PROBLEMEN VAN HET WISKUNDE-ONDERWIJS

DOOR

E.J. DIJKSTERHUIS

Aanvullende gegevens:
Artikel verschenen in: Euclides 14 (1937/38), pp. 99-118.
Oorspronkelijk artikel had één voetnoot geplaatst bij de titel, welke hier seperaat is opgenomen als eindnoot.



Het schoolbestaan, waarin voor velen van ons het dagelijksche beroepsleven verloopt, bevat in zijn rustige en zelfs in zijn onderbrekingen nog nauwkeurig vastgestelde regelmaat een sterk kalmeerend, men zou bijna kunnen zeggen verdoovend element. Het brengt zoowel voor de leerlingen als voor de docenten iederen dag weer zijn scherp omschreven plicht mee, waarvan het volbrengen een gevoel van weer-klaar-zijn en daardoor van rust en voldoening schept; het gaat telkens met zoo kleine stapjes vooruit, dat beide cate~gorieën zich gemakkelijk tot een zekere zorgeloosheid aangaande de toekomst laten verleiden en ze beide wel eens geneigd zijn te vergeten, hoe groote belangen er in al die kleine dagelijksche gebeurtenissen toch voortdurend op het spel staan.
Een van de meest typeerende invloeden, die dit zoo gemakkelijk tot sleur voerend bestaan op den docent kan uitoefenen, is deze, dat hij er zoo gauw toe komt, de traditioneele organisatie van ons schoolwezen als een permanente realiteit te beschouwen en dat hij zoo spoedig blind wordt voor de vele nog onopgeloste problemen, die daarin overal schuilen. In het bijzonder laat men zich als docent in wiskunde zoo gemakkelijk de overheerschende positie aanleunen, die dit vak nu eenmaal op historische gronden verworven heeft en volgt men zoo graag de in den vollen zin van het woord saeculaire traditie, die het heeft weten te handhaven. Men vindt het vanzelf sprekend, dat de praestaties in de wiskundeles als een belangrijk kriterium voor de intellectueele begaafdheid van een leerling worden beschouwd kn men voelt het menigmaal bijna als een sacrilegium, wanneer er pogingen worden gedaan, om aan het heilig huis van leerstof en methode te raken. [pag. 100]
Er kan in deze beroepsblindheid ongetwijfeld een sterke bron van kracht liggen. De onkritische enthousiast, die haar zijn eigen mag noemen, wordt er wellicht door in staat gesteld zijn werkkring met vuur en energie te vervullen. Leeraren zijn in het algemeen idealistisch aangelegd en sterk vatbaar voor illusies aangaande de waarde en het resultaat van hun werk en het komt voor, dat iemand tot zijn ambtelijk einde toe in de rotsvaste overtuiging leeft, dat hij, wiskunde doceerend, een zegen voor de schooljeugd is.
In ieder geval is iemand, die het problematisch karakter van het wiskunde-onderwijs niet ziet, uit een oogpunt van practische levenswijsheid gelukkiger te prijzen dan wie er al te veel oog voor heeft. Er zijn ook wiskunde-docenten, die hun geheelen werkkring voelen als een voortdurende mislukking, hetzij doordat ze er een onrecht aan de jeugd in zien, dat van haar op wiskundig gebied zooveel geeischt wordt, hetzij doordat ze op den duur de ontzaglijke discrepantie tusschen de aan weerszijden ten koste gelegde energie en de bereikte resultaten niet kunnen verdragen.
Tusschen de krachtgevende naieveteit van de eerste categorie en het ontmoedigend inzicht van de tweede ligt: zooals steeds, een gulden middenweg. Hij wordt bewandeld door hen, die met de volle en bewuste aanvaarding van de realiteit van ons onderwijssysteem in al haar consequenties een open oog voor de onvolkomenheden ervan kunnen vereenigen, die het traditioneele wiskunde-onderwijs vandaag vernietigend kunnen critiseeren en morgen datzelfde onderwijs met toewijding en nauwgezetheid kunnen geven, die alle skepsis aangaande het goed recht der wiskunde als overheerschend leervak persoonlijk hebben doorleefd en nu, aan de overzijde daarvan aangeland, blijmoedig en zonder illusies hun best doen, om alle positieve waarden, die ze op hun zwerftocht ontdekt hebben, in het onderwijs tot haar recht te doen komen.
Bij hen is de beroepsblindheid, waarover ik sprak, slechts schijn. Zij gaan met de naieve enthousiasten in het dagelijksche schoolbestaan aan de problemen van het wiskunde-onderwijs voorbij, omdat ze geleerd hebben, dat ze zoodoende meer bereiken dan de ontmoedigden in hun wijsheid, maar ze houden die problemen voortdurend in het oog en grijpen iedere gelegenheid aan, om in discussie met anderen, hetzij tegenstanders hetzij gelijkgestemden, hun inzicht te scherpen en de waarde van hun standpunt te toetsen. Ik geloof niet mis te tasten, wanneer ik aanneem, dat in dezen [pag. 101] kring, die toch door zuivere belangsteliing voor ons voortgezet onderwijs bijeen is gebracht, een gunstige gelegenheid bestaat, om in den geschetsten zin over de problematiek van ons wiskunde-onderwijs van gedachten te wisselen. Daarom durf ik uw aandacht vragen voor enkele hierin voorkomende kwesties, die mij altijd in het bijzonder hebben bezig gehouden.

Ik wil dan uitgaan van de vaststelling van enkele feiten, die, naar ik meen, op zoo algemeene ervaring steunen, dat men er nauwelijks meer meeningsverschil over kan verwachten, hoezeer dan ook de opvattingen over hun verklaring uiteenloopen. Het staat dan, dunkt me, wel vast, dat de overgroote meerderheid van onze jongens en meisjes, die voortgezet onderwijs wenschen te volgen, een zeer aanzienlijk deel van hun tijd en werkkracht moeten besteden, om eenigszins naar behooren de taak te kunnen vervullen, die het wiskunde-onderwijs hun oplegt; vervolgens, dat desondanks de resultaten van dit onderwijs ontstellend slecht zijn, zoo slecht, dat men in de meerderheid der gevallen eigenlijk heelemaal geen ernst kan maken met de eischen, die men op grond van het leerprogramma zou mogen en moeten stellen. Als minder vaststaand, mij althans door persoonlijke ervaring niet bevestigd, maar door ernstige beoordeelaars zoo vaak verzekerd, dat men het niet zonder meer kan verwerpen, moet daarnaast de bewering worden gesteld, dat deze gedwongen beoefening der wiskunde, afgezien van de begrijpelijke teleurstelling en ontmoediging, die het gevolg is van gemis aan succes, voor vele kinderen op zich zelf reeds een leed beduidt, dat voor hun geestelijken groei schadelijk kan zijn.
