Betoog

van eene

merkwaardige eigenschap des Cirkels,

waar door men deszelfs omtrek tot den uitersten trap van naauwkeurigheid meetkunstig kan construeeren; door

JACOB de GELDER

Leermeester in de Wiskunst, te Rotterdam



Aanvullende gegevens:
Oorspronkelijke artikel in: Nieuwe Algemene Konst- en Letterbode VI nr. 153 (vrijdag 2 December 1796), pp. 177-181.
Tweekoloms opmaak, met voetnoot en platen in de tekst.
Opmaak van de formules in de tekst niet behouden, uitgezonderd de formules die in plaatvorm zijn opgenomen.



Het zou byna eene lompe onkunde in iemand onderstellen, indien hy, op het voetspoor van veele vergeefsche zoekers, in staat meende te zyn, om den Quadratuur van den Cirkel te kunnen bepaalen; zo veele ervaren Wiskundigen hebben dit werk vruchteloos ondernomen, en de verschillende wegen, die men is ingeslagen, hebben even zoveele bewyzen van de onmogelykheid deezer onderneeming aan de hand gegeeven. Men heeft uitdrukkingen in reeksen en geduurige producten gevonden, die wel is waar den omtrek van den Cirkel juist uitdrukken; maar daar deeze reeksen of producten door geen getal ooit bepaald zyn geworden, heeft men zeer waarschynlyk ondersteld, dat de middellyn tot den omtrek eene onmeetbaare grootheid is, dat is te zeggen: dat geen evenmatig deel van de middellyn een evenmatig deel van den omtrek kan worden. Daar nu in de Meetkunst verscheidene onmeetbare grootheden, als by voorbeeld de diagonaal van een vierkant en meer andere geconstrueerd kunnen worden, kan men natuurlyk vraagen: of het ook insgelyks niet mogelyk zou zyn, om eene regte lyn te construeeren, die volmaakt aan den omtrek des cirkels gelyk ware? Verscheide geleerden hebben daar aan getwyffeld, en voor zo verre my bewust is, heeft niemand de onmogelykheid daar van aangetoond.
De eigenschap van den cirkel, die ik hier ter plaatse zal mededeelen, en de constructie, die ik 'er uit zal afleiden, schynen niet veel hoop voor deeze vinding overtelaaten, en bewyzen ten minsten, dat men ten opzichte van de constructie aan gelykzoortige zwarigheden gebonden is, als welke zich by de berekening in getallen opdoen.




Laat (Fig. 1.) PMQ een cirkel-sector verbeelden, welke door de radien RM, SM, enz. in twee, vier, agt, enz. deelen verdeeld zyn. Indien men dan de chorden PQ, PR en RQ trekt, zyn de driehoeken MRW en QVR gelykvormig, en dienvolgens is MW tot RM gelyk QV tot QR; stellende nu de Radius des cirkels =1, de boog PQ = X, is de proportie Cos (X/4) : 1 = (Chorde X)/2 : Chorde (X/2), waar uit men haalt, 2. Chorde (X/2) = Chorde X × Secans van X/4; deeze uitdrukking geeft ons deeze eigenschap, dat: ,,tweemaal de chorde van de helft van eenigen boog verkreegen word, indien men de chorde van dien boog met de secans van een vierde deezes boogs vermenigvuldigt.'' Het is dus zeer klaar, dat men de boogen QR en PQ elk wederom in twee deelen verdeelende, en elk deezer deelen wederom in twee deelen, dezelfde eigenschap op elke term van de reeks deezer deelen zal toepasselyk zyn, en dat men door substitutie van de waarde van elke voorgaande term in den volgenden, de onderstaande tafel zal kunnen formeeren.

