OVER DE MAGT

VAN HET

ZOOGENAAMD ONBESTAANBARE IN DE WISKUNDE.


REDEVOERING

TER AANVAARDING VAN HET AMBT VAN BUITENGEWOON HOOGLEERAAR
AAN DE HOOGESCHOOL TE LEIDEN,


DEN VIJF EN TWINTIGSTEN SEPTEMBER 1863,

UITGESPROKEN


DOOR


DR. D. BIERENS DE HAAN.



Aanvullende gegevens:
Oorspronkelijk document telt 63 pagina's inclusief eindnoten.
Gedrukt te Leiden bij J.C. Drabbe.



EDELGROOTACHTBARE HEEREN, CURATOREN DER LEIDSCHE,
HOOGESCHOOL;
WELEDELGESTRENGE HEER, SECRETARIS VAN HET COLLEGIE
VAN CURATOREN;
HOOGGELEERDE HEER, RECTOR MAGNIFICUS;
HOOGGELEERDE HEEREN, HOOGLEERAREN IN DE VERSCHILLENDE
VAKKEN VAN WETENSCHAP, ZEER GEACHTE AMBTGENOOTEN;
WELEDEL ZEERGELEERDE HEEREN, LECTOREN IN VERSCHILLENDE
VAKKEN VAN WETENSCHAP;
EDELACHTBARE HEEREN, AAN WIEN HET HET BESTUUR DEZER
STAD EN DE HANDHAVING DES REGTS IS TOEVERTROUWD;
WELEERWAARDE HEEREN, LEERAREN DER GODSDIENST;
WELEDEL ZEERGELEERDE HEEREN, DOCTOREN IN DE VERSCHILLENDE
WETENSCHAPPEN;
WELEDELE HEEREN STUDENTEN, KWEEKELINGEN VAN DEZE
HOOGESCHOOL;
GIJ ALLEN VOORTS, DIE DEZE PLEGTIGHEID MET UWE TEGENWOORDIGHEID
WILT VEREEREN;



ZEER GEËERDE TOEHOORDERS!

Wanneer wij van de tegenwoordige hoogte, waarop de wiskunde staat, terugzien op haren toestand voor ettelijke eeuwen, in de laatst verlopene, ja slechts een menschengeslacht vroeger; dan kunnen wij niet nalaten met dankbaarheid op te merken, welke vorderingen zij gemaakt heeft, welke zij nog voortdurend maakt: maar dan erkennen wij ook, -- de toekomst zal hierin onze verwachting zeker overtreffen, -- welk een groot veld er nog ter bearbeiding open ligt.
De geschiedenis der wetenschappen leert ons, dat deze vooruitgang niet immer geleidelijk geschiedt, maar dikwerf eerder als bij stooten en schokken [pag. 4]. Soms komen er tijdperken, dat enkele uitstekende geleerden zich eene baan breken door de nog onbekende velden der wetenschap en daarbij hunne tijdgenoten vooruit snellen; zoo zelfs, dat zij door hunne tijdgenooten naauwelijks kunnen gevolgd worden niet alleen, maar zelfs dat deze hen niet meer verstaan. Eerst aan latere geslachten is het dan voorbehouden in hunne schriften het edele koorn van het meer vluchtige kaf te scheiden, en den kracht van den werkelijk wetenschappelijk gevormden geest te bewonderen, die onder zulke omstandigheden en met zulke gegevens tot zulke inzigten zich konde verheffen. Men denke slechts aan Leonhard Euler, wiens talrijke bijdragen, belangrijke geschriften niet alleen gedurende zijn leven, maar ook nog eene halve eeuw later, telkens zooveel medewerkten tot de ontwikkeling der wiskunde 1); -- aan Augustin Louis Cauchy, dien fijnen analyst, die de grondslagen der wetenschap zuiverde van het onkruid, dat ze dreigde te doen vermolmen, en ze hechter en sterker uit die zuivering deed verrijzen; maar die ook in de hoogere deelen zooveel werkte en bouwde, dat er voor het nageslacht nog werk te over is om dit alles te volgen en tot nuttig eigendom te verwerken 2); -- aan Pierre Fermat, wiens stellingen ook in lateren tijd de steunpilaren der getallenleer vormden, en nog in de laatste jaren meermalen het onderwerp van gezette overweging uitmaakten 3); -- aan Matthew Stweart, wiens algemeene stellingen op het gebied der nieuwere meetkunde sedert ruim eene eeuw telkens stoffe leverden tot vernieuwde behandeling, zonder dat men misschien nu nog heur oorsprong ten volle begrijpt 4); -- eindelijk aan den onlangs overleden Jacob Steiner, die weder op het gebied der nieuwere meetkunde, even als de beide voorgaanden, een tal van stellingen heeft achtergelaten ter ontraadseling voor de nakomelingen, zonder aanduiding van den weg, die hem tot deze uitkomsten voerde 5).