Naar aanleiding van deze feiten of vermoedens doet zich dadelijk het eerste en alles omvattende probleem van het wiskunde-onderwijs voor: welke zijn de motieven, die er toe kunnen drijven, aan de wiskunde in ons geheele schoolsysteem een zoo groote plaats toe te kennen; met welk recht wordt van het al of niet voldoen aan de eischen, die zij stelt, zoo menige beslissing over onze schooljeugd afhankelijk gemaakt? Het is allerminst een nieuwe of origineele kwestie, die ik hiermee aanroer; zij behoort integendeel tot de meest besprokene van ons geheele onderwijs; opgelost is ze echter nog lang niet en daar alle discussies over detailvragen van de didactiek der wiskunde toch altijd weer tot haar terugvoeren, kan ze hier zeker niet buiten beschouwing blijven. [pag. 102]
We kunnen bij de behandeling van de kwestie beginnen met reeds dadelijk één categorie van leerlingen aan te wijzen, waarvoor ze niet bestaat, althans niet bestaan mag. Het zijn die leerlingen, die later een studie wenschen te volbrengen, waarin ook beoefening der wiskunde voorkomt of waarvoor een mathematische propaedeuse onmisbaar is. Voor a.s. studenten in wiskundige, natuurwetenschappelijke en technische vakken is een strenge mathematische training op H.B.S. of Gymnasium een simpele noodzakelijkheid en er zou zelfs niets op tegen zijn om, wat hen betreft, de eischen op wiskundig gebied hooger te stellen of strenger te handhaven dan tot dusver gebruikelijk is. Het is nu eenmaal een feit, dat in alle wetenschappen, die men gewoonlijk als ß-vakken aanduidt, de wiskunde een steeds belangrijker rol gaat spelen en het valt ook niet te ontkennen, dat de volkomen technische beheersching van de steeds weer uit te voeren elementair-mathematische bewerkingen het best door gestadige oefening op jeugdigen leeftijd verkregen wordt.
Hiermee is natuurlijk niet gezegd, dat voor iederen leerling, die in zijn latere studie kennis der wiskunde noodig zal hebben, de beoefening daarvan op de Middelbare school steeds een genoegen zal zijn. Men kan alleen zeggen, dat hij er zich evenmin over mag beklagen als een aanstaand musicus iets op zijn vingeroefeningen en technische etudes tegen mag hebben. In den regel zal hij dat echter ook niet doen; de jongen, die zoo graag ingenieur wil worden, maar helaas geen wiskunde kan leeren, sterft zienderoogen uit, en hoewel er enkele extreme gevallen bekend zijn, waarin een aanvankelijk schijnbaar onvermogen in wiskundig werk omsloeg in volkomen vaardigheid, nadat maar eenmaal de ware belangstelling voor de toepassingen ontwaakt was, kan men in het algemeen wel zeggen, dat leerlingen van de bedoelde categorieën op school reeds hun best op de wiskunde zullen doen en er ook wel iets in zullen bereiken.
Ook sluit de aanvaarding van de noodzaak van grondig wiskunde-onderwijs voor a.s. beoefenaren der ß-vakken natuurlijk niet in, dat men nu ook maar, wat hen betreft, de geheele thans overheerschende methodiek der wiskunde zonder critiek buiten discussie zou mogen stellen. Het tegendeel is waar: er is met het oog op de behoeften van hen, die later wiskunde zullen studeeren of wiskunde als hulpvak noodig zullen hebben, nog heel wat te verbeteren. Er [pag. 103] kan nog heel veel worden gedaan om te voorkomen, dat er een technische vaardigheid wordt aangekweekt, zonder dat de ontwikkeling van het inzicht daarmee gelijken tred houdt; er zal nog heel veel hervormd moeten worden, voordat de wiskunde als een volkomen redelijke, met hedendaagsche inzichten strookende werkzaamheid wordt beoefend en voordat het vermogen tot zelfstandig hanteeren der behandelde methoden tot een zoo hoog peil is opgevoerd als met het oog op verdere studie gewenscht is.
Maar dit zijn allemaal kwesties, die, hoe belangrijk ook, op een ander niveau liggen dan de problemen, die ik hier vanavond wil aanroeren; het zijn interne aangelegenheden der mathematische didactiek, die alleen in een kring van wiskundigen vruchtbaar behandeld kunnen worden. Het algemeene probleem van het bestaansrecht der wiskunde als leervak voor alle leerlingen van scholen voor voortgezet onderwijs raken zij niet.
Dat probleem vertoont zich pas in zijn vollen ernst, wanneer men aan al die leerlingen denkt, die buiten den betrekkelijk engen kring van a.s. studenten in de ß-vakken staan, aan het ook nog betrekkelijk kleine aantal van de a.s. juristen, theologen, litteratoren en beoefenaren der handelswetenschappen en aan de veel grootere schare van hen, die zonder hoogere studie de practijk van het leven ingaan. Is wiskunde-onderwijs voor hen een goed of een kwaad ding; indien kwaad, is het een noodzakelijk of een overbodig euvel? Wordt het in stand gehouden door verstard conservatisme en ambtelijke impotentie of ligt er aan de traagheid, waarmee het zich handhaaft, een onpersoonlijke wijsheid ten grondslag, die dieper ziet dan emotioneele voor- en tegenstanders het elk individueel doen?