2 chorde (X/2) = chorde X × sec (X/4)
4 chorde (X/4) = chorde X × sec (X/4) × sec (X/8)
8 chorde (X/8) = chorde X × sec (X/4) × sec (X/8)
× sec (X/16)
16 chorde (X/16) = chorde X × sec (X/4) × sec (X/8)
× sec (X/16) × sec (X/32)

Indien men nu opmerkt, dat 2 chorde (X/2) = PR × QR; 4 chorde (X/4) = QS×SR×RT×PT enz., ziet men klaar, dat men, hoe verder men de bovenstaande vergelykingen voordzet, men des te nader zal komen aan de waarde van den boog X, welke de limiet is van den benedensten omtrek der veelhoekige figuuren die door de chorden der verdeelde boogen gemaakt worden. Hier uit kan men afleiden, dat, daar men nooit tot de laatste term kan komen, hoe verre ook de verdeeling mogte voordgezet worden, de lengte van den boog aldus zal uitgedrukt worden

X = chorde X × sec (X/4) × sec (X/8) ×
× sec (X/16) × sec (X/32) enz.

moetende de termen van dit geduurig product zo lang voordgezet worden, tot dat men door de geduurige verdeeling der boogen tot een boog komt, die = 0 is, en dus geene verdere verdeeling kan toelaaten, hetgeen nooit kunnende gebeuren, een genoegzaam bewys is, dat ook deeze formula de waarde van den boog slechts by benadering kan doen bekend worden.

Dewyl de chorde van X = 2 sin (X/2) =
= (sin X)/(cos (X/2)) =
= sin X . sec (X/2),

verkrygt men de bovenstaande waarde onder deeze gedaante,

(A) X = sin X × sec (X/2) × sec (X/4) × sec (X/8) × enz.

En stellende X = 90°, zal man, dewyl de sinus van 90 graden = 1 is, voor de lengte van een boog van 90 graden deeze uitdrukking verkrygen.

(B) boog van 90° = sec (90°/2) × sec (90°/4) × sec (90°/8) × sec (90°/16) × enz.

Deeze laatste uitdrukking bevat een zonderlinge eigenschap van den cirkel, die alhoewel zy van het voordeel eener gemaklyke berekening geheel ontbloot is, echter de volgende merkwaardige constructie oplevert.

Laat (Fig. 1.) ABM een quadrant zyn: deel den boog AB in C in twee gelyke deelen, de helft BC in D; BD in E, BE in F enz. elke helft telkens in twee gelyke deelen: trek wyders door de deelpunten C, D, E de [pag. 179] onbepaalde snylynen MCH, MDI, MEK enz., indien men dan eindelyk de loodlynen AH, HI, IK, KL, LN op AM, MH, MI enz. trekt, zal men hebben:

MH = sec (90°/2)
MI = sec (90°/2) × sec (90°/4)
MK = sec (90°/2) × sec (90°/4) × sec (90°/8)
ML = sec (90°/2) × sec (90°/4) × sec (90°/8) × sec (90°/16) enz.

Want de lynen Cp en Dq loodrecht op CM en Dm trekkende, heeft men in de gelykvormige driehoeken MHI en MCp deeze evenredigheid; CM : MH = Mp : MI of 1 : sec (90°/2) = sec (90°/4) : MI derh. MI = sec (90°/2) × sec (90°/4). -- en wederom zal men uit de gelijkvormige driehoeken MIK en MDq bewyzen, dat MK = sec (90°/2) × sec (90°/4) × sec (90°/8) en op gelijke wijze met de andere vergelykingen.
Indien men met deeze bewerking voordgaat, zal men eindelyk tot eene zeer groote benadering komen: indien men in een cirkel van 100 voeten radius de bewerking tot 12 of 13 maalen voordzet, zal de lyn die men eindelyk verkrygt geen 100ste deel van een duim minder dan de lengte van het quadrant zyn, en indien het mogelyk ware, om de verdeelingen tot in het oneindige te agtervolgen, zou men ten laatsten tot de lyn MZ komen, welke aan de lengte van het quadrant volmaakt zou gelyk zyn.
De zamenhang van de eigenschappen der grootheden is verwonderlyk, en doet ons de volstrekte zekerheid der Wiskundige waarheden overtuigend gevoelen, zo dikwyls wy dezelfde resultaaten uit verschillende beginsels zien te voorschyn komen. Zo is het ook met de uitdrukking (B) gelegen, welke wy uit de gemeene beginselen der meetkunst afgeleid hebben: doch indien men de radius = 1 een boog van 180° = Q, weeten wy



stellen wy in de eerste deezer reeksen Z = Q/2; dan is sin Z = 1 en


de bekende uitdrukking van WALLIS, en stellende in de tweede uitdrukking voor


verkrygen wy


stellende nu in deeze laatste uitdrukking successivelyk voor m altijd 1, en voor n, 1, 2, 3, 4 enz., zal men de volgende uitdrukkingen in getallen verkrygen.


