OVER DE GRONDSLAGEN

DER WISKUNDE

Dr. L.E.J. BROUWER





II. WISKUNDE EN ERVARING


WISKUNDE
EN ERVARING



Den menschen is een vermogen eigen dat al hun wisselwerkingen met de natuur begeleidt, het vermogen n.l. tot wiskundig bekijken van hun leven, tot het zien in de wereld van herhalingen van volgreeksen, van causale systemen in den tijd. Het oer-phenomeen is daarbij de tijdsintuitie zonder mee, waarin herhaling als ,,ding in den tijd en nog eens ding'' mogelijk is, en op grond waarvan levensmomenten uiteenvallen als volgreeksen van qualitatief verschillende dingen; die vervolgens zich in het intellect concentreeren tot niet gevoelde, doch waargenomen wiskundige volgreeksen. En het levensgedrag der menschen zoekt zooveel mogelijk van die wiskundige volgreeksen te kunnen waarnemen, om telkens, waar in de werkelijkheid bij een vroeger element van zulk een reeks met meer succes schijnt te kunnen worden ingegrepen, dan bij een later, ook dan, wanneer alleen bij dat latere een instinct wordt aangedaan, het eerste te kiezen als richting voor hun daden. [pag. 82] (Vervanging van het doel door het middel.) Het oninstinctieve van deze intellectueele handeling maakt echter de zekerheid dat werkelijk de deelen eener volgreeks bijeen behooren alles behalve volkomen, zoodat ze steeds kan worden gelogenstraft, wat waargenomen wordt als ontdekking ,,dat de regel niet langer doorgaat''.
Intusschen in 't algemeen blijkt de taktiek, bestaande in het beschouwen der volgreeksen en het op grond daarvan teruggaan van doel op middel, waar in het middel gemakkelijker ingegrepen schijnt te kunnen worden, eene doeltreffende en bezorgt de menschheid haar macht. Het gelukt regelmaat op een beperkt gebied van verschijnselen te ontdekken onafhankelijk van andere verschijnselen, die derhalve bij de intellectueele beschouwing volkomen latent kunnen blijven.
Om de zekerheid van een waargenomen regelmaat zoo lang mogelijk te handhaven, tracht men daarbij systemen te isoleeren, d.w.z. het als regelmaat storend waargenomene, verwijderd te houden; zoo maakt de mensch in de natuur veel meer regelmatigheid dan er oorspronkelijk spontaan in voorkwam; hij wenscht die regelmatigheid, omdat ze hem sterkt in den strijd om het bestaan, doordat ze hem in staat stelt te voorspellen, en zijn maatregelen te nemen.
Het intellectueel bekijken der wereld wint in uitgebreidheid, doordat men, onafhankelijk van directe toepasbaarheid, uit de oer-intuitie van het intellect de [pag. 83] abstracte wiskunde (reine Mathematik) opbouwt, en zoo een voorraad van onwerkelijke causale volgreeksen kan klaar hebben, die slechts wacht op een gelegenheid, om in de werkelijkheid te worden geprojecteerd. Men bedenke hierbij, dat de wiskundige systemen, waarin geen tijdcoördinaat voorkomt, bij practische toepassing toch al hun relaties tot causale relaties in den tijd zien worden. Zoo b.v. de Euclidische meetkunde geeft, op de werkelijkheid toegepast, het causaal verband tusschen de resultaten van verschillende metingen, met behulp van de groep der rigide lichamen uitgevoerd. -- Onnoodig te zeggen, dat van de elementen en ondergebouwen van een wiskundig systeem bij de toepassing gewoonlijk slechts een klein deel hun correspondeerende in de werkelijkheid vindt: de rest vergemakkelijkt slechts het overzicht daarvan. 1) -- Evenzoo bestaan de waargenomen volgreeksen reeds bij een geringe ontwikkeling der methode niet meer uitsluitend uit onafhankelijk van den menschelijken wil waargenomen verschijnselen, maar worden deze gecompleteerd met door de menschen zelf te voorschijn geroepene; (daden zonder eenig direct instinctief doel, maar [pag. 84] uitgevoerd, alleen om het causale systeem tot breedere handelbaarheid te completeeren); het eenvoudigste voorbeeld hiervan is het door de talhandeling verkregen klankbeeld 2) van aantal, of het door de maathandeling verkregen klankbeeld 2) van maatgetal.
Haar groote macht krijgt echter de wiskundige natuurwetenschap nog niet door het opmerken van voor het instinct ongeveer gelijkwaardige volgreeksen, maar door het samenvatten van een zeer groot aantal van zulke volgreeksen onder één gezichtspunt door middel van een met behulp van mathematische inductie opgebouwd wiskundig systeem, dat wet wordt genoemd; het verschil van twee daaronder vallende volgreeksen berust alleen op het verschil in waarden van in de wet optredende parameters. 3) Naast de werkelijk waargenomen volgreeksen met hun bepaalde parameterwaarden worden dan die met met andere parameterwaarden als mogelijk gesteld; en dat juist de waargenomen parameterwaarden alleen werkelijk voorkomen, wordt als toevallig beschouwd.
Aan den anderen kant blijkt, dat men vaak een in een enkele waargenomen volgreeks optredende grootheid met succes als toevallige parameterwaarde beschouwt, en zoo met juistheid door inductie nieuwe volgreeksen voorspelt. [pag. 85]
De eenvoudigste inductieve uitbreiding tot een groep van mogelijke verschijnselen geschiedt langs de coördinaten van ruimte en tijd als parameters. Dat een volgreeks juist daar en toen zich verwezenlijkte, en niet op andere plaats en anderen tijd, is voor den physicus toevallig.
En na het opmerken van volgreeksen en het samenvatten daavan door inductie, gaat de wiskundige actie op de wereld nog verder. Vooreerst worden, om de groote menigte bewerkingen, die afhankelijk zijn van het meetbaar continuum, te kunnen toepassen, de discrete waarnemingen aangevuld tot continue functies 4); en het is niet alleen de tijdcoördinaat, die continu wordt gemaakt (hier geeft de intuïtie er alle aanleiding toe), maar ook alk functioneel verband tusschen gemeten grootheden, waarmee de tijdcoördinaat niets te maken heeft; dat is een willekeurige daad, weer alleen gerechtvaardigd, omdat ze blijkt, te ,,gaan.'' Het continu maken der waargenomen functies doet men door de bekende methode der interpolatie, weer een willekeurige daad, die zich weer in de praktijk niet straft. Bij het interpoleeren krijgt men analystische functies; en zúlke heeft men toch reeds neiging, in de natuurbeschouwing uitsluitend te gebruiken; waarom?
Voornamelijk door een willekeurige daad van anthropomorphiseering der natuur: waar men bij [pag. 86] zijn eigen ingrijpen uit den waargenomen weestand merkt, alle toestanden slechts geleidelijk te kunnen veranderen, postuleert men voor in de natuur practisch te meten functies in dicht bijeen gelegen argumentpunten ongeveer gelijk gedrag 5). Van een functie, die tot deze kategorie behoort, behooren ook de differentiequotienten van verschillende orde daartoe (immers deze worden uit dezelfde metingen als de functie zelf bepaald), dus ook de differentiaalquotienten van verschillende orde, en differentiequotienten daarvan, zoo deze differentiaalquotienten bestaan, wat we zullen aantoonen dat het geval is. Zij n.l. xa een der onafhankelijk veranderlijken, en zij /\(xa) het maximum der spelingsgebieden tusschen xa en xa + /\ van de verschillende differentiequotienten, zooals die hooren bij de verschillende aangroeiingen der onafhankelijke veranderlijke xa, wanneer men die aangroeiingen achtereenvolgens alle waarden laat doorlopen tusschen 0 en een zekere zoo klein als men wil, doch vast te kiezen waarde a, dan volgt uit het zooeven genoemde postulaat, dat /\ met /\ tot 0 nadert. Verder hebben we, onder p/n een echte breuk verstaande:


[pag. 87]



waaruit we in verband met de boven gegeven definitie van /\(xa) afleiden:


en hieruit volgt, dat het spelingsgebied /\(xa) der differentiequotienten voor aangroeiingen van xa, gelijk aan een echte breuk maal /\, kleiner is dan 2/\(xa).
Nemen we dus in een bepaald punt een oneindig voortlopende reeks van ten opzichte van /\ rationale, onbepaald afnemende, aangroeiingen , dan nemen de spelingsgebieden (xa) onbepaald af, terwijl tevens elk volgend spelingsgebied binnen het voorgaande ligt; ze naderen dus tot een enkel punt; deze eigenschap is direct van rationale op irrationale uit te breiden (dit op grond van de continuiteit der functies); het differentiequotient voor een aangroeiing ligt echter binnen het spelingsgebied (xa); ook dit nadert dus onbepaald tot hetzelfde punt, als het spelingsgebied, waarin het bevat is; er is dus een limietwaarde voor het differentiequotient, het diferentiaalquotient; en op dezelfde wijze toont men op grond van hetzelfde postulaat het bestaan van alle hoogere differentiaalquotienten [pag. 88] aan. 6) (Hierbij heeft dan het idee ten grondslag gelegen, dat de primitieve willekeurige schalen, b.v. tijdmaat door den slinger, lengtemaat door een maatstok, een soort van absolute waarheid hebben, n.l. een soort absolute gelijkheid voor dichtbijeen gelegen gelijke schaaldeelen: die schalen zijn trouwens tamelijk instinctief geconstrueerd.) 7)
Wat men dan verder 8) niet willekeurig heeft aangenomen, maar in de praktijk a posteriori heeft opgemerkt, is, dat een groot gebied van waargenomen verschijnselen is uit de drukken door differentiaalvergelijkingen der 2e orde (,,inertiebeginsel''), op grond waarvan krachten (de naam in analogie met de [pag. 89] eveneens in 't grove slechts in de tweede differentiaalquotienten iets uitwerkende door ons eigen lichaam uitgeoefende invloeden) als vuchtbare hulpbegrippen konden worden ingevoerd.
Ook heeft men opgemerkt, geschikte coëfficienten voor lichamen, massa's genoemd, zoo te kunnen invoeren, dat men dikwijls systemen als wat men noemt ongeveer geïsoleerd kan beschouwen, wanneer men n.l. opmerkt dat de beweging van het zwaartepunt ongeveer rechtlijnig is, en in het zwaartepunt een ongeveer invariabele as van maximaalmoment der relatieve beweging aan te wijzen is.
Men heeft daarom in de wiskunde der mechanica het beginsel van gelijkheid van actie en reactie ingevoerd, en noemt systemen alleen dan geïsoleerd, als de beweging van het zwaartepunt streng rechtlijnig en eenparig is. En zoowel een mechanica der rigide lichamen als een theoretische astronomie blijken practisch te beheerschen met een uit de begrippen van kracht en massa opgebouwde wiskunde.
Het essentieele er van ligt gecondenseerd in de bewegingsvergelijkingen van LAGRANGE; en het is gebleken, dat bijna alle gedeelten der physica, waar men met omkeerbare veanderingen te doen heeft, zich door analoge vergelijkingen laten beelden. 8)
POINCARÉ 9) heeft bewezen, dat voor al die verschijnselen [pag. 90] een verklaring door een rigide mechanisme mogelijk is; dat naar zulke interpretaties zoo vaak gezocht is, zelfs op zoodanig gebied waar eene andere beschouwingswijze gegrond op het bestaan van continue en elastische materie meer voor de hand schijnt te liggen (men denke bijv. aan de moderne gastheorie en aan WILLIAM THOMSON'S verklaring der elasticiteit uit het beginsel der gyrostatische veer), heeft waarschijnlijk zijn oorsprong daarin, dat het bouwen van rigide constructies en mechanismen den menschen het meest vertrouwd is, en dat men de rigide lichamen het gemakkelijkst in hun gedrag beheerscht; dat dus het idee, dat de natuur alleen rigide mechanismen bouwt, haar mysterie, inzooverre zij dingen zou bouwen, die de menschen niet materieel zouden kunnen nabouwen, wegneemt; en ook hierin, dat zóó het zeer groote vertrouwen op de onveranderlijkheid der wetten, die de vaste lichamen beheerschen, de illusie, ,,de natuur te kunnen beheerschen,'' versterkt. 11) Daar de rigide-mechanische interpretaties [pag. 91] der vergelijkingen van LAGRANGE echter in het algemeen zeer ingewikkeld worden en men even goed als tot de rigide groep tot andere, b.v. electrodynamische verschijnselen zou kunnen herleiden, moet men misschien liever alle groepen van verschijnselen, die door vergelijkingen van LAGRANGE worden uitgedrukt, als gelijkgerechtigd naast elkander laten staan, en een opbouw daarvan uit elementairverschijnselen in het zeer kleine verwerpen, waar ze geen suggesties tot het ontdekken van nieuwe verschijnselen brengt.
De waarde der ,,verklaringen'' toch ligt hierin, dat zij in de plaats van een wonderlijk verschijnsel een minder wonderlijk stellen; noch ook in de eerste plaats in de grootere overzichtelijkheid, waarmee zij de waargenomen volgreeksen veroorloven te katalogizeeren 12); maar in de splitsing, die zij het [pag. 92] waargenomene doen ondergaan in een essentieel en een toevallig gedeelte, en de door die splitsing aangewezen richting, waarin het werkelijk waargenomene tot een grooter gebied van mogelijkheden kan worden uitgebreid, dus nieuwe aan regelmaat gebonden verschijnselen kunnen worden voorspeld. 13)
M.a.w. een ,,verklaring'', die doel treft, opent een veld van inductie; is dat veld van inductie afgeweid, dan verliest de verklaring haar actueele beteekenis; men zal dan van het daarin nog essentieele een nieuw gedeelte afscheiden, en als toevallig gaan beschouwen 14), om zich zoodoende een nieuw veld van inductie te scheppen.
Aanleiding en aanwijzing tot de keuze van die afscheiding geeft dikwijls de ontdekking, dat twee te voren niet als samenhangend bekende, ieder aan een eigen regelmaat gebonden, verschijnselgroepen onder elkaars invloed kunnen komen, d.w.z. dat ze, in elkanders nabijheid gebracht, elkaars isolement kunnen storen. Dan zal men trachten, in het wiskundig beeld van elk van beide de essentieele deelen [pag. 93] zoo te kiezen, dat deze als twee toevallige modificaties van eenzelfde continu gebied van mogelijkheden, en dat met zoo groot mogelijke gemeenschappelijk essentieel element verschijnen. Op deze wijze zijn vaak doeltreffende velden van inductie geopend, d.w.z. velden van inductie, die vele te voren onbekende verschijnselen met juistheid hebben doen voorspellen.
Merken we nog op, dat nooit een verklaring, die haar diensten bij de uitbreiding door inductie van het gebied der bekende volgreeksen heeft gedaan, later kan worden gezegd, onjuist te zijn gebleken. Immers dan bewijst een démenti der ervaring alleen, dat men op grond der verklaring een te groot veld van inductie had geopend. En in zulk een geval kan men de verklaring steeds redden, door in het er op gegronde wiskundig beeld der verschijnselen weer het essentieele gedeelte uit te breiden ten koste van het reeds als toevallig gestelde.
En als de oorsprong van een zeker veld van inductie behoudt zulk een verklaring een historische beteekenis; maar een hoogere betekenis is voor geen verklaring weggelegd. Immers de nieuwe, die in vervanging der oude een grooter veld van inductie in 't leven roept, zal, als de grenzen van dat veld bereikt zijn, op haar beurt moeten verdwijnen; want het geheel der inductief samengevatte verschijnselen, waarin de menschen vermogen gevolgen te voorspellen, en uithoofde daarvan met succes in te grijpen, zullen zij steeds willen en kunnen uitbreiden. [pag. 94]
We gaan thans de klassieke problemen van ruimte en tijd aanroeren, door in 't algemeen te onderzoeken, in hoeverre objectiviteit en aprioriteit aan wiskundige systemen kunnen worden toegekend, vragen die bij RIEMANN en HELMHOLTZ nog een belangrijke rol spelen, maar sedert weer uitsluitend van philosophen belangstelling ondervonden, en door de wiskundigen, die zich met de onderzoekingen omtrent de grondslagen hunner wetenschap bezighielden, buiten beschouwing werden gelaten. Eerst in den allerlaatsten tijd is een boek verschenen, dat in het licht van de jonsgte resultaten der wiskunde op nieuw de genoemde philosophische vragen aan de orde stelt, en op dit werk van B.A.W. RUSSELL, ,,An Essay on the Foundations of Geometry'' is dan ook algemeen de aandacht gevallen. In de ,,Revue de Métaphysique et de Morale'' heeft het tot voortgezette discussies aanleiding gegeven tusschen COUTURAT, POINCARÉ, LECHALAS en den auteur zelf, waarbij de onhoudbaarheid van sommige er in uitgesproken stellingen aan het licht kwam; maar waarna toch een groot deel der resultaten blijvende waarde bleef toegekend. COUTURAT spreekt zelfs van een en van niet minder dan de volmaking van KANT'S Transcendentale Aesthetiek.
We zullen hier beginnen, met een eigen stelling tegenover het onderwerp in te nemen, en daarna op het werk van RUSSEL nader ingaan. door eerst op enkele er in voorkomende wiskundige fouten [pag. 95] de aandacht te laten vallen, en vervolgens te onderzoeken, wat van de totale strekking van het boek kan over blijven.