Ik behoef u niet uitvoerig te schetsen, met welke argumenten men over en weer reeds getracht heeft, deze kwesties tot oplossing te brengen, want natuurlijk kent u al de hierbij optredende discussies wel uit eigen ervaring. De voorstander van de wiskunde begint gewoonlijk met zich op de ontwikkeling van het logisch denken te beroepen, dat het gevolg van wiskunde-onderwijs zou moeten zijn, maar zijn tegenstander brengt hem dadelijk in het nauw door eerst een nauwkeurige analyse van dit begrip te eischen, vervolgens te betoogen, dat het uitvindingsvermogen, dat in de wiskunde zulk een belangrijke functie vervult, toch zeker niet volgens de wetten der logica werkt en ten slotte te betwijfelen, of een eventueele ontwikkeling [pag. 104] van zekere verstandelijke vermogens in het wiskunde-onderwijs zich wel buiten de wiskunde bemerkbaar zal maken en bruikbaar zal toonen. De verdediger antwoordt hierop met de wedervraag, waarom de skepsis inzake overdracht, die, consequent toegepast, ons geheele stelsel van opvoeding en onderwijs schijnt te moeten aantasten, zich juist altijd speciaal tegen de wiskunde richt; hij acht het psychologisch experiment of de enquête vooralsnog incompetent om deze zaak te beslissen en hij blijft overtuigd, dat, wie in wiskunde goed kan redeneeren en vernuftig vraagstukken kan oplossen, in alle andere vakken, voorzoover ze op behoorlijk wetenschappelijk peil staan (en dat zijn er in zijn oog niet zoo heel veel) een goed figuur zal slaan en ook in de zaken van het practische leven met beleid en inzicht zal handelen. De bestrijder, de algemeen-wetenschappelijke competentie van den wiskundige in het midden latend, werpt tegen, dat de voorwaarde van goede prestaties in de mathesis toch in ieder geval niet noodig blijkt te zijn, om het in andere vakken ver te brengen en hij beroept zich op eclatante gevallen van groote geleerden, die als om strijd verklaard hebben, dat ze met wiskunde nooit overweg hebben gekund.
Dat argument maakt op den wiskundige niet den minsten indruk: ze hebben blijkbaar nooit goed onderwijs in wiskunde gehad (op den achtergrond van zijn geest leeft daarbij de gedachte aan onderwijs, zooals hij het zelf geeft) of ze zijn geremd geweest door vooringenomenheid. Het is toch ondenkbaar, dat iemand, die een goed verstand zegt te bezitten, de hoogst eenvoudige redeneeringen van de elementaire mathesis niet zou kunnen volgen, indien hij dat werkelijk wil. Alles zit immers volkomen logisch in elkaar; men behoeft zich slechts af te vragen, wat men weet, wat alle termen beduiden en waar men heen wil en dan gaat het vanzelf. Het antwoord hierop blijft niet uit: niet zonder hoon wordt gevraagd, of de wiskundige soms meent, dat denken en wiskundig denken synoniem zijn en de aanvaller wordt zelfs grof, wanneer hij het hopeloos vechten noemt tegen zulk een bekrompenheid; het is volgens hem niet eens juist, dat iets voor iedereen daarom reeds volkomen helder zou moeten zijn, omdat het logisch onberispelijk in elkaar zit, wie dat meent, betoogt hij, onderschat zoowel de hulp, die spontane belangstelling in het denkproces kan bieden als de remmingen, die instinctieve afkeer kan veroorzaken. Die afkeer kan echter bij emotioneele en aesthetisch aangelegde naturen gemakkelijk voorkomen; [pag. 105] de kille abstracties der mathesis, die hoogstens tot het verstand, maar niet tot het gemoed spreken, blijven in gebreke, de geestelijke resonantie op te wekken, die aan het begrip moet voorafgaan.
Als hij zoo iets hoort, geraakt de verdediger der wiskunde eerst recht in vuur. Hoe nu, roept hij uit, wilt gij dan aan de wiskunde het vermogen tot het wekken van emotie en aesthetische ontroering ontzeggen? Is zij niet de harmonie zelve, van oudsher met muziek ten nauwste verwant? Is er geen enge samenhang tusschen de kunstige verwikkelingen van een mathematisch bouwwerk en de, zoo ge wilt, niet slechts kille, maar zelfs ijskoude instrumentale muziek van Bach? Zijn niet de meeste wiskundigen muzikaal en heeft Leibniz het genoegen, dat de muziek verschaft, niet reeds teruggebracht tot de vreugde van een onbewust tellen?
De tegenstander, inziende, dat hij op gevaarlijk terrein komt, trekt zich nu terug door op te merken, dat de discussie nu toch wel heel ver is afgedwaald van de vraag, waarom alle kinderen op de Middelbare School wiskunde moeten leeren; spottend vraagt hij, of zij misschien ook al aesthetische ontroeringen ondergaan, als ze lijnstukken in een driehoek berekenen of een logarithmentafel hanteeren. Hierna werpt de wiskundige of zijn volgeling het over een anderen boeg door de stelling te poneeren, dat goed wiskunde-onderwijs vóór alles taal-onderwijs is, dat het de gewoonte aankweekt, om in goed gebouwde zinnen nauwkeurig te zeggen, wat men bedoelt, omdat ieder gebruik van een term, waarbij men zich niet nauwkeurig rekenschap geeft van de beteekenis, onmiddellijk tot foutieve resultaten of tot een stokken der redeneering leidt. Het is ons, zegt hij nu, er heelemaal niet om te doen, dat de leerlingen zooveel mogelijk stellingen kennen en zoo moeilijk mogelijke vraagstukken kunnen oplossen. Wij verlangen slechts een helder en exact woordgebruik en we beschouwen den inhoud der mathematische leerstof alleen maar als het materiaal, waaraan het vermogen, om zich goed uit te drukken, ontwikkeld wordt.
U weet natwurlijk allen heel goed, dat de discussie hiermee nog lang niet uit is. Er moet nog weer over getwist worden, of het bedoelde vermogen zich inderdaad laat ontwikkelen en zoo ja, of het dan ook op andere gebieden tot uiting komt: waarmee het geheele twistgesprek weer van voren af aan begint. Ook is Plato nog niet geciteerd ( en ); de onmisbaarheid der wiskundige scholing voor de beoefening van [pag. 106] de wijsbegeerte nog niet aan den eenen kant met klem betoogd, aan den anderen met overtuiging geloochend; er is nog niet over intellectueele eerlijkheid gesproken en over de moreele waarde daarvan. Maar ik wil de discussie niet verder vervolgen; het is onafzienbaar, hoeveel treffends en overtuigends nog aan weerskanten te berde zal worden gebraoht, maar het staat natuurlijk al lang vast, dat de strijdende partijen onverzoend uiteen zullen gaan en van de toehoorders heeft zich reeds lang een stemming van diepe neerslachtigheid meester gemaakt.
