen van gesteldheden, slechts hun breking kan begeleiden, en zoo misschien de wijsheid, die die breking doet, kan laten opengaan.

3. Blijft de vraag, of dan althans de logische principes vaststaan voor van levensinhoud vrije wiskundige systemen, voor systemen opgetrokken uit de gestelde abstractie van herhaling en herhaalbaarheid, uit de gestelde inhoudlooze tijdsintuïtie, uit de oer-intuïtie der wiskunde. Door alle tijden is in de wiskunde met vertrouwen logisch geredeneerd; nooit aarzelde men, door logica uit postulaten getrokken conclusies te aanvaarden, waar de postulaten gelden. In dezen tijd zijn echter paradoxen geconstrueerd, die wiskundige [pag. 8] paradoxen schijnen 2), en wantrouwen wekken tegen het vrije gebruik van logica in wiskunde, zoodat enkele wiskundigen hun vooronderstelling van logica in wiskunde loslaten, en wiskunde ne logica tezamen trachten op te bouwen 3), in aansluiting aan de door Peano gegrondveste school der logistiek. Aangetoond kan echter worden, dat deze paradoxen voortkomen uit dezelfde dwaling als die van Epimenides, dat ze namelijk ontstaan, waar de regelmatigheid in de taal, die wiskunde begeleidt, wordt uitgebreid over een taal van wiskundige woorden, die geen wiskunde begeleidt; dat verder de logsitiek eveneens zich beighoudt met de wiskundige taal in plaats van met de wiskunde zelf, dus de wiskunde zelf niet verheldert; dat ten slotte alle paradoxen verdwijnen, als men zich beperkt, slechts te spreken over expliciet uit de oer-intuïtie opbouwbare systemen, m.a.w. in plaats van logica door wiskunde, wiskunde door logica laat vooronderstellen.
Zoo blijft nu alleen nog de meer gespecialiseerde vraag: ,,Kan men bij zuiver wiskundige constructies en transformaties de voorstelling van het opgetrokken wiskundig systeem tijdelijk verwaarloozen, en zich [pag. 9] bewegen in het accompagneerend taalgebouw, geleid door de principes van syllogisme, van contradictie en van tertium exclusum, in vertrouwen dat door tijdelijke oproeping van van de voorstelling der beredeneerde wiskundige constructies telkens het deel van het betoog zou kunnen worden gewettigd?''
Hier zal blijken, dat dit vertrouwen voor de beide eerste principes wèl, voor het laatste niet gegrond is.
Het syllogisme vooreerst leest in de inpassing van een systeem b in een systeem c en de daarmee samengaande inpassing van een systeem a in het systeem b een directe inpassing van het systeem a in het systeem c, wat niet anders is dan een tautologie.
Evenmin is aanvechtbaar het principe van contradictie: het volvoeren van de inpassing van een systeem a op bepaalde wijze in een systeem b, en het stuiten op de onmogelijkheid van die inpassing sluiten elkander uit.
Nu het principium tertii exclusi: dit eischt, dat iedere onderstelling òf juist òf onjuist is, wiskundig: dat van iedere onderstelde inpassing van systemen op bepaalde wijze in elkaar hetzij de beëindiging, hetzij de stuiting op onmogelijkheid kan worden geconstrueerd. De vraag naar de geldigheid van het principium tertii exclusi is dus aequivalent met de vraag naar de mogelijkheid van onoplosbare wiskundige problemen. Voor de wel eens uitgesproken 4) overtuiging, dat onoplosbare wiskundige [pag. 10] problemen niet bestaan, is geen aanwijzing van een bewijs aanwezig.
Zoolang alleen bepaalde eindige discrete systemen gesteld worden, is het onderzoek naar de mogelijkheid of onmogelijkheid eener inpassing steeds beëindigbaar en voerend tot antwoord, is dus het principium tertii exclusi een betrouwbaar redeneerprincipe. 5)
Dat ook oneindige systemen ten opzichte van zoovele eigenschappen eindig worden beheerscht, geschiedt door overzien van de aftelbaar oneindige reeks der geheele getallen met volledige inductie 6), namelijk door opmerken van eigenschappen, d.w.z. inpassingen, die voor een willekeurig geheel getal gelden, in het bijzonder ook van contradicties, dat zijn onmogelijke inpassingen, die voor een willekeurig geheel getal gelden. Dat echter uit de in een vraag gestelde systemen een is af te leiden, dat door een invariant over een aftelbaar oneindige reeks de vraag volledig induceerend leest, en zoo oplost, blijkt eerst a posteriorio, als toevallig de constructie van zulk een systeem gelukt is. Want het geheel der uit de vraagstelling te ontwikkelen systemen is aftelbaar onaf, dus niet a priori methodisch te [pag. 11] onderzoeken ten opzichte van de aanwezigheid of afwezigheid van een de vraag beslissend systeem. En het is niet uitgesloten, dat een even gelukkige greep, als zoo dikwijls de beslissing bracht, eens het aftelbaar onaffe systeem der mogelijke ontwikkelingen tot een oplosbaarheid zou overzien.
Zoodat in oneindige systemen het principium tertii exclusi vooralsnog niet betrouwbaar is. Toch zal men bij ongerechtvaardigde toepassing nooit kunnen stuiten op een contradictie en zoo de ongegrondheid van zijn redeneeringen ontdekken. Immers daartoe zouden de volvoering en de contradictoriteit van een inpassing beide tegelijk contradictoor moeten kunnen zijn, wat het principium contradictionis niet toelaat.
Een sprekend voorbeeld levert de volgende onbewezen stelling, die op grond van het principium tertii exclusi in de gangbare theorie der transfinite getallen algemeen vertrouwd en gebruikt wordt, dat n.l. elk getal is òf eindig òf oneindig, m.a.w. dat voor elk getal c kan worden geconstrueerd:
hetzij een afbeelding van c geheel op de rij der geheele getallen zóó, dat daarbij een getal a uit die rij het laatste is (de getallen a + 1, a + 2, a + 3, . . . vrij blijven),
hetzij een afbeelding van c geheel of gedeeltelijk op de rij der geheele getallen in haar geheel. 7)
[pag. 12] Zoolang deze stelling onbewezen is, moet men voor onzeker houden, of vragen als:
,,Is er bij de decimale ontwikkeling van pi een cijfer, dat duurzaam veelvuldiger optreedt, dan alle andere?''
,,Komen er bij de decimale ontwikkeling van pi oneindig veel paren van gelike opeenvolgende cijfers voor?''
een oplossing bezitten.
En evenzoo onzeker blijft, of de algemeenere wiskundige vraag:
,,Is in de wiskunde het principium tertii inclusi onbepaald geldig?''
een oplossing bezit. 8)

