T. Ehrenfest - Meetkunde-onderwijs aan niet-wiskundige

WAT KAN EN MOET

HET MEETKUNDE-ONDERWIJS

AAN EEN NIET-WISKUNDIGE GEVEN

DOOR

T. EHRENFEST-AFANASSJEEWA

Aanvullende gegevens:
Pamflet, verschenen in 1924 in de reeks Paedagogiese Voordrachten van uitgever J.B. Wolters. Titelgegevens: T. Ehrenfest-Afanassjeewa, Wat kan en moet het Meetkunde-onderwijs aan een niet-wiskundige geven, J.B. Wolters: Groningen en Den Haag (1924), 27 pp.; tekst begint op p. 3
Oorspronkelijk pamflet met voetnoten, die op ieder pagina apart genummerd waren.
Het stuk lokte een reactie uit van E.J. Dijksterhuis

I. Welk nut kan het Meetkunde-onderwijs bebben voor leerlingen die niet in wiskunde doorgaan?

Het doel van dit schrijven is om uitsluitend datgene in de Meetkunde te beschouwen, wat een algemeen-kultureele waarde bezit en daarom rechtvaardigt, dat daarin ook menschen worden onderwezen, die geen bijzonderen aanleg voor Wiskunde hebben en in hun verder leven noch met de Wiskunde zelf, noch met hare toepassingen in aanraking zullen komen. Ik meen, dat een dergelijk onderzoek in onze dagen zeer op zijn plaats is: aan het nut in het algemeen van het Wiskunde-onderwijs wordt immers niet alleen door zwakke leerlingen en hun ouders, maar soms ook door de Wiskunde-leeraren zelf getwijfeld. Het lijkt wel alsof aan de tegenwoordige programma's en eindexamen-eischen juist dat ontbreekt, wat de Wiskunde -- speciaal ook de Meetkunde -- tot een algemeen ontwikkelend vak zou kunnen maken. Of is het werkelijk maar een illusie geweest, wat ertoe bewogen heeft de Meetkunde op scholen met zoo uiteenloopend doel tot een verplicht vak te maken?
De Meetkunde houdt zich bezig met de Ruimte. Niemand zal ontkennen, dat de praktische vertrouwdheid met de ruimtelijke betrekkingen een ieder van nut kan zijn: bij het meeste, wat we doen, is het vermogen om deze snel en zoo ver mogelijk te overzien van de grootste waarde. Aan het volgende, echter, denkt men minder: het vermogen de ruimte goed te zien en zich voor te stellen speelt dikwijls een heel groote rol bij het genieten van de meest verschillende dingen dezer wereld -- hetzij ze door menschenhand of niet door menschenhand zijn gemaakt. Men zou werkelijk kunnen zeggen, dat hij, die zich in de ruimtelijke betrekkingen goed terecht kan vinden, zich van iemand, die het niet kan, als een ziende van een blinde onderscheidt, en dat het ruimtevoorstellingsvermogen van kindsbeen af evenzeer dient ontwikkeld te worden, als het muzikale gehoor, de lichamelijke behendigheid enz.
Een andere vraag is het echter, of de ruimtelijke betrekkingen aan een ieder tot bewustzijn gebracht moeten worden, en zoo [pag. 4] ja: of ze hem dan als een geordend samenstel of als losse stellingen voorgelegd moeten worden. Kortom, of juist het Meetkunde-onderwijs de geschiktste methode oplevert om aan iedereen de kennis van de ruimte bij te brengen.
Wat het gebruik van het ruimtelijk inzicht bij het handelen aangaat, hier zal wel hetzelfde gelden, wat reeds meermalen bij andere gelegenheden opgemerkt werd: het weten -- het nadenken -- vertraagt de handeling, verbrokkelt haar. Een schilder, een stuurman, een jager, een wielrijder zullen hun ruimtevoorstelling het beste gebruiken, wanneer ze op het beslissende oogenblik in hun naïviteit door geen weten gehinderd worden. Ook zou de stelling van Pythagoras of de berekening van het boloppervlak van weinig nut zijn in zulke oogenblikken.
Er zijn weer andere bezigheden, waarbij de kennis van eenige bepaalde -- vooral ook quantitatieve -- ruimtelijke betrekkingen van groot belang is. Maar het blijkt bij nadere beschouwing, dat het Euclidische stelsel in zijn geheel ook hierbij best te missen is.
Was het dus slechts te doen om de ontwikkeling van het ruimtevoorstellingsvermogen en om de oefening in het gebruiken daarvan, dan zouden misschien in vele gevallen andere leeraren hier beter op hun plaats zijn, dan juist leeraren in de Meetkunde. De Meetkunde heeft echter nog een andere zijde, die haar een bijzondere kultureele beteekenis verleent: de behandeling van de ruimtelijke betrekkingen heeft een bij uitstek hooge mate van logische strengheid bereikt. Velen verwachten daarom, dat de aanraking met de Meetkunde ook op het denkvermogen van de leerlingen een bijzonderen invloed zal uitoefenen.
Dat de praktijk aan deze verwachting niet altijd beantwoordt, is maar al te bekend. Wat is echter de oorzaak hiervan? Wie zijn overtuiging (zoowel pro als contra) behouden wil, kan het immers altijd: men heeft iederen leerling slechts in één exemplaar, en men kan nooit weten, hoever hij het met zijn logica gebracht zou hebben zonder Meetkunde-onderwijs. Daarom zal natuurlijk alles, wat daarover gezegd kan worden, slechts een gissing blijven. Maar gelukkig berusten dergelijke gissingen op ervaringen, die iedereen aan zichzelf kan toetsen, en daarom behoeft geen beschouwing daaromtrent op goed geloof aangenomen te worden, maar moet slechts als aansporing dienen tot keuze van eigen standpunt.
Ik behoor tot diegenen, die aan de tot ,,logisch zijn'' opvoedende werking van de Meetkunde wèl gelooven. Mij schijnt het echter toe, dat het onderwijs daarin meer succes in dit opzicht [pag. 5] zal hebben, wanneer men zich duidelijk maakt, wat ,,logisch zijn'' toch eigenlijk is!
Tot aan het begin dezer eeuw werd van het denkproces bijna uitsluitend één zijde beschouwd: de formeel logische. De mislukking, die het nadruk leggen hierop bii het Meetkunde-onderwijs ten gevolge had, bewerkte, dat onder de leeraren 1) een nieuwe strooming ontstond, die door de leus ,,intuïtie'' gekenmerkt is. De vertegenwoordigers hiervan namen dikwijls zelfs een vijandige houding tegenover het onderwijs in logische richting aan.
In werkelijkheid werd hierbij echter instinctief niets anders op den voorgrond gebracht, dan de andere zijde van het denkproces, die voor het bereiken van logica even noodig is.
Ik zou graag willen laten zien, dat het Meetkunde-onderwijs slechts dan zijn vruchten ten volle zal dragen, -- zoowel bij de ontwikkeling van het ruimtevoorstellingsvermogen, als van de logica, -- wanneer men aan de intuïtie haar ware plaats in het denkproces toekent. Daarover later meer.
Hier wil ik nog zeggen, waarom ik juist van de Meetkunde die logische werking verwacht.
Het is geen toeval, dat de ruimtelijke betrekkingen zoo bijzonder ver ]ogisch doordacht zijn. Dezelfde oorzaak, die het door de samenwerking van velen in den loop der eeuwen mogelijk heeft gemaakt, maakt ook voor ieder afzonderlijk mogelijk dit kostelijke te beleven: een stuk zijner ervaring door eigen verstand logisch te ordenen. Deze oorzaak ligt in de onvergelijkelijke eenvoud der ruimtelijke betrekkingen. Geen ander gebied 2), waarmee zich de menschelijke geest bezig houdt, is ook in de verste verte zoo eenvoudig -- tenzij men de overige Wiskunde meerekent. Op deze heeft de Meetkunde echter vóór, dat de stof, die ze behandelt, aan ieder mensch uit de dagelijksche ervaring bekend en bovendien aanschouwelijk gegeven is.
Indien tenminste het denkvermogen werkelijk gekweekt kan worden, dan is het door zelf bezig zijn, door vorming van eigen oordeelen, door zelf dat, wat men heeft ingezien, te formuleeren en tot een logisch stelsel te ordenen. Men wordt hiertoe eerder aangespoord, indien de stof aanschouwelijk gegeven en niet ontmoedigend ingewikkeld is.
In het gewone leven denkt men weinig en slechts afgebroken: [pag. 6] men vergenoegt zich meestal met afzonderlijke oordeelen en probeert ze niet tot één enkel stelsel zonder tegenstrijdigheden te vereenigen. Er zijn menschen, die juist houden van deze onsamenhangendheid, van een soort wazigheid in hun denkbeelden. Men moge er nog zoo verschillend over denken, maar dit mag men niet over het hoold zien: de behoefte om zich tenminste af en toe rekenschap te geven van het beleefde en om door anderen in zijn denken begrepen te worden bestaat zelfs bij de alleronredelijkste menschen. Men kan het reeds bij de kleinste twisten merken: er ontstaat dikwijls de grootste verbittering juist wegens de machteloosheid van den een om duidelllk onder woorden te brengen, wat hij bij intuïtie ziet, en het onvermogen van den ander om in diens woorden slechts op datgene acht te slaan, wat voor den spreker het essentieele is. De geoefendheid in het denken en in het weergeven van hetgeen men heeft ingezien, zou zeker aan een ieder bij gelegenheid goede diensten kunnen bewijzen.