Wat toch is het eenige, dat de beide strijdbare sprekers in hun woordenwisseling werkelijk afdoend hebben aangetoond? Dat is het bedroevende, maar helaas niet te loochenen feit, dat het in onzen tijd nog niet mogelijk is, òf de waarde van een leervak op wetenschappelijke wijze vast te stellen en daardoor uit te maken, of het moet worden gehandhaafd of verworpen òf met zooveel kracht van overtuiging en klem van redenen de onmisbaarheid ervan te bepleiten, dat de tegenstander zwicht en althans de mogelijkheid van zijn ongelijk erkent. Voor de wiskunde treedt dit verschijnsel in zeer uitgesproken vorm op, maar het is helaas van veel wijdere strekking; ieder, die aan onderwijsdiscussies pleegt deel te nemen, zal uit eigen ervaring kunnen bevestigen, dat als men in ons land een aantal ernstige menschen met ervaring van en belangstelling in het onderwijs bijeen brengt en hen om hun meening over een onderwijskundig vraagstuk vraagt, men altijd evenveel zinnen als hoofden vindt. Dit doemt ons onderwijs tot een toestand van onveranderlijkheid, die niet een gevolg is van afwezigheid van uitwendige krachten, maar van het volkomen evenwicht, waarin ze elkaar houden.
We zullen er ons, om weer tot de wiskunde terug te keeren, in moeten schikken, dat de waarde van dit vak evenmin als zijn ontbeerlijkheid of schadelijkheid op wetenschappelijk afdoende wijze kan worden aangetoond. Dat het wiskunde-onderwijs werkelijk allen lof verdient, die er altijd aan wordt toegezwaaid, kunnen we ten eerste niet deductief bewijzen, omdat alle daarbij optredende termen veel te vaag omschreven zijn en ten tweede niet, omdat de levende kinderen, die het ondergaan, nu eenmaal reageeren op een wijze, die zich in het geheel niet logisch laat afleiden. En we kunnen het niet inductief aantoonen, omdat het ervaringsmateriaal, waarover we beschikken, alleen betrekking heeft op een toestand, [pag. 107] waarin iedereen wiskunde leert en dus alleen de mate van welslagen daarvan kan doen kennen, maar niet op een onderwijssysteem, waarin bepaalde kinderen met en andere zonder wiskunde worden opgevoed.
Men kan zich echter nu eenmaal in practische aangelegenheden niet met een dergelijk non liquet tevreden stellen. En bij ontstentenis van een bewijs blijft geen andere mogelijkheid dan die van een credo over. En zoo blijkt ten slotte een eigenlijk dispuut over de al of niet wenschelijkheid van wiskunde-onderwijs onmogelijk; er kan alleen gedachtenwisseling plaats hebben; de voorstanders kunnen zeggen, wat in hun oog de voordeelen ervan zijn; de tegenstanders kunnen wijzen op de gevaren, die zij zien en ieder kan slechts hopen, dat zijn opponens, die nu geen ergernis of geringschatting meer bij hem opwekt, zich zijn woorden ter harte zal nemen.
Het is in dezen zin, dat ik nader wil ingaan op de motieven, die er in mijn oog voor pleiten, de wiskunde als leervak voor alle scholen voor middelbaar en voorbereidend onderwijs te handhaven, om daarbij dan enkele opmerkingen te maken over de vraag, of die handhaving ook wijzigingen in leerstof en methode vereischt.
Wanneer ik daartoe nog eens de argumenten overzie, die we straks in de gefingeerde discussie hoorden aanvoeren en andere, die daarnaast nog zouden kunnen worden aangevoerd, dan ben ik persoonlijk geneigd, de meeste waarde te hechten aan den invloed ten goede, dien het wiskunde-onderwijs kan uitoefenen op een exact woordgebruik en een heldere uitdrukkingswijze en op het gevoel van verantwoordelijkheid voor uitgesproken beweringen. De wiskunde schept, dank zij den grooten eenvoud en het zeer beperkte aantal van haar fundamenteele begrippen, de mogelijkheid, om op ieder oogenblik van alle woorden, die men bezigt en van alle beweringen, die men uitspreekt, volkomen rekenschap te geven door de woorden tot woordafspraken en de beweringen tot axiomata te herleiden. Zij is het eenige vak, dat over deze mogelijkheid beschikt, omdat zij het eenige vak is, dat zich de weelde kan veroorloven, te abstraheeren van iedere complicatie, die haar zou kunnen verstoren.
Hoe noodzakelijk het is, dat iedere leerling van een Middelbare School, die dan toch door zijn aanwezigheid blijk geeft, een zekeren graad van geestelilke ontwikkeling na te streven (althans ouders [pag. 108] te hebben, die dit voor hem doen), een training op dit gebied doormaakt, blijkt wel het duidelijkst uit de verwondering, waarmee hij aanvankelijk reageert op de eischen, die hem gesteld worden. Het kind en evenzoo de onvoldoend geschoolde volwassene vinden de vraag: ,,wat zeg je eigenlijk?'' op zich zelf vreemd, ja ongerijmd, waaruit vanzelf volgt, dat ze zich de vraag ,,wat zeg ik eigenlijk?'' spontaan nooit zullen stellen. Zij missen de kritiek op het eigen spreken en a fortiori die op het eigen denken; ze leven in de overtuiging, dat het woord, de flatus vocis, met een begrip identiek is en dat dus met het uitspreken van het woord het begrip reeds mee gedacht is. Evenzoo verkeeren zij in den waan, dat iedere bewering een op zich zelf staand oordeel vormt, dat waar kan zijn of niet waar, dat in het eerste geval behoort te worden aanvaard en in het tweede moet worden verworpen, maar dat niet in samenhang met andere oordeelen gezien wordt. Het kind van de Lagere School zegt zijn onderwijzer met hetzelfde vertrouwen na, dat een getal deelbaar is door negen, wanneer de som der cijfers een negenvoud is, als waarmee hij van hem de mededeeling aanvaardt, dat Parijs de hoofdstad van Frankrijk is. En wanneer men hem naar aanleiding van de eerste uitspraak de vraag stelt: hoe weet je dat?, toont hij opnieuw verwondering, ja eenige gebelgdheid. Hij beschouwt zulk een vraag eenigszins als een aantasten van de autoriteit van zijn onderwijzer en mentaal antwoordt hij met de Pythagoraeërs:
Het is nu de taak van het wiskunde-onderwijs op de Middelbare School deze stemming van vertrouwen in de waarheid van het meegedeelde en in de afdoendheid van de uitdrukkingswijze te verstoren. Het is niet uitgesloten, dat het kind hierop met tegenzin en ergernis reageert, want in zekeren zin is deze stelselmatige opvoeding tot twijfel en kritiek ook een verdrijving uit het paradijs van het kind-zijn. Maar die gevoelens mogen niet als argument tegen de noodzakelijkheid van grondig wiskunde-onderwijs worden aangevoerd. Oefening, zoowel op geestelijk als op lichamelijk gebied, gaat nu eenmaal altijd met onlustgevoelens gepaard. Gymnastische oefeningen, waarbij men niet moe wordt en waarbij men zich geen ongewone inspanning behoeft te getroosten, kan men ook wel nalaten; muzikale etudes, die men zonder moeite a prima vista speelt, hebben geen nut.