Indien men nu deeze vergelykingen met elkander vermenigvuldigt, verkrygt men:


Indien men in de uitdrukking van sin. Z, Z = Q/4 stelt, zal men


enz. vinden.
Waar uit men voor de [vierkantswortel] deeze uitdrukking vindt:



daar nu de [vierkantswortel] de chorde is, welke een boog van 90° onderspant, ziet men dat de reden van de chorde van 90° tot den boog van 90° is gelyk de eenheid tot de waarde van


Indien het nu mogelyk ware, de waarde van het geduurig product deezer breuken in eenige eindige, al ware het maar eene surdische uitdrukking te vinden, zou de boog van 90° kunnen geconstrueerd [pag. 180] worden. Maar alle pogingen, die ik daar toe in het werk gesteld heb, zyn vruchteloos afgeloopen; dan hoe het zy, dit oneindig product heeft eene rationaale of eene irrationaale waarde, die ik a zal noemen, de boog van 90° zal = a[wortel-2] zyn: indien nu a rationaal is, is de waarde van a[wortel-2] onmeetbaar en zo a zelve onmeetbaar is kan a[wortel-2] niet meetbaar worden ten zy a zelve van den vorm b[wortel-2] is; maar zulks ziet men op de enkele beschouwing van de uitdrukking, met die van de waarde van [wortel-2] vergeleken, dat niet mogelyk is; men kan dan veilig besluiten dat de radius tot de lengte van een boog van 90° onmeetbaar is: en zou dus de quadratuur van den cirkel in getallen te willen vinden niet hetzelfde zyn als of men vinden wilde dat tweemaal twee iets meer of minder dan vier ware? (*)
Men kan uit de reeks (A), die ik boven opgegeeven heb, nog veele andere merkwaardige reekzen afleiden, welke de kortheid van mijn bestek my niet toelaat alhier te plaatsen: eene of twee die zeer merkwaardig zyn, zal ik hier byvoegen, om dat deeze stof tot verdere onderzoekingen kunnen opleeveren.
Indien men de uitdrukking (A) in Logarithmen brengt, zal men hebben

log. X = log. sin X + log. sec (X/2) + log. sec (X/4) + log. sec (X/8) + enz. waar van de differentiaal is,



dewyl nu d. sec (X/2) = 1/2 tan (X/2) × sec (X/2) × dX en d. sin X = dX cos X is, zal men deeze waarden in de differentiaal vergelyking overschryvende, en alles door dX deelende, verkrygen


welke reeks, indien men X = 90° stelt, en in aanmerking neemt dat cos 90° = 0 is, deeze onderstaande oplevert


Indien men de reeks (C) wederom differentieert, verkrygt men


welke door dX gedeeld zynde, na de verschikking der termen geeft


oplevert, en in welke voor X, 90° schryvende, en in aanmerking neemende, dat sin 90° = 1 is, deeze reeks geeft


Men moet bekennen dat deeze reeksen voor de berekening voorzeker de geschikste niet zyn, 'er zyn tot dat oogmerk andere handelwyzen, die met meer gemak kunnen behandeld worden. EULER heeft in zyne Introd. ad Anal. Infinit. Part I pag. 106 aangetoond, hoe men een boog van 45° in twee of meer boogen kan verdeelen, welker tangenten rationaale getallen zyn, hoedanige zyn een boog, waar van de tangens 1/2 en die waarvan de tang. 1/3 is, welke beide boogen te zaamen 45° uitmaaken, en elk van welke door de reeks + - 1/3 + 3 + 1/5 + 5 - enz., die de waarde van een boog uitdrukt wiens tangens + is, zeer gemaklyk kan berekend worden. Eindelyk heeft volgends het getuigenis van HUTTON (zie zyne Treatise on Mensuration pag. 120,121) MACHIN aangetoond, dat een boog van 45° gelyk is aan viermaal een boog, wiens tangens 1/5 is min een boog wiens tang. 1/239 is; zo dat