Na zulje enkelen komen er dan anderen in hunne voetstappen treden, welke die snel afgeloopen baan meer langzaam volgen, die verbreeden, die effen en toegankelijk maken, en er vruchten vinden en verzamelen, waarvan de eersten misschien wel eenig voorgevoel hadden, maar waarbij zij zich in hunne vaart niet konden ophouden. Deze breiden de wetenschap mee geleidelijk uit; zij bewerken meer de bijzondere deelen, en stuiten, hoezeer ook van de grenzeloosheid der wetenschap overtuigd, [pag. 5] meermalen, en soms onbewust, op eene schijnbare grens, die zij, met alle inspanning des geestes zelfs, niet vermogen te overschrijden. Zij maken dan echter van lieverlede den grond vaster, tot er weder een nieuwe ontginner zich opdoet, die zich boven alle grenzen verheft, en zich in dikwerf geheel ongedachte rigting eenen nieuwen weg opent. En alzoo zijn het meermalen de zwarigheden, die den voortgang belemmeren, -- de schijnbare grenzen, die den horizon dreigen te verbergen, -- welke juist tot nieuwen vooruitgang der wetenschap worden dienstbaar gemaakt, haren gezigteinder plotseling verruimen.
Voor den beoefenaar der wetenschap kan dus de kennis juist dier zwarigheden zelve, -- der wijze, waarop zij zijn te boven gekomen, -- der uitbreiding, die zij der wetenschap hebben doen toekomen, -- een groot en veelzijdig nut hebben; hij kan daaruit leeren, hoe hij te handelen hebbe, wat hij te beproeve hebbe. Eene volledige uiteenzetting, M.H., van dit onderwerp zoude ongevoelig tot eene geschiedenis der wiskunde voeren; een enkel punt daaruit moge het onderwerp mijner rede in dezer ure zijn: de magt van het zoogenaamd onbestaanbare in de wiskunde. Laat ons nagaan, wat wij in de geschiedenis dier wetenschap daaromtrent kunnen opsporen; verleent mij daarbij, bid ik U, een welwillend gehoor, en staat mij toe, wanneer zulks voor het juiste begrip en gewenschte kortheid van uitdrukking onvermijdelijk zal wezen, ook eene of andere uitheemsche zegswijze te bezigen.
Ik mag het wel bij U als bekend veronderstellen, M.H., wat thans onder de uitdrukking: eene onbestaanbare grootheid in de wiskunde pleegt verstaan te worden. Wanneer wij ons echter in vroegere tijden verplaatsen, verkrijgt dit begrip eene meer ruime uitbreiding. Wat toch is wel de eigenlijke, de werkelijke beteekenis, die aan deze uitdrukking moet gehecht worden? Eene onbestaanbare grootheid, -- in andere talen eene denkbeeldige of imaginaire genoemd, -- is zulk eene, die niet voldoet aan de bewust of onbewust, regtstreeks of ingewikkeld, gedachte of uitgesproken kenmerken, die wij aan grootheden van dezelfde soort toekennen. En daaruit vloeit als vanzelve de waarheid voort van de vroegere bewering, dat juist het ontmoeten van zulke schijnbaar onoverkomelijke [pag. 6] zwarigheden dikwerf de aanleiding konde worden tot eene onverhoopte uitbreiding der wetenschap; en wel inzonderheid op die wijze, dat daardoor eene verruiming van begrippen noodzakelijk werd voorbereid niet alleen, maar ook werd tot stand gebragt. Gaan wij voor eenige oogenblikken tot vroegere tijdperken terug, dan zal ons dit spoedig duidelijk worden.