Deze overweging wordt vaak misverstaan. Men stelt het [pag. 109] boosaardig zoo voor, alsof de wiskundigen hun vak op dezen grond verdedigen, dat het ter staling van den wil voor jonge menschen zoo goed is gedwongen te worden om iets te doen, wat hun niet gemakkelijk afgaat. Dat is natuurlijk onjuist. De inspanning, die de wiskunde eischt, dient niet in de eerste plaats om den wil te stalen, maar ze is een middel tot een doel, waarvan niet is aan te nemen, dat een redelijk mensch het niet zou begeeren. Wie het eenmaal goed acht, dat iedereen zichzelf en anderen zooveel mogelijk rekenschap tracht te geven van de beteekenis van zijn uitspraken en van de gronden, waarop ze rusten, d.w.z. zichzelf en anderen zoo min mogelijk tracht te misleiden, kan geen bezwaren maken tegen de inspanning, die het den leerling kost, zich hierin te oefenen.
Maar zoo spoedig is de kritiek niet ontwapend. Zij beroept zich nu op den te jeugdigen leeftijd van de leerlingen, die men deze training in exact en verantwoord spreken wil doen ondergaan en wijst er op, dat juist het hoogst abstracte karakter der mathematische begrippen verhindert, dat ze voor het kind werkelijk gaan leven; ze wijst op de moeilijkheden, die de stijl van de gebruikte leerboeken aan het kinderlijk begrip in den weg legt en haalt als bewijsgrond daarvoor aan, dat het gewoonlijk vrijwel ondoenlijk blijkt, den leerling tot vruchtdragende zelfstandige bestudeering van een stuk uit het boek te brengen. En in al deze dingen heeft ze tot op zekere hoogte wel gelijk. Want het feit, dat een groot aantal leerlingen in de eerste klasse van de Middelbare School over de wiskunde struikelt, is onweerlegbaar en ook wie volhoudt, dat leerlingen, die dat doen, dan ook blijkbaar niet op de school thuis hooren, zal niet kunnen ontkennen, dat de school, die ze aanvaard heeft, daardoor toch ook een zekere verplichting op zich neemt, ze iets te leeren, wat binnen hun bevatting valt.
Ik wil er nu echter den nadruk op leggen, dat wanneer voor- en tegenstander van het wiskunde-onderwijs het op dit punt eens zijn geworden, de discussie reeds weer vergleden is naar een ander niveau dan waarop ze begonnen is. Want het gaat nu niet langer om de beiderzijds aanvaarde doelstelling van dat onderwijs, maar om de methode, die tot het bereiken van het gestelde doel wordt toegepast. De kwestie is hierdoor weer tot een interne aangelegenheid der mathematische didactiek geworden en daardoor ongeschikt om in een anderen kring dan dien van wiskundigen te worden behandeld. [pag. 110]
De tegenstander ziet zich nu plotseling van zijn twistappel beroofd. Hij kan nu alleen nog maar opmerken, dat de wiskundigen het in de oplossing van hun interne problemen toch blijkbaar nog niet zoo heel ver hebben gebracht, dat intusschen de nooden van het wiskunde-onderwijs blijven bestaan en dat het slechts een schrale troost is te weten, dat het nagestreefde doel toch zoo schoon is.
En ook dit kan men hem weer tot op zekere hoogte toegeven. Maar men kan wel op allerlei verontschuldigingen wijzen. Waarvan een deze is, dat de mathesis zelf ook nog een woordje heeft mede te spreken. Het oude woord van Eudides, dat de wiskunde geen afzonderlijken weg kent voor koningen, is nog steeds van volle kracht en men kan het in onzen tijd onveranderd overnemen voor kinderen. Men kan natuurlijk de moeilijkheden van den steilen toegangsweg wat trachten te temperen en het ontbreekt ook heelemaal niet aan methoden, om dat te bereiken. Maar na een tijdje zal zich, ondanks intuitieve propaedeuse of empirische voorbereiding, het ware wezen der wiskunde wel altijd weer openbaren in al haar koude gestrengheid en men kan iets voelen voor de niets verbloemende openhartigheid van den docent, die zijn leerlingen van den eersten dag maar dadelijk goed laat voelen, dat de weg van het M. O. een moeizame weg omhoog is.
Wat men echter niet goed kan praten, is, het adembenemende tempo, waarin die weg moet worden afgelegd. Want hier ligt voor mijn gevoel de voornaamste oorzaak van het geringe succes van ons wiskunde-onderwijs. Op het bestaansrecht ervan kan men niets afdingen, op de methode veel, op het tempo alles, terwijl wat er op de methode is aan te merken, in hoofdzaak daarom niet verbeterd kan worden, omdat het tempo het niet toestaat.
De grondfout is dus deze, dat de tijd te kort is, om de voorgeschreven leerstof met alle leerlingen grondig te behandelen of, zoo men wil, de leerstof te omvangrijk, om in den beschikbaren tijd door alle leerlingen te kunnen worden verwerkt. Wanneer men op een H.B.S. of Gymnasium les in wiskunde geeft, heeft men voortdurend aanleiding, de versregels van Richard Dehmel te citeeren: Und uns fehlt nur eine Kleinigkeit, Um so frei zu sein, wie die Vögel sind: Nur Zeit.
Men zou er zoo graag van afzien, om op het bord met zoogenaamde medewerking van de klas nieuwe stellingen te gaan bewijzen of vraagstukken voor te maken of dit door een leerling te [pag. 111] laten doen, terwijl de geheele overige klas in allerlei graden van activiteit of somnolentie al of niet meedenkt. Wiskunde leent zich zoo bij uitstek tot zelfstandige werkzaamheid der leerlingen, waarbij ieder zijn gang kan gaan volgens zijn eigen tempo, terwijl de docent steun verleent naar behoefte. Wie echter zoo te werk gaat, en zich daarbij toch telkens wil overtuigen, of met de ontwikkeling van inzicht en vaardigheid de groei van het vermogen tot scherpe formuleering wel gelijken tred houdt, komt bij onze gangbare schoolinrichting ongetwijfeld niet klaar met de voorgeschreven leerstof. Vroeg of laat neemt men dan toch zijn toevlucht tot de klassikale behandeling met het gevolg, dat men groot gevaar loopt, alweer tot nieuwe onderwerpen over te gaan, terwijl een groot deel van de leerlingen het vorige nog niet beheerscht en dus ook nooit beheerschen zal.