II. Wat is logisch zijn?

Dikwijls wordt de logica tegenover de intuïtie gesteld: de woorden ,,logisch'', ,,wetenschappelijk'', ,,abstract'' worden als 't ware als synoniemen gebruikt in tegenstelling met ,,intuïtief'', ,,concreet''. Men beweert, dat de intuïtie gedood, vernietigd wordt door de logica. Kortom men gelooft, dat logisch zijn beteekent: zich van de intuïtie afwenden.
Tegen deze opvatting werd reeds door de voornaamste beoefenaars der meest abstracte wetenschappen geprotesteerd, b.v. door H. Poincaré en F. Klein, terwijl door dezen ook verregaand de gevolgen voor het Wiskunde-onderwijs zijn getrokken. Ook L.E.J. Brouwer legt den nadruk op de rol, die de intuïtie bij het inzicht in de wiskundige begrippen speelt.
Aangezien echter datgene, wat verschillende menschen omtrent intuïtie en logica beweren, zoo uitéenloopt, zal het wel gedeeltelijk ook aan het spraakgebruik liggen.
Tot nu toe is men met de analyse van het denkprocedé niet zoover gekomen, dat er een vaste terminologie daaromtrent zou bestaan. De beteekenissen, die verschillende menschen aan het woord ,,intuïtie'' hechten, hebben wel iets gemeen, maar zijn niet volkomen identiek. Ik hoop daarom, dat de ]ezer het mij vergeven zal, indien mijn spraakgebruik bijgeval van het zijne mocht afwijken. Mijn spraakgebruik berust op de volgende [pag. 7] opvatting: bij ieder verwerven van inzicbt zijn twéé stappen uit elkaar te houden: het zien van een zekeren trek in het beeld, dat we in ons hoofd hebben, en het zich bewustworden daarvan. Het element van ,,zich bewustworden'' speelt een voorname rol bij al de verschillende stappen van het denkproces: bij het vaststellen en het ordenen van hetgeen aanvankelijk ons intuitïeve beeld voorstelt, bij het ontdekken van gapingen en tegenstrijdigheden erin, bij het trachten om die gapingen aan te vullen en bij het nagaan van den oorsprong dier tegenstrijdigheden. Dit alles noem ik nu het ,,logische'' werk. Datgene, dat zoo bewerkt wordt (of ook soms onbewerkt blijft), noem ik ,,intuïtie''. Het ontwaren van iets zonder er zich rekenschap van te geven en ook het ordenen daarvan zonder bewustwording reken ik tot de ,,intuïtieve'' werkzaamheid.
Dat een dergelijke scheiding van het bewuste en onbewuste in het procédé van ,,inzien'' in ieder geval gerechtvaardigd is, kan men aantoonen aan het voorbeeld van het onbewuste handelen, waarbij het gewaarworden ongetwijfeld aanwezig is en waarbij van denken -- van logica -- geen sprake kan zijn (bijv. een snelle doelmatige beweging om een dreigend gevaar af te wenden, voordat men er zich rekenschap van heeft gegeven, wat en waarom iets gedaan moest worden). Wat mij echter heel essentieel toeschijnt te zijn en waar men gewoonlijk, voorzoover ik weet, niet op wijst, is, dat de logische actie zonder de intuïtieve onmogelijk is.
Men vertelt, dat Gauss van een van zijn ontdekkingen gezegd heeft: ,,ich habe den Satz schon gefunden, ich habe ihn nur noch nicht bewiesen'' -- wat als bewijs wordt aangevoerd, dat men ook in de Wiskunde op intuitïeve wijze, -- zonder het ,,logische denken'' -- tot een inzicht kan komen. Ook H. Poincaré spreekt erover, hoe het zoeken en vinden van wiskundige feiten dikwijls op onbewuste wijze geschiedt, en hij besluit daaruit, hoe erg noodzakelijk de intuïtie voor een wiskundige is. Dit zijn echter allemaal gevallen, waarbij het ontwaren en het zich bewust worden zeer duidelijk door den tijd van elkaar gescheiden zijn 3). -- [pag. 8] Ik wil er echter den nadruk op leggen, dat ook in de gevallen, waarbij het begrijpen als 't ware in één enkel -- tijdelijk ongescheiden -- moment geschiedt, toch beide componenten aanwezig zijn: steeds ook de intuïtieve. Zonder intuïtie is geen denken mogelijk.
Er wordt dikwijls gezegd: ,,hij heeft een fout gemaakt, omdat hij zich op zijn intuïtie verlaten heeft; hij had zijn logica moeten gebruiken.'' -- In onze spreekwijze zouden we zeggen: ,,hij heeft de fout gemaakt, omdat hij met zijn intuïtie te slordig is omgegaan; hij had de eerste indrukken, die hem de intuïtie gaf, beter moeten ordenen, d.w.z. logisch behandelen: dan zou hij ontdekt hebben, dat ze niet alle in het totale intuïtieve beeld thuis hoorden, dat het een of ander in tegenspraak was met het geheel en door een beter (intuïtief!) element vervangen moest worden.''
Maar: slaat dit alles ook op het wetenschappelijke denken? Heeft men bij dit soort denken niet met een geheel bijzonder proces te doen, waarbij de intuïtie door de logica vervangen wordt? We hebben immers nog niets over de formeele logica gezegd!
Het is een oude bewering, dat men steeds dat duidelijk zeggen kan, wat men duidelijk begrepen heeft. Daarom is een in syllogismen geformuleerd bewijs een teeken daarvan, dat men de stof, waar het om gaat, voldoende doordacht heeft.
Het is echter onjuist, dat de syllogismen het instrument zelf van het denken zijn. Bestaat toch het zoeken naar een antwoord in het aanéénrijgen van syllogismen? Kan een ander, wien we onze syllogistische redeneering voorleggen, ons volgen, tenzij hij tegelijkertijd zelf denkt ... op een niet syllogistische wijze? 4)
De logische vorm -- niet alleen de syllogismen, maar iedere eenigszins zuivere ééndimensionale aanéénschakeling der gedachten -- treedt op hoogstens als afsluiting van een denkproces of als uitgangspunt voor een nieuwe onderzoeking, daar men zooals gezegd -- daaraan zien kan, of de vraag voldoende doordacht is. Maar moge een dergelijke formeele bewerking nog zoo dikwijls in het denkproces ingeschakeld worden, het denken zelf is ze niet! [pag. 9]
Het begrijpen van het voorwerp gebeurt niet in die oogenblikken, waarin men er van abstraheert en zich wendt tot de formeel-logische betrekkingen tusschen de stellingen, waarmee het beschreven wordt: in zulke oogenblikken denkt men natuurlijk ook, maar nu niet meer over dat voorwerp, maar over iets anders -- over deze formeele betrekkingen. Tot het voorwerp zelf verhoudt men zich niet meer als een ,,denkende'', maar als een ,,rekenende''. Zoo is ook de algebraïsche bewerking der formules uit de Natuurkunde niet het denken over de natuurkundige betrekkingen zelf, in deze formules weergegeven.
Dat ik het woord ,,denken'' juist reserveer voor dit eene: voor de bewerking van het intuïtieve materiaal door het bewustzijn, -- zal wel een kwestie van terminologie zijn. Maar dit raakt het wezen van de zaak, dat ik in een wetenschappelijk onderzoek twee dingen onderscheid: het ,,denken'' en het ,,rekenen'' -- in boven genoemden zin -- en dat ik ze daarom niet beide met hetzelfde woord ,,denken'' aanduid.
Er zijn wel dingen, die we slechts door rekenen (nu ,,rekenen'' in gewonen zin) te weten zijn gekomen. Maar een ieder kan wel opmerken, hoe geheel anders dergelijke kennis in hem zit, dan die, welke hij door het ,,denken'' -- in de beteekenis, die ik daaraan gaf -- verworven heeft. De door rekenen verworven kennis kan ook licht door een rekenfout in haar tegendeel verkeerd zijn en men kan (tenzij men naderhand tracht haar ook ,,denkend'' in het oorspronkelijke intuïtieve beeld een plaats te geven) er in loopen: menig goed man van wetenschap zou uit zijn eigen ervaring iets dergelijks kunnen vertellen.
Maar datzelfde geldt ook voor bet toepassen van de formeele logica. Overigens, men gebruikt haar al te zelden om werkelijk iets nieuws te weten te komen. Ook wanneer men met de formuleering der bewijzen bezig is, ligt de eigenlijke moeilijkheid in het uitzoeken en op den voorgrond brengen van de praemissen, die het wezen van de zaak raken: het formeel logische concludeeren zelf geeft in den regel geen moeite meer -- en zoomede ook geen nieuwe openbaring -- het is dan een automatisch gevolg, als het ware.
Aan een probleem kan moeilijk zijn: zich er bewust te worden, wat men eigenlijk zoekt, hoe men de vragen moet inrichten om het onderwerp op de doelmatigste wijze in het licht te stellen -- want ook dit wordt in het begin intuïtief gezien en soms eerst veel later en met moeite tot bewustzijn gebracht; vervolgens het ordenen van de door de intuïtie gegeven stof, het verzamelen [pag. 10] van alles, wat betrekking heeft op de zaak en het weg doen van het overbodige. Wie dat kan, die is logisch 5).
Het eigenlijke werk der logica geschiedt op die oogenblikken, waarop de intuïtie tot bewustzijn gebracht wordt.
Ter illustratie van wat ik met ,,logica'' en ,,intuïtie'' bedoel en voor later gebruik zou ik de volgende opmerking willen maken. In de Meetkunde zijn sinds Euclides twee geheel verschillende takken van wetenschap doorééngestrengeld: de Ruimteleer en de Axiomatica der Meetkunde. Het intuïtieve materiaal der Ruimteleer is datgene, wat het ruimtelijk voorstellingsvermogen ]evert (het komt hierbij niet daarop aan, waarvandaan di laatste komt). De logische bewerking daarvan bestaat in het uitzoeken van de meest essentieele ruimtelijke betrekkingen, het formuleeren en vaststellen daarvan; ook in het vaststellen van betrekkingen. die het onmiddellijke voorstellingsvermogen te boven gaan en waar we toch niet aan twijfelen, omdat we een verband zien met de ons bekende aanschouwelijke betrekkingen 6). Ze maakt, dat onze kennis van de ruimte rijker en duidelijker wordt.
Het intuïtieve materiaal der Axiomatica zijn al de stellingen, die voor ons de Ruimteleer vormen 7); de logische bewerking daarvan bestaat in het op den voorgrond brengen van de meest essentieele daarvan, waaruit de andere formeel logisch afgeleid kunnen worden, in het aantoonen van hun (formeel) logische onafhankelijkheid; ze levert een volmaakter stelsel van stellingen, een waarin de logische samenhang doorzichtiger is geworden 8).
De inhoud der intuïtie kan bestaan in zinnelijke waarnemingen (zooals in de Ruimteleer), maar ook in de resultaten van een vroegere logische bewerking (zooals in de Axiomatica). Dit is de tegenstelling tusschen ,,concreet'' en ,,abstract''.
Wanneer ik een zeker intuïtief beeld logisch bewerk, dan richt ik mijn aandacht op zijn afzonderlijke trekken, zoodat de overige op den achtergrond treden: dit is ,,abstraheeren''. Wanneer mij in dit beeld één betrekking speciaal interesseert, die ik in het begin niet doorzie, dan is het van groot belang, dat ik slechts die elementen van het beeld uitzoek, die iets daarmee te maken hebben: om te kunnen denken moet ik de kunst verstaan van het abstraheeren. In dezen zin kan men toegeven, dat ,,logisch zijn'' samenvalt met ,,abstract zijn''. Maar men moet wel bedenken, dat, om te kunnen abstraheeren, men de betreffende intuïtie, waarvan men abstraheert, onvoorwaardelijk noodig heeft.
Wanneer men het resultaat van het denken in woorden uitdrukt, dan krijgt men abstracte zinnen, d.w.z. zulke, die slechts enkele elementen van het intuïtieve beeld weergeven. Maar hij, die ze gevormd heeft, beschikt over meer dan dit. En dit geldt algemeen: wanneer iemand verklaart, dat de uitingen van den ander ,,te abstract'' zijn, dan is juist hijzelf diegene, die de noodige intuïtie mist, niet hij, wien de abstractheid verweten wordt. Hierdoor is de ander natuurlijk toch niet gerechtvaardigd: wanneer hij zijn inzichten wil mededeelen, dan is het zijn taak om ervoor te zorgen, dat ieder hetzelfde intuïtieve beeld verkrijgt, waaruit hijzelf zijn oordeelen en bewijsgronden afleest! Weliswaar is dit het werk van een kunstenaar en voor een gewoon mensch in de meeste gevallen uiterst moeilijk. Maar in menig geval zouden ongetwijfeld vele moeilijkheden vermeden kunnen worden, indien men niet van het verkeerde axioma uitging, dat alle menschen van het begin af hetzelfde intuïtieve beeld in zich hebben.
Het einddoel van het denken -- dat dikwijls slechts gedeeltelijk bereikt wordt 9) -- is het verkrijgen van een intuïtief beeld, dat volmaakter is dan het oorspronkelijke en dat men goed [pag. 12] doorziet. In dezen zin is het dus niet waar, dat de logica de intuïtie doodt, zooals dikwij]s beweerd wordt; integendeel ze verrijkt haar 10). Ik hoop, dat het mlj` met behulp van mijn terminologie gelukt is die twee elementen van het denkproces uit elkaar te houden, die bij het onderwijs slechts door geheel verschillende middelen ontwikkeld kunnen worden.

