OVER DE GRONDSLAGEN

DER WISKUNDE

Dr. L.E.J. BROUWER





III. WISKUNDE EN LOGICA


WISKUNDE
EN LOGICA.



We willen toonen, dat de wiskunde onafhankelijk is van de zoogenaamde logische wetten, (wetten van redeneering of van menschelijk denken). Dit schijnt paradox, want wiskunde wordt gewoonlijk gesproken en geschreven als bewijsvoering, afleiding van eigenschappen, en in den vorm van een aaneenschakeling van syllogismen. Maar de voorstellingen, die door de daarbij gebruikte woorden worden verwekt, bestaan hierin, dat, waar wiskundige dingen worden gegeven door hun relaties met een gedeelte van de enkelvoudige of samengestelde deelen van een wiskundig gebouw, 1) men door een reeks van tautologieën 2), de gegeven relaties vervormt en trapsgewijs voortschrijdt naar de relaties van het ding met andere deelen van het gebouw.
De bewijzen, die we in het eerste hoofdstuk van de allereerste stellingen der wiskunde gaven, bestonden in [pag. 126] het leeren lezen van die stellingen als tautologieën. Dat in meer gecompliceerde gevallen een stelling niet direct duidelijk is, maar eerst na een reeks van tautologieën wordt ingezien, bewijst alleen, dat wij onze gebouwen ingewikkelder bouwen, dan we in eens kunnen overzien.
Er is een bijzonder geval, waar de aaneenschakeling van syllogismen een eenigszins ander karakter heeft, dat aan de gewone logische figuren meer nabij schijnt te komen, en werkelijk het hypothetische oordeel der logica schijnt te vooronderstellen. Dat is, waar een gebouw ín een gebouw door eenige relatie wordt gedefinieerd zonder dat men daarin direct het middel ziet het te contrueeren. Het schijnt, dat men daar onderstelt dat het gezochte geconstrueerd was, en uit die onderstellingen een keten van hypothetische oordeelen afleidt. 3) Maar meer dan schijn is dit niet; wat men hier eigenlijk doet, bestaat in het volgende: men begint met een systeem te construeeren, dat aan een deel der geëischte relaties voldoet, en tracht uit die relaties door tautologieën andere af te leiden zóó, dat ten slotte de afgeleide zich met de nog achteraf gehoudene laten combineeren tot een stelsel voorwaarden, dat als uitgangspunt voor de constructie van het gezochte systeem kan dienen. Met [pag. 127] die constructie is dan eerst bewezen, dat werkelijk aan de voorwaarden kan worden voldaan.
,,Maar'', zal de logicus zeggen, ,,het had ook kunnen zijn, dat bij de redeneeringen een strijdigheid tusschen de afgeleide en de nog wachtende voorwaarden was voor den dag gekomen, en die strijdigheid wordt toch waargenomen als logische figuur en bij het inzicht van de strijdigheid steunt men op het principium contradictionis.'' Waarop kan worden geantwoord: ,,De woorden van uw wiskundig betoog zijn slechts de begeleiding van een woordloos wiskundig bouwen, en waar gij de strijdigheid uitspreekt, merk ik eenvoudig, dat het bouwen niet verder gaat, dat er geen plaats is te vinden in het gegeven grondgebouw voor het opgegeven gebouw. En waar ik dat merk, denk ik aan geen principium contradictionis.
Is dus de wiskunde niet afhankelijk van de logica, de logica is wèl afhankelijk van de wiskunde: vooreerst het intuitief logisch redeneeren is dát bijzondere wiskundige redeneeren, dat overblijft, als men bij het bekijken der wiskundige systemen zich uitsluitend beperkt tot relaties van geheel en deel; de beschouwde wiskundige systemen zelf dragen in geen opzicht een speciaal elementair karakter, dat een prioriteit van logisch redeneeren zou kunnen wettigen. Men zou kunnen aanvoeren: De relatie opvolger zijn van, die het redeneeren in de eigenlijke [pag. 128] wiskunde beheerscht, treedt in de wiskunde van het logisch redeneeren nog niet op. Dan dient geantwoord: Die relatie treedt weliswaat niet meer expliciet op, maar ze is er zoo goed als in alle wiskunde voorondersteld; immers ze vergezelt alle wiskundige opbouw, hoezeer ze ook na het beëindigen van den opbouw bij zekere relaties tusschen de elementen niet meer als zoodanig duidelijk in het oog springt.
Van het wiskundig bouwen en redeneeren, en in het bijzonder van het logisch redeneeren, dat de menschen bij zichzelf doen, trachten ze door middel van klanken en teekens bij andere menschen copieën te doen oprijzen, of ook hun eigen herinneringsvermogen te hulp te komen. Zoo ontstaat de wiskundige taal, en als bijzonder geval hiervaj de taal der logische redeneeringen. 4)
Voor welke wiskundige begrippen men een klankbeeld of schriftteeken zal scheppen, om er aan te laten beantwoorden, deze keuze zal zoo ekonomisch mogelijk rekening houden met de meest gebruikelijke wiskundige systemen en wijzen van redeneering; ze zal dus in 't algemeen in elk milieu verschillend [pag. 129] zijn. En in het bijzonder: welke gedeelten der wiskunde een taal krijgen niet alleen bij de wiskundigen van beroep, maar ook in het dagelijksch leven, dit zal voor elk volk weer op nieuw er van af hangen, welke gedeelten der wiskunde als leiding voor het levensgedrag of als middel tot verstandhouding daarover er de meeste toepassing hebben gevonden.
Het is dus zeer goed denkbaar, dat bij dezelfde organisatie van het menschelijk intellect, dus bij dezelfde wiskunde, een andere taal van verstandhouding ware ontstaan, waarin voor de ons bekende taal der logische redeneeringen geen plaats zou zijn. En waarschijnlijk zijn er nog wel buiten het cultuurverband levende volken, waarbij dat werkelijk het geval is. En evenmin is voor de taal der cultuurvolken uitgesloten, dat in een verder ontwikkelingsstadium de logische redeneeringen er hun plaasts zullen verliezen.
Nu hebben de menschen, die alles wiskundig willen bekijken, dat ook gedaan met de wiskundige taal, en wel in vroeger eeuwen steeds uitsluitend met de taak der logische redeneeringen: de hieruit voortgekomen wetenschap is de theoretische logica.
Eerst in de laatste twintig jaren (de vroegste sporen gaan overigens tot op LEIBNITZ terug) is men de wiskundige taal in het algemeen op dezelfde wijze gaan bekijken: hierin bestaat, voor zoover ze zonder zeloverschatting wordt beoefend 5), de logistiek. [pag. 130]
Zoowel theoretische logica als logistiek zijn dus empirische wetenschappen, en toepassingen der wiskunde, die omtrent de organisatie van het menschelijk intellect nooit iets zullen kunnen leeren, en nog eerder tot de ethnographie, dan tot de psychologie, moeten worden gerekend.
En de taal der logische redeneeringen is zoo min een toepassing van de theoretische logica (waarvan zou overigens in dat geval de taal der theoretische logica zelf een toepassing zijn?) als het menschelijk lichaam een toepassing der anatomie is.
Beschouwen we tot toelichting het klassieke syllogisme:
Alle menschen zijn sterfelijk.
Socrates is een mensch.
ergo: Socrates is sterfelijk.

De gedachten door deze woorden geaccompagneerd zijn de volgende:
Ten grondlag ligt de projecteering in de aanschouwingswereld van een wiskundig systeem, n.l. een groep van een eindig aantal elementen, ,,subjecten'', elk verbonden aan geen of een of meer uit een groep van een eindig aantal andere elementen (,,praedicaten''). Het blijkt dat het gelukt, in het menschelijk intellect een deel der aanschouwingswereld [pag. 131] bij benadering op zoo'n systeem te projecteeren.
Nu, en in zoo'n wiskundig systeem is het een wiskundige tautologie, dat als alle elementen met het praedicaat ,,mensch'' een deel zijn van die met het praedicaat ,,sterfelijk'', dat dan een element ,,Socrates'' uit de eerste groep, ook deel uitmaakt van de tweede groep. We hebben hier een der allereenvoudigste vormen van wiskundige redeneering, dat is van door tautologie overgaan van de eene relatie op de andere.
Gaat men evenwel de woorden, die deze primitieve wiskunde begeleiden, bekijken, dan kan men er wiskundig een verrassend mechanisme van een niet a priori duidelijke wetmatigheid in zien, m.a.w. men kan op die woorden een nieuw eenvoudig wiskundig systeem projecteeren, waarover sprekende men de theorie van het syllogisme uiteenzet. Maar de hier van kracht zijnde wiskundige systemen behooren tot de allereenvoudigste, hebben dus voor hun bekendheid de logica niet noodig.
Was in het syllogisme nog een wiskundig element te onderkennen, de stelling:
Een functie is òf differentieerbaar óf niet differentieerbaar
zegt niets; drukt hetzelfde uit, als het volgende:
Als een functie niet differentieerbaar is, is ze niet differentieerbaar.
Maar de woorden van eerstgenoemde volzin bekijkend, en een regelmatig gedrag in de opvolging der woorden van deze en van dergelijke volzinnen [pag. 132] ontdekkend, projecteert de logicus ook hier een wiskundig systeem, en noemt zulk een volzin een toepassing van het principe van tertium non datur.
We leggen er verder den nadruk op, dat het syllogisme en de verder logische principes kunnen worden gerekend te gelden voor de taal der logische redeneeringen, die handelen over eindige elementengroepen, of aftelbaar oneindige, of gebieden binnen continua, maar in elk geval uitsluitend wiskundig opgebouwde systemen; de overtuiging van de betrouwbaarheid hunner toepassing steunt op de zekerheid, dat het wiskundig opbouwbare systemen zijn, waarover wordt gesproken. En wanneer het gelukt taalgebouwen op te trekken, reeksen van volzinnen, die volgens de wetten der logica op elkaar volgen, uitgaande van taalbeelden, die voor werkelijke wiskundige gebouwen, wiskundige grondwaarheden zouden kunnen accompagneeren, en het blijkt dat die taalgebouwen nooit het taalbeeld van een contradictie zullen kunnen vertoonen, dan zijn ze toch alleen wiskunde als taalgebouw en hebben met wiskunde buiten dat gebouw, bijv. met de gewone rekenkunde of meetkunde niets te maken.
Dus in geen geval mag men denken, door middel van die taalgebouwen iets van andere wiskunde, dan die direct intuitief op te bouwen is, te kunnen te weten te komen. En nog veel minder mag men meenen, op die manier de grondslagen der wiskunde te kunnen leggen, m.a.w. de betrouwbaarheid der [pag. 133] wiskundige eigenschappen te kunnen verzekeren.
We gaan er toe over, op grond van bovenstaande overwegingen achtereenvolgens nader te bespreken:
1°. De grondvesting der wiskunde op axioma's.
2°. De theorie der transfinite getallen van CANTOR.
3°. De logistiek van PEANO-RUSSELL.
4°. De logische grondslagen der wiskunde volgens HILBERT.
Ad 1°.