Vooreerst dus over de objectiviteit: men noemt de massa der lichamen objectief, en denkt daarbij aan haar onvernietigbaarheid; we hebben echter boven gezien, dat de massa's niets zijn, dan door hun invoering het wiskundig natuurbeeld vereenvoudigende coëfficienten, die bij de wiskundige transformaties, die de natuurverschijnselen afbeelden, invariant blijven. Zou men nu echter natuurverschijnselen vinden, die het eenvoudigst zijn af te beelden door de massa's variabel te nemen, dan zal men deze nog alleen objectief kunnen blijven noemen op grond van hun invariabiliteit bij een zeer belangrijke groep van verschijnselen in het natuurbeeld; maar men bedenke, dat dit natuurbeeld willekeurig zou zijn gekozen, op grond van zijn eenvoudigheid en bruikbaarheid weliswaarm maar toch willekeurig; dat men het eenerzijds, zij het geforceerd, zoo had kunnen bouwen, dat de massa's bij alle bekende verschijnselen invariant blijven, maar anderzijds ook zoo, dat ze slechts bij zeer weinig verschijnselen invariant blijven of zelfs, dat ze in 't geheel niet optreden.
Men zal dus van objectiviteit (voor grootheden of voor wetten) alleen kunnen spreken ten opzichte van een bepaald wiskundig natuurbeeld en relatief een [pag. 96] bepaalde groep van verschijnselen, of, zoo men van objectiviteit zonder meer wil spreken, kan men daarmee niet ander bedoelen dan:
òf invariabiliteit bij een zekere verklaring van alle tot nog toe bekende verschijnselen.
dan zou het echte een eigenschap zijn, die wij willekeurig zouden kunnen aanbrengen, zij het onder opbouw van geforceerde systemen;
òf invariabiliteit bij de eenvoudigste of de meest gebruikelijke interpretatie van alle tot nog toe bekende verschijnselen;
dan zou het echter een eigenschap zijn, die elk oogenblik zou kunnen worden verloren;
òf invariabiliteit bij de eenvoudigste of meest gebruikelijke interpretatie van een zeer belangrijke groep van verschijnselen;
aan deze definitie heeft men het meest houvast, en al blijft er een factor van subjectieve appreciatie in over, men zal niet aarzelen, op deze wijze b.v. massa, energie en Newtonsche attractie objectief te noemen; en aan b.v. temperatuur, magnetisatie en magnetische attractie objectiviteit te ontzeggen.
Houden we ons dus aan de laatste definitie, en vragen we bijvoorbeeld, in hoeverre de physische tijd en ruimte objectief zijn, dan moet het antwoord zijn, dat zij deze gradueele eigenschap op zeer volkomen wijze bezitten, en misschien volkomener dan eenige andere physische entiteit.
Immers vooreerst de fictieve eendimensionale [pag. 97] coördinaat, met daarop geconstrueerde eenledige groep, die de wetenschappelijke tijdmaat is, dringt in bijna alle wiskundige natuurbeelden in, en wel steeds met dezelfde groep, die zoo het cachet van een onwrikbare invariant krijgt.
En in nóg sterkere mate geldt dit van de drie-dimensionale Cartesiaansche ruimte met daarin geconstrueerde zesledige (Euclidische) groep, die de physische ruimte is; omdat alle bekende physische verschijnselen zich daarop laten betrekken, en zelfs zonder haar de wiskundige projecteering dier verschijnselen buitengewoon moeilijk zou worden. (wat het misschien niet te gewaagd is, hiermee in verband te brengen, dat de fictieve Euclidische ruimte ontleend is aan de bewegingsgroep der physisch voorkomende vaste lichamen, en het die vaste lichamen zijn, waarop we voor alle metingen zijn verwezen; waar het dan alleen mogelijk is, grootheden te meten, voorzoover ze met vaste lichamen in verband staan, behoeft het niet te verwonderen, dat in de wiskundige afbeelding der betrekkingen tusschen die grootheden het wiskundig beeld van de bewegingsgroep der vaste lichamen een zoo integreerende rol blijft spelen.)