Wat toch is de oorsprong der wiskunde anders dan de behoefte aan tellen en meten; deze heeft in alle tijden en in alle landen zich doen gevoelen; zij klom met de vermeerderde beschaving. Ja, in den aanvang van de geschiedenis der volksbeschaving zijn het wel de vorderingen in de wiskunde, die als maat dier beschaving, als maatstaf van vergelijking kunnen strekken: dáár, waar de kunst van tellen en meten weinig ontwikkeld is, kan men wel bijna zeker zijn nog weinig beschaving te zullen ontmoeten. Reeds in dien oorspronkelijken toestand kwamen er al spoedig grootheden voor, die als denkbeeldig schenen. Getal toch dacht men zich zeer beperkt, zooverre als het ware men het nog konde overzien; wat daarbuiten lag, was even goed alsof het niet bestond: het ging alle begrip te boven. Totdat men op het denkbeeld kwam van een getalstelsel; -- niet zoo als wij dit kennen, o neen! men gebruikte slechts teekens of letters, om veelvouden uit te drukken en plaatste die naast elkander: zoo deden de Toscanen, de Romeinen, de Grieken, de Semitische volkeren, de Mexicanen, de Cingalezen. Maar sommigen daaronder gingen reeds verder, en duidden hoogere of lagere waarden door een bijgevoegd teeken uit; zoo als de Grieken door het aanbrengen van een streepje beneden het getal aan een getal hetzelve met duizend vermenigvuldigden; en door het plaatsen van zulk een streepje boven aan een getal eene breuk uitdrukten, waarbij dit getal den noemer voorstelde. De geheel verschillende gedachte, die beide uitdrukkingen beheerschte, was wel de oorzaak, dat de Grieken niet tot de groote vordering geraakten, die men in het arabische stofschrift, de Gobar 6), en ook in het scholium van den griekschen monnik Neophytos 7), de [aritmoi indixoi] aantreft: het regelmatig gebruik van coefficienten of vermenigvuldigers, waarbij dan bovengestelde rangletters de veelvouden van de daaronder staande getalletters aanduidden. Doch eerst toen de plaatswaarde werd ingevoerd, verkreeg het stelsel allengs die [pag. 7] volkomenheid, waarin wij het thans zoo gewoon zijn te gebruiken, dat ons die eigenschap naauwelijks meer in het oog springt; en toch -- daartoe werd nog vereischt het teeken, om eene ontbrekende plaats aan te vullen: het nulteeken. Dit stelsel vindt men bij den Pythagorischen Abacus of Algorithmus, in de Geometrie van Boethius 8), en evenzeer bij de arabische en indische algebraïsten 9); het werd echter door de algemeene invoering van dat nulteeken eerst in de middeneeuwen meer algemeen nuttig en verbreid.
Bij de eenvoudigste rekenkundige bewerkingen stiet men verder al dadelijk op schijnbare onmogelijkheden: bij de deeling, wanneer het deeltal niet een volkomen veelvoud van den deeler was. Hieruit ontstond het begrip van breuken, doch werd tevens het algemeenere begrip van reden, van vehouding eerst mogelijk, verder dan dat van evenredigheid. Hoe eenvoudig ons deze begrippen thans schijnen, zij waren niettemin evenzeer onbestaanbaar vóór er breuken waren, een begrip geheel onderscheiden van dat der gewone getallenrij. En dan weder de tiendeelige breuken, voor ons zoo duidelijk als eene logische voortzetting van het talstelsel; hoeveel bezwaren moesten er overwonnen, hoeveel moeijelijke berekeningen moesten er doorworsteld worden, voor dat Simon Stevin op dat denkbeeld kwam, zijne ,,Thiende'' te schrijven; een denkbeeld, dat ons, pas een halve eeuw geleden, in het bezit van het tientallige stelsel van maten en gewigten bragt. Wordt dit bezit door onze burgerij naauw op prijs gesteld, de groote voordeelen, daaraan verknocht, staan toch aan gene zijde van het kanaal op het punt eene geheele hervorming te weeg te brengen in het zoo zamengestelde engelsche stelsel: eene hervorming, die dáár aan eene volksbeweging haar bestaan zal te danken hebben.