III. Kan het Meetkunde-onderwijs de ontwikkeling
van de logica bevorderen?

In aansluiting aan al het voorafgaande zou mijn antwoord zijn: jawel, mits men maar niet nalaat die voorwaarden te verschaffen, zonder welke het denken zelf onmogelijk is. Deze voorwaarden zijn: een voldoende voorraad van intuïtie en de belangstelling om deze te analyseeren. In het algemeen wordt hiervoor weinig of niets gedaan: sommigen onder de leeraren weten niet, hoe noodzakelijk een speciale verzorging hiervan voor vele ]eerlingen is, ze gelooven, dat het inzicht in de ruimtelijke betrekkingen synthetisch met behulp van de stellingen der Meetkunde gevormd wordt (dat deze stellingen iets anders kunnen zijn, dan bet uittreksel, ontstaan bij. het analyseeren van de intuïtie, die reeds van te voren aanwezig was); anderen gaan van de overtuiging uit, dat iedere leerling al vanzelf de intuïtie, die daarvoor noodig is, bezit -- en bouwen dan voort op iets, wat in heel vele gevallen niet bestaat (soms ziet men een eigenaardig verschijnsel: wel is het ruimtelijke voorstellingsvermogen aanwezig, maar door een misverstand wordt het door den leerling slechts niet in de Meetkundeles meegenomen).
Maar al had men ook louter leerlingen, die reeds van te voren werkelijk over een goed voorstellingsvermogen beschikten, dan zouden, bij het gebruikelijke onderwijs nog verscheidene omstandigheden hun ontvankelijkheid voor de ,,logische strengheid'' kunnen afbreuk doen:
1. In de eerste plaats zou het de in de vorige paragraaf [pag. 13] genoemde dooréénmenging van twee verschillende wetenschappen: van de Ruimteleer en van de Axiomatica zijn, waardoor twee verschillende opvattingen in het spel komen, zonder dat ze duidelijk uit elkaar worden gehouden. Intusschen heeft reeds het zoo alarmeerend woord ,,bewijzen'' in deze twee wetenschappen twee verschillende beteekenissen. In de Ruimteleer verstaat men onder ,,bewijzen'': de juistheid van een bewering doen inzien. In de Axiomatica beteekent het: de bewering logisch op de axioma's herleiden. Het in dezen zin nemende heeft men geen bezwaar om een stelling voor ,,bewezen'' te houden, ook al gelooft niemand aan haar geldigheid in de empirische ruimte -- wanneer men zich met een systeem van axioma's bezig houdt, dat niet voor de empirische ruimte geldt. Bij dezelfde beteekenis als zooeven wordt, aan den anderen kant, een bewijs geëischt, ook al kan men de leerlingen door geen kunstgrepen aan het twijfelen brengen omtrent eene stelling -- wanneer slechts die stelling geen onafhankelijk axioma is.
Wanneer de leeraar zich niet bewust is van dit onderscheid en, als trouwe dienaar der Wetenschap, de leerlingen ervan tracht te overtuigen, dat zonder het bewijs van een vanzelfsprekende stelling hun geheele meetkundig weten op onzekere grondvesten gebouwd zou zijn, dan kan dit licht de gemoederen in twijfel brengen aangaande de ,,ernst der Wetenschap''.
Natuurlijk is het geen toeval, dat de opvattingen afkomstig uit beide genoemde wetenschappen zoo vermengd zijn in het onderwijs: ze gaan ook werkelijk ongemerkt in elkaar over en verschillende individuen zullen de grens op verschillende plaatsen trekken. Hoe sterker iemand in het denken is, des te meer betrekkingen zullen voor hem niet vanzelfsprekend zijn -- want hij zal eerder andere mogelijkheden kunnen aangeven.
Laten we bijv. het vraagstuk beschouwen: door drie punten een cirkel te trekken. Om het middelpunt te vinden gebruiken we, zooals bekend is, slechts twee van de drie verbindingslijnen der drie gegeven punten. Het middelpunt is het snijpunt der middelloodlijnen van deze verbindingslijnen. Het bewijs daarvan geeft geene moeilijkheden. Maar dan doet zich de vraag voor: zal de middelloodllijn van de derde verbindingslijn door datzelfde snijpunt gaan? De intuïtie doet dit onmiddellijk verwachten. Iemand, die logisch ontwikkeld is, zal tóch de behoefte hebben om de reden hiervan precies vast te stellen, wat hem ook gemakkelijk zal lukken. Maar voor een middelmatigen leerling zal het nauwelijks mogelijk zijn om zijn aandacht daarop te [pag. 14] concentreeren. Doch wellicht verkrijgt de vraag ook voor hem een meer reëele beteekenis, indien men haar zoo formuleert: ,,krijgt men niet drie verschillende cirkels, wanneer men telkens van een ander paar verbindingslijnen uitgaat?'' (Denk maar aan de constructie van een driehoek, wanneer drie zijden gegeven zijn: daar krijgt men toch ook meer dan één driehoek, hoewel de intuïtie eerst schijnt te zeggen, dat een driehoek door de drie zijden volkomen bepaald is!) -- Zoo kan dikwijls het doel van een bewijs, dat axiomatisch scheen, in een zakelijk licht gesteld worden.
Ik ben er verre van verwijderd om het axiomatische standpunt principieel uit het onderwijs te willen uitschakelen. In tegendeel, ik acht het van groote praktische beteekenis, dat iemand zich niet alleen voor de juistheid van zijn opvattingen, maar ook voor den oorsprong en de logische reden daarvan interesseert; dit verschaft ook een betere garantie voor de juistheid dier opvattingen, òf wel het doet de betrekkelijkheid daarvan inzien: veel onverdraagzaamheid zou daardoor vermeden, vele nieuwe mogelijkheden verwezenlijkt kunnen worden ... Maar ook bij iedere nog zoo nuchtere aangelegenheid, waarbij wij de een of andere bewering willen toetsen, zijn wij genoodzaakt om uit onzekere praemissen conclusies te trekken en pas later op grond van de gevolgtrekkingen te beslissen, of die praemissen geloofwaardig zijn, ja of neen -- en dat heet toch het axiomatisch standpunt innemen!
Maar hoe men de leerlingen met den axiomatischen gedachtengang vertrouwd moet maken, is een andere vraag. Dikwijls wordt gezegd: het kinderlijk gemoed is niet vatbaar voor ,,wetenschappelijk denken'' en heert een meer op de intuïtie gerichte uitlegging noodig. -- Nu, hoe noodzakelijk het intuïtieve is voor elk denken en elken leeftijd, hebben we reeds besproken. De onverschilligheid echter, die vele leerlingen na de eerste meetkundelessen voor de ,,streng logische'' bewijzen toonen, kan heel natuurlijk daardoor verklaard worden, dat het op zichzelf onmogelijk is belangstelling te hebben voor het standpunt der Axiomatica voordat men het stelsel van de stellingen, die geaxiomatiseerd moeten worden, d.w.z. de Ruimteleer, heeft ]eeren kennen. Betrekkelijk weinig individuen hebben de instinctieve neiging tot herleiden van de eene stelling op de andere zonder naar het verdere doel daarvan te vragen. De meesten kunnen zich alleen voor de Ruimteleer interesseeren, waarvoor ze -- heusch niet zonder recht -- de Meetkunde aanzien. En [pag. 15] hierbij krijgen ze genoeg gelegenheid om hun logica te scherpen. En wanneer men met deze natuurlijke neiging rekening wilde houden, dan zou dit tegelijkertijd ook logischer zijn 11).
De kenoismaking met de Axiomatica en ook met vragen van kennistheoretischen aard (natuurlijk, niet in overdreven mate) zou veel meer op haar plaats zijn na de beëindiging van den systematischen cursus der Ruimteleer. Wanneer dit dan den leeraar lukken zou, dan zou dit, naar ik meen, meer bijdragen tot de ontwikkeling van den leerling, dan het verrijken van zijn kennis met een paar kunstgrepen ter oplossing van vraagstukken. Ik geloof trouwens, dat dit ook voor leerlingen geldt, die zich later in wiskundige vakken zullen specialiseeren.
2. Het andere gevaar ligt in de gebruikelijke methode van onderwijs, die het misschien geoorloofd zal zijn de ,,methode van volharding'' te noemen. Deze bestaat daarin, dat men den leerlingen de resultaten van het denken van anderen tracht in te prenten, door ze de bewijzen, hun kant en klaar gegeven, te laten herhalen, in de verwachting, dat ze op den duur zóo aan den bewijsvorm gewend zullen raken, dat ze daardoor ook zelf zuiverder zullen gaan denken. Hierbij vergeet men echter het volgende: de euclidische vorm der bewijzen is een praegnante samenvatting der resultaten van een denkproces, maar geen reproductie van het denkproces zelf. En daarom kan men er niet uit leeren, hoe men zoeken moet, maar slechts, hoe men het gevondene moet formuleeren.