Het klassieke voorbeeld is hier de meetkunde van EUCLIDES. Dat het als logisch taalgebouw onvolkomen is, dat n.l. stilzwijgend hier en daar niet genoemde axioma's worden ingevoerd, is door de nieuwere onderzoekingen van PASCH, SCHUR, HILBERT, PEANO, PIERI e.a. overtuigend aangetoond, maar het systeem in dat opzicht te perfectioneeren, heeft dezen wiskundigen weinig moeite gekost. Daarnaast hebben zij, en vooral HILBERT, zich onledig gehouden, taalgebouwen van pathologische geomtrieën te construeeren, om aan te toonen, welke eigenschappen (d.w.z. volzinnen die voor de Euclidische meetkunde meetkundige eigenschappen uitdrukken) wèl, en welke niet behouden blijven, wanneer men een deel der axioma's laat vallen (hierin de voetsporen drukkend van LOBATCHÉFFSKY, die onderzocht, wat van het logische gebouw van EUCLIDES overblijft, als men zijn parallellen-axioma [pag. 134] vallen laat 6)). In het bijzonder stelden zij zich ten doel, voor elk der zoo geconstrueerde logische gebouwen de benoodigde axioma's tot een minimum te beperken. Zoo heeft HILBERT voor de meeste in zijn Festschrift opgestelde axioma's aangetoond, dat zij niet kunnen weggelaten worden, zonder dat de meetkunde daardoor een deel van haar eigenschappen verliest. 7)
We moeten echter opmerken, dat het verwijt van onvolledigheid tegen EUCLIDES vervalt als hij zich zijn wiskundig gebouw der Euclidische meetkunde, reeds af voorstelde (als een Cartesiaansche ruimte met een bewegingsgroep), en zijn redeneeringen alleen dienen als begeleiding bij het uit duidelijk geziene [pag. 135] relaties (dat zijn ondergeschikte gebouwen) door een reeks van tautologieën overgaan tot nieuwe, niet direct geziene, m.a.w. als begeleiding van een exploratie van een zelf opgebouwd gebouw. Dan is zijn werk zuiver wiskundig, en het niet invoeren van coördinaten en opereeren daarmee, is alleen een methodische onvolkomenheid.
Het is natuurlijk ook mogelijk, dat EUCLIDES het niet zoo heeft ingezien, en in de fout van zoovelen is vervallen, die dachten logisch te kunnen redeneeren over andere diungen dan eigengemaakte wiskundige systemen, en voorbijzagen, dat, waar de logica het woord alle of elke gebruikt, deze woorden, om zin te hebben, de beperking van voor zoover behoorend tot een als vooraf opgebouwd gedacht wiskundig systeem stilzwijgend insluiten 8). [pag. 136]
In elk geval is het werk van EUCLIDES door de nakomelingschap meest als zulk een logisch gebouw opgevat en LOBATCHEFFSKY misschien en BOLYAI zeker construeerden eveneens logische gebouwen, zonder zich om wiskundige systemen, die ze zouden kunnen accompagneeren, te bekommeren. Eerst RIEMANN heeft voor het onderzoek naar de grondslagen der meetkunde den juisten weg gewezen, door bij zijn redeneeringen er van uit te gaan, dat de ruimte een Zahlenmannigfaltigkeit is, dus een door ons zelf gebouwd systeem. Hij voert dit evenwel met nadruk in als een hypothese, die een willekeurig karakter draagt; en spreekt er niet van, dat we in elk geval een wiskundig systeem moeten ten grondslag leggen, en dan als zoodanig uithoofde van doelmatigheid de Zahlenmannigfaltigkeit kiezen. Zoo zijn dus PASCH, HILBERT enz., in zijn [pag. 137] aanname iets willekeurigs ziende, weer tot de logische grondvesting der meetkunde teruggekeerd, en hebben getracht EUCLIDES te verbeteren, door, zooals we boven hebben uiteengezet, zich ten doel te stellen taalgebouwen 9) te construeeren, die uit axioma's zich ontwikkelen, enkel door middel van het formeele syllogisme en de verdere logische principes. De intuïtieve wiskunde halen ze alleen binnen den kring hunner beschouwingen tot het voeren van niet-strijdigheidsbewijzen (aangeven van een systeem, waarvan een zeker stelsel logische axioma's en dus ook alle er uit afgeleide stellingen kunnen worden beschouwd, eigenschappen uit te drukken 10)) en onafhankelijkheidsbewijzen [pag. 138] (d.w.z. dat emn, om aan te toonen, dat een zeker axioma uit zekere andere niet logisch [pag. 139] is af te leiden, een wiskundig systeem aangeeft, waarvan de laatste wel, het eerste niet, beschouwd kunnen [pag. 140] eigenschappen uit te drukken), en in dezen zin treden bij hem o.a. niet-Archimedische en niet-Pascalsche geometrieën op, zooals we aan het eind van het eerste hoofdstuk hebben geconstrueerd 11). Deze weinig harmonische, met moeite samengetimmerde systemen krijgen zoo, doordat ze een beperkter stel axioma's representeeren, een prioriteit ten opzichte van de eenvoudige, doorzichtige, Euclidische meetkunde 12). Zoo iets storends is het gevolg, wanneer [pag. 141] men de taal, die een, zij het gebrekkig, hulpmiddel is om wiskunde mee te deeken, maar met de wiskunde zelf niets uitstaande heeft, er van gaat bekijken, en de wetten, die de opvolging der volzinnen regeeren, de logische wetten, als het eigenlijke richtende bij daden van wiskundig bouwen in 't oog gaat vatten.
Intusschen blijven de moderne axiomatici natuurlijk toch van plan, om hun logische systemen ten slotte weer toegepast te zien, en hebben dan ook geen woordgebouwen opgetrokken, dan die geschikt zijn, om opbouwbare wiskundige systemen te begeleiden. Nu rijst de vraag: gesteld we hebben op een of andere manier, zonder aan wiskundige interpretaties te denken, bewezeb dat het uit eenige taalaxioma's opgebouwde logische systeem niet-strijdig is, d.w.z. dat op geen moment der ontwikkeling van het systeem twee strijdige stellingen komen; vinden we vervolgens een wiskundige interpretatie voor de axiomas's, (die dan natuurlijk bestaat in den eisch, een wiskundig gebouw te construeeren met aan gegeven wiskundige relaties voldoende elementen), volgt dan uit de niet-strijdigheid van het logische systeem, dat zulk een wiskundig gebouw bestaat? Maar zoo iets is door de axiomatici nooit bewezen, niet eens voor het geval de gestelde voorwaarden insluiten, dat het een wiskundig opbouwbaar systeem is, wat gezocht wordt; zoo b.v. wordt nergens bewezen, dat als een eindig [pag. 142] getal aan een stelsel voorwaarden moet voldoen, waarvan bewezen kan worden, dat ze niet contradictoor zijn, dat dan dat getal ook bestaat. 13)
Maar zeker niet is de stelling waar, als in de gegeven voorwaarden niet reeds de opbouwbaarheid uitdrukkelijk begrepen is. Zoo b.v. zijn volgens HILBERT de eigenschappen, door CANTOR gesteld voor de welgeordende verzameling, bestaande uit al de getallen der tweede getalklasse, niet contradictoor; maar de verzameling bestaat niet wiskundig.
Ad 2°.
We hebben in het eerste hoofdstuk gezien, dat er geen andere verzamelingen bestaan, dan eindige en aftelbaar oneindige, en continua; hetgeen is aangetoond op grond van de intuitieve waarheid, dat wij wiskundig niet anders kunnen scheppen, dan eindige rijen, verder op grond van het duidelijk gedachte ,,en zoo voort'' het ordetype , doch allen bestaande [pag. 143] uit gelijke elementen 14), zoodat we ons b.v. de willekeurige oneindige duaalbreuken nooit af, dus nooit geïndividualiseerd kunnen denken, omdat het aftelbaar oneindig aantal cijfers achter de komma niet is te zien als een aftelbaar aantal gelijke dingen), en tenslotte het intuitief continuum, (met behulp waarvan we vervolgens het gewone continuum, het meetbaar continuum, hebben geconstrueerd).
CANTOR en zijn volgelingen meenen echter nog allerlei verzamelingen te kennen; hun grondbeginsel is (CANTOR, ,,Grundlagen der allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre,'' pag. 45) het volgende:
,,Der Vorgang bei der correcten Bildung von Begriffen ist m.E. überall derselbe; man setzt ein eigenschaftloses Ding, das zuerst nichts anderes ist, als ein Name oder ein Zeichen A und giebt demselben ordnungsmässig verschiedene, selbst unendlich viele verständliche Prädicate, deren Bedeutung an bereits vorhandenen Ideeën bekannt ist und die einander nicht wiedersprechen dürfen; dadurch werden die Beziehungen von A zu den bereits vorhandenen Begriffen und namentlich zu den verwandten bestimmt; ist man hiermit vollständig zu Ende, so sind alle Bedingungen zur Weckung des Begriffes A, welcher in uns geschlummert, vorhanden und [pag. 144] er tritt fertig ins Dasein, versehen mit der intrasubjectiven Realität, welche überall von Begriffen nur verlangt werden kann; seine transiente Bedeutung zu constatiren ist alsdann Sache der Metaphysik.''
Het komt zooals we zien ongeveer neer op het standpunt der axiomatici.
We hebben boven getoond dat dit principe niet gewettigd is, en beweren nu op dezen grond, dat de vele paradoxen der ,,Mengenlehre'', waravan de oplossing met zooveel ijver wordt gezocht, geen recht van bestaan hebben; dat veelmeer de Cantorianen verplicht waren geweest een begrip dat tot een contradictie aanleiding geeft, direct, als zeker onwiskundig gevormd, te verwerpen.
Gaan we op enkele punten nader in:

Van de definitie der welgeordende verzamelingen volgens CANTOR (zie hoofdstuk I pag. 63) weten we, dat ze niet-contradictoor is; immers er bestaan welgeordende verzamelingen, in de eerste plaats het ordetype van de rij der eindige ordetypen: 0, 1, 2, . . . Er is dan ook niets tegen, om te stellen als een nieuw ordegetal, en weer op nieuw te gaan tellen

, + 1, + 2, . . . 2, 2 + 1, . . . m + n, . . .