dit kan nog aanmerkelyk verkort worden; want dewyl uit de formule tang 2p = (2 tang p)/(1 - tan² p) blykt, dat de tangens van 2 maal een boog wiens tangens 1/10 is = is aan (2/10)/(1 - 1/100) = 20/99 het welk grooter is dan 1/5 en tang (p - q) = (tan p - tan q)/(1 + tan p . tan q) = (20/99 - 1/5)/(1 + 4/99) = 1/515 is, zal men voor een boog van 45° deeze uitdrukking hebben: 45° = [pag. 181] 8 maal. boog. tang. (1/10) - 4 boog. tang. (1/515) - boog. tang. (1/239) of


in welke uitdrukking het getal 10 veel gemak in de bereekening geeft.
Het zal by deeze gelegenheid niet te onpas komen, om de nagedagtenis van onzen grooten NIEUWLAND by de Vaderlandsche leezers te verëeren. Professor VAN SWINDEN zegt in de aantekeningen op de Lykrede van NIEUWLAND in Felix Meritis uitgesproken, pag. 141, dat NIEUWLAND een zeer eenvoudige Constructie van de proportie 113:355, door METIUS voor de reden van den omtrek des cirkels opgegeeven, gevonden heeft. Ik heb dit leezende eene dergelyke Constructie gevonden, indien NIEUWLAND niet by geval een figuur ontdekt heeft, waar in eenige lynen die proportie opleveren, zal zyne Constructie mogelyk hier op uitkomen:



Dewyl 113 gelyk is aan de som van de quadraaten van 7 en 8 en 355 gelyk is aan tweemaal het vierkant van 11 plus 113, neem ik figuur 2, (AB de middellyn en M het middelpunt van een cirkel zynde,) op een wel verdeelde schaal waar van de deelen niet al te klein zyn, een lyn ME van 7 deelen, voords ED gelyk aan 8 deelen en trek de lyn MD; eindelyk neem ik nog EC = EH = 11 deelen en DG loodrecht op MD getrokken hebbende, neem ik DG = CF en laat CH loodrecht op MG vallen, en dan staat de lyn MH tot de lyn MG gelyk 113 tot 355.
Want MD² = ME² + ED² = 49 + 64 = 113, en DG² = CH² = 2 · 121 = 242; derhalven MG² = MD² + DG² = 113 + 242 = 355; nu is MH : MG = MD² : MG² = 113 : 355; indien men dus GI evenwydig aan HB trekt, zal MI = den halven omtrek van een cirkel zyn.
Indien men door de geduurige breuken de reden van den omtrek tot de middellyn des cirkels, door een reeks van eindige breuken benaderd, zo als men zien kan in myne Grondbeginselen der Cyfferkunst, pag. 417, kan men voor de volgende breuken ook diergelyke constructien vinden, die echter op verre na zo eenvoudig niet zyn als deeze, en welke uit dien hoofde zo zeer niet verdienen aangepreezen te worden, te meer, dewyl de constructie van METIUS, zo naauwkeurig is, dat men vooronderstellende, dat de radius in tien millioen deelen verdeeld is, deeze geconstrueerde omtrek geen 3 deelen van den waaren omtrek verschilt, eene naauwkeurigheid, welke men zelfs, uit hoofde der onnaauwkeurigheid, welke men zelfs, uit hoofde der onnaauwkeurigheden waar aan de Meetkunstige constructien onderworpen zyn, niet eens verwagten kan, in constructien, die theoretisch volkomen kunnen uitgevoerd worden.




Voetnoot

(*) VAN DER MONDE heeft in de Memoires de l'Acad. des Sciences de Paris 1772, I Partie pag. 489, aangetoond, dat de boog van 90° eene irrationaale grootheid van eene hoger orde is.