Nu de aprioriteit; men kan hiermee twee begrippen bedoelen, n.l.:
1°. Bestaan onafhankelijk van de ervaring. [pag. 98]
2°. Noodzakelijke voorwaarde voor de mogelijkheid der wetenschap.
Wordt het eerste bedoeld, dan volgt uit den intuitieven opbouw, dat de geheele wiskunde a priori is, en b.v. de niet-Euclidische meetkunde even goed als de Euclidische, de metrische meetkunde even goed als de projectieve.
Wordt het tweede bedoeld, dan mogen we, daar wetenschappelijken ervaring haar oorsprong vindt in toepassing der intuitieve wiskunde op de werkelijkheid, en er behalve ervaringswetenschap geen andere wetenschap bestaat, dan juist alleen de eigenschappen van die intuitieve wiskunde 15), niet anders a priori noemen, dan dat eene, wat aan alle wiskunde gemeen is, en dat aan den anderen kant toereikend is, om alle wiskunde op te bouwen, de intuitie van veeleenigheid, de oer-intuitie der wiskunde.
En daar deze samenvalt met de bewustwording [pag. 99] van den tijd als verandering zonder meer, kunnen we ook zeggen:
Het eenige aprioristische element in de wetenschap is de tijd. 16)

Tot het boek van RUSSELL komende, wijzen we eerst de volgende onjuistheden aan:
(We refereeren naar de door den schrijver herziene Fransche vertaling: B.A.W. RUSSELL, ,,Essasi sur les Fondements de la Géométrie'', Traduction par A. CADENAT, revue et annotée par l'auteur et par L. COUTURAT. Paris. Gauthier-Villars. 1901.)
1. RUSSELL tracht aan te toonen, dat het axioma van RIEMANN en HELMHOLTZ, dat de ruimte een ,,Zahlenmannigfaltigkeit'' is, het axioma der vrije bewegelijkheid vooronderstelt.
Uit zijn weinige beknopte, op dit punt betrekking hebbende, redeneeringen citeeren we de duidelijkst geformuleerde gedeelten:
(&167; 62.) ,,Tous les attributs nécessaires de l'espace sont présupposés dans tout jugement de grandeur spatiale, et ne peuvent, par suite, être des conséquences d'un tel jugement.'' . . . ,,Pour formuler les axiomes de la Géométrie métrique on doit se [pag. 100] poser cette question: Quels axiomes, c'est à dire quels attributs de l'espace, faut-il présupposer, pour que la comparaison quantitative des portions de l'espace soit possible en général?'' . . .
(§ 64.) ,,Si la mesure consiste dans la superposition des grandeurs comparées, ne s'ensuit-il pas immédiatement que la mesure ne soit logiquement possible que là où une telle superposition laisse les grabeurs invariables, et, par suite, que la mesure, telle qu'elle a été définie cie-dessus, implique, comme condition a priori, que les grandeurs restent invariables dans le mouvement?'' . . .
(§ 144.) ,,Ainsi l'on postule, dès le début même, un criterium de l'égalité spatiale: sans un tel criterium, la Géométrie métrique deviendrait tout à fait impossible. Il peut sembler, à premieère vue, que ce criterium n'ait pas besoin d'être un axiome, mais puisse être une simple définition. Ce n'est cependant pas le cas.'' . . . ,,Tout criterium de l'égalité est, non pas une définition, mais une proposition qui peut être vraie ou fausse.'' . . . ,,Il s'ensuit que l'application de concept de grandeur aux figures de l'espace implique l'axiome suivant: Les grandeurs spatiales peuvent être déplacées sans déformation.'' . . . ,,Si l'on n'admettait pas cet axiome, la Géométrie métrique serait incapable d'établir, sans une absurdité logique, la notion d'une grandeur spatiale quelconque.'' . . .
(§ 153) Nous avons parlé ci-dessus de la Gémétrie [pag. 101] sur un oeuf, qui n'admet pas la Libre Mobilité. En quoi, peut-on me demander, une Gémétrie, qui exclurait entièrement la congruence serait-elle plus impossible que cette Géométrie de l'oeuf? La réponse est facile. La Géométrie des surfaces non congruentes n'est possible que par l'emploi des infiniment petits; or, dans l'infiniment petit, toutes les surfaces deviennent planes. Si nous n'avions pas notre mesure euclidienne, qui peut être déplacée sans déformation, nous n'aurions aucune méthode pour comparer de petits arcs en différents lieux.
Op de laatste zin heeft nu de weerlegging gemakkelijk vat. Immers we kunnen een Cartesiaansche ruimte opbouwen, daarin willekeurige stelsels van oppervlakken als coördinaatvlakken en in elk der coördinaten een willekeurige eenledige groep als grondslag voor een maatbepaling nemen; vervolgens uit de elementen van coördinaat-toename een willekeurige functie als boogelement, en als afstand van twee punten hun geodetischen afstand definieeren. We behoeven derhalve, om quantiteiten in verschillende deelen der ruimte te kunnen vergelijken, niet een mogelijkheid van verplaatsing voor driedimensionale lichamen ten grondlag te leggen, maar eenvoudig voor eendimensionale draden, en hierbij krijgen we niet eens noodzakleijk in het oneindig kleine een meetkunde met vrije bewegelijkheid voor lichamen, getuige b.v. de Minkowskische meetkunde. (zie hoofdstuk I, pag. 59). [pag. 102]
2. § 100 zegt de schrijver, dat het ondenkbaar is, dat de ruimteconstante met den tijd zou veranderen. ,,Cela impliquerait entre l'espace et les autres choses, une relation causale qui paraît difficilement concevable et qui, si on la regardait comme possible, ruinerait infailliblement la Géométrie, car la Géométrie repose entièrement sur l'hypoth&eagrave;se que la causalité n'a rien à y voir. D'ailleurs, toutes les opérations de mesure prennent un certain temps, il est difficile de voir comment nos résultats pourraient être dignes de foi; et comment par conséquent on pourrait découvrir une variation du paramètre spatial.''
Bedoelt hij, dat een ruimte met veranderlijke constante niet denkbaar is, dan kunnen we zeggen: Denk maar een bol, die zich uitzet, de vaste lichamen daarop deformeeren zich alle op een bepaalde wijze; ten opzichte van elkaar deformeeren ze zich ook, maar op elk tijdstip is de deformatie ten opzichte van verplaatsing invariant, de rigide groep is dus rigide groep gebleven, maar de ruimteconstante voor de verplaatsingsgroep is veranderd. Bedoelt hij, dat de empirische ruimteconstante nooit kan veranderen, dan is werkelijk waar, dat men zoo iets nooit zou kunnen ,,ontdekken'', omdat we niets doen, dan onze empirische verschijnselen katalogizeeren in een door ons zelf geschapen Euclidische ruimte, en we die Euclidische ruimte kunnen handhaven onafhankelijk van de verschijnselen; maar we kunnen even [pag. 103] goed katalogizeeren in een ruimte, die op elk tijdstip een andere kromming heeft.
Het zijn de waarnemingen met onze astronomische instrumenten, die door een voortzetting der gebruikelijke aardsche Euclidische ruimte in de hemelruimte, en een verlenging daarin als rechte lijnen van de lichtstralen, die onze kijkers treffen, het eenvoudigst worden gekatalogizeerd. Maar het is niet uitgesloten, dat die waarnemingen voor sterren met zeer geringe parallaxis eenvoudiger zouden kunnen worden gekatalogizeerd door op den bundel van lichtstraalrichtingen, die uit het waarnemingspunt ontspringen, op zeer groote afstanden niet meer tusschen de maat langs de stralen en tusschen de stralen de betrekking aan te nemen:

dsloodrecht r = r d,

maar = 1/ sin r. d

of = 1/ sh r. d

( zeer klein, zoodat eerst op zeer groote afstanden merkbaar verschil met de formule = r. d zou komen), of zelfs nog andere betrekkingen, die niet eens overal in de ruimte dezelfde constante geven zouden.
Evenmin is er a priori reden, waarom die ruimte-constante, m.a.w. die principale bewegingsgroep, niet zou kunnen veranderen, b.v. onder den invloed [pag. 104] van verschillende systemen van hemellichamen op elkaar. En zelfs zou men kunnen zeggen:
Op het oogenblik, dat de doelmatigheid der constante mocht worden ontdekt, wordt de ruimte plotseling van Euclidisch niet-Euclidisch; zooals POINCARÉ zegt, dat de aarde eerst draait, sinds COPERNICUS het heeft uitgesproken.
3. In § 108 staat: ,,Tout raisonnement géométrique est, en dernière analyse, un cercle logique: si l'on commence par admettre les points, on ne pourra les définir que par les lignes ou les plans qui les mettent en rapport, et si l'on commence par admettre les lignes ou les plans, on ne pourra les définir que par les points par lesquels ils passent.'' Hiervan bewijst de eenvoudige opbouw der Cartesiaansche meetkunde de onjuistheid.
4. § 186-192 wordt de volgende stelling beredeneerd: ,,L'existence de choses diverses, mais en relation mutuelle, serait inconnaissable, s'il n'y avait pas, dans la perception sensible, quelque forme d'extériorité'', en het essentieele van deze redeneering komt neer op het signaleeren van wat wij hebben genoemd de oer-intuitie der wiskunde als onmisbaar voor elke intellectueele functie. In § 191 in 't bijzonder wordt dan echter getracht aan te toonen, dat de tijd alleen niet voldoende zou zijn, en wel op grond hiervan, dat er geen objecten zouden kunnen worden opgemerkt. Wij antwoorden: De eenvoudigste causale volgreeksen die de menschen opmerken hebben werkelijk [pag. 105] alleen den tijd als eendimensionaal intuitief continuum tot wiskundig substraat; dat daarbij geen andere objecten, d.w.z. invarianten optreden, dan die tijd zelf, hindert niet. Objecten komen eerst bij deelen der ervaring met meer ingewikkeld wiskundig substraat, zooals eerst in wiskundige systemen van eenige samengesteldheid invarianten optreden.
In aansluiting aan laatstgenoemden stelling wordt in § 135 beredeneerd, dat de forme d'extériorité, die er, behalve de tijd, nog als eveneens noodzakelijke voorwaarde voor de ervaring zou moeten zijn, en die als de empirische ruimte zal moeten voor den dag komen, noodzakelijk meer dan een één dimensie heeft. ,,En effet, dans une forme à une dimension, les divers contenus ne peuvent être ordonés qu'en série, et ne peuvent pas changer leur ordre dans la série sans se pénétrer mutuellement. Mais cela leur est impossible'' . . . ,,Une forme à une dimension ne peut donc pas, par elle-même, permettre ce changement des relations d'extériorité, qui seul peut nous donner conscience d'un monde varié de choses en relation réciproque.'' Waarop wij weer antwoorden, dat een dergelijke wereld van objecten (choses) voor de ervaring niet noodig is, dat de empirische ruimte een willekeurige schepping is, om verschillende causale volgreeksen (van meetresultaten), tòch met behulp van mathematische inductie onder één gezichtspunt samen te brengen, en dat de schepping dier idealiseerende samenvatting van werkelijke ervaringen als deel van een fictief geheel van mogelijke [pag. 106] ervaringen, niet meesleept, dat er bij de werkelijke ervaringen invarianten voorkomen, die den naam van objecten verdienen.
Het eenige wat in dit verband in de richting van RUSSELL'S gedachtengang kan worden opgemerkt, is dat, zoodra de mathematische inductie in het wiskundig ervaringsbeeld optreedt als middel tot samenvatting van verschillende volgreeksen, de wiskundige oer-intuitie daar tweemaal onafhankelijk optreedt op verschillende wijze, wat, zoo we haar beide malen als continu in het oog vatten, voert tot een meerdimensionaal continuum; maar het wiskundig bestaan van het meerdimensionaal continuum is onafhankelijk van de ervaring, en zijn toepasbaarheid op de ervaring is a posteriori.
Is dus de invoering van een meerdimensionaal continuum niet a priori noodzakelijk, nog veel minder die van een meerdimensionaal continuum met zúlke relaties tusschen de elementen, dat het, evenals het eendimensionaal intuitief continuum, kan worden beschouwd als forme d'exteriorité zonder meer.
En het is niet anders dan op grond van deze onjuiste meening, dat RUSSELL -139 de volgende eigenschappen der empirische ruimte als voor de ervaring noodzakelijk ontwikkelt, ze aflezend 17) uit het concept [pag. 107] van forme d'extériorité zonder meer, verwezenlijkt in een meerdimensionaal continuum:
I. ,,L'espace est continu et divisble à l'infini; le zéro d'étendue, résultant d'une division infinie, est appelé point. Tous les points sont qualitativement semblables, et se distinguent entre eux par le seul fait qu'ils sont extérieurs les uns aux autres.''
II. ,,Deux points quelconques déterminent une figure unique, la ligne droite; deux lignes droites, comme deux points, sont qualitativement semblables, et se distinguent entre elles par le seul fait qu'elles sont extérieures l'une à l'autre.''
III. ,,Trois points non en ligne droite déterminent une figure unique, le plan, et quatre points non situés dans une même plan déterminent une figure à trois dimensions. Cette progression peut, autant qu'on peut en juger a priori, se prolonguer jusqu' à cinq ou n points, sans exclure en aucune manière la possibilité d'une Géométrie projective. Mais la Géométrie projective exige, à titre d'axiome, que cette progression s'arrête à un nombre de points entier et positif, après quoi tout point nouveau doit être contenu dans la figure déterminée par ceux qui sont déjà donnés. Si cette progression s'arrête à (n + 1) points, on dit que l'espace a n dimensions.''
5. Een grove wiskundige fout is verder, de zooeven genoemde axioma's als volledig karakteriseering der projectieve meetkunde te signaleeren. 18) [pag. 108] Immers de kern der axioma's, de eigenschappen, dat de pruimte door p + 1 punten bepaald, elke rechte lijn die er 2 punten mee gemeen heeft, geheel bevat, en dat een rechte lijn en een n - 1ruimte elkaar snijden, ontbreken, en deze volgen niet uit de axioma's van RUSSELL. Immers in een Cartesiaansche ruimte kunnen we zooveel stelsels van krommen, oppervlakken enz., die aan de projectieve axioma's voldoen, bouwen als we willen. En we kunnen dan ten slotte als relatie tusschen 2 punten de rechte lijn uit een der stelsels, als relatie tusschen 3 punten het platte vlak uit een ander stelsel, enz., definieeren; zoo wordt aan de axioma's van RUSSELL voldaan, maar niet aan de projectieve axioma's.
De schepping van het projectieve systeem is niet alleen niet noodzakelijk, maar zelfs alles behalve primitief of eenvoudig bepaald, zooals duidelijk blijkt uit de in het eerste hoofdstuk pag. 57 sqq. geresumeerde ontwikkelingen van HAMEL, die aantoonen, hoe op allerlei verschillende manieren het lineaire stelsen kan worden bepaald; welke manieren dan nog weer onbepaald te vermenigvuldigen zijn door willekeurige uniforme punttransformaties; immers zoo blijven de intrinsieke eigenschappen der rechte lijnen bij de daarui door transformatie ontstaande geodetische krommen behouden, zoodat deze steeds een tranformatiegroep blijven toelaten, met de projectieve groep gelijkvormig. [pag. 109]
6. Ook het axioma der vrije bewegelijkheid wordt getracht af te lezen uit het concept van forme d'extériorité zonder meer. (in 't bijzonder § 143-157.)
(§ 62) ,,Les conditions de la mesure elle-mêmes seront a priori, quoiqu'elles ne dérivent d'aucune notion de grandeur, si l'on peut montrer que, sans elles, l'expérience d'une extériorité serait impossible.''
(&167; 145). ,,Puisque l'espace est une forme d'extériorité, il ne peut admettre que des positions relatives et non absolues, et il doit être complètement homogène d'un bout à l'autre.''
We zullen de hierop betrekking hebbende redeneeringen, die misschien het zwakste gedeelte van het geheele boek vormen, niet nader bespreken; het is natuurlijk duidelijk, dat, wat onjuist is gebleken voor de projectieve groep, a fortiori niet kan gelden voor de nog engere groep der Euclidische of niet-Euclidische bewegingen.
We merken alleen op, dat COUTURAT (kritiek op RUSSELL, Revue de Métaphysique et de Morale 1898 pag. 372 sqq.) van de genoemde stelling een zeer juiste consequentie trekt. RUSSELL zegt in § 145: ,,Puisque l'espace est une forme d'extériorité, il ne peut admettre que des positions relatives, et non absolues, et il doit être complètement homogène d'un bout à l'autre;'' m.a.w. (§ 144): ,,Les formes ne dépendent en aucune manière de la position absolue dans l'espace.''
COUTURAT wijst er dan op, dat waar reden [pag. 110] wordt gevonden, om allen invloed aan de absolute orienteering te ontzeggen, evenveel grond moet zijn, geen invloed der absolute grootte toe tr laten, daar in het concept van forme d'ectériorité zonder meer hoogstens relatieve, maar in geen geval absolute quantiteiten kunnen optreden. En hieruit leidt hij af, dat niet alleen het axioma der vrije bewegelijkheid, maar ook het parallellenaxioma van EUCLIDES, dus de geheele Euclidische meetkunde als a priori moet worden beschouwd.
Tegenover RUSSELL heeft COUTURAT gelijk, maar we herhalen: De fomre d'extrériorité is aleen in één dimensie a priori, en daar treden er niet alleen geen absolute, maar zelfs geen relatieve quantiteiten in op; de laatste verschijnen eerst, nadat als een willekeurige wiskundige bouw (van zulk een bouw is het element, d.i. de oer-intuitie der forme d'extériorité, onveranderlijk en a priori, maar de wijze der aaneenschakeling van de telkens herhaalde toepassingen van de oer-intuitie op het reeds opgebouwde of een deel er van, willekeurig) op het eendimensionaal continuum een eenledig continue, uniforme groep is geconstrueerd.
7. In § 37 wordt getracht de afstanden op een rechte lijn als primaire begrippen te handhaven, en gezegd, dat de projectieve invoering der afstanden volgens KLEIN uit de quadrilateraal-constructie eenvoudig willekeurig iets anders als afstand definieert, en dat toch nooit kan doen zonder dat vooraf de [pag. 111] voorstelling van wat RUSSELL noemt ,,distance au sens ordinaire'' reeds aanwezig is.
We citeeren ter toelichting (pag. 46): ,,Si A, B, C sont trois points diférents d'une droite, il doit exister quelque différence entre les relations de A à B et de A à C, car autrement, en vertu de l'identité qualitative de tous les points, B et C ne purraient être distingués l'un de l'autre; mais une telle différence implique, entre A et B, une relation qui soit indépendante des autres points de la droite; car si l'on n'avait pas une telle relation, les autres points ne pourraient apparaître comme différents. Donc, avant de pouvoir distinguer les deux points fixes qui servent de base à la définition projective, il faut déjà supposer qu'il existe, entre deux points quelconques de notre droites, une certaine relation indépendante des autres points, et cette relation est la distance au sens ordinaire'' . . . ,,La distance, au sens ordinaire, reste une relation entre deux points, et non entre quatre''.
Hierbij is uit het oog verlorenm dat men zich zeer goed een continuum kan voorstellen, zonder nog daarop ,,grootheden'' te kunnen vergelijken. Dat kan men eerst, na preferentie te hebben gegeven aan een willekeurige eenledige groep. (In § 178 roert trouwens RUSSELL zelf dit onderscheid tusschen ,,intensieve'' en ,,extensieve'' grootheden aan, en hij heeft er later den nadruk op gelegd in zijn ,,Principles of Mathematics''). Verder is het fout, om [pag. 112] den lineairen afstand een relatie tusschen twee punten te noemen; hij kan niet anders optreden dan in verhoudingen tusschen twee afstanden, dus in betrekkingen tusschen minstens drie punten. Zoo leert hem ook inzien de eenledige groep, waarmee elke schaal, dus ook elke afstandsbepaling gelijkwaardig is.
8. In § 45 worden de resultaten van LIE foutief weergegeven. Er staat n.l.:
,,Dans la Géométrie à deux dimensions, si la libre mobilité a lieu dans tout l'espace, il n'y a pas de groupe qui satisfasse aux trois premiers axiomes de HELMHOLTZ, excepté ceux qui donnent les mouvements euclidiens et non-euclidiens ordinaires; mais si elle a seulement lieu à l'intérieur d'une certaine région, il y a encore un groupe possible où la courbe décrite par un point quelconque en rotation n'est pas fermée, mais forme une spirale logarithmique. L'axiome de la Monodromie de HELMHOLTZ est nécessaire pour exclure cette possibilité.''
Maar zoo is het niet. Als de vrije beweeglijkheid over de geheele ruimte 19) moet plaats hebben, komen niet meer alle Euclidische en niet-Euclidische bewegingen [pag. 113] in aanmerking, alleen de niet-Euclidische elliptische groep. (vgl. LIE, ,,Ueber die Grundlagen der Geometrie,'' Leipziger Berichte 1890, pag. 289).
De eisch van vrije bewegelijkheid over de geheele ruimte kan dus niet dienen, om de Euclidische en niet-Euclidische bewegingen te behouden, en de spiraalgroep uit te sluiten. Men moet als eisch nemen òf dat de pseudocirkels hun middelpunt niet mogen bevatten (ook niet als grenspunt), òf het monodromie-postulaat van HELMHOLTZ.
Verder staat er"
,,Si dans la Géométrie à trois dimensions la libre mobilité, dans la région spécifiée, a lieu seulement pour chaque point de position générale, tandis que, si l'on fixe un point, les points d'une certaine ligne ne peuvent se mouvoir que sur cette ligne, et non sur une surface; dans ce cas d'autres groupes sont possibles et ne peuvent être exclus que par le quatrième axiome de HELMHOLTZ.''
Het resultaat van LIE komt echter neer op: ,,et ne peuvent être exclus même par le quatrième axiome de HELMHOLTZ.''