Evenmin is er iets tegen, na alle op deze wijze te vormen getallen te stellen een getal 2; we openen ons zoo weer een grooter gebied van volgend een [pag. 145] welgeordende rij op elkaar volgende ordegetallen, waarvan de uitdrukking geschiedt door den algemeenen vorm:
m1p1 + m2p2 + . . . . (pr > pr + 1)

als eerstvolgende waarop we kunnen invoeren. Zoo kunnen we doorgaan, en CANTOR toont (,,Grundlagen'' pag. 35) aan, dat elk zoo ingevoerd ordetype, dus ook in elk stadium het geheel der ingevoerde getallen, aftelbaar blijft. Dan laat hij echter volgen:
,,Wir definiren daher der zweite Zahlenclasse als den Inbegriff aller mit Hülfe der beiden Erzeugungsprincipe (hij verstaat onder die twee principes: een eenheid verder gaan, en van een ordetype het naasthoogere element, het grenselement, nemen) bildbaren, in bestimmter Succession fortschreitende Zahlen :

, + 1, . . ., v0µ + v1µ - 1 + . . . + vµ - 1 + vµ, . . . . , . . . . , . . . .

welche der Bedingung unterworfen sind, dass alle der Zahl voraufgehenden Zahlen, von 1 an, eine Menge von der Mächtigkeit der ersten Zahlenclasse bilden.''
Let wel, ,,den Inbegriff aller''; hij spreekt hier van iets, wat van zich niet laat denken, d.w.z. zich niet wiskundig laat opbouwen; immers een geheel, [pag. 146] geconstrueerd met behulp van ,,en zoo voort'' laat zich alleen denken, als dat ,,en zoo voort'' op een ordetype van gelijke dingen slaat; maar het ,,en zoo voort'' hier slaat niet op een ordetype , en ook niet op gelijke dingen. CANTOR verliest dus hier den wiskundigen bodem. Volgens zijn boven aangehaald grondprincipe moet hem dit onverschillig zijn; maar in elk geval moet hij dan toch zorgen, dat hij logisch vasten grond houdt, heeft dus aan te toonen, dat de invoering van dit ,,Inbegriff aller'' niet tot strijdigheden aanleiding kan geven, wat hij evenmin doet, wat echter kan geschieden volgens de methode, waarop HILBERT 15) de logische entiteit ,,Inbegriff aller'' invoert, en haar niet-strijdigheid bewijst.
CANTOR gaat nu door en spreekt over zijn tweede getalklasse, alsof hij haar reëel voor oogen had; zijn manier van uitdrukken wijst er alles behalve op, dat hij alleen een logisch systeem op het oog heeft. Bij het bewijzen der machtigheidsstellingen, dat de tweede getalklasse een hoogere machtigheid heeft dan de eerste, en wel de naasthoogere, ziet hij in die machtigheidsgelijkheids, resp. ongelijkheid wel degelijk een reëele mogelijkheid resp. onmogelijkheid van een eenduidige afbeelding van twee bestaande getalklassen op elkaar. [pag. 147]
Van ons standpunt zijn die redeneeringen met de tendens die CANTOR er in legt beschouwd, zinloos; het eenige, wat er, met eenige wijzigingen, van te maken is, komt neer op de volgende trivialiteit: Wordt de logische entiteit T (machtigheid der tweede getalklasse) ingevoerd, dan zou het axioma T = A (A is de machtigheid van ) in het logisch gebouw tot een contradictie voeren; evenzoo de invoering van een logische entiteit I, die de logsiche functie van een machtigheid zou moeten vervullen, en aan de axioma's A < I < T zou moeten voldoen. Dat is het logische, voor de wiskunde waardelooze resultaat dezer bewijzen van CANTOR. Wil men het in wiskundig licht bezien, dan kan men niet anders vinden dan de volgende uitspraak: Onwaar zijn de beide stellingen:
1°. De tweede getalklasse is denkbaar en aftelbaar.
2°. De tweede getalklasse is denkbaar, en er ligt een machtigheid tusschen de hare, en die der eerste getalklasse.
Maar dat deze twee stellingen onwaar zijn, wisten we al, want we wisten al dat het eerste deel van beide (de denkbaarheid der tweede getalklasse) onwaar is.
En als parallelle wiskundige inhoud der in de bewijzen van CANTOR bevatte ontwikkelingen blijft alleen het volgende over: ,,Er is zeker geen rij met machtigheid A van welgeordende verzamelingen zóó, dat ik nog niet een nieuwe, niet tot die rij behoorende welgeordende verzameling zou kunnen opbouwen. Maar [pag. 148] het geheel der welgeordende verzamelingen, die ik in een of ander wiskundig systeem heb ingevoerd, is zeker aftelbaar.'' (We spreken in deze wiskundige stelling niet van ,,getallen der tweede getalklasse,'' omdat het woord klasse hier niet tot ons begrip spreken kan; we spreken ook niet uitdrukkelijk van de ,,aftelbare welgeordende verzamelingen,'' want we kunnen geen andere welgeordende verzamelingen. dan aftelbare, opbouwen.
Wil men toch van ,,het geheel der welgeordende getallen'' spreken, en iets omtrent de machtigheid daarvan zeggen, dan gelukt dat in een eenigszins gewijzigde beteekenis, in verband met de laatstgenoemde wiskundige stelling, door de volgende uitspraak:
De machtigheid van het geheel der welgeordende getallen is aftelbaar onaf; we verstaan dan onder een aftelbaar onaffe verzameling een, waarvan niet anders dan een aftelbare groep welgedefinieerd is aan te geven, maar waar dan tevens dadelijk volgens een of ander vooraf gedefinieerd wiskundig proces uit elke zoodanige aftelbare groep nieuwe elementen zijn af te leiden, die gerekend worden eveneesn tot de verzameling in kwestie te behooren. Maar streng wiskundig bestaat die verzameling als geheel niet; evenmin haar machtigheid; we kunnen deze woorden echter invoeren als willekeurige uitdrukkingswijzen voor een bekende bedoeling.
Als verdere voorbeelden van aftelbaar onaffe verzamelingen kunnen we noemen: Het geheel der [pag. 149] definieerbare punten op het continuum; en a fortiori het geheel van alle mogelijke wiskundige systemen.
Bij het nooit klaar komend opbouwen van een aftelbaar onaffe verzameling kunnen we al voortbouwende naar opvolging afbeelden op de rij der welgeordende verzamelingen, die eveneens nooit uitgeput raakt; het begrip van gelijkmachtigheid uitbreidend, om het hier toepasbaar te houden, kunnen we zeggen:
Alle aftelbaar onaffe verzamelingen zijn gelijkmachtig 16).
We onderscheiden dus dan voor verzamelingen naar volgorde van grootte de volgende machtigheden:

1°. de verschillende eindige.
2°. de aftelbaar oneindige.
3°. de aftelbaar oneindig onaffe.
4°. de continue.

Het continuumprobleem, waarover voortdurend [pag. 150] bijdragen verschijnen met het doel, de oplossing een stap verder te voeren, stelt den eisch aan te toonen, dat het continuum en het ,,geheel der getallen van de tweede getalklasse'' gelijkmachtig zijn. Uit het voorgaande blijkt nu, dat men daarmee, aangezien nòch het geheel der getallen van de tweede getalklasse, nòch het continuum als systeem van geïndividualiseerde punten wiskundig bestaan, niets duidelijk gedachts kan zoeken, dan de volgende buiten de eigenlijke wiskunde staande logische stelling:
,,Men kan als logische entiteiten invoeren het geheel der getallen van de tweede getalklasse en het geheel der punten van het continuum zóó, dat de aanname dat daartusschen correspondentie één aan één bestaat, waarbij geen enkel element van en van beide buiten die correspondentie valt, niet-contradictoor is.''
Maar als men invoert de logische entiteit: geheel der punten van het continuum, en de continuum-intuitie heeft verlaten, dus de punten van continuum moet definieeren, is dat niet anders mogelijk, dan als de te definieeren wetten van voortschrijding voor benaderende duaalbreuken. Nu, als zoodanig is dan het continuum aftelbaar onaf en ook de tweede getalklasse is aftelbaar onaf, de gezochte ogische stelling is dus bewezen.
De verwante wiskundige kwestie (dat alle op het continuum te definieeren verzamelingen òf aftelbaar zijn, òf de machtigheid van het continuum [pag. 151] bezitten) is in het eerste hoofdstuk (pag. 62-67) behandeld.