Samenvattende:
In wijsheid is geen logica.
In wetenschap is logica vaak, maar niet duurzaam doeltreffend.
In wiskunde is niet zeker, of alle logica geoorloofd is, en is niet zeker of is uit te maken, of alle logica geoorloofd is.


Voetnoten

1) Een vermogen, voortgekomen uit de oerzonde van vrees of begeerte, maar wederkeerend, ook zonder levende vrees of begeerte.

2) Burali-Forti (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo XI), Zermelo (Mathematische Annalen 59), Koenig (ibid. 61), Richard (Revue Générale des Sciences, 1905), Russell (The Principles of Mathematics, Part I, Chap. X). Voor pogingen tot oplossing dezer paradoxen vgl. behalve de opstellers zelf: Poincaré (Revue de Métaphysique et de Morale, 1905, 1906), Mollerup (Mathematische Annalen 64), Schoenflies (Bericht über die Mengenlehre II, Kap. 1, § 7).

3) In het bijzonder Hilbert (Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Congresses in Heidelberg 1904, p. 174).

4) Vgl. Hilbert, Mathematische Probleme (Göttinger Nachrichten, 1900). Ook Schoenflies (l.c.) wil onvoorwaardelijk de methode van het indirecte bewijs handhaven, die hij ten onrechte uitsluitend van het principium contradictionis afhankelijk acht.

5) Dit onderzoek kan zelfs steeds door een machine worden uitgevoerd, of door een gedresseerd dier, vereischt niet de oer-intuïtie der wiskunde, levend in een menschelijk intellect. Maar tegenover vragen betreffende oneindige verzamelingen wordt die oer-intuïtie telkens weer onmisbaar: door dit voorbij te zien, zijn Peano en Russell, Cantor en Bernstein slechts tot dwalingen gekomen.

6) Poincaré is misschien de eenige, die in de volledige inductie ,,le raisonnement mathématique par excellence'' heeft herkend. Vgl. La Science et l'Hypothese, Chap. I.

7) De eventueele onjuistheid dezer stelling zal weer nooit in een contradictie kunnen blijken; immers de contradictoriteit van de constructie der crij blijvende rij a + 1, a + 2, a + 3, . . . . . en die van haar contradictoriteit kunnen nooit tezamen optreden.

8) Men behoort dus in de wiskunde de gewoonlijk als bewezen geldende stellingen te onderscheiden in juiste en niet-contradictore. Tot de eerste behooren de algebraïsche en analytische gelijkheden, en de geometrische snijpuntsstellingen; ook, dat een puntverzameling geen andere machtigheid bezitten kan, dan de eindige, de aftelbaar oneindige, de aftelbaar onaffe en de continue. Tot de laatste, dat een afgesloten puntverzameling zich laat splitsen in een perfecte en een aftelbare.