En is dit alles het gevolg van de omgekeerde vermenigvuldiging, de omgekeerde magtsverheffing gaf wederom aanleiding tot eene geheel andere soort van onbestaanbare grootheden. Wel wist men een volkomen vierkant daar te stellen, door twee gelijke getallen te vermenigvuldigen, en dus ook omgekeerd uit dit product tot den vermenigvuldiger, den wortel, op te klimmen; maar voor een volkomen vierkant bestond er zulk een getal niet. Ja, men konde wel is waar hoe langer hoe digter tot die waarde naderen; maar ze bereiken, dit was onmogelijk, hoe langen tijd [pag. 8] ook men aan het schrijven van zoodanig getal zoude willen besteden. Van daar de oorsprong der wortelgrootheden, die weder een onderdeel van de onmeetbaren uitmaken. Welk eene rol spelen deze in de geheele getallenleer? Wie had vroeger ooit kunnen voorzien, dat het met behulp der kettingbreuken mogelijk zoude worden, over de al of niet meetbaarheid van eenige grootheid een zeker, onfeilbaar oordeel te vellen? Wie, dat juist deze onmeetbaren aanleiding zouden geven tot het uitvinden en leeren gebruiken van die fijne werktuigen in de leer der oneindige reeksen, die het mogelijk gemaakt hebben, om met betrekkelijk weinig moeite het grondtal der natuurlijke logarithmen tot op honderd en vijf tiendeeligen, de genoeg bekende verhouding tusschen omtrek en inhoud des cirkels tot op vijfhonderd en dertig tiendeeligen met volkomen juistheid te bepalen?
Eene geheele omkeering bragt Renatus Descartes te weeg, toen hij de waarheden der meetkunde in stelkundige taal leerde overbrengen, de grootheden der stelkunde meetkundig leerde voorstellen in zijne analytische meetkunde 10); toen hij de leer der negatieve grootheden deed ontstaan, die zich, als een noodzakelijk gevolg daarvan, bij hem moesten opdringen. Hoevele grootheden, vroeger onbestaanbaar, denkbeeldig, verkregen nu een duidelijkheid, geheel gewettigd, volkomen verklaard bestaan! Plotseling echter geschiedde dit niet. Thans weet men, wat het is, wanneer een vraagstuk eene negatieve winst, eene negatieve ontvangst, een negatief tijdsverloop sedert een vast tijdspunt, tot uitkomst oplevert, amar denkt niet, M.H., dat deze begrippen, ons zoo helder, onzen voorvaderen ook zoo duidelijk voor den geest stonden. Neen, daartoe was een lang tijdverloop, eene veelzijdige beschouwing noodig, maar deze droeg ook rijke vruchten voor de werenschap. Wel is waar, het beginsel van tegenstelling, dat in het begrip der negatieve grootheden lag opgesloten, liet zich niet moeijelijk tot eene eenvoudige optelling en aftrekking herleiden, ja door dezelfde teekens voorstellen. Maar juist die gemeenschappelijke teekens voor oorspronkelijk geheel verschillende begrippen hebben wel eens verwarring te weeg gebragt in het juist opvatten van de theorie zelve 11); hoezeer het weder aan den anderen kant niet te ontkennen is, dat juist daardoor eerst die magtige inwerking van dit begrip is mogelijk geworden in eenen tijd, dat men zich over de streng- logische uiteenzetting der [pag. 9] beginselen minder bekommerde, dan wel over de snelle uitbreiding der wetenschap. Toen men later echter tot eene strengere bearbeiding der grondbeginselen terugkeerde, vond men zooveel schijnbare en werkelijke verwarring, dat nog omstreeks het begin dezer eeuw er onder de geachtste engelsche wiskundigen waren 12), die de leer van het negatieve uit een leerboek der stelkunde meenden te moeten verwijderd houden, om begripsverwarring te voorkomen.