We komen tot de totale strekking van het werk, die bedoelt, het standpunt van KANT ten opzichte van de aprioriteit in de ervaring te rectificeeren, en op de hoogte van den tijd te brengen.
KANT verdedigt omtrent de ruimte de volgende stelling: [pag. 114]
De voorstelling van een uitwendige wereld door middel van een Euclidische driedimensionale ruimte is van menschelijk intellect een onveranderlijk attribuut; een ándere voorstelling van een uitwendige wereld bij dezelfde menschen is een contradictore onderstelling.
KANT bewijst zijn stelling 20) als volgt:
Van de empirische ruimte merken we twee dingen op:
1°. wij krijgen geen uitwendige ervaringen, dan geplaatst in de empirische ruimte, en kunnen ons die ervaringen niet los van de empirische ruimte denken (l.c. onder (1) en (2));
2°. voor de empirische ruimte geldt de Euclidische driedimensionale meetkunde (l.c. onder (3)),
waaruit volgt, dat de Euclidische driedimensionale meetkunde noodzakelijke voorwaarde voor alle uitwendige ervaringen en het eenig mogelijke receptaculum voor de voorstelling eener uitwendige wereld is, zoodat de eigenschappen der Euclidische meetkunde synthetische oordeelen a priori voor alle uitwendige ervaring moeten worden genoemd.
De beide praemissen betoogen in zekeren zin (die meer dan de door ons pag. 96 bedoelde omvat) de objectiviteit, eerst van de empirische ruimte zonder meer, zonder welke geen uitwendige ervaring heet te kunnen worden gedacht, (hiermee wordt [pag. 115] waarschijnlijk niet meer dan een Cartesiaansche driedimensionale ruimte bedoeld), en vervolgens van de daarin geconstrueerde Euclidische bewegingsgrope. Maar er kan direct tegen worden ingebracht, dat wij onze ervaringen krijgen los van alle wiskunde, dus ook van alle ruimtevoorstelling; wiskundige classificatiën van groepen van ervaringen, dus ook de schepping der ruimtevoorstelling, zijn vrije daden van het intellect, en wij kunnen naar verkeizing onze ervaringen op die katalogizeering betrekken, of onwiskundig ondergaan.
Beslist onwaar is dus ook de toevoeging bij de eerste praemisse, dat we de bekende uitwendige ervaringen niet kunnen denken los van de ruimtevoorstelling. En de conclusie, die de aprioriteit der Euclidische driedimensionale meetkunde hoofdzakelijk op die toevoeging grondt, moet mede worden verworpen.
Maar zelfs de praemissen van KANT aanvaardende, kunnen we tegen de conclusie aanvoeren: kan dan het menschelijk intellect niet even goed georganiseerd zijn, om in andere receptacula de voorstelling eener uitwendige wereld te plaatsen, zonder dat nochtans dit in de praktijk voorkomt; b.v. omdat er weinig resultaat mee is te bereiken, en dus het vermogen daartoe weinig wordt beoefend? De empirische vaste lichamen zijn de eenige, waarop zich het menschelijk meetinstinct kan werpen; dit verklaart dat langzamerhand de bewegingsgroep dier vaste lichamen het schema der menschelijke verstandhouding [pag. 116] over meetresultaten geworden is, maar dat nu de virtuositeit in het betrekken van verschijnselen der ervaringswereld op dat schema zeer groot is, sluit niet uit, dat men zich kan oefenen, om andere schema's (b.v. meerdimensionale en niet-Euclidische ruimten) niet alleen te bouwen, maar ook er zijn ervaringen op te betrekken. Het uitwendige ervaringen ondergaande menschelijke intellect kan zich, zoo dat het geval is, dus zeer goed van de Euclidische driedimensionale meetkunde losmaken.
Dit laatste is ook de meening van RUSSELL, maar als noodzakelijke eigenschappen van het receptaculum wil hij behouden de eigenschappen der projectieve meetkunde en het axioma der vrije bewegelijkheid, zoodat alleen nog keuze zou blijven voor de Euclidische, hyperbolische en elliptische geometrieën van een zeker aantal dimensies.
En dan verder is zijn opvatting, dat, als is het menschelijk intellect tot deze verschillende geomtrieën georganiseerd, de ervaring leert, dat alleen de Euclidische driedimensionale meetkunde voor de toevallig gegeven werkelijkheid kan dienen, waarvoor ze n.l. bij hooge benadering ,,waar'' zou zijn. (vgl. b.v. § 209 pag. 253.)
We hebben boven aangewezen, hoe RUSSELL de eerste dezer beide stellingen afleidt:
voor de projectieve meetkunde uit den foutieven eisch van meer dan één dimensie voor het wiskundig [pag. 117] substraat der ervaring, en de onjuiste uitbreiding over de uit meerdere dimensies gebouwde ruimte van de voorwaarden, waaraan moet voldoen een forme d'extériorité zonder meer.
voor de metrische meetkunde uit de willekeurige invoering der meetbaarheid (wat alleen kan geschieden door den opbouw van een groep, zooals hier in het eerste hoofdstuk is aangegeven, en wat voor de ervaring niet een bestaansvoorwaarde is) en dan verder weer uit de onjuiste uitbreiding tot ruimten met meer dimensies van eischen, die alleen voor één dimensie gerechtvaardigd zijn.
En wat de tweede stelling betreft, er is niet een bepaalde empirische ruimte: wij kunnen alle verschijnselen katalogizeeren in elke ruimte, met zooveel dimensies als wij willen, zoo bizar gekromd als we willen, dus ook zonder vrije bewegelijkheid. Ervaringswetenschap is gebonden aan wiskunde, maar dwingen tot de keuze van een bepaald wiskundig systeem kan de ervaring nooit.
De Euclidische driedimensionale meetkunde is een zesledige groep, waarin zich de beweging der empirische vaste lichamen in onze onmiddelijke omgeving met zeer groote benadering laat weergeven, en daar verder van de verschijnselen der natuur, die de menschen bestudeeren, vaak een substraat in de bewegingsgroep der empirische vaste lichamen gemakkelijk onder wetten is te brengen (wat dan als in de praktijk meest geschikte manier geschiedt volgens met [pag. 118] behulp dier groep geconstrueerde empirische krommen, die men rechte lijnen noemt, en op de rechte lijnen geconstrueerde schalen, die men afstandsschalen noemt), en zoo dienstig is als middel om voor vele doeleinden die verschijnselen te beheerschen, konden voor techniek en natuurkunde bruikbare meetwerktuigen worden geconstrueerd, waaraan de empirische vaste lichamen ten grondlag liggen, en werd de Euclidische meetkunde, dat is de Euclidische wiskundige groep de grondslag voor de verstandhouding der menschen over alle verschijnselen der ervaringswereld.
De Euclidische meetkunde is een door geregeld gebruik onder de menschen zeer algemeen handelbaar geworden gebied der wiskunde, maar het is zeer goed denkbaar, dat bij dezelfde organisatie van het menschelijk intellect een ander wiskundig gebouw deze populariteit zou hebben verkregen.