Volgen we CANTOR verder, dan zien we hoe hij als eerste ordegetal, dat op alle ordegetallen der tweede klasse volgt, invoert, en dat noemt: eerste ordegetal der derde getalklasse. Maar bestaat niet wiskundig, en het logische bewijs voor de niet-strijdigheid van het nieuw ingevoerde ding, hoewel waarschijnlijk licht te voeren, heeft geen belang.
CANTOR'S volgelingen zijn onbeschroomd nog verder doorgegaan en hebben zoo evenveel getalklassen en machtigheden geschapen, als ze ordegetallen zelf konden scheppen, zich nòch om wiskundige denkbaarheid, nòch om logische niet-strijdigheid bekommerend. Ten slotte voerden ze in het geheel van alle ordegetallen, maar bemerkten nu een logsiche strijdigheid, die intusschen werd gesignaleerd als wiskundige paradox en waarvan een wiskundige (we verstaan onder wiskundige steeds: in het gebied der intuïtieve denkbaarheden liggend) oplossing met ijver werd gezocht, zonder dat men er erg in had, hoe hier het gebied der wiskunde reeds lang verlaten was.
Het is de paradox van BURALI-FORTI: (,,Una questione sui numeri transfiniti,'' Rendiconti del circolo Matematico di Palermo 1897) ,,Stellen we het geheel der welgeordende typen naar volgorde van grootte gerangschikt, O, dan in O zelf een welgeordend [pag. 152] type, en daar alle welgeordende typen optreden als een deelverzameling van O, moet O het grootste welgeordende type zijn. Maar als O een welgeordend type is, is O + 1 er ook een, en O + 1 > O; O is dus niet het grootste ordegetal.''
Ten eerste zou de paradox licht te verhelpen zijn, door aan O niet opnieuw de eigenschap toe te kennen, (aan vroeger geschapen welgeordende typen toch ook alleen bij willekeurige axioma's toegekend), dat O + 1 weer een welgeordend tupe is.
Maar ten tweede mag men zoo iets niet paradox vinden: waar men logische gebouwen schept, zonder een wiskunde, die ze als taalbegeleiding accompagneeren, is van elk gebouw a priori even goed mogelijk, dat het strijdig, als niet-strijdig is.

Een tweede beroemd probleem uit de leer der transfinite getallen is: ,,Te bewijzen, dat elke verzameling kan worden welgeordend.'' CANTOR sprak deze stelling (,,Grundlagen'' pag. 6) uit als ,,Denkgesetz,'' waarvoor natuurlijk niet de minste reden is, zoodat zijn volgelingen dan ook trachtten haar te bewijzen. In Mathem. Ann. 59 geeft ZERMELO zulk een bewijs op grond van het volgend axioma:
,,Jeder Teilmenge M' einer Menge M kann man ein beliebiges Element m'1 zugeordnet denken, dass in M' selbst vorkommt und das ,,ausgezeichnete'' Element von M' genannt werden möge.''
BOREL merkt dan in Mathem. Ann. 60 terecht [pag. 153] op, dat wie zoo iets als axioma invoert, even goed de stelling zelf als axioma nemen kan.
Nu weten we, dat behalve de aftelbare verzamelingen, waarvoor de stelling zeker geldt, nog alleen het continuum bestaat, waarvoor de stelling zeker niet geldt, vooreerst omdat men het grootste deel der elementen van het continuum als onbekend meot beschouwen, ze dus allerminst individueel kan ordenen, en dan, omdat alle welgeordende verzamelingen aftelbaar zijn. Ook deze kwestie blijkt dus illusoor.

Als hoofdstelling van de leer der transfinite getallen wordt gewoonlijk genoemd het theorema van BERNSTEIN-SCHRÖDER:
,,Zijn A en B twee verzamelingen en is A een-eenduidig af te beelden op een deel van B en evenzoo B op een deel van A, dan ook A op B.''
of wat op hetzelfde neerkomt, (we voeren in het symbool ,,a b'', gelezen: a aequivalent met b), om uit te drukken dat a en b een-eenduidig op elkaar afbeeldbaar zijn):
Als
A = A1 + B + C
A A1
dan ook
A A1 + B.
(Gesteld n.l. dat de stelling in de laatste formuleering bewezen is en gegeven: [pag. 154]
A = H1 + C H H1
H = A1 + D A A1
hebben we eveneens
H1 = A11 + D1
waarin
A11 A1 A
D1 D.
En nu volgt uit
A = A11 + D1 + C
volgend de stelling in de tweede formuleering
A A11 + D1 H.)
Het bewijs voor de tweede formuleering wordt gegeven als volgt: Passen we de operatie, die A verdeelt in een deel, met het geheel aequivalent, en nog twee andere deelen, weer toe op A1, zoodat
A1 = A2 + B1 + C1,
vervolgens op A2 enz., dan hebben we ten slotte:
A = B + B1 + B2 + . . . . . . . +
+ C + C1 + C2 . . . . + D,
als D de verzameling is, die aan alle opvolgende A's gemeenschappelijk is. Maar duidelijk is
C + C1 + C2 + . . . . C1 + C2 . . . .
Dus
A B + B1 + B2 . . . . + C1 + C2 + . . . . + D A1 + B;
en men krijgt de gezochte afbeelding, door C af te beelden op C1; C1 op C2; C2 op C3; enz.
Voor de alleen als niet-contradictore logische [pag. 155] entiteiten bestaande verzamelingen bewijst dit theorema, dat als
A = A1 + B + C,
en er is een een-eenduidige afbeelding van A op A1 gegeven, dat het dan logisch niet-strijdig is, aan te nemen dat ook A en A1 + B aequivalent zijn. Wiskundig geeft het ook een middel aan, om een een-eenduidige afbeelding van A op A1 + B werkelijk uit te voeren, maar alleen voor de gedefinieerde, de bekende elementen van A, dat is dus voor een aftelbaar onaf gedeelte. Voor de onbekende elementen leert het zulk een afbeelding niet. Zoo b.v. bij een A, die een continuum is, zullen we van een willekeurig element, dat dus alleen bij steeds onaffe benadering bekend is, nooit weten, of het al of niet tot een der C's hoort, en zoo ja, tot welke, dus kunnen we van de benadering van de afbeelding niets zeggen.
Wiskundigen zin heeft dus de stelling, zooals ze boven is bewezen, alleen voor eindige, aftelbare en aftelbaar onaffe verzamelingen. Maar daarvoor is haar geldigheid direct duidelijk.
Het theorema is zooals we van vroeger (zie Hoofdstuk I pag. 62-67) weten, ook geldig voor continua; maar het zooeven gegeven bewijs heeft voor dat geval geen waarde.
Nu het theorema zonder beteekenis blijkt te zijn, kunnen we verwachten, dat de vele toepassingen, die de Cantorianen er van maken, even inhoudsloos [pag. 156] zijn. Onderzoeken we als voorbeeld een verhandeling van BERNSTEIN in Mathem. Annalen 61. Om het continuumprobleem dichter bij zijn oplossing te voeren, leidt hij daar naast de bekende stelling:
De machtigheid van alle welgeordende typen met machtigheid A (eerste machtigheid) is F (tweede machtigheid)
een analoge af:
De machtigheid van alle ordetypen met machtigheid A is C (machtigheid van het continuum).
Deze stelling grondt hij met behulp van zijn aequivalentietheorema op de beide hulpstellingen:

a) Het continuum is aequivalent met een deelverzameling uit het geheel van alle ordetypen met machtigheid A: zeggen we uit de verzameling OA.

b) De verzameling OA is aequivalent met een deel van het continuum.
Het eerste bewijst hij door aan een oneindige duaalbreuk te laten beantwoorden het ordetype, dat ontstaat door tusschen elke twee cijfers achter de komaa een ordetype * + in te voeren, en vervolgens alle cijfers 0 te schrappen, en voor alle cijfers 1 een enkel element te zetten.
Het bewijs dat hij voor de tweede hulpstelling geeft, is onjuist; zooals hij daat de ordetypen met machtigheid A opbouwt (n.l. eerst één neerzetten, dan de tweede, waarvoor 2 keuzen van plaats zijn, dan de derde, waarvoor er 3 zijn enz.), krijgt hij nooit [pag. 157] meer, dan een bijzondere groep van typen, waarvan het aantal aftelbaar is, n.l. 1 × 2 × 3 × 4 × . . . . Want het àf denken van een aantal A van factoren, dat voor de duaalbreuken van het continuum gebeurt, kan daar alleen geschieden uithoofde van de continuumintuïtie; een analoge intuïtieve mogelijkheid bestaat hier niet.
Hier kunnen we dus alleen aan díe ordetypen denken, waarvoor een wet van voortschrijding is gegeven, maar dan wordt de verzameling van alle ordetypen gedacht als aftelbaar onaffe verzameling van voortschrijdingswetten. Die gegeven afbeelding is er dus eene van OA als wettenverzameling op een deel van het continuum.
Keeren we terug tot de eerste hulpstelling, dan kunnen we haar op twee manieren lezen. Of:
,,Alle punten van het continuum zijn aequivalent met een deel van alle elementen uit OA.''
Of:
,,Alle benaderingswetten voor punten van het continuum zijn aequivalent met een deel van alle benaderingswetten voor elementen uit OA.''
Alleen de laatste lezing is te combineeren met de tweede hulpstelling, voor zoover ze door BERNSTEIN bewezen mag worden geacht. Maar wat blijft dan nu van het resultaat? Dat alle voortschrijdingswetten in OA aequivalent zijn met alle benaderingswetten in het continuum, wat vanzelf spreekt, daar beide verzamelingen aftelbaar onaf zijn. [pag. 158]
Behalve de rij der welgeordende klassen wordt in de leer der transfinite verzamelingen nog een ander middel gebruikt, om tot steeds hoogere machtigheden op te klimmen, berustend op machtsverheffing tot een transfinite exponent.
Men verstaat onder MN de beleggingsverzameling van N met M d.w.z. de verzameling, bestaande uit alle manieren, om met elk element van N een element van M te laten correspondeeren.
Men bewijst dan dat voor M > 1,
MN > N.

(vgl. b.v. SCHOENFLIES, Bericht über die Mengenlehre, Jahresber. der Deutschen Math. Ver. Bd VIII Heft 2 pag. 26; daar wordt bewezeb dat NN > N, maar het bewijs laat zich op de hier gegeven stelling onveranderd veralgemeenen).
De eerste op deze wijze afgeleide hoogere machtigheid is
C = MA
waar M eindig of aftelbaar oneindig, en A de aftelbaar oneindige machtigheid; deze beleggingsverzameling kunnen we denken, omdat we het continuum kunnen denken.
Maar reeds de volgende beleggingsverzameling der reeks:
F = MC
kunnen we niet meer denken, dus de stelling dat F [pag. 159] (dus b.v. de verzameling van alle functies van een enkele reëele veranderlijke) > C is, heeft geen andere wiskundige beteekenis meer, dan de volgende uitspraak:
,,Met elk verschillend element van C is eenduidig een verschillende beleggingsgroep in correspondentie te brengen; -- terwijl het niet waar is, dat F denkbaar en afbeeldbaar op C zou zijn.''
Wat we natuurlijk ook zonder het bewijs voor de stelling al wisten, omdat we wisten, dat F niet denkbaar is.
Ad. 3°.