Nu is aan uitbreiding van den voor de wiskunde beschikbaren tijd natuurlijk niet te denken; het zou zelfs niet wenschelijk zijn, indien het mogelijk ware. De voor de hand liggende conclusie schijnt dus hierin te bestaan dat de leerstof op rigoureuze wijze moet worden besnoeid; maar -- en hier blijkt nu weer de complicatie, die aan ieder onderwijsprobleem eigen schijnt te zijn -- daarin schuilt weer een ander gevaar. De beschikbare tijd is alleen dan te kort, wanneer men de wiskunde zoo behandelen wil, dat de leerling uit kracht van eigen werkzaamheid en onder den invloed van een voortdurende controle van de zijde van den docent, een werkelijk redelijk gefundeerde en in correcten vorm tot uiting gebracht inzicht in de wiskunde verwerft; niet, wanneer men zich tevreden stelt met het aankweeken van een zekere technische, in den grond niet begrepen vaardigheid. Een verregaande besnoeiing van de leerstof heeft dus slechts waarde, wanneer ze met de toepassing van die behandelingswijze gepaard gaat, die men als de epistemische tegenover de bloot-technische stellen kan. Er bestaat echter in de tegenwoordige omstandigheden nog geen waarborg, dat de epistemische wijze van wiskunde te doceeren door vele docenten inderdaad niet alleen met den mond gewild wordt.

Ik wil mij nu eens even voorstellen, dat al de tot dusver besproken kwesties tot een zekere oplossing waren gebracht, dat men het er over eens was, dat een ten opzichte van den tegenwoordigen [pag. 112] toestand beperkte hoeveelheid wiskunde, op grondige wijze behandeld en in alle kalmte verwerkt, voor alle leerlingen van scholen voor middelbaar en voorbereidend hooger onderwijs tot de wenschelijkheden behoort en dat er onder de docenten in wiskunde een voldoende mate van eenstemmigheid was bereikt over de beteekenis van die grondigheid en die kalmte en over de toelaatbare eischen, aan den leerling te stellen. Dan zou er echter nog een belangrijk punt van mogelijk meeningsverschil overblijven. De sterke beperking der leerstof in de eerste jaren zou het nl. noodzakelijk maken, dat van een zeker oogenblik af de leerlingen, die later in B-richting verder willen studeeren, een afzonderlijk, strengere eischen stellend en in sneller tempo voortgaand wiskunde-onderwijs zouden moeten gaan genieten. Reeds hierom zou de thans reeds bestaande splitsing in een A- en een B-richting behouden moeten blijven, ja wellicht zelfs vervroegd moeten worden. Dan zou echter in nog scherperen vorm, dan ze nu reeds bezit, de kwestie rijzen, wat er gebeuren moet met de verdere verzorging van de mathematische ontwikkeling van de leerlingen der A-richtingen.
Die kwestie bestaat, zooals u weet, reeds nu en om mij niet te veel in hypothetische omstandigheden te verdiepen, wil ik haar behandelen, zooals ze zich op dit oogenblik het meest opvallend voordoet, nl. in den vorm, of het wiskunde-onderwijs op het -Gymnasium al dan niet moet worden gehandhaafd en, indien wel, of het al dan niet hervorming noodig heeft. Het zal u bekend zijn, dat deze aangelegenheid, die reeds lang de aandacht trekt, in de afgeloopen weken vooral druk is besproken naar aanleiding van een rede, die de aftredende rector-magnificus van de Leidsche Universiteit, Prof. Mr. A.S. de Blécourt, bij de overdracht van het rectoraat heeft gehouden en waarin hij heeft aangedrongen op totale afschaffing van de wiskunde op het Gymnasium- daar deze, naar hij zeide, toch tot niets anders dan tot verdriet en getob aanleiding geeft, ja zelfs oorzaak schijnt te zijn, dat studenten met -diploma niet meer behoorlijk Latijn kunnen lezen. Deze uitval van den Leidschen rector, die begeleid werd door opmerkingen, die nu niet bepaald van groote deskundigheid inzake de ontwikkeling van het Gymnasiale onderwijs getuigden, is een gemakkelijke prooi geworden van de kritiek, die er van gymnasiaal-mathematische zijde op is uitgeoefend. Daardoor is echter haar uitwerking niet te niet gedaan en daar de Leidsche Rector bovendien niet meer heeft gedaan dan [pag. 113] een wensch uit te spreken, die door niet weinigen, waaronder ook wiskundigen, wordt gedeeld, blijft het meer dan ooit geraden, zich rekenschap te geven van het voor en tegen van de aangeroerde kwestie.

Wanneer ik dat hier tracht te doen met al het voorbehoud, dat iemand past, die het Gymnasium noch als leerling, noch als docent ooit uit ervaring leerde kennen, dan kan ik niet ontkennen, dat ik me tot op zekere hoogte kan indenken in de overwegingen van hen, die afschaffing van de -wiskunde bepleiten. Ik kan me levendig voorstellen, dat met uitzondering van dat toch altijd zeer beperkte aantal leerlingen, die alle vakken werkelijk goed beheerschen, die dus eigenlijk op een ongesplitst Gymnasium zouden thuis behooren, en waarvoor het alleen een gevolg van de toevallige beroepskeuze is, dat ze op de -afdeeling zitten, op deze afdeeling het contrast tusschen de op het gebied der wiskunde gestelde eischen en de bereikte resultaten zoo opvallend is, dat men zich af gaat vragen, of de tijd en de moeite, die er aan ten koste wordt gelegd, niet beter zouden kunnen worden besteed, temeer, omdat de bedoelde leerlingen toch ook al vier jaren lang wiskunde-onderwijs hebben genoten en dus de daaraan verbonden zegeningen reeds ruimschoots deelachtig zijn geworden. Wanneer men nu echter aan deze overweging onmiddellijk de conclusie vastknoopt, dat de wiskunde dus van het -Gymnasium moet verdwijnen, dan gaat men, naar ik meen, te ver. Men neemt dan nl. zonder nader onderzoek aan, dat de -wiskunde niet anders gedoceerd kan worden dan nu het geval is. Dat is echter een onderstelling, waarvan de juistheid, op zijn minst genomen, aan twijfel onderhevig is, en die dus in ieder geval eerst nader zal moeten worden onderzocht.
