OVER DE GRONDSLAGEN
DER WISKUNDE
Dr. L.E.J. BROUWER
SAMENVATING
Samenvattende:
De wiskunde is een vrije schepping, onafhankelijk van de
ervaring; zij ontwikkelt zich uit een enkele aprioristische oer-intuïtie,
die men zoowel kan noemen constantheid in wisseling als eenheid in
veelheid 1).
Vervolgens het projecteeren van wiskundige systemen op de
ervaring is eveneens een vrije daad, die in den strijd om het bestaan
doeltreffend [pag. 180] blijkt; het eene wiskundige systeem kan daarbij
praktischer, ekonomischer blijken, dan het andere, althans voorzoover betreft
een bepaalde kategorie van doeleinden, die men door middel van systemen tracht
te bereiken: absoluut doeltreffend zijn ze geen van alle, de Euclidische
meetkunde even weinig als de logische redeneeringen of de
electronentheorie.
In de wiskunde behooren wiskundige definities en
eigenschappen niet zelf weer wiskundig te worden bekeken, maar alleen een
middel te zijn, om eigen herinnering of mededeeling aan anderen van een
wiskundig gebouw zoo ekonomisch mogelijk te leiden. Er zijn elementen van
wiskundige bouwing, die in het systeem der definities onherleidbaar moeten
blijven, dus bij mededeeling door een enkel woord, klank of teeken, weerklank
moeten vinden; het zijn de uit de oerintuïtie of continuumintuïtie
afgelezen bouwelementen; begrippen als continu, eenheid, nog eens,
enzoovoort zijn onherleidbaar.
Een logische opbouw der wiskunde, onafhankelijk van de
wiskundige intuïtie, is onmogelijk -- daar op die manier slechts een
taalgebouw wordt verkregen, dat van de eigenlijke wiskunde onherroepelijk
gescheiden blijft -- en bovendien een contradictio in terminis -- daar een
logsich systeem, zoo goed als de wiskunde zelf, de wiskundige oer-intuïtie
noodig heeft.
Voetnoot:
1) De eerste bouwdaad heeft twee samengedachte
discrete dingen (zoo ook CANTOR, Vortrag auf der Naturforscherversammlung in
Kassel, 1903); F. MEYER (Verhandl. des Heidelberger Kongresses p. 678) zegt dat
één ding genoeg is, want dat de omstandigheid dat ik dat
ding denk er als tweede ding bij kan worden genomen; wat onjuist is, want juist
dat er bij nemen (d.w.z. stellen onder vasthouding van het vroeger
gedachte) vooronderstelt de intuïtie van twee; welk wiskundig
systeem dan eerst daarnaop het oorspronkelijk gedachte ding en ik, dat
het ding denkt, wordt toegepast.