De klassieke theoretische logica was ontoereikend, om van de wiskunde rekenschap te geven. Haar zoodanig uit te breiden, dat ze dat wel zou kunnen was het doel van de logistici. Nu hebben we gezien, dat de klassieke logica bestudeert de taalbegeleiding 17) der logische redeneeringen, d.w.z. der redeneeringen in relaties van geheel en deel voor willekeurige wiskundig opgebouwde systemen; en we weten uit het feit, dat we die wiskundige systemen zien, dat daar de volgens de klassieke logica elkaar [pag. 160] opvolgende volzinnen, die immers wiskundige bouwhandelingen begeleiden, nooit contradicties zullen vertoonen. Zoo voeren we daar veilig in de logische som, het logisch product en de complementairverzameling d.w.z. de verzameling die als praedicaat heeft de ontkenning van het praedicaat der gegeven verzameling; en passen er veilig toe de principes van identiteit, syllogisme, distributie 18), contradictie, en tertium non datur.
De logistici gaan omgekeerd van deze principes uit, en leggen als operatiegebied, waarbinnen de met de woorden of symbolen bedoelde relaties moeten bestaan, ten grondslag niet een of ander wiskundig systeem, maar het hersenschimmige ,,alles'' -- dat, zooals we boven (pag. 138 sqq, noot) zagen, ook DEDEKIND ten onrechte als uitgangspunt wilde nemen -- waaruit ze verschillende klassen definieeren door wat ze noemen propositioneele functies.
Onder een propositioneele functie verstaan ze een beweering omtrent x, of omtrent x en y, in 't algemeen omtrent een zeker aantal variabelen, waarin men voor die variabelen alle substituties moet denken; zij rekenen dan, dat door die bewering een klasse bepaald is, bestaande uit alle dingen (of voor meer veranderlijken: groepen van dingen), die, gesubstitueerd, de bewering waar maken.
Ze schrijven x x voor alle dingen, waarvoor de [pag. 161] bewering x waar is; het reciproke teeken wordt ingevoerd zóó, dat k (x x) = k, m.a.w. voor het geval, dat de propositioneele functie een klasse a bepaalt, beduidt k a: k hoort tot de klasse a.
PEANO had het teeken primair genoemd; RUSSELL gaat liever uit van , omdat hij het niet zeker vindt, dat iedere propositioneele functie een klasse bepaalt.
Daar heeft hij gelijk aan; hij werkt echter met zijn propositioneele functies als met de praedicaten der gewone logica, doet dus toch alsof de functie wèl altijd een klasse bepaalt.
Maar nooit kan men een woordsysteem van beweringen en propositioneele functies een prioriteit in het intellect geven ten opzichte der wiskunde; want geen beweringen omtrent de buitenwereld worden met vol verstand gezegd, dan die een op de buitenwereld geprojecteerd wiskundig systeem vooronderstellen. Hoe men zich draait of wendt, de grond van de wiskunde blijft de wiskunde en die groeit over haar geheele gebied vrij en intuitief.
Terwijl de logistici, als vrijen oorsprong van logica en wiskunde de propositioneele functies beschouwend, als zoodanig allerlei door (foutieve) analogie met wiskundige eigenschappen gevormde volzinnen uitspreken en daarvoor postuleeren dat ze klassen bepalen, en dat over die klassen volgens de wetten der klassieke logica kan worden geredeneerd.
Dat zij dus, evenals de Cantorianen, op contradicties [pag. 162] stooten 19), behoeft niet te verwonderen, en hun eigen verwondering kan allen zijn te wijten aan begripsverwarring.
RUSSEL (,,The Principles of Mathematics'', Part I, Chap. X) bespreekt het uitvoerigst de volgende contradictie:
,,Er zijn klassen, die zelf als eenheid beschouwd tot hun elementen behooren, b.v. de klasse der klassen, de klasse van alle dingen, die niet leven, en meer. Ik beschouw nu de klasse van alle klassen, die de zooeven genoemde eigenschap, tot hun elementen te behooren, niet bezitten; bezit die klasse dan de genoemde eigenschap? Zoo ja, dan hoort ze tot haar elementen, is dus één van de klassen, die de eigenschap niet bezitten, bezit dus de eigenschap niet. En vice versa: zo neen, dan staat ze daarin met haar elementen gelijk, behoort dus tot haar elementen, bezit dus de eigenschap wel.''
RUSSELL suggereert eenige middelen om aan de contradictie te ontkomen maar verwerpt ze dan toch weer en gelooft dat een diepgaande hervorming der logica tot de oplossing noodig zal zijn. Het meest geneigd voelt hij zich tot de opvatting, dat [pag. 163] een theorie moet worden gezocht, die niet veroorlooft, alle klassen, zelf als eenheid beschouwd, tot logische subjecten te maken. ,,Misschien ook'', zegt hij, ,,moet de notie alle dingen worden verworpen, maar elk willekeurig ding moet in elk geval behouden blijven; immers er zijn waarheden, n.l. de logische principes, die voor elk willekeurig ding gelden.''
Dat is intusschen juist niet waar: logische principes gelden alleen voor woorden met wiskundige beteekenis. En juist omdat RUSSELL's logica niets is dan een woordsysteem, zonder een voorondersteld wiskundig systeem, waarop het betrekking heeft, is er geen reden, dat er geen contradicties zouden komen.
Overigens ziet ook het gezond verstand direct, waar de redeneering in kwestie haar leven verliest, dus niet meer betrouwbaar is, en dat zelfs zonder dat de illusie van het hersenschimmige ,,alles'' behoeft te worden weggenomen. Immers gesteld, ik kende een ,,alles'' met een ,,geheel'' van tusschen de dingen bestaande relaties en een stelsel van voor de dingen mogelijke proposities. Dan kan ik voor een propositioneele functie voor elk willekeurig ding op grond van zijn gegeven relaties uitmaken, of het wel of niet de functie waar maakt, dus in welke van de beide door de functie bepaalde klassen het dient te worden geplaatst.
Maar wil ik voor het ding, dat de kwestieuze klasse [pag. 164] is, onderzoeken, of het de gestelde propositioneele functie waar maakt, dan merk ik, dat de uitvoering van het onderzoek het reeds afgeloopen zijn er van vereischt. Het onderzoek kan dus niet worden uitgevoerd, en zoo is de contradictie opgelost. We hebben hier een propositioneele functie, die twee complementaire klassen bepaalt, die niet aan het principe tertium non datur voldoen; wat niet behoeft te verwonderen, want de logische principes bestaan slechts voor de taal der wiskunde; voor andere taalsystemen, hoe zeer ook aan de wiskundige verwant, behoeven ze dus niet te gelden.
In anderen vorm geeft RUSSELL de contradictie pag. 80 en pag. 102. Daar zegt hij:
,,Er zijn praedicaten, die van hun eigen uitdrukking door woorden gelden; en die dat niet doen. Het eenvoudigste voorbeeld van de eerste soort is wel: een praedicaat zijn. Maar geldt nu de eigenschap voor: niet gelden voor zijn eigen uitdrukking door woorden? Zoo ja, dan neen; zoo neen, dan ja.''
Hij wil dit oplossen door te zeggen, dat niet gelden voor zijn eigen uitdrukking door woorden geen praedicaat is, wat natuurlijk niemand hem zal toegeven.
En evenmin wat hij pag. 88 voorstelt, om te ontkomen aan de contradictie in een derden vorm, die voortvloeit uit de verdeeling van propositioneele functies in zulke als wel en als niet voor zich zelf gelden, dat n.l. een propositioneele functie niet op zich zelf zou kunnen worden gedacht. [pag. 165]
Voor de beide laatste contradicties geldt overigens dezelfde oplossing als voor de eerste.
Tot zoover de rol van de klassieke logica; de logistiek vult haar dan verder aan met de zoogenaame relatielogica, en de conclusie luidt ten slotte, dat zuivere wiskunde niets mag zijn dan een systeem, opgebouwd uit eenige logische grondbegrippen, volgens eenige logische grondprincipes (RUSSELL telt er van de eerste 9 en van de laatste 20); dat zij alleen op deze wijze een vasten grond en een zekeren voortgang behoudt; dat er misschien nog wel een intuïtieve wiskunde ook kan zijn, maar dat die dan uitsluitend bestaat in de toepassing der genoemde zuivere wiskunde op materieele dingen. (vgl. b.v. COUTURAT, ,,Les Principes des Mathématiques'', Introduction, pag. 4)
Maar zuivere wiskunde is, zooals we weten, nòch het één nòch het ander.
De relatielogica dan, aanvangende bij het woord volgen op, dat afbeeldt de meest elementaire daad van wiskundig bouwen, zooals ze direct uit de oer-intuïtie voortkomt, bestudeert de taal der wiskunde in het algemeen, zooals de klassieke logica die van de speciale wiskunde van geheel en deel.
Dat in de taal, die de wiskunde begeleidt, de opvolging der woorden aan wetten gehoorzaamt, spreekt van zelf; maar dié wetten als het leidende bij den opbouw der wiskunde te beschouwen, daarin ligt de fout. [pag. 166]
Gaan we ter toelichting in op de theorie der geheele positieve getallen m.a.w. de gewone rekenkunde, zooals ze door de logistici gegeven wordt.
PEANO (,,Sul concetto di numero'', Rivista di Matematica, t. I; vgl. COUTURAT, ,,Les Principes des Mathématiques;;, pag. 54) voert hier na de klassieke logica in drie nieuwe grondbegrippen: 0, N (eindig ordinaalgetal) en seq (opvolger), en vijf daarvoor geldende grondprincipes:
1°. 0 is een N.
2°. er is geen N, waarvan 0 de seq. is.
3°. de seq. van elke N is een N. 20)
4°. twee N's zijn gelijk, als hun seq.'s gelijk zijn.
5°. een klassen, die 0 bevat, en die van elke N, die ze bevat, ook de seq. bevat, bevat alle N's.
Maar leidt PEANO hieruit de rekenkudne af, dan bouwt hij weer op een logisch systeem, dat nòch door een bestaansbewijs, nòch door een bewijs van niet-strijdigheid wordt gesteund.
Het is dus te veroordeelen op dezelfde gronden als het systeem van DEDEKIND. (vgl. pag. 138 sqq, noot)
RUSSELL (,,The Principles of Mathematics'' p. 127) verbetert de methode van PEANO aanmerkelijk, door te beginnen, cardinaalgetallen te definieeren als klassen van aequivalente klassen, en vervolgens te zeggen: [pag. 167]
1°. 0 is de klasse van klassen, die als eenig lid heeft de nulklasse -- de nulklasse zelf gedefinieers (;.c. pag. 75) als klasse van alle klasse-concepten, die geen leden voor hun klasse geven; en daarom gecenseerd (of als een principe gepostuleerd?) te bestaan --; de klasse 0 bestaat dus.
2°. 1 is de klasse van klassen met leden, zóó, dat als x tot de klasse behoort, de klasse verminderd met x geen leden heeft.
De klasse 1 bestaat, want heeft reeds een lid dat er toe behoort, n.l. de zooeven gedefinieerde klasse 0.
3°. n+1 is de klasse van klassen, aequivalent met de klasse, verkregen door bij een klassem hoorend tot de klasse n, een element toe te voegen. De klasse n+1 bestaat dus, als n bestaat.
4°. Eindige getallen zijn die cardinaalgetallen, welke behooren tot elke klasse s, waartoe 0 behoort, en verder n+1, als n er toe behoort.
De zoo gedefinieerde eindige getallen voldoen aan alle postulaten van PEANO, zonder nieuwe grondbegrippen en grondprincipes in te voeren, en kunnen dus volgens RUSSELL als bestaansbewijs dienen (als we n + 1 als de seq. van n bschouwen) en COUTURAT (antwoord aan POINCARÉ, Revue de Métaphysique et de Morale 1906, n°. 2) legt sterk den nadruk op dit bestaansbewijs, dat de intuïtie van of van de volledige inductie niet noodig zou hebben, zoodat het logische systeem hier vrij van die intuïtie zou zijn opgebouwd, en zonder behulp [pag. 168] van volledige inductie niet-contradictoor zou zijn gebleken.
Maar we hebben boven gemerkt, dat het klasse-concept door definitie wèl contradictoor is, dat dus nooit de niet-strijdigheid van een logisch systeem mag worden gebaseerd op haar parallel loopen met pseudo-wiskundige operaties in klassen, die alleen door definitie bestaan.
RUSSELL schroomt intusschen niet, de volledige inductie, die hij niet als axioma wil uitspreken, tòch met de daad toe te passen. Hij bewijst n.l. dat n _ 1 het cardinaalgetal van de klasse der getallen 0, 1, 2, . . . . . n is en dat als volgt: 1 is het cardinaalgetal van de klasse 0; 2 (gedefinieerd als 1 + 1) dat van de klasse 0, 1; 3 (gedefinieerd als 2 + 1_ dat van de klasse 0, 1, 2; enzoovoort.
Evenzoo past hij de volledige inductie toe om te bewijzen, dat een eindig getal niet met een van zijn deelen aequivalent kan zijn (l.c. pag. 121, 123).
De gedefinieerde eindige getallen egven meteen de definitie van het cardinaalgetal A der klasse, die ze alle bevat (de eerste transfinite machtigheid), van welk cardinaalgetal RUSSELL zonder moeite bewijst, dat het zelf geen eindig getal is, omdat het n.l. wèl met het geheel aequivalente deelen bezit; vervolgens toont hij aan, dat elke oneindige klasse deelen bezit met cardinaalgetal A. (l.c. pag. 122, 123).
Maar de wijze waarop de logistici de verdere wiskunde ontwikkelen heeft, behalve dat de taal zooveel [pag. 169] mogelijk in symbolische teekens wordt gecondenseerd, geen bijzonder karakter meer. Ze smelt samen met de methoden der Cantorianen en die der axiomatici.
De conclusies omtrent de logistiek moeten luiden: dat ze niets kan leeren omtrent de grondslagen der wiskunde, omdat ze onherroepelijk van de wiskunde gescheiden blijft; dat ze integendeel, om een bestaan in zichzelf te handhaven, d.w.z. zich voor contradicties te bewaren, al haar eigen speciale principes heeft te verwerpen en zich heeft te beperken, een getrouwe, machinale, stenographische copie te zijn van de taal der wiskunde, die zelf geen wiskunde is, maar alleen een gebrekkig hulpmiddel voor de menschen, om wiskunde aan elkaar mee te deelen, en hun geheugen voor wiskunde te ondersteunen.
Ad 4°.
De zuiverste consequentie van de hier bestreden methoden, waaraan tegelijk het eenvoudigst en helders de ontoereikendheid er van blijkt, is getrokken door HILBERT (Verhandlungen des internationalen Mathematiker-Congresses in Heidelberg 1904, pag. 174). In ,,Ueber den Zahlbegriff'' (Jahresber. der Deutschen Math. Ver. VIII) had hij de axioma's van de hoofdbewerkingen op het meetbaar continuum geformuleerd en het probleem gesteld, onafhankelijk van eenige wiskundige intuïtie, de niet-strijdigheid van die axioma's te bewijzen (vgl. ook ,,Mathematische [pag. 170] Probleme'', Problem n° 2, Gött. Nachr. 1900, pag. 264.)
Het spreekt van zelf, dat dit alleen te bereiken is door de teekens, die de axioma's uitdrukken, zelf als een wiskundig systeem te beschouwen, de principes van de logica volgens de algebra der logica te formuleeren als regels om dat systeem verder uit te bouwen, en dan wiskundig te bewijzem. dat die uit de algebra der logica afgelezen bouwregels nooit tegelijk een vergelijking en haar ontkenning zullen kunnen afleiden. Het geheel der uit de axiomatische grondvergelijkingen af te leiden vergelijkingen vormt natuurlijk een aftelbaar oneindig systeem. 21)
HILBERT schetst l.c. de wijze van uitvoering 22) dezer niet-strijdigheidsbewijzen in groote trekken, niet alleen voor het zooeven genoemde stel axioma's der hoofdbewerkingen, maar ook voor dat van verschillende andere deelen der wiskunde. Zoo voert hij b.v. om de grondslagen der Mengenlehre te leggen pag. 182-184 het klassesymbool in, [pag. 171] maar alleen in relatie tot reeds ingevoerde symbolen, waardoor hij beveiligd is voor de contradicties van RUSSELL, die klassen invoerde, als door een definitie omgrepen deelen van het al.
Nu heeft HILBERT evenwel, zooals hij in zijn inleiding uitdrukkelijk zegt, de adspiratie, om van niets af te beginnen met de wiskunde en de logica zich gezamenlijk te laten ontwikkelen. Maar bij de zooeven genoemde redeneeringen over niet-strijdigheid van axioma's, gebruikt hij steeds intuïtief termen als een, twee, drie, eenige (daarbij een zeker eindig getal bedoelend) en past verder intuïtief alle wetten der logica en ook de volledige inductie toe.
Om zich van deze belasting met intuïtieve elementen te ontdoen, gaat hij ten slotte (l.c. pag. 184, V) in eens zijn eigen te voren geschreven woorden bekijken, ziet die complex van woorden en redeneeringen als een wiskundig gebouw aan, dat ook weer volgens regels zich van het begin naar het einde ontwikkelt, en zegt:
,,De wetten volgens welke ik dat taalgebouw zich zie ontwikkelen, heb ik zooeven bewezen, dat niet-strijdig, dus juist zijn. M.a.w. de daar in die taal van mij gehouden redeneeringen bewijzen meteen het intuïtieve in hun eigen daad als gerechtvaardigd.''
Dat is fout en om de volgende reden:
Vooreerst de grond, waarop hij steunt, blijft de intuïtie van zooeven; immers hij weet alleen: als de intuïtie van zooeven juist is, dan volgt daaruit, dat [pag. 172] de woorden, die die intuïtie begeleiden, zich ontwikkelen volgens een niet-strijdig logisch systeem, wat geen nieuws is; wie zal een wiskundige stellen bewijzen, door op grond van die stelling zelf haar nog eens af te leiden, en dan te zeggen: ,,nu is meteen het onderstelde gerechtvaardigd''?
Maar verder: De niet-strijdigheid van het taalsysteem, op grond der wiskundige intuïtie afgeleid, bewijst niet omgekeerd de wiskundige intuïtie, die ze begeleidt, zooals we boven bij de behandeling der axiomatische grondslagen hebben aangetoond. (vgl. ook POINCARÉ, Revue de Métaphysique et de Morale 1905, pag. 834.)
De gewraakte methode overtreft die der logistici doordat zij de ongeoorloogde sprong uit het oude wiskundige gebied door de taaldaad naar een nieuw meermalen achtereen uitvoert en dan doordat zij niet, zooals de logistici, voor twee zulke wiskundige gebieden, die alleen via de taalklanken verband houden, dat intuïtieve verband handhaaft, dus ze als ongelijksoortig blijft behandelen, maar ze gaat verwarren en op één lijn stellen. De logistici voeren den sprong éénmaal uit, en bewegen zich dan wisselend op beide gebieden, ze beide in hun beteekenis handhavend; HILBERT doet den sprong, waar hij hem doet, gedecideerd en voor goed, blijft dus op het tweede gebied, gebruikt het eerste nog alleen, om het beteekenis in het tweede te geven; doet hem vervolgens een tweede maal weer voor goed, blijft [pag. 173] dus op het zoo geschapen derde gebied, en gebruikt daar het eerste en het tweede nog alleen, om ze beteekenis in het derde te geven.
Ter toelichting sommen we in genetische volgorde op de hier te onderscheidne verschillende phasen:

1. Het zuivere bouwen van intuïtieve wiskundige systemen, die zoo ze worden toegepast, in het leven worden veruiterlijkt, door de wereld wiskundig te zien.
2. De taalparallel der wiskunde: het wiskundig spreken of schrijven.
3. Het wiskundig zien van de taal: opgemerkt worden logische taalgebouwen, opgetrokken volgens principes uit de gewone logica of uit de uitbreiding daarvan met relatielogica, de logistiek, maar de elementen dier taalgebouwen zijn taalbegeleidingen van wiskundige gebouwen of relaties.
4. Het niet meer denken aan een beteekenis van de elementen der zooeven genoemde logische figuren; en het nabouwen van die figuren door een nieuw wiskundig systeem der tweede orde, voorloopig zonder taal, die het bouwen begeleidt; het is het systeem van de logistici, dat bij de minste vrije generalizeerende uitbreiding zeer goed vatbaar wordt voor de figuur der contradictie, tenzij daartegen de voorzorgsmaatregelen van HILBERT worden genomen, en het zijn deze voorzorgsmaatregeln, die den eigenlijken inhoud der verhandeling van HILBERT uitmaken. [pag. 174]
5. De taal der logistiek, d.w.z. de woorden, die het logistisch bouwen begeleiden en motiveeren; PEANO zorgt wel zooveel mogelijk om ook de begeleidende gedachten aan symbolische teekens te binden; niettemin blijft dan het systeem te splitsen in het eigenlijke gebouw, en de principes volgens welke het gebouw zich ontwikkelt; al worden die principes eveneens symbolisch geformuleerd, zulke formuleeringen moeten worden beschouwd als heterogeen ten opzichte van de verdere formules, waarop die eerste worden toegepast niet als formuleeringen, maar als intuïtieve daden, waarvan de toegevoegde formuleeringen slechts de taalbegeleidingen zijn.
HILBERT heeft de intuïtieve daden, dus ook de begeleidende taal meer noodig dan PEANO, omdat hij de niet-strijdigheid van zijn logistisch systeem in zichzelf wil bewijzen, iets waarom PEANO zich niet bekommert.
Tot de vijfde phase behoort de woordinhoud der verhandeling van HILBERT tot aan pag. 184, V.
6. Het wiskundig zien van die taal; dezen stap uitdrukkelijk te doen, is iets essentieels bij HILBERT in onderscheid van PEANO en RUSSELL; hij merkt, op zijn eigen woorden terugziende, logische figuren op, die zich ontwikkelen volgens logische en arithmetische principes, ook o.a. het theorema der volledige inductie; de elementen dezer logishce figuren, zooals de woorden mehrere, zwei, Fortsetzung, an [pag. 175] Stelle von, beliebig, enz. zijn taalbegeleidingen van bouwhandelingen in het zooeven genoemde wiskundig systeem der tweede orde.
7. Het niet meer denken aan een beteekenis van de elementen der zooeven genoemde logische figuren, en het nabouwen er van door een nieuw wiskundig systeem der derde orde, voorlopig zonder begeleidende taal.
Den overgang van 6 naar 7 volvoert HILBERT in zijn gedachten l.c. 184 en 185 onder V, eerste alinea.
8. De taalbegeleiding van het wiskundig systeem der derde orde, die den opbouw van dat systeem motiveert, en de niet-strijdigheid er van aantoont.
Deze phase is, in de woorden der zooeven genoemde alinea l.c. 184, 185, de laatste die bij HILBERT wordt aangetroffen.
Men zou nog verder door kunnen gaan, maar de wiskundige systemen van nog hooger orde zouden alle ongeveer elkaars copieën zijn; het heeft dus geen zin den gang verder voort te zetten.
Intussche de vorige phasen, vanaf de derde zijn evenmin van wiskundig belang. Wiskunde behoort slechts in de eerste thuis; van de tweede kan zij zich in het practische leven niet vrijhouden, maar die phase blijft een niet-wiskundige onbewuste daad, al of niet vervolgens door toegepaste wiskunde geleid en gesteund, maar nooit een prioriteit ten opzichte der intuïtieve wiskunde verkrijgend.