Om van dit voordeel gebruik te maken, moet men eerst zelf de zaak gezocht en gevonden hebben; dan alleen kan men het apprecieeren, hoezeer een zuivere en beknopte formuleering er toe bijdraagt, om de laatste resten van onduidelijkheid, die in onze gedachten eventueel nog gebleven waren, geheel te verwijderen 12). [pag. 16]
Er zijn, natuurlijk, wel leerlingen, die dadelijk begrijpen, waar het op aankomt. Voor hen is de euclidische vorm van uitleggen een voldoende wenk voor wat ze zich hebben voor te stellen, in welke richting ze zelf moeten denken. Ze schelden niet met ,,abstract'', omdat ze zelf reeds de noodige intuiïtie bezitten.
Maar bij de anderen moet er eerst voor gezorgd worden, dat hun de vragen, waar het om gaat, niet abstract voorkomen, dat ze het doel van het bewijzen aanvaarden: dan zullen ze ook aan het denken raken!
3. Een derde gevaar voor de logica is de overlading van den cursus.
Euclides heeft twee waardevolle dingen getoond: 1) hoe men een bewijs tot de hoofdzaak reduceert, en 2) hoe men uit een intuïtief materiaal het voornaamste uitzoekt en zoo ordent, dat ieder bestanddeel daarvan zoo gemakkelijk mogelijk in te zien en te bewijzen is.
Wie den geest, hierin opgesloten, in zich opgenomen heeft, van dien kan men zeggen, dat hij bij Euclides geleerd heeft logischer te zijn. Deze geest wordt echter op den achtergrond gedrongen, wanneer men in de opbouw van het systeem stellingen opneemt, die niet strikt noodzakelijk zijn voor de afleiding van die betrekkingen, waarom de geheele opbouw eigenlijk ondernomen is. Dat, wat in de Elementaire Meetkunde tenslotte verkregen wordt, zijn de quantitatieve betrekkingen ter berekening van het oppervlak en het volumen van den bol. Dat, wat men noodzakelijk weten moet om deze af te leiden, is voldoende om zich ook op elk ander gebied terecht te vinden, waar het op de ruimtelijke betrekkingen aankomt, voorzoover men zich tenminste niet in het bijzonder erin verdiepen wil. Het zijn de stellingen over de congruentie en de gelijkvormigheid van driehoeken, de stelling van Pythagoras, de berekening van het oppervlak van parallelogram en driehoek bij gegeven basis en hoogte; de berekening van het volumen van een parallellepipedum, de stelling omtrent de gelijkheid der volumina van pyramiden met gelijke bases en hoogten, de berekening van het volumen van een pyramide en tenslotte het begrip der limiet bij de definitie van grootheden, die bij de behandeling van den cirkel, de omwentelingskegel en den bol ter sprake komen. Voor iemand, die zich later nooit meer met de Wiskunde zal bezig houden, is bet zeker voldoende 13). Maar wanneer hij vele [pag. 17] afgeleide stellingen en toepassingen leeren moet, die uitteraard minder eenvoudig zijn, dan het fundamenteele stelsel en hem daarom ook veel meer zorg baren, dan verliest hij den draad en behoudt, na afloop van het onderwijs, in zijn geheugen juist alleen deze enkele op zichzelf staande stellingen.
Vele leeraren zijn van meening, dat een stelling uit het fundamenteele systeem (laten we bijv. de stelling van Pythagoras nemen), dan eerst goed begrepen wordt, wanneer de leerlingen zich geoefend hebben die stelling bij allerhande vraagstukken toe te passen. Wanneer men de zaak nader beziet, dan merkt men, dat bij dergelijke toepassingen de moeilijkheid niet in de toepassing van de stelling van Pythagoras ligt, maar in het gebruik van velerlei kunstgrepen, waarvoor niet het begrijpen van deze stelling vereischt wordt, maar een speciaal-meetkundig uitvindingsvermogen, dat men bij een niet-meetkundige toch niet aan zal kunnen kweeken. Of de stelling zelf begrepen of niet begrepen wordt, hangt echter hiervan af, wat de leerling daarvóór heeft leeren beheerschen. Hoe belangrijk de stelling is, komt het beste uit, indien men laat zien, dat zij ten grondslag ligt aan alle belangrijke berekeningen, die verder in den loop van den cursus voorkomen, en ook, hoe vaak zij in vragen uit de practijk toegepast kan worden (zonder kunstgrepen!).
Het leeren van vele gevolgtrekkingen, waarvan ieder in het een of ander geval als ,,hulpstelling'' gebruikt kan worden, heeft nog eeh schadelijk gevolg: de leerling tracht -- wanneer het er op aankomt -- uit zijn geheugen zoo'n éens bewezen formule, die wellicht op het gegeven geval van toepassing kon zijn, voor den dag te halen in plaats van te probeeren zich langs een natuurlijke weg, door toepassing van enkele weinige fundamenteele stellingen er zelfstandig doorheen te slaan. Dit heeft vooral betrekking op de projectiestelling, Stewart enz., enz., die toch niets dan gealtereerde toepassingen van Pythagoras zijn.
De logica dient vooral daarvoor, om het onderzochte als 't ware in te dampen, om met een gering aantal draden het verband van het geheele gebied te bewerkstelligen. Daarom [pag. 18] schijnt mij de overlading gewoonweg een vergrijp tegen de eischen der logica te zijn.
Evenals de bewijsvorm van Euclides slechts dan gewaardeerd wordt, wanneer men haar, door er zelf in te zoeken, zich eigen heeft gemaakt, evenzoo kan ook de opbouw van het geheele stelsel voor iemand slechts door eigen werkzaamheid doorzichtig worden. Hiertoe kan gelegenheid gegeven worden, doordat men dadelijk bij bet begin het einddoel van de onderzoeking laat zien, en verder de voornaamste stappen, die daaraan vooraf moeten gaan. De leerlingen kunnen dan probeeren vast te stellen, wat men eerst weten moet om zoo'n overgangsvraag te kunnen beantwoorden en wat weer noodig is om dit te weten. Zij, die hiertoe niet in staat zijn, zullen dan tenminste iedere te bewijzen stelling met meer begrip tegemoet zien.
De leerlingen zullen vanzelf actief-doortastend tegenover den opbouw van het systeem komen te staan, wanneer men niet dadelijk met den systematischen cursus begint, maar er een reeks besprekingen en oefeningen aan vooraf laat gaan, die den ]eerlingen een veel uitgebreider inzicht in de ruimtelijke betrekkingen als grondslag geven. De systematische cursus doet zich dan voor als een doelmatige analyse van alles, war men in de ,,reëele'' ruimte heeft gezien, als oplossing van vragen, die men in de praktijk tegenkomt. Deze vragen zullen echter vooral op de laatste stellingen van den cursus betrekking hebben -- en zoo zal dan tevens aan den geheelen opbouw van den systematischen cursus een richting gegeven worden.
Het programma, waarvan ik succes voor de ontwikkeling der logica zou kunnen verwachten, zou dus het volgende zijn:
1. In de eerste plaats een propaedeutische cursus, waarin geen stellingen bewezen worden, maar verschillende voorbereidende oefeningen worden gemaakt om het ruimtelijke voorstellingsvermogen te ontwikkelen. Daarover meer in het volgende hoofdstuk.
2. Een systematische cursus, die zich echter in het volgende van de gebruikelijke moet onderscheiden:
a) Een stelling wordt alleen dan bewezen, wanneer ze minstens voor éen leerling in de klas niet evident is; de evidente stellingen worden uitdrukkelijk als (voorloopige) axioma's aangenomen. b) Het vaststellen, formuleeren en bewijzen der stellingen geschiedt -- wel niet zonder leiding van den leeraar, maar toch met verregaande medewerking der leerlingen zelf. Na een ,,propaedeutischen'' cursus zal dit ook mogelijk zijn [pag. 19].
c) De inhoud van den cursus moet zoo beknopt mogelijk zijn.
3 Een axiomatische herziening vat het geleerde; waarbij vele der ,,voorloopige axioma's'' ,,bewezen" worden.
Nadat de leerlingen zich aan de hand van problemen van den systematischen cursus -- die zij steeds met hun verstand accepteeren konden -- in de techniek van het bewijzen geoefend hebben, zal dit ook gemakkelijk te doen zijn.
Eenige kennismaking met vragen der axiomatica en kennistheorie zou hier welkom, maar niet voor iederen leeraar en iedere klas verplicht zijn.
Het geheele onderwijs moet doordrongen zijn van het verband tusschen de meetkundige stellingen en de ruimtelijke betrekkingen, waarmee men in de stoffelijke wereld te doen heeft. De leerlingen moeten de begrippen en betrekkingen, die ze in de Meetkunde geleerd hebben, in ieder probleem uit de praktijk kunnen herkennen.