Deze leer van negatieve grootheden 13) was vooral van grooten invloed op de theorie der vergelijkingen: immers vóór dien tijd waren er alleen positieve wortels bekend, werden zelfs de negatieve niet eens vermoed; later zelfs werden zij nog geruimen tijd veelal als valsche wortels onderscheiden. Met behulp van deze theorie onderging echter de leer der vergelijkingen eene geheele verandering; thans eerst konde men tot het besluit komen, dat het aantal wortels door den graad der vergelijking wordt bepaald, en daarop de leer der vergelijkingen gronden, die sedert Newton zoo weinig verwachte vorderingen gemaakt heeft; thans eerst vond men, dat vergelijkingen, waaraan tot dus verre nimmer door eenige waarde had kunnen voldaan worden, en die dus onmogelijk, onbestaanbaar moesten worden geacht, -- toch, hoewel dan ook slechts negatieve wortels, wortels hadden, en dientengevolge geheel van karakter veranderden. Ook thans eerst konde de theorie der negatieve magten ontstaan; van hoeveel invloed deze op de leer der logarithmen moest zijn, behoeft hier naauwelijks opzettelijk te worden aangestipt.
Diezelfde leer der vergelijkingen leidde de opmerkzaamheid op eene andere soort van grootheden, die alle terug te brengen zijn tot den tweede-magtswortel uit de negatieve eenheid: eene grootheid, die meer bijzonder met den naam van ,,onbestaanbaar'' pleegt bestempeld te worden. Dan, wij zagen het immers, vóór deze waren er reeds onderscheidene andere onbestaanbaren, die eerst bestaanbaar werden door de verruiming van begrippen, waartoe zij, als met de onweerstaanbare kracht der waarheid dringende, aanleiding gaven. En op dezelfde wijze is ook de beschouwing van deze grootheden geheel van aard veranderd. Wel is waar werd reeds vroeger door Wallis 14), later door Kühn 15) over de beteekenis der onbestaanbare grootheden gehandeld, maar toch waren Buée, Mourey, [pag. 10] Warren 16) onder de eersten, die het kenmerkende deezer grootheid zochten in eene draaijing rondom het nulpunt. Kan men -- zoo redeerden zij -- den overgang uit den positieven tot den negatieven toestand voorstellen door eene draaijing van 180° rondom het nulpunt, zoodat de lijn, die de grootheid voorstelt, juist een gestrekten hoek beschreven heeft; zoo kan even zoo goed de onbestaanbare grootheid, als middenevenredige tusschen het positieve en het negatieve, door de halve draaijing, die van 90°, worden voorgesteld. Daaruit volgt dan eensdeels, dat de wortel uit de negatieve eenheid met de loodlijn overeenstemt; ten anderen, dat al de n onderscheidene n-demagtswortels uit eenig getal moeten worden voorgesteld door even zoo vele lijnen, uit het nulpunt uitgaande, die alle onderling gelijke hoeken maken ter groote van 360° gedeeld door den aanwijzer der magt, zoo als bijv. de windstreken op een kompas; -- waaruit noodzakelijk voortvloeit, dat, wanneer deze lijnen, ieder voor zich, de beweging van uit de positieve as even zoo veel maal herhalen, als de aanwijzer der magt zelve bedraagt, zij alle weder met die as moeten zamenvallen.