[pag. 176]
De logistiek en het cantorisme zijn reeds scherp gekritizeerd door POINCARÉ (Revue de Métaphysique et de Morale 1905, n° 6; 1906, n° 1, 3); hij laakt voornamelijk in de logistiek de petitio principii en in het cantorisme de aanname van het actueel oneindige. Zoo raakt hij intusschen niet het hart van de kwestie, dat dieper zit, n.l. in de verwarring van de daad van het bouwen der wiskunde en de taal der wiskunde.
De petitio principii is in zekeren zin geoorloofd, want waar die in de daad van den opbouw van het taalsysteem wordt uitgevoerd, raakt zij aan de volkomenheid van dat taalgebouw als zoodanig niet; een ongeoorloofde petitio principii in de wiskunde zouden we alleen hebben, als op grond van een primaire wiskundige intuïtie later in verder phasen van het wiskundig bouwen diezelfde intuïtie weer voor den dag zou komen, en dan zou worden gesignaleerd als niet primair.
Maar de fout der logistiek bestaat hierin, dat zij niets schept dan een taalgebouw, dat nooit in de eienlijke wiskunde kan worden overgevoerd. 23)
En het actueel oneindige der Cantorianen, dit bestaat wel degelijk, als we het maar beperken tot het intuïtief opbouwbare, en dat niet door niet de verwezenlijken logische combinaties willen uitbreiden. [pag. 177]
How weinig POINCARÉ er aan denkt, den intuïtieven bouw der wiskunde als eenigen grondslag voor zijn kritiek te nemen, blijkt uit zijn woorden (l.c. pag. 819):
,,Les mathématiciens sont indépendantes de l'existence des objets matériels; en mathématiques le mot exister ne peut avoir qu'un sens, il signifie exempt de contradiction.''
Het doet haast aan zijn tegenstander RUSSELL denken. De wiskunde is zeker geheel onafhankelijk van de materieele wereld, maar bestaan in wiskunde beteekent: intuitief zijn opgebouwd; en of een begeleidende taal vrij van contradictie is, is niet alleen op zichzelf zonder belang, maar ook geen criterium voor het wiskundig bestaan.
Het wiskundig bekijken van taalteekens, 't zij woorden of Peanistische teekens, kan omtrent de wiskunde niets leeren; men beschouwe wiskundige formules niet als een onafhankelijk bestaan voerende ,,waarheden'', maar alleen als hulpmiddel door teekens, om zich zoo ekonomisch mogelijk te herinneren, hoe in een zeker gebouw een ander gebouw is ingepast. Zoo leze men in de formule
13 = 7 + 6
de herinnering aan het inpassen in eengroep waarlangs men tot 13 kan tellen van een groep bestaande uit de iuxtapositie van een groep waarlangs men tot 6, en een waarlangs men tot 7 kan tellen.


Voetnoten:

1) d.w.z. dat men tot den bouw van het ding in kwestie komt in samenhang met die deelen waartoe het wordt gezegd, in relatie te staan.

2) d.w.z. wisseling in de ondergroepeeringen, die men in eenzelfde wiskundig systeem in 't oog vat.

3) Men denke hier b.v. aan de uniciteitsbewijzen voor transformatiegroepen met gegeven eigenschappen van HILBERT en LIE; of ook aan gewone elementaire werkstukken, als het zoeken van een gemeenschappelijk harmonisch paar, of de werkstukken van APOLLONIUS.

4) Dat men ook bij wiskunde, waar aan geen relaties van geheel en deel wordt gedacht, dikwijls voor de mededeeling door woorden aan anderen, de gedachte relaties omvormt tot relaties van geheel en deel, zoodat de gebruikelijke taal der algemeene wiskunde doortrokken is van de uitdrukkingswijze der logische redeneeringen, is slechts toe te schrijven aan de eeuwenoude traditie der logische termen in de taal, in verband met haar beperkten woordenvoorraad.

5) vgl. pag. 159 sqq. De totnogtoe uitgewerkte systemen van logistiek beschouwen een wiskundige taal die een overmatig gebruik maakt van de woorden der theoretische logica, en die soms, waar dat overmatig gebruik voerde tot een ongeoorloofd gebruik, wiskundige dwalingen heeft in het leven geroepen.

6) Ook al is uit de berekeningen van LOBATCHEFFSKY, vooral voor het platte vlak op vrij eenvoudige wijze, wel een bestaansbewijs aan te brengen, en is het niet onmogelijk, dat hij zelf dat er in heeft willen zien; vgl. b.v. ,,Pangeometrie'', § 8.

7) Intusschen, zelfs, al had hij dat van al zijn axioma's aangetoond -- de ,,Axiome der Verknüpfung'' en ,,Axioma der Anordnung'' onderzoekt hij in dat opzicht niet; waarvoor hij (l.c. p. 20) den vagen grond opgeeft, dat zij ,,bei userer Darstellung den übrigen Axiomen zu Grunde liegen'' -- dan ws daarmee het minimumbewijs nog niet geleverd. Immers elk axioma, waarin het woord alle voorkomt, is splitsbaar, al was het alleen in het axioma voor alle op één na en dat voor de eene resteerende, en daarvoor zou dan telkens moeten worden aangetoond, dat het tweede deel niet uit het eerste volgt, wat misschien wel mogelijk is, maar in elk geval niet zoo eenvoudig, en HILBERT heeft in dat opzicht zijn onderzoek onvolledig gelaten.

8) Naast deze waan van de vrijheid der logica staat als een analoge overschatting er van het idee van ARISTOTELES en de scholastici -- dat nog sterk bij SPINOZA en in mindere mate bij KANT nawerkt, en waaraan eerst in de 19de eeuw de philosophie ontgroeid schijnt te zijn -- dat men door logica niet a priori duidelijke geheimen der natuur zou kunnen ontdekken, terwijl in werkelijkheid de conclusies waartoe men zoo geraakt, niet voor de natuur zelf, maar alleen voor het in willekeur daarop geprojecteerde wiskundige systeem (waarvan dan slechts een deel het direct doorleefde dekt, terwijl het overige een uitbreiding door inductie daarvan is) geldig zijn; dat die conclusies ook voor de natuur juist zijn (d.w.z. als leiddraad voor het menschelijk handelen doel treffen), dient voor elke conclusie opnieuw geverifieerd (en elke verifieering door wiskundige inductie aangevuld). Zulk een verifieering is noodig, hoe juist de gebruikte praemissen ook waren, zoo goed als van een physische hyporthese, hoe bruikbaar ook tot nog toe gebleken, elke nieuwe consequentie uitdrukkelijk dient gecontrôleerd te worden.
Die verifieering kan verder voor verschillende personen tot verschillend resultaat leiden, omdat zij de woorden der conclusie toetsen aan verschillende voor die woorden in hun geest bestaande wiskundige systemen, of ook zij kan bij gebrek aan zulke wiskundige systemen in afwachting van latere ondervinding, dat is vorming van nieuwe wiskundige systemen, voorloopig onmogelijk zijn.

