OVER DE GRONDSLAGEN

DER WISKUNDE



Dr. L.E.J. BROUWER






SAMENVATING



Samenvattende:
De wiskunde is een vrije schepping, onafhankelijk van de ervaring; zij ontwikkelt zich uit een enkele aprioristische oer-intuïtie, die men zoowel kan noemen constantheid in wisseling als eenheid in veelheid 1).
Vervolgens het projecteeren van wiskundige systemen op de ervaring is eveneens een vrije daad, die in den strijd om het bestaan doeltreffend [pag. 180] blijkt; het eene wiskundige systeem kan daarbij praktischer, ekonomischer blijken, dan het andere, althans voorzoover betreft een bepaalde kategorie van doeleinden, die men door middel van systemen tracht te bereiken: absoluut doeltreffend zijn ze geen van alle, de Euclidische meetkunde even weinig als de logische redeneeringen of de electronentheorie.
In de wiskunde behooren wiskundige definities en eigenschappen niet zelf weer wiskundig te worden bekeken, maar alleen een middel te zijn, om eigen herinnering of mededeeling aan anderen van een wiskundig gebouw zoo ekonomisch mogelijk te leiden. Er zijn elementen van wiskundige bouwing, die in het systeem der definities onherleidbaar moeten blijven, dus bij mededeeling door een enkel woord, klank of teeken, weerklank moeten vinden; het zijn de uit de oerintuïtie of continuumintuïtie afgelezen bouwelementen; begrippen als continu, eenheid, nog eens, enzoovoort zijn onherleidbaar.
Een logische opbouw der wiskunde, onafhankelijk van de wiskundige intuïtie, is onmogelijk -- daar op die manier slechts een taalgebouw wordt verkregen, dat van de eigenlijke wiskunde onherroepelijk gescheiden blijft -- en bovendien een contradictio in terminis -- daar een logsich systeem, zoo goed als de wiskunde zelf, de wiskundige oer-intuïtie noodig heeft.




Voetnoot:

1) De eerste bouwdaad heeft twee samengedachte discrete dingen (zoo ook CANTOR, Vortrag auf der Naturforscherversammlung in Kassel, 1903); F. MEYER (Verhandl. des Heidelberger Kongresses p. 678) zegt dat één ding genoeg is, want dat de omstandigheid dat ik dat ding denk er als tweede ding bij kan worden genomen; wat onjuist is, want juist dat er bij nemen (d.w.z. stellen onder vasthouding van het vroeger gedachte) vooronderstelt de intuïtie van twee; welk wiskundig systeem dan eerst daarnaop het oorspronkelijk gedachte ding en ik, dat het ding denkt, wordt toegepast.