Gauss 17) daarentegen bezag deze grootheden uit een meer verheven standpunt, en zocht dadelijk de beteekenis eener complexe grootheid, dat is van zulke eene, die tweeledig is en waarvan het eerste lid wel, en het tweede niet bestaanbaar is. Hij vond daarvoor de hypothenuse van eenen regthoekigen driehoek, die beide leden, niet lettende op den factor van onbestaanbaarheid, tot regthoekszijden zoude hebben: en hierin lag de grond van een ruimer begrip van optelling, dat weder bij de theorie der getallen in den modulus van Cauchy wordt terug gevonden. Het is inzonderheid een gevolg van die beschouwingen, dat aan deze grootheden eene zoo gewigtige rol schijnt voorbehouden. Vooreerst wel om als middel te dienen tot de uitbreiding van de onderlinge betrekking tusscjen de analysis en de meetkunde 18), ja zelfs met de theorie der getallen; maar niet alleen dit: want zij hebben reeds gediend, om te komen tot een veel algemeener opgevat begrip van de hoofdregels der rekenkunde 19). Hoezeer men zich nog niet ten volle bewust schijnt, welke gevolgen deze nieuwe begrippen zullen na zich slepen, is het toch ontegenzeggelijk, dat men ze veelomvattend mag onderstellen. ie had vermoed, dat die onbestaanbare grootheden 20) [pag 20] op zulk eene wijze een bestaan zouden erlangen; al moge het nog eenigen tijd aanhouden, voor men zulks ten volle leert inzien, en als mogen alsdan daarmede ook nog eenige wijzigingen van de grondgedachte gepaard gaan.
Immers zoodanige wijzigingen ontbreken reeds nu niet: zij ontstonden uit eene eenigzins andere opvatting der bepaling. Men weet toch, dat in de analysis het woord functie gebruikt wordt om eene grootheid voor te stellen, die volgens zekere, hoe dan ook gedachte wet met eene andere grootheid te zamen hangt. Dienovereenkomstig kan men zich den tweedemagtswortel uit de negatieve eenheid, dien men door de letter i pleegt voor te stellen, zoodaanig als een functieteeken denken, dat eene herhaaling daarvan, dat is: i maal i, de negatieve eenheid tot uitkomst heeft; en dit stemt ook geheel met de vorige beschouwingen overeen. Dit denkbeeld nu is door Sir William Rowan Hamilton, den Royal Astronomer van Ierland, zeer geleidelijk dus uitgebreid, dat hij drie functieteekens aannam: i, j en k, die meetkundig konden voorgesteld worden door drie onderling loodregte assen; zoodanig dat zij, ieder voor zich verdubbeld of herhaald wordende, de negatieve eenheid telkens voortbragten; maar dat de verbinding of het product van twee hunner, of in dezelfde, of in tegengestelde orde genomen, de derde of het negatieve daarvan zouden voortbrengen. Hij noemde dit het stelsel der Quaternions. Wel moge het bij de eerste beschouwing vreemd schijnen, dat een product van teeken verandere bij omkeering in de orde der factoren: bedenken wij echter, hoeveel van het hier gesprokene den ouden als volstrekte onwaarheid zoude hebben in de ooren geklonken, zoude hebben aangedruischt tegen alle beginselen van wiskundige strengheid, hadden zij die gekend zoo als wij: bedenken wij, hoe misschien onze nazaten over ons zullen oordeelen, wanneer zij zien, dat de logische doorzetting van een begrip tot deze aanneming moest voeren: en schorsen wij liever ons oordeel op, dan voorbarig af te keuren, wat misschien van groot gewigt en voordeel in de wiskunde kan worden. Immers, het stelsel der quaternions, dat weder is uitgebreid en gewijzigd, heeft reeds op zich zelf beschouwd tot verrassende uitkomsten aanleiding gegeven 21).