Ons standpunt resumeerende ten opzichte van de beide hoofdpunten van KANT'S Transcendentale Aesthetitek:
a). Ten opzichte van het onafscheidelijk verbondene aan de uitwendige ervaring: Niet alleen bestaat, zooals pag. 98 is gezegd, de wiskunde onafhankelijk van de ervaring, maar ook is alle ervaring onafhankelijk van alle wiskunde. Geen enkel wiskundig systeem wordt door ons mèt onze ervaringen passief ondergaan; niet eens de tijdcoördinaat, niet het maatlooze tijdcontinuum. [pag. 119]
b). Ten opzichte van noodzakelijk optreden in het wiskundig receptaculum der ervaring: Die noodzakelijkheid bestaat alleen voor de wiskundige oer-intuitie, daar het wiskundig receptaculum der ervaring aan geen andere beperking onderhevig is, dan de wiskunde zelf, en deze ontwikkelt zich uit haar oer-intuitie in een door vrije willekeur geleide zelfvermenigvuldiging; de eenige synthetische oordeelen a priori voor de uitwendige ervaring, en tevens de eenige synthetische oordeelen a priori in het algemeen zijn dus die welke worden afgelezen als wiskundige bouw-mogelijkheden van puntsystemen op het continuum 21)
Men kan dus als zulke oordeelen noemen:
1°. de mogelijkheid zelf van wiskundige synthese, van het denken van veeleenigheid, en van de herhaling daarvan in een nieuwe veeleenigheid.
2°. de mogelijkheid van tusschenvoeging, (dat men n.l. als nieuw element kan zien niet alleen het geheel van twee reeds samengestelde, maar ook [pag. 120] het bindende: dat wat niet het geheel is, en niet element is.)
3°. de oneindige voortzetbaarheid. (axioma van volledige inductie).
De ervaring a posteriori kan omtrent het noodzakelijk optreden van bepaalde wiskundige systemen in de ervaringswetenschap niets leeren.