IV. De propaedeutische Meetkunde-cursus.
De intuïtieve inhoud van de Ruimteleer wordt door de zinnelijke waarnemingen verworven: men kan nog zoo verschillende opvattingen omtrent de aprioriteit der ruimtelijke voorstellingen hebben -- toch zal men gemakkelijk waarnemen, dat men zich die configuraties beter voorstelt, welke men meer gezien en betast heeft. Het is daarom zeker een vooruitgang, dat de meetkundeleeraren nu hun aandacht op de ,,laboratorium-methode'' van onderwijs gaan vestigen. Toch heb ik in hooge mate iets tegen de leerboeken, in dezen geest geschreven. Wat ik op dit gebied gezien heb (het is mogelijk, dat mij het één of ander boek ontgaan is, dat juist anders is!), bezit een gemeenschappelijken trek: men vindt meer het ontvlieden van de ,,strenge logica'', dan werkelijk een verrijking van den inhoud van den cursus met ruimtelijke beelden.
Het komt er eigenlijk op neer, dat men toch de stellingen van Euclides leert, alleen bewijst men ze niet ,,more geometrico,'' maar ,,more physico'' -- of ongeveer zoo.
Dit wijst er echter op, dat men ook de physische methode misverstaat: niemand zet een physisch experiment op touw met de bedoeling om de gevolgtrekkingen uit vaststaande feiten te toetsen: deze worden in de Natuurkunde precies evenzoo door denken afgeleid, als in de Meetkunde -- daarvoor heeft men [pag. 20] immers zijn denkvermogen, om zich het overbodige experimenteeren te besparen!
Bij de vragen der Elementaire Meetkunde op school bestaat geen der beweegredenen, die tot het experimenteeren aanleiding geven: de grondhypothesen zijn ook zoo voor iedereen duidelijk, zoodra hij maar begrepen heeft, waarom het gaat; de afwijkingen daarvan in de stoffelijke wereld -- welke door de gravitatietheorie waarschijnlijk zijn gemaakt -- zouden bij den graad van nauwkeurigheid van leerlingen-experimenten toch niet getoetst kunnen worden; terwijl die gevolgtrekkingen daaruit, met welke men zich in den gewonen cursus bezig houdt, niet zoodanige onoverwinnelijke moeilijkheden in rekenkundig opzicht met zich brengen, dat ze rechtvaardigen zouden om een berekening door experimenteeren te gaan vervangen.
Bovendien is het experimenteeren lang niet altijd het beste middel om de noodige intuïtie te verschaffen. Men vergelijke bijv. het bewijs van de stelling omtrent de som der hoeken in een driehoek volgens de proef-methode met het bewijs daarvan volgens de methode van Euclides. Een zuiver empirisch bewijs zou het volgende zijn: bij verscheidene stoffelijke driehoeken meet men de drie hoeken -- bijv. in graden -- en telt de drie zoo verkregen getallen telkens bij elkaar op.
Bij het optellen zelf ondervindt men niets, waaraan men zou kunnen merken, dat het de hoeken van eenzelfden driehoek zijn die men optelt; deze omstandigheid speelt hier de vale rol van een abstract weten. -- Euclides laat daarentegen een evenwijdige lijn trekken, met behulp waarvan hij in de gedachten alle drie hoeken aan een gemeenschappelijk hoekpunt aan elkaar legt. Hij, die vroeger de gelijkheid der overeenkomstige hoeken bij evenwijdige lijnen heeft leeren zien, ziet nu niet alleen, dat de uitgezette hoeken samen een gestrekten hoek vormen, maar hij ziet ook, dat het daarom is, omdat de beide uitgezette hoeken aan eenzelfde rechte lijn liggen (de basis van den driehoek), die evenwijdig is aan de hulplijn, en omdat de beide transversalen (zijden van den driehoek) zich in het derde hoekpunt snijden, kortom: omdat het de hoeken van éénzelfden driehoek lijn.
Het is, natuurlijk, niet moeilijk ook bij de empirische behandeling van dit probleem de elementen in te voeren, waar Euclides op gewezen heeft en die de intuïtie zoo bevorderen (door bijv, de hoeken niet in getallen uit te drukken, maar ze als meetkundige grootheden uit te zetten -- bijv. van een papieren driehoek twee hoekpunten afsnijden en ze tegen den [pag. 21] derden hoek aanleggen). Maar dat, waar ik den nadruk op wilde leggen, is, dat menige logische methode meer aanraking met de intuïtie onderhoudt, dan menige experimenteele methode.
Men ziet dikwijls over het hoofd, dat juist de Euclidische 14) rangschikking van het materiaal zoo geschikt hiervoor is 15).
De praestatie der logica bij Euclides is juist deze: het aanschouwelijk gegeven materiaal zoo te ordenen, dat de stellingen, die men noodig heeft, bijna vanzelf in de hand vallen.
Terwijl de proeven-methode niets anders vermag, dan eenvoudig enkele regels zonder samenhang met de andere vast te stellen, maakt Euclides, dat men ze intuïtief inziet, doordat hij ze in een aanschouwelijk verband brengt met andere, die men reeds ingezien heeft. De logische methode krijgt dus iets vóór zoowel wat betreft de zekerheid en algemeengeldigheid van haar uitkomsten, als ook wat betreft de aanschouwelijkheid.
Men kan nog verschillende tegenwerpingen tegen de experimenteele behandeling van de Euclidische stellingen maken.
Indien men van plan is om ze toch later in een systematischen cursus te behandelen, dan moet men den leerlingen niet bij voorbaat de vreugde van het zelf ontdekken (langs den weg van denken) ontnemen.
Verder: wanneer men eerst het empirisch vasbtellen van een betrekking voor een ,,bewijs'' heeft uitgegeven, zal men de leerlingen er niet licht toe kunnen bewegen om weer naar een bewijs te luisteren. En bovendien nog: de totale inhoud van de Meetkunde-cursus is niet van dien aard, dat de leerlingen bij herhaling ervan nog dezelfde belangstelling er voor zouden hebben. De stellingen toch, daarin behandeld, zijn niet zoozeer interessant op zichzelf, als wel door haar verband met een breedere en veelzijdige ervaring, waarvan ze een résumé geven, en waarvoor ze een middel zijn om deze geheel uit één gemeenschappelijk oogpunt te overzien.
Den leerlingen deze ervaring te verschaffen moet, volgens [pag. 22] mijn overtuiging, het doel van den propaedeutischen cursus zijn, en de laboratorium-methode moet hen niet met de meetkundige stellingen, maar met meetkundige begrippen vertrouwd maken.
Ik wil dit weer aan het voorbeeld van de som der hoeken in een driehoek duidelijk maken. Hoe verkeerd het mij ook schijnt, de algemeene stelling daaromtrent proefondervindelijk te willen bewijzen, toch vind ik het nog zoo kwaad niet, dat men den leerlingen bij gelegenheid de som der hoeken van enkele stoffelijke driehoeken eerst laat schatten en daarna uitmeten. Men bedenkt niet genoeg, voor hoevele leerlingen de woorden ,,hoek'', ,,optellen van hoeken'', ,,driehoek'', ,,meten'', enz. -- ,,abstract'' zijn! Het uitvoeren van die empirische manipulaties maakt, dat de leerling zich de beteekenis dier woorden levendiger inprent; de herhaling aan gewijzigde bijzondere gevallen maakt die begrippen ruimer. Het doel van dergelijke oefeningen moet zijn, dat bij het noemen van een meetkundige figuur de leerling in zijn verbeelding ieder bijzonder geval, op alle mogelijke wijzen in de ruimte georienteerd, zich voor kan stellen. De teekeningen op het bord moeten voor hem niet de objecten zelf van het leeren zijn, maar slechts schematische afbeeldingen van dat, wat hij gezien en zich voorgesteld heeft, moeten symbolen van de daariut door hem zelf gevormde begrippen voorstellen.
Er zijn zoovele vragen, waarbij het er slechts op aankomt, om zich de configuraties goed voor te stellen, waarbij geen voorkennis vereischt wordt, en die zelfs voor de beste leerlingen niet triviaal zijn, maar die in den systematiscben cursus geen plaats zouden vinden. Men kan ze met problemen van praktischen aard verbinden (ik bedoel met ,,praktisch'' niet uitsluitend ,,nuttig bij den strijd om het bestaan'', de problemen mogen ook aan de spelbelangstelling en aan aesthetische of wetenschappelijke behoeften der leerlingen aansluiten). Daarbij leeren ze, dat de ruimte iets aan de physische wereld is, dat een bijzondere studie verdient. Na dit alles zou het systematisch onderzoek daarvan den leerlingen als iets natuurlijks en gewenschts voorkomen. De van te voren verworvene vertrouwdheid met de voornaamste meetkundige begrippen en de gebruikelijke notaties zou een kwaad voorkomen, dat dikwijls in het begin van het meetkunde-onderwijs ondervonden wordt: men heeft tegelijk met verscheidene moeilijkheden te strijden: én met het niet gewend zijn aan de terminologie, én met het gebrek aan voorstellingsvermogen zoodat aan de laatste moeilijkheid, welke [pag. 23] eigenlijk in den systematischen cursus de volle aandacht vereischt: de logische bewerking van de stof, zeer te kort wordt gedaan.
De leeraren, welke met kinderen te doen hebben, die een propaedeutiscben cursus achter zich hebben, constateeren ook, hoezeer deze hun te stade is gekomen 16).
Wat den aard der oefeningen betreft, -- van het grootste nut zou, zooals gezegd werd, de laboratorium-methode zijn, d.w.z. het werken met stoffelijke voorwerpen dat in meten, teekenen, uitknippen, p]akken, boetseeren, enz. bestaat. Aangezien echter het doel is: de ontwikkeling van het voorstellingsvermogen, moet men vooral trachten te bereiken, dat de leerlingen zich eerst iedere figuur, waarvan sprake is, probeeren voor te stellen en hun voorstelling pas daarna aan reëele voorwerpen toetsen en corrigeeren.
Hoe lang men dergelijke oefeningen zou moeten voortzetten, zou van de algemeene ontwikkeling van de klas afhangen -- niet langer dan noodig is om de leerlingen rijp te maken voor den systematischen cursus. En in ieder geval moet men daarop aansturen, dat ze het bestaan van een zekere regelmatigheid in de ruimtelijke betrekkingen beginnen te gissen, dat ze er ten slotte naar verlangen om deze betrekkingen precies vast te stellen -- of het tenminste heel natuurlijk vinden, dat men zich daarmee gaat bezig houden.