Het zoude ons te ver voeren, indien wij de verschillende uitbreiding en [pag. 12] wijziging van dezelfde gedachte, zoo als die inzonderheid in Engeland een aantal vernuftige en scherpdenkende analysten bezig hield, in hare bijzonderheden wilden nagaan: het zij genoeg hier slechts te wijzen op de theorie der algerbraische koppels van John T. Graves 22), de symbolische algebra van George Peacock 23), de twee- en drievoudige algebra van Augustus de Morgan 24), de triplets van John T. en Charles Graves 25), de octaves of octomials van John T. Graves en Arthur Cayley 26), de tessarines van James Cockle 27), de biquaternions van Sir W. Rowan Hamilton 28), de pluquaternions van T.P. Kirkman 29), de clefs algébriques van Cauchy 30); alle berustende op zekere, vooruit aangenomen grondstellingen of met bepaalde bedoelingen opgestelde voorwaardens-vergelijkingen, en als logische gevolgtrekking daaruit voortvloeijende; op dergelijke wijze, als dit voor de quaternions is aangegeven. Zij plegen te zamen wel eens onder den naam van hyper-algebraische grootheden te worden begrepen 31).
Keeren wij terug tot de gewone stelkunde, dan vinden wij dadelijk een merkwaardig verband tusschen de zoogenaamd onbestaanbare grootheden en de bestaanbare. Vooreerst blijkt het, dat zij zich aan dezelfde regels bij de gewone grondbewerkingen onderwerpen, en daarbij weder telkens een tweeledige, complexe grootheid tot uitkomst opleveren. Slechts in enkele gevallen wordt die complexe grootheid tot eene bestaanbare. Het product bijv. van de som en het verschil van twee grootheden, waarvan dezelfde den factor i behoudt, is bestaanbaar; evenzeer de derde magt van den wortel uit minus drie, vermeerderd op verminderd met de eenheid. Men zoude dus hier even goed den onbestaandbaren als den bestaanbaren vorm gebruiken, wanneer deze grootheden in eenige rekening voorkwamen; en deze overeenstemming breidt zich nog verder uit. Men weet immers, dat de trigonometrische functien van een onbestaanbaar argument, die ook wel hyperbolische functien plegen genoemd te worden, zich door middel van exponentiele functien van het overeenkomstige, bestaanbare argument laten uitdrukken, en ook omgekeerd; -- dat er tusschen de cyclometrische functien en de logarithmen een dergelijk verband bestaat, zoodat eenige cyclometrische functie van eenige onbestaanbare grootheid volkomen gelijk is aan eene zekere bestaanbare logarithmische functie, [pag. 13] en omgekeerd: alles binnen zekere grenzen der waarde van het argument, en onder zekere voorwaarden omtrent de meervoudige waarden der genoemde functien. Ja, zelfs de geheele leer der meervoudige waarden heeft haar ontstaan te danken aan de zoogenaamd onbestaanbare grootheden, die dan ook daarbij eene groote rol spelen: herinneren wij daarbij slechts aan de rijke vruchten van den beroemden twist tusschen Leibnitz en d'Alembert over de logarithmen van negatieve en onbestaanbare grootheden 32). Er was een Cauchy noodig, om aan dezen twist op zulk eene wijze een einde te maken. Maar toch rijst de vraag, of het onbepaald geoorloofd is, in de analytische bewerkingen zulke onbestaanbare grootheden in te voeren; op deze grootheden de verschillende bewerkingen der analysis toe te passen, ook waar het oneindige reeksen bijv. betreft; of de einduitkomsten daarbij altijd alle vertrouwen verdienen, zoner telkens een nieuw, onafhankelijk bewijs harer geldigheid te behoeven? Deze vraag zal straks weder ter sprake komen.