Zij berust nl. op de overtuiging, dat het resultaat van wiskunde-onderwijs noodzakelijk moet bestaan in een vermogen tot oplossen van vraagstukken en dat dus èn het voor school te maken werk èn het werk voor het eindexamen voornamelijk in vraagstukken moet bestaan. Die overtuiging nu lijkt mij ongegrond; de traditie schijnt haar weliswaar voor onaantastbaar te verklaren, maar men moet daarvan, dunkt mij, in deze zaak niet al te zeer onder den indruk komen. In ieder geval is er zeer goed een vorm van wiskunde-onderwijs denkbaar, waarbij de meest wezenlijke voordeelen, die het vak kan opleveren voor leerlingen, die het bij hun latere studie [pag. 114] niet noodig hebben, worden bereikt, zonder dat een beroep wordt gedaan op het spontane uitvindingsvermogen, dat tot het gemakkelijk oplossen van vraagstukken in staat stelt of op de alleen door langdurige oefening te verkrijgen routine, die het gemis van dat vermogen tot op zekere hoogte kan vergoeden. Welke die meest wezenlijke voordeelen zijn: gestadige oefening in zuiver spreken en het zich en anderen rekenschap geven van den logischen samenhang van de gedane beweringen, heb ik reeds enkele malen gezegd. Voor de -leerlingen zou daar nog bij kunnen komen de bestudeering van de structuur van de mathematische redeneering, dus om te beginnen een grondige behandeling van de begrippen axioma, constructie-postulaat, definitie, van de relatie van een stelling tot haar omgekeerden en logische omkeeringen, van de mogelijkheid, de eerste relatie in verband te brengen met het onderscheid tusschen noodige en voldoende voorwaarden, van de indirecte bewijsmethode, van de tegenstelling tusschen analytisch en synthetisch redeneeren. Van hieruit openen zich dan verschillende wegen: men zou kunnen denken aan een behandeling van de beginselen der logica, waarbij de wiskundige redeneeringen als verduidelijking zouden kunnen dienen; men zou ook het onderscheid tusschen mathematisch en natuurwetenschappelijk denken nader kunnen beschouwen, de tegenstelling tusschen inductie en deductie kunnen verhelderen, de verwantschap tusschen inductie en mathematische analyse kunnen bespreken, de rol van de deductie in het inductieve denken en de mogelijkheid van axiomatiseering van een natuurwetenschap, toe te lichten aan het voorbeeld van de rationeele mechanica.
Een verdere mogelijkheid van leerstof, die verhelderend en ontwikkelend zou kunnen werken zonder dat andere eischen zouden behoeven te worden gesteld dan die van een verstandige reproductie, biedt zich aan, wanneer men de in de lagere klassen gevolgde methode, die op verscherping van woordgebruik gericht was, ook hier consequent toepast. Ik denk hierbij aan bespreking van begrippen als irrationaliteit, limiet, raaklijn, oneindig, continuiteit.
Vervolgens bestaat de mogelijkheid van behandeling van grepen uit de geschiedenis van de wiskunde en de natuurwetenschappen, eventueel gebaseerd op lectuur van klassieke schrijvers in het oorspronkelijke. Men zou b.v. de ontwikkeling van het getalbegrip, van teltaal en cijferschrift en van de rekenmethoden bij de verschillende cultuurvolken der oudheid kunnen behandelen, den groei [pag. 115] van het begrip vergelijking en van de oplossingsmethoden daarvan, het ontstaan der algebra, de niet met passer en lineaal oplosbare klassieke problemen der geometrie, de geschiedenis van de astronomie van ons zonnestelsel en van de mechanica van Newton.
Van hieruit blijkt zelfs de mogelijkheid van een directe bijdrage van het wiskunde-onderwijs tot het allereerste doel van het Gymnasium: de kennismaking met de klassieke cultuur. Het is nl. een dwaling te meenen, dat men die kennismaking volledig tot stand zou kunnen brengen door alleen de Grieksche taal, de politieke geschiedenis, de litteratuur en hoogstens nog de beeldende kunst binnen den gezichtskring van den gymnasiast te brengen. Wiskunde en astronomie hebben in het Grieksche geestesleven steeds een overheerschende rol gespeeld. Voor de ware vertrouwdheid met het Grieksche denken vormen zij nog steeds als in Plato's tijd een noodige voorbereiding. Door lectuur van een Griekschen wiskundige in het oorspronkelijke zou de eenheid van leerplan en de samenhang tusschen de verschillende vakken, waarnaar men tegenwoordig zoo verlangt, op de schoonst denkbare wijze kunnen worden bevorderd.
Ik zou wel eens willen weten, of Prof. de Blécourt aan de mogelijkheid van zulk een wiskunde-onderwijs gedacht heeft, toen hij het bij uitnemendheid klassieke denkvak mathesis van het voor alles op klassieke opvoeding gerichte -gymnasium, waar het van oudsher thuishoort, wilde verbannen. Ik vermoed van niet. Want in dit wiskunde-onderwijs zouden logische waarden worden geboden, die voor een a.s. jurist van groote beteekenis zijn, algemeene inzichten in de vermogens van het menschelijk denken worden ontwikkeld en cultuurhistorische perspectieven worden geopend, die geen a.s. beoefenaar van eenige wetenschap en zeker niet van een wetenschap in de -faculteiten onverschillig kunnen laten.
Maar helaas, de gemiddelde niet-wiskundige kent deze zijde der mathesis niet. Hij ziet haar niet in haar historische functie en niet in haar grandiose moderne ontplooiing, waarin zij tot een van de meest verwonderlijke voortbrengselen van den menschelijken geest is uitgegroeid; hij ziet haar slechts als een aaneenschakeling van vraagstukken en nog eens vraagstukken en hij meent, dat daarin haar geheele wezen bestaat.

Laten we echter terugkekren tot de nuchtere realiteit, door de. [pag. 116] vraag te stellen: is een wiskunde-onderwijs aan een -Gymnasium zooals ik dat in enkele groote lijnen heb trachten te schetsen, practisch mogelijk? Ik zou daarop willen antwoorden: van den kant der leerlingen ongetwijfeld. Men zal bij -leerlingen, die iets van den waren geest van het humanisme in zich hebben, zeer zeker meer belangstelling kunnen verwachten voor een historisch-philosophische behandeling van een voor de ontwikkeling van het menschelijk denken belangrijke wetenschap dan voor vraagstukken, die, naar ze maar al te goed voelen, toch eigenlijk in hoofdzaak worden gesteld tot oefening van een theorie, die maar al te vaak alleen daarom wordt ontwikkeld, omdat men er bepaalde vraagstukken mee kan oplossen.