[pag. 121]

Het volgende schema vergelijkt overzichtelijk de standpunten van KANT, RUSSELL, en het hier ontwikkelde:
in KANT'S Transcendentale Aesthetiek: in RUSSELL'S Foundations of Geometry: in dit werk
Onafscheidelijk gebonden aan de uitwendige ervaring: de Euclidische driedimensionale ruimte, en de maatlooze tijd. de Euclidische driedimensionale ruimte, en de meetbare tijd-coördinaat. niets.
Noodzakelijk treedt op in het wiskundig receptaculum der ervaring:
a) op grond van de organisatie van het menschelijk intellect: de Euclidische driedimensionale ruimte, en de maatlooze tijd. de projectieve ruimte, de vrije bewegelijkheid in de ruimte, en de meetbare tijd-coördinaat. de oer-intuitie der wiskunde, of tijdsintuitie.
b) op grond der ervaring: niets de driedimensionaliteit der ruimte en het parallellenaxioma van EUCLIDES. niets.



Voetnoten:

1) In het bijzonder heeft men aan waargenomen eindige volgreeksen dikwijls de hypothetische (immers alleen wiskundig bestaande) uitbreiding tot reeksen van w termen; op het invoeren van zulk een reeks in onze waarnemingen berust b.v. de oneindige lengte van de tijdcoördinaat.

2) of schriftteeken.

3) Haar belangrijkste toepassing vindt de samenvatting door inductie in causaliteitsbetrekkingen tusschen getallen, m.a.w. tusschen resultaten van tellingen of metingen.

4) vgl. echter pag. 90, noot.

5) wat niet wegneemt dat men, zonder voor de natuur meer dan een snelle overgang te postuleeren, bij benadering dikwijls continuiteiten invoert in het wiskundig beeld tot vereenvoudiging van het rekenen.

6) waarmee de zekerheid, dat de functie analytisch is, nog niet is verkregen, vgl. de ontwikkelingen van PRINGSHEIM in Math. Annalen Bd 44.


7) Waar men in gebieden van verschillende orde van grootheid verschillende gedrag der functies heeft moeten invoeren (b.v. bij moleculairtheorieën), tracht men de differentieerbaarheid te handhaven voor beide gebieden van grootheid, en dat zelfs dan nog, wanneer men ter vereenvoudiging van het rekenen vaak de eene maat oneindig klein in verhouding tot de andere onderstelt. Hierbij ontmoet men dan echter op het gebied der grootere maat vaak moeilijkheden. Zoo scheen de onbepaald voortzetbare differentieerbaarheid der door het principe van DIRICHLET bepaalde potentiaalfunctie een tijd lang moeilijk te handhaven. (Vgl. HILBERT, Ueber das Dirichlet'sche Prinzip, Jahresber. der Deutschen Mathem. Vereinig. Bd. VIII, en Mathem. Ann. 59, waar die onbepaald voortzetbare differentieerbaarheid toch weer wordt bewezen).

8) Voor deze en de vier volgende alinea's vgl. POINCARÉ, ,,La Science et l'Hypothèse'', Chap. X.

9) terwijl de overige door aanvulling met de principes der thermodynamica zijn te beheerschen.

10) l.c. Chap. XII.

11) Of is de oorzaak meer, dat een vast lichaam het familiare voorbeeld is van een door een eindig aantal coördinaten bepaald ding, zoodat op deze wijze in het geheel der mogelijkheden van een physisch verschijnsel nooit een willekeurige functie, maar slechts een eindig aantal veranderlijken zou optreden? De nog verder gaande consequentie van deze tendens zou zijn, dat nu ook de nog overblijvende coördinaten slechts discontinue sprongen zouden vertoonen, dus door geheele getallen zouden zijn te bepalen, en de natuur zou slechts de orde van vrijheid van een permutatiegroep behouden; al het in de natuur mogelijke zou zijn na te bouwen door iuxtapositie in ruimte en tijd van een eindig aantal elementen in verschillende geoorloofde combinaties. (vgl. hiermee het pag. 85 opgemerkte). Dat zou de natuur nóg dichter brengen bij de materieele gebouwen der menschen, en de beperkte vrijheid in het scheppen daarvan gevoeld.
Natuurlijk zouden ook bij deze opvatting de gebruikelijke continue functies der natuurbeschrijving in gebruik blijven; ze zouden hier optreden als benadering van groote getallen met kleine discontinue sprongen.

12) Als zoodanig zijn overigens dikwijls verschillende verklaringen even geschikt; men denke b.v. aan de verschillende hypothesen omtrent werkingen van stroomelementen op elkander, die de door AMPÈRE gegevene bleken te kunnen vervangen; evenmin is het uitgesloten, dat de moleculairtheorieën eens andere gelijkgerechtigde naast zich krijgen.

13) m.a.w. in het aanwijzen van de grootheden in het wiskundig beeld der verschijnselen, die als toevallige waarden van een veranderlijken parameter kunnen worden beschouwd.

14) Wie gelooft aan realiteit van hypothesen, spreekt hier van: ,,nog dieper op het wezen der verschijnselen ingaan.''

15) Eigenlijk is het gebouw der intuitieve wiskunde zonder meer een daad, en geen wetenschap; een wetenschap, d.w.z. een samenvatting van in den tijd herhaalbare causale volgreeksen, wordt zij eerst in de wiskunde der tweede orde, die het wiskundig bekijken van de wiskunde of de taal der wiskunde is: eerst daar bestaat een causaal verband in de wijze van opvolging der wiskundige systemen eenerzijds, en der wiskundige teekens, woorden of begrippen andererzijds; maar daar, evenals bij de theoretische logica, hebben we ook weer te doen met een toepassing der wiskunde, met een ervaringswetenschap. Men vergelijke in dit verband de ontwikkelingen van het derde hoofdstuk.

16)Natuurlijk wordt hier niet bedoeld de intuitieve tijd, wel te onderscheiden van de wetenschappelijke tijd, die, wel zeer a posteriori, eerst door de ervaring blijkt, als met een eenledige groep voorziene eendimensionale coördinaat geschikt te kunnen ingevoerd tot het katalogizeeren der verschijnselen.

17) Ook deze redeneeringen zelf zijn niet juist; vgl. POINCARÉ, ,,Des Fondements de la Géométrie'' § 4., Revue de Métaphysique et de Morale, 1899.

18) vgl. POINCARÉ, l.c. § 3.

19) LIE bedoelt de volledige projectieve ruimte, en daar hebben de Euclidische en hyperbolische groepen hun fundamentaalkegelsnede als onbereikbare punten, en zulk een onbereikbaar punt mist de eigenschap, dat als het met een willekeurig lijnelement er door wordt vastgehouden, dat dan het geheele vlak vast staat.\

20) Kritik der Reinen Vernunft, ed. KEHRBACH, pag. 50-52.

21) Men trachte echter niet, die oordeelen aan de wiskunde of aan de ervaring ten grondslag te leggen: ze zijn het gevolg van wiskundig bekijken der oer-intuitie, vooronderstellen dus de oer-intuitie zoowel in het bekijken als in het bekekene; ze behooren tot wat we in de het volgende hoofdstuk zullen noemen wiskunde der tweede orde.