V. Eenige voorbeelden van vragen, die voor een propaedeutischen cursus geschikt zouden zijn.
Het schijnt mij verkeerd om voor den prop. c., dien ik voor oogen heb, een systematisch geordende verzameling vraagstukken neer te schrijven: het gaat hier toch niet om bepaalde dingen, die men op alle scholen op dezelfde wijze moet ,,leeren''. Ieder leeraar kan veel beter volgens zijn eigen smaak en in overeenstemming met de andere bezigheden en het karakter van de leerlingen de voorbeelden uitzoeken en er zooveel mogelijk uithalen.
Alleen heb ik van vele leeraren het bezwaar gehoord, dat [pag. 24] het gebied der Meetkunde zoo beperkt is, dat men per se op de Euclidische stellingen aangewezen is, zoodra men naar iets zoekt, wat door een beginnende te vatten is. Daarom zou ik eenige categorieën van vragen willen noemen, alleen om te laten zien, hoe ruim de keuze is, in werkelijkheid.
I. Het verschil tussen de rechte en andere lijnen.
Toetsen, of een lineaal recht is, door hem op verschillende wijzen door twee bepaalde punten op een blad papier te leggen en daarlangs met potlood een lijn te trekken. Critiseeren van de methode (als de lineaal een cirkelvormige bocht heeft, kan dit niet ontdekt worden door verschuiving langs die twee vaste punten; het draaien om een vast punt in het papiervlak is ook niet beslissend (welke afwijking van de rechtlijnigheid ontgaat daarbij aan de contrôle?) Wat gebeurt er met den rand van die lineaal, wanneer deze om de as door twee vaste punten gewenteld wordt? -- als de rand recht is en als dit niet het geval is?
De weg, dien de verschillende punten van een voorwerp bechrijven, wanneer men twee punten daarvan vasthoudt.
De as. Het beschrijven van rotatie-oppervlakken door verschillende andere lijnen. Opzoeken van rotatie-oppervlakken in de kamer en vaststellen der vorm van de lijnen, door wier omwenteling ze beschreven kunnen worden (veelduidigheid). Toepassing bij het werken met de draaibank, bij fabrikage van potten.
2. Het vervolgen van de rechte lijn tot in het oneindige.
Zich duidelijk de rechte lljn voorstellen, die door twee bepaalde punten in de kamer loopt. Waar doorboort ze de muren of het plafond en den vloer van de kamer? Hoe loopt ze verder door de daarboven of daarnaast liggende kamers? -- en nog verder? Toelichten aan doozen, die zoo, als de kamers, aan elkaar zijn gelegd. Hoe ligt de lijn ten opzichte van de rotatieas van de aarde? Toelichten aan den globus.
3. De rechte lijn als de kortste afstand tusschen twee punten in de ruimte.
Een gespannen touw tusschen twee punten, als er niets tusschen ligt en als een voorwerp zich daartusschen bevindt -- zich den vorm van het touw in beide gevallen voorstellen. Een gespannen touw op een oppervlak. De kortste afstand tusschen twee plaatsen op de aarde -- door den aardbol heen gemeten of langs het oppervlak. In welke richting loopt de kortste verbindingslijn (op het aarde-oppervlak) tusscheo Rotterdam en Batavia (Zuid, Oost, Noord, West?) Aan den globus vaststellen! Geodetische lijnen op verschillende oppervlakken. [pag. 25]
4. De lichtstraal als rechte lijn.
Als ik door twee gaatjes naar een punt wil kijken, hoe moeten de gaatjes dan gelegen zijn? Wat moet eraan veranderd worden, wanneer ik tusschen die beide gaatjes een glazen prisma inschuif?
De vorm der schaduw van een voorwerp. De schaduwruimte, haar begrenzing -- de kegelmantel.
5. Schatten en daarna meten der lengten van verschillende voorwerpen in de kamer. Schatten, hoe dik wordt een cirkelvormige cilinder, dien men uit een vierkant stuk papier maakt.
6. Het verschil tusschen een plat vlak en andere oppervlakken.
Kan ik ieder oppervlak vouwen? Welke oppervlakken kan ik wél vouwen? Kan ik een kegelmantel in ieder zijner punten langs iedere richting vouwen? Welke oppervlakken kan ik op de tafel afwikkelen? Fabriceeren van regelvlakken uit papier en uit gespannen draden.
7. Ligging van rechte lijnen ten opzichte van elkaar. Opzoeken van evenwijdige en zich kruisende lijnen in de kamer. De ligging van verschillende ribben van een tetraeder en van andere polyeders ten opzichte van elkaar. Zoeken naar een definitie van evenwijdige lijnen.
8. Hoeken. Vergelijken der grootte van verschillende hoeken van polygonen, die de grensvlakken van verschillende voorwerpen in de kamer vormen: schatten en meten door papieren hoeken te maken. Som der hoeken, die in een hoekpunt van een polyeder samenkomen. De hoek aan den top van een ontwikkeld kegeloppervlak. De hoek, dien de minuutwijzer van een klok in een minuut, een kwartier, een uur, drie uren beschrijft. Hoeken, waaronder wij verschillende afstanden zien. Schijnbare vermindering van een voorwerp bij vergrooting van zijn afstand van ons. Schatten van hoeken, waaronder wij verschillende dingen zien, en de uitkomsten toetsen door meten. Schatten van den hoek, waaronder wij de maan zien, vergelijken met den hoek. waaronder wij andere voorwerpen zien, toetsen door ons zoo te p]aatsen, dat die voorwerpen de maan bedekken (een interessant experiment, dat toont, hoe wij ons in het schatten van de hoek-grootte van den maan vergissen).
Middelpuntshoeken en bogen. Rechte hoeken. Hiervan een definitie trachten te geven. Voortbrengen door vouwen van papier.
Over welken hoek hebben wij ons in het geheel gedraaid bij de wandeling langs al die straten, van ons huis naar school? 17) [pag. 26]
Hoeken tusschen twee platte vlakken. Drie- en meervlakshoeken. Bekijken, zich voorstellen, perspectivisch teekenen naar het geheugen van verschillende polyeders.
9. Rotatiesnelheid. Vergelijken van de rotatiesnelheden van de drie wijzers van een horloge. Rotatiesnelheid van verschillend groote wielen van een wagen; van de aarde. De relatieve snelheid, waarmee wij uit den trein voorwerpen zien bewegen, die zich op verschillenden alstand van ons bevinden. De maan loopt met ons mee. Verklaar dit.
10. Symmetrie. Centrale symmetrie in het platte vlak en in de ruimte. Symmetrieas van tweede, derde enz. orde. Symmetrielijn, symmetrievlak. Opzoeken in de omgeving en zelf fabriceeren van voorbeelden. Kristalmodellen.
Bij het fabriceeren vsn de eenvoudigsre modellen uit karton komen vanzelf de meer quantitatieve vragen op, welke den overgang tot de systematischen cursus heel natuurlijk maken.
11. Vlakke doorsneden. Als ik door een punt van de ribbe van een tweevlakshoek een plat vlak aanbreng, is de doorsnede een hoek. Bij welke ligging van dat vlak krijg ik den grootsten en bij welke den kleinsten hoek? Als ik dit vlak telkens door een bepaalde rechte lijn laat gaan, die de ribbe snijdt, kan het nog oneindig vele standen hebben. Hoe verandert de hoek van doorsnede, wanneer ik het vlak om die lijn laat wentelen?
Vlakke doorsneden van polyeders -- zich voorstellen, uit vrije hand teekenen, toetsen aan plastilinmodellen. Verandering van de doorsnede bij parallel-verschuiving van het snijvlak, bij draaien ervan om een bepaalde lijn.
Schaduwen op een muur. De zon als lichtbron: kan de schaduw van een dunnen gespannen draad vier meter breed zijn? Welken vorm kan de schaduw van een bol hebben? Een ,,puntvormig'' licht van een lantaarn als lichtbron: welke vormen kan de schaduw van een gulden hebben? Voorzie de lantaarn van een kap met een cirkelvormige opening en bestudeer den vorm der lichtplek op een muur bij verschillende orientaties van de lantaarn.
12. Knippen van figuren uit karton, uit welke men door vouwen een bepaald model kan maken -- zonder ze in stukken te moeten knippen. Het patroon van een kegelmantel, van een rok, van een lampenkap; van een kubus, van het model van een huis.
13. Graden van vrijheid. Hoeveel gegevens zijn noodig om de ligging van een punt in de ruimte, op een oppervlak, op een lijn precies te bepalen? Welke gegevens kunnen dat zijn? Ik weet, dat iemand duizend meter van zijn huisdeur verwijderd [pag. 27] is: waar moet ik hem zoeken? Hoeveel en welke gegevens zijn nog meer noodig om zijn plaats precies te bepalen? Hoeveel verschillende driehoeken kan ik teekenen met een gegeven basis en aanliggenden hoek? Wanneer alleen de basis gegeven is? Met welke punten van het vlak kan de top samenvallen -- in het eerste en in het tweede geval? Hoeveel graden van vrijheid heeft een bepaald mechanisme? (bijv. een fiets, een naaimachine enz.) Hoeveel verschillende hoeken kan ik teekenen met drie gegevens? Indien drie hoeken gegeven zijn? Dit laatste is ook een vraag, die geschikt is om voor een systematisch onderzoek in te leiden.
14. Topologie der lijnen in de ruimte. Iets, wat voor de meeste menschen veel moeilijker schijnt te zijn, dan de topologie der vlakken. Het gebruik van de stereoscoop kan hierbij van veel nut zijn.
Een knoop duidelijk teekenen -- eerst uit de phantasie, dan nakijken. De topologie der draad in een heel kort stuk van een breiwerk. Verschillende soorten van knoopen. Band van Moebius. Puzzles. Doorsneelijn van twee cylinders, van twee willekeurige oppervlakken van den tweeden graad.