Maar van den kant der leeraren? Hier ligt de zaak minder eenvoudig. Niet wat betreft enkele van de voorgestelde onderwijsmiddelen, die een toevallige individueele liefhebberij van de zijde van den docent vooronderstellen en waarvan men de toepassing dus ook nooit van iedereen, die onderwijsbevoegdheid bezit, zal kunnen verlangen. Dit zijn de lectuur van klassieke wiskundige schrijvers in het oorspronkelijke en de samenwerking met de classici in de verzorging van de klassieke opvoeding. Dat ik deze niettemin genoemd heb, is niet toe te schrijven aan een neiging om in utopieën te zwelgen. Het vermogen om de wiskunde op deze wijze te behandelen, komt immers individueel wel voor en in zulk een geval behoorde een docent aan een -Gymnasium eigenlijk de vrijheid te hebben, er in zijn onderwijs ook gebruik van te maken.
Er treden echter moeilijkheden op, waar het de andere genoemde ondenverpen betreft, die immers bij een eventueele reorganisatie van het wiskunde-onderwijs op het -Gymnasium door het programma zouden moeten worden voorgeschreven. Gesteld namelijk eens, dat de wenschelijkheid van een meer humanistisch wiskunde-onderwijs algemeen werd erkend en dat dit op grond daarvan werd ingevoerd, dan zou de gemiddelde afgestudeerde in wiskunde zulk een onderwijs op grond van zijn universitaire studie niet kunnen geven, maar men zou zich moeten verlaten op zijn eigen studiezin en verantwoordelijkheidsgevoel. Diezelfde opmerking kan men telkens weer maken, wanneer het gaat om de wenschelijkheid van het bezit van een zekere kennis of de principieele aanvaarding van zekere algemeene denkbeelden van de zijde der leeraren. Er kan nooit eenige waarborg zijn voor een zekere eenstemmigheid in het [pag. 117] nastreven van bepaalde hervormingen, zoolang het aan het persoonlijk initiatief van de beginnende docenten wordt overgelaten, in hoeverre zij zich met de verschillende opvattingen over de didactiek van hun vak vertrouwd willen maken, dus zoolang de universiteiten of de andere instellingen, die onderwijsbevoegdheid verleenen, zich onthouden van een bewuste voorbereiding op het leeraarsambt.
Tot dusver doen ze dat, wat wiskunde betreft, nog vrijwel algemeen. Ze staan nog altijd op het benijdenswaardig optimistische standpunt, dat ieder, die een zekere kennis van bepaalde onderdeelen der wiskunde heeft verworven, eo ipso in staat is, alle wiskunde-onderwijs, dat van hem verlangd wordt, op de juiste wijze te geven. Het is zelfs voorgekomen, dat een hoogleeraar in wiskunde alle opzettelijke voorbereiding tot het les geven overbodig noemde, omdat dit een zoo eenvoudig en vanzelfsprekend werk is, dat men de onbevangenheid van een jong docent slechts zou schaden door hem in den waan te brengen, dat men er zich ook gedachten over kan maken. In blijkbare overeenstemming met deze opvatting volstaan dus de Universiteiten, de Technische Hoogescholen en de instituten ter opleiding voor een middelbare acte met het aanbrengen van een zekere wetenschappelijke vorming; aan het eind komt dan als een soort van premie een onderwijsbevoegdheid uit de lucht vallen. Het wonderlijke gevolg is, dat men in ons land langs den weg van het hooger onderwijs wel voor dokter of predikant kan studeeren, maar niet voor leeraar. Men studeert in dat geval voor iets wat men niet worden zal, nl. voor wiskundig onderzoeker of voor ingenieur en men wordt iets waarop men zich niet heeft voorbereid. Ik zal op deze moeilijke kwestie niet ingaan, maar ik heb haar toch niet heelemaal onaangeroerd kunnen laten, omdat zij alleen de verklaring geeft van het feit, dat hervormingen in de methodiek van ons wiskunde-onderwijs zelfs dan nog niet te verwezenlijken zouden zijn, indien zij onder docenten met ervaring algemeen gewenscht werden.
Wanneer ik nu hiermee mijn uiteenzetting besluit, dan doe ik dat niet in den waan, dat ik alle brandende problemen van ons wiskunde-onderwijs heb behandeld of zelfs maar vermeld. Wat ik er wel van gezegd heb, zal echter, naar ik meen, toereikend zijn, om zelfs iemand, die het problematisch karakter, dat aan dat onderwijs eigen is, nog nooit mocht hebben opgemerkt, te overtuigen, dat er [pag. 118] nog heel wat te hervormen zal zijn, voordat we op dit gebied gezonde toestanden hebben bereikt. Tot het voorbereiden en eventueel uitvoeren van die hervormingen bestaat onder de Nederlandsche docenten in wiskunde bereidwilligheid genoeg, omdat het inzicht in de noodzakelijkheid ervan wel in breede kringen aanwezig is. Men moet hun echter niet, zoodra men fouten of misstanden in de wiskunde opmerkt, nu maar dadelijk aankomen met het botte voorstel, om het heele vak af te schaffen. Want nog steeds leeft bij de overgroote meerderheid van hen de overtuiging, dat men zoo doende onherstelbare schade zou toebrengen aan ons geheele onderwijs. Ik heb in het begin van mijn voordracht eenigszins railleerend gesproken over leeraren in wiskunde, die overtuigd zijn, dat ze een zegen zijn voor de schooljeugd. Maar in die opmerking ontbrak toch ook de ernst niet. Ik ben inderdaad overtuigd, dat goed wiskunde-onderwijs, op de middelbare school genoten, een zegen voor iemands geestelijke ontwikkeling beduidt. Want goed wiskunde-onderwijs kan den jongen mensch zekere normen van intellectueele helderheid en eerlijkheid bijbrengen, waarnaar hij zich in de oneindige verwikkelingen, waarin de Studie van andere wetenschappen en de ervaringen van het leven hem zullen brengen, wel nooit ten volle zal kunnen gedragen, maar die hun uitwerking niet zullen missen, wanneer ze hem als ideaal blijven voorzweven.



Voetnoot

1) Voordracht gehouden op de Studie-conferentie over Paedagogische Problemen in het Middelbaar en Voorbereidend Hooger Onderwijs te Amersfoort, Internationale School voor Wijsbegeerte, 31 October - 1 November 1936. De datum moge verklaren, dat de inhoud thans niet meer geheel actueel is.