9) HILBERT verklaart zelfs uitdrukkelijk, bij woorden als ,,Punkt,'' ,,Gerade'', ,,zwischen'' enz. aan geen wiskundige interpretatie te willen denken.

10) Het is duidelijk, dat door het aangeven van een wiskundig systeem, waarvan de axioma's eigenschappen zouden kunnen accompagneeren, bewezen is, dat nooit twee strijdige stellingen uit die axioma's kunnen worden afgeleid, want twee strijdige stellingen kunnen niet van een wiskundig gebouw gelden. Overigens ligt in het aanvoeren der wiskundige systemen als bestaansbewijzen voor de logische, dat men nog voelde dat het wiskundig systeem zelf geen verder bestaansbewijs, dan zijn intuitieven opbouw noodig had. Hoe die overtuiging HILBERT later echter weer heeft verlaten, blijkt uit zijn noot ,,über den Zahlbegriff'' (Jahresber. der Deutschen Math. Ver. VIII), waar hij de getalsystemen, die hij als bestaansbewijzen voor zijn geometrieën had ingevoerd, op hun beurt zelf weer alleen axiomatisch gedefinieerd denkt, zoodat dan daarvan nog weer even goed onafhankelijk van de intuitie de niet-strijdigheid moet worden aangetoond. Maar hij bedenke dat hij dan toch weer intuittief een wiskundig systeem (dat van de uit de axioma's afgeleide stellingen) intuitief opbouwt volgens de wetten der logica, en dan eenvoudig in de niet-strijdigheid een wiskundige eigenschap van dat wiskundig systeem aantoont, en dat niet anders dan intuitief. Daar hij geen intuitieve wiskunde wil erkennen, zal hij die laatste bewijsvoering ook weer als gebouw in de taal moeten beschouwen, en er een redeneering op grond van axioma's (n.l. over de ,,Verknüpfunf van de elementen die de stellingen van het systeem zijn, en daaronder zeker het axioma van volledige inductie) in moeten zien; en hij zal weer moeten bewijzen, dat die axioma's niet strijdig zijn. Maar 1° is hij dan nog even ver, als zooeven, 2° volgt uit de niet-strijdigheid der axioma's nog niet het bestaan van het bijbehoorend wiskundig systeem, 3° volgt uit het bestaan van het wiskundig redeneersysteem nog niet, dat dat taalsysteem leeft, m.a.w. een aaneenschakeling van gedachten begeleidt, en dát nog niet, dat die aaneenschakeling van gedachten een wiskundige ontwikkeling is, dus overtuigingskracht bezit.
We zullen beneden zien, hoe HILBERT zich hieruit heeft trachten te redden, en in hoeverre hij daarin geslaagd is.
Herinneren we in dit verband ook aan de beroemde brochure van DEDEKIND: ,,Was sind und was sollen die Zahlen?'', die zich ten doel stelt, de arithmetiek der geheele getallen logisch te bewijzen uit de allerprimitiefste begrippen. Hij geeft daartoe een logisch systeem (dus een wiskundig gebouw van woorden), waarin de woordbeelden van de onderlinge verhouding van de primitieve begrippen (geheel en deel, beantwoording van elementen aan elkaar, afbeelding van systemen op elkaar enz.) de axioma's zijn, en dat dan verder volgens de logische wetten eindig wordt opgebouwd (dus zonder gebruik te maken van de volledige inductie, dat is de wiskundige intuitie ,,en zoo voort.'') Zou dit systeem nu wiskundige beteekenis hebben, dan zou het door een wiskundig bestaansbewijs moeten worden gecompleteerd. Maar wilden we dat geven, dan zouden we daarbij zeker de intuitie ,,en zoo voort'' moeten gebruiken, en zouden meteen zien, dat we alle arithmetische stellingen veel eenvoudiger kunnen zien, dan volgens het gewrongen systeem van DEDEKIND; deze geeft dan ook niet het bestaansbewijs. Wel geeft hij § 66 een bewijs voor: ,,Es giebt unendliche Systeme,'' maar 1° is vereist een bewijs voor: ,,Es giebt einfach unendliche Systeme,'' wat meer is; en 2° is zijn bewijs, dat ,,meine Gedankenwelt'' is niet wiskundig te bekijken, en het is dus ook niet zeker, dat ten opzichte van zoo iets de gewone axioma's van geheel en deel niet-strijdig zullen blijven. Wiskundige beteekenis heeft het systeem van DEDEKIND dus niet; om het logische beteekenis te geven, ware een onafhankelijk bewijs van niet-strijdigheid vereischt geweest, dat DEDEKIND evenmin geeft; hád hij dat trouwens gegeven, dan had hij zich op de intuitie ,,en zoo voort'' moeten beroepen, maar had hij díe intuitief erkend, dan had hij weer gezien, hoe hij met behulp daarvan de arithmetiek eenvoudig had kunnen opbouwen, en was zijn logisch systeem hem als èn ongemotiveerd, èn omslachtig verschenen, en had hij niet volgehouden, dat ieder die rekent, onbewust alle phasen van zijn logisch systeem doormaakt. (vgl. Vorrede pag. IX: ,,Ich erblicke gerade in der Möglichkeit, solche Wahrheiten auf andere, einfachere, zurückzuführen, mag die Reihe der Schlüsse noch so lange und scheinbar künstlich sein, einen überzeugenden Beweis dafür, das ihr Besitz oder der Glaube an sie niemals durch innere Anschauung gegeben, sondern immer nur durch eine mehr oder weniger vollständige Wiederholung der einzelnen Schlüsse erworben ist.'')
Op dezelfde gronden als het werk van DEDEKIND, moet de verhandeling van MANNOURY: ,,De zoogenaamde grondeigenschap der Rekenkunde'' (Handelingen van het 8e Natuur- en Geneeskundig congres, Rotterdam 1901) die eenvoudiger hetzelfde idee uitwerkt, als grondlegging voor de rekenkunde worden veroordeeld.

11) Van de daar opgebouwde groep van niet-Pascalsche geometrieën zijn de door HILBERT (Festschrift p. 69) en VAHLEN (Abstrakte Geometrie pag. 42; 110) aangegevene bijzondere gevallen.

12) Van ons standpunt kunnen we in de pathologische geometrieën van Hilbert c.s. niets zien, dan speciale veralgemeeningen van de Euclidische bewegingsgroep. En deze veralgemeeningen blijven eenzijdig hierin, dat ze zich (in tegenstelling met die van LIE) tot projectieve groepen beperken, en dat ze (eveneens anders dan bij LIE) niet de algemeene groep, die aan zeker voorwaarden voldoet, opsporen; wat overigens ook niet zal gaan, zoolang niet eerst als willekeurige beperking een bepaald wiskundig grondsysteem wordt gegeven, waarin de verder nog aan zekere intrinsieke voorwaarden voldoende groep moet worden ingepast.

13) Het is dus a fortiori niet zeker, dat van elk wiskundig probleem òf de oplossing kan worden gegeven òf logisch kan worden aangetoond, dat het onoplosbaar is; iets, waarvan intusschen HILBERT in ,,Mathematische Probleme'' meent, dat ieder wiskundige ten innigste is overtuigd.
Maar van deze kwestie zelf is natuurlijk ook weer niet zeker, dat ze ooit zal kunnen worden afgedaan, d.w.z. òf opgelost, òf als onoplosbaar aangetoond (een logische kwestie is ook niets dan een wiskundig probleem.)

14) Waar men zegt: ,,en zoo voort'', bedoelt men het onbepaald herhalen van eenzelfde ding of operatie, ook al is dat ding of die operatie tamelijk complex gedefinieerd.

15) Verhandlungen des internationalen Mathematiker-Congresses in Heidelberg, 1904 p. 183, 184.

16) Intusschen kan men in zekeren zin ook zeggen, dat aftelbaar onaffe en aftelbare verzamelingen gelijkmachtig zijn, daar elke aftelbaar onaffe verzameling is af te beelden op w2 (immers elk gedeelte, dat ik telkens weer toevoeg, als ik de aftelbaar onaffe verzameling opbouw, is af te beelden op w, immers is aftelbaar; construeer ik zulk een afbeelding voor elk toegevoegd gedeelte, dan beeld ik de onaffe verzameling af op w + w + w + ... = w2); alleen is deze afbeelding steeds onaf; het bewijs, dat een afbeelding eener aftelbaar onaffe verzameling op een aftelbare onmogelijk is, geldt dan ook alleen voor een affe afbeelding.

17) Zoo goed als alle wiskundige taal is ook deze taal zonder moeite te condenseeren tot symbolen. Men vergelijke voor zulk een symbolische taal (,,Algebra der Logica'' genoemd) b.v. A.N. WHITEHEAD, ,,A treatise on Universal Algebra'', Cambridge University Press 1898, pag. 35 sqq.

18) d.w.z. (a + b)c = ac + bc, waarin de logische sommen en producten bedoeld zijn.

19) In zulk een contradictoor systeem zijn natuurlijk bijna geen redeneeringen meer gerechtvaardigd, daar het voornaamste redeneermiddel, het principe van contradictie, niet mag worden toegepast.

20) Waaraan dient te worden toegevoegd (POINCARÉ, Revue de Métaphysique et de Morale 1905 p. 833): elk getal heeft een opvolger, elke N heeft een seq.

21) Immers het geheel van alle combinaties van een eindig aantal der ingevoerde teekens (waartoe ook het teeken = behoort, en die eindig in aantal zijn voor elk wiskundige theorie) blijft aftelbaar, a fortiori dus het geheel van die bijzondere teekencombinaties, die als ware vergelijkingen zijn te lezen.

22) Een enkele maal vergist hij zich, waar hij n.l. pag. 181 een niet-strijdigheid door een voorbeeld bewijst, wat van het door hem ingenomen standpunt natuurlijk ongeoorloofd is.

23) Wèl wordt de petitio principii natuurlijk geoorloofd, zoodra men, zooals HILBERT, uit het taalsysteem omgekeerd op de primaire intuïtie, die het begeleidt, wil concludeeren.