De mate van moeilijkheid, die deze vragen voorhet voorstellingsvermogen opleveren, is, natuurlijk, zeer verschillend. Hoe ver men met de beschouwing van iedere afzonderlijke configuratie moet gaan, zal van de bekwaamheid en den aanleg der leerlingen afhangen, maar ook van den moed van den leeraar en van zijn vermogen om geschikte voorwerpen te vinden, waaraan men de zaak demonstreeren kan.
Hem, die sceptisch staat tegenover dergelijke alleen qualitatieve behandeling van meetkundige configuraties, kan ik het volgende zeggen: bij iedere systematische en nauwkeurige behandeling der hier opgenoemde onderwerpen moet men er de voorstelling en de qualitatieve schatting reeds van te voren bezitten om niet wanhopend hulpeloos daar tegenover te staan: deze kan niet synthetisch opgebouwd worden, uitgaande van de correct bewezen stellingen van den systematischen cursus; integendeel: deze stellingen zeggen werkelijk iets alleen aan hen, die reeds voor de studie van de Meetkunde voldoende ruimtelijke beelden in hun geest opgenomen hebben. Wat de ,,goede'' leerlingen zonder medewerking van den leeraar in de eerste les meebrengen en waarmee ze de anderen verrassen, dat kan in heel aanzienlijke mate ook aan menig anderen leerling bijgebracht worden.

Voetnoten

1) Vooral in Duitschland, Amerika en Rusland.

2) Men vergelijke toch een willekeurig polyaeder en alles, wat men daaraan ontdekt, met een paard, een bloem, een schotel, een sonate, een verhouding tusschen twee menschen, een historische gebeurtenis...

3) Ik bedoel: het ontwaren van die betrekkingen, waarop de door Gauss bedoelde stelling berustte en die noodzakelijk in zijn intuïtie aanwezig moesten zijn, zou hij zoo zeker van zijn stelling kunnen zijn -- de stelling zelf stond immers ook logisch helder voor den geest; of ook het ontwaren van dat intuïtief gegeven gebied, waarlangs de phantasie van H. Poincaré rondzwierf, voordat het hem gelukte het gezochte ook met het bewustzijn te vatten.

4) Heeft U ooit een wiskundige stelling werkelijk leeren beheerschen door alleen haar streng bewijs in een boek stap voor stap te contrôleeren, zonder dat betreffende gebied in zijn geheel intuïtief gevat te hebben?

5) Iemand, die van beginne af een heldere intuïtie op een zeker gebied heeft, kan daaromtrent louter logische, d.w.z. met elkaar harmonieerende, niet tegenstrijdige uitingen geven, zonder werkelijk ,,logisch'' -- in den boven genoemden zin -- te zijn. Het gebrek aan logica laat zich bij hem echter voelen, zoodra hij op een terrein komt, waar hij dat inzicht eerst door een bewust zoeken zou kunnen verwerven.

6) Men ziet bijv. gemakkelijk in, dat er tusschen twee zijden en een hoek van een driehoek en zijn derde zijde een betrekking bestaan moet. Dat echter in het geval, dat de hoek recht is, deze betrekking juist door de stelling van Pythagoras uitgedrukt wordt, zal wellicht niemand onmiddelijk zien; doch wél het aanschouwelijke verband bij iedere stap van het bewijs.

7) Ook de subsumptie-betrekkingen tusschen de gegeven stellingen en de formeel-logische structuur van elke stelling ziet men eerder, dan dat men ze bewust formuleeren kan: ook de logische betrekkingen worden eerst intuïtief begrepen!

8) Principieel zou de opbouw van deze taak der Wetenschap er niet door veranderd worden, indien het stellingen waren, over willekeurige dingen en niet juist over ruimtelijke betrekkingen. Nu is dit feitelijk niet geheel juist: bij het aanvullen der leemten in dit intuïtieve materiaal gebruikt men toch steeds het ruimtelijke voorstellingsvermogen. Ook stond de Axiomatica steeds in dienst van de kennistheorie van de ruimte; ze werd er zelfs in het begin in het geheel niet van onderscheiden.

9) Ik bedoel daarmee, dat vele resultaten voor ons voorlopig slechts bewezen, maar niet intuïtief begrepen feiten blijven.

10) Wat werkelijk gedood of verlamd kan worden door veel bewustworden, dat zijn de intuïtieve reacties. Deze zijn in vele gevallen zeer gewenscht en dienen gespaard te worden door de opvoeders! Trouwens, meestal brengt het bewustworden verwarring alleen bij zijn eerste optreden bij een instinctieve handeling. Nadat men ermee vertrouwd is geworden, gaan de instincten weer hun gang. Maar misschien duurt het soms veel te lang, tot men zoo ver is gekomen!

11) Men zou het dus moeten opgeven in het begin stellingen te bewijzen, welke voor alle leerlingen in de klas vanzelfsprekend zijn. Maar men moest ze niet stilzwijgend aannemen.

12) Men tracht wel eens het gebrek aan eigen werkzaamheid der leerlingen te verhelpen door hen, bij wijze van vraagstukken, eenige stellingen te laten bewijzen, die niet noodig zijn voor den opbouw van het fundamenteele systeem. Deze stellingen zijn echter dikwijls ingewikkelder dan die van het systeem zelf, en kunnen dikwijls de leerlingen alleen maar ontmoedigen: het bewijzen ervan vereischt meestal niet zoozeer het denken (d.w.z. het analyseren van de intuïtie) als wel het uitvinden (van bijzondere hulpconstructies), wat dus een speciale begaafdheid veronderstelt, die niets te maken heeft met ons probleem: de ontwikkeling van den leerling in logisch opzicht.

13) En voor de verdere ontwikkeling der speciaal wiskundigen schijnt me het eeuwig combineeren van telkens weer dezelfde begrippen der Elementaire Meetkunde -- waarop toch alle uitbreidingen en toepassingen, in den gewonen cursus opgenomen, neerkomen -- ook van geen nut te zijn. Een wiskundig aangelegde leerling zou er veel meer aan hebben, indien hij zijn studie-uren gebruikte om hem een wijderen horizon van wiskundig onderzoek te openen.

14) Wanneer ik over de ,,Euclidische'' rangschikking spreek, zoo bedoel ik daarmee iedere rangschikking, die den geest van Euclides handhaaft en die hem eventueel zelfs beter tot uiting brengt, dan Euclides zelf het gedaan heeft.

15) Voor de Ruimteleer is de aanraking met de intuïtie, uit zinnelijke waarnemingen ontstaan, het beste; voor de Axiomatica is het daarentegen geheel niet geschikt. Maar daarom mag men niet zeggen, wat sommigen doen, dat het gebruik maken van het voorstellingsvermogen in de Meetkunde ueberhaupt ,,onwetenschappelijk is''.

16) Weliswaar heb ik ook gehoord, dat de ,,propaedeutische'' kennis van de stellingen wederom belemmerend werkt op het willen aanvaarden van de ,,logische strengheid'' -- en dit klopt ook met hetgeen ik boven tegen de ,,laboratorium-bewijzen'' gezegd heb.

17) Welke ,,hoeken'' werden hierbij bedoeld?