Maar ook nu nog blijven er voor ons onbestaanbare grootheden op dit veld over, en wel bij de regtstreeksche, algemeene stelkundige oplossing der hoogere-magtsvergelijkingen. Voor die der eerste magt is zij van vroeger tijden reeds bekend, evenzeer als voor die der tweede magt. Voor die der derde en vierde magten hebben wij voor de eerste oplossingsmethoden slechts terug te gaan tot de dagen, waarin Italie vooral bakermat der zich ontwikkelende stelkunde was; mannen als Nicolao Tartaglia, Hieronymus Cardano en Ludovico Ferrari zijn genoeg bekend. Maar ook in lateren tijd is men veel gevorderd, niet alleen wat het ware begrip der wortels, maar evenzeer wat de methoden betreft, om die af te zonderen 33). Doch hier scheen zich ook voor het menschelijk vernuft, voor het menschelijk verstand een onzigtbare muur te verheffen, die alle bestorming en schijnbaar gelukte overrompeling wederstond. Ja, men begon te vermoeden, dat hier een einde aan ons weten was, en twee groote wiskunigen, de Italiaan Ruffini en de Zweed Abel wilden zelfs bewijzen, dat de algemeene oplossing van vijfde en hoogere-magtsvergelijkingen onmogelijk zoude zijn. Later heeft men zich met dit onderwerp in Engeland lang bezig gehouden en zich in vernuftige bespiegelingen hieromtrent verdiept; ten slotte heeft Jerrard volgehouden, dat die oplossing niet onmogelijk [pag. 14] is, mits men tot een nieuwe soort functien zijne toevlugt zoekt neme 34). Beslecht is dit pleit nog niet, maar wij schijnen ons toch ook hier weder aan de grens te bevinden, waar het schijnbaar onmogelijke wordt weggenomen door uitbreiding van begrippen.
Niet ten eenenmale vreemd aan deze laatste beschouwingen zijn de onbestaanbare of onmogelijke vergelijkingen, waaronder de congenerische vergelijkingen met wortelgrootheden eene voorname plaats bekleeden: zij worden geacht te behooren tot dezulke, waaraan geene waarde hoegenaamd der onbekende voldoet, die dus geenen wortel hebben. Ook deze zijn voornamelijk overwogen door engelsche wiskundigen, die in den regel zeer vernuftig en zeer gelukkig zijn in het behandelen van dergelijke, ietwat louter uit bespiegeling voortgesproten onderwerpen 35).
Een geheel nieuw soort van onbestaanbare, denkbeeldige grootheden zijn de oneindig kleinen; grootheden, kleiner dan eenige grootheid, die men zich kan voorstellen. Zij komen reeds bij Michel Stifel 36) voor, maar werden eerst door Johan Kepler, Bonaventura Cavalieri en John Wallis 37) in toepassing gebragt bij de inhoudsbepaling van kromme lijnen. Doch het was Leibnitz vooral, die dit begrip gebruikte en uitbreidde, toen hij de differentiaalrekening grondde. Sedert die dagen is er aanhoudend over haar bestaan getwist, is ten hare voordeele gestreden en hare verwerping geëischt; en ook thans nog staan de kampvechters in beide gelederen pas 38). Laat ons kortelijk kortelijk nagaan waaraan zij, hoe onbestaanbaar dan ook, dat langdurige bestaan te danken hebben. Het denkbeeld van de veranderingen eener functie met die van haar argument te meten, om bijv. nategaan, hoe de vergrooting van een vierkant afhangt van het grooter worden eener zijde daarvan, voerde tot deze oneindig kleinen, onder welken vorm en onder hoedanigen naam ook ingevoerd. Stel, om bij het genoemde voorbeeld te blijven, dat de zijde des vierkants met een oneindig klein vermeerdert, dan moet dit zoowel in de lengte als in de breedte plaats hebben; het verschil tusschen het nu ontstaande en het oorspronkelijke vierkant is vooreerst twee lijnen, volgens de lengte en volgens de breedte, ieder juist aan de oorspronkelijke zijde gelijk, en vervolgens het punt, waar die lijnen elkander snijden. Het eerste deel der aangroeijing, ten bedrage van de dubbele zijde, is nu de differentiaal van het vierkant; het tweede [pag. 15] deel, het snijpunt, is een oneindig klein der tweede orde, hier de tweede differentiaal. In het algemeen is bij een vlak de eerste differentiaal eene lijn, dat is een vlak met oneindig kleine breedte: de tweede differentiaal een punt, dat is een lijn met oneindig kleine lengte. En zoo kwam men tot het begrip van oneindig kleinen van hoogere orden: dat is van zulke grootheden, die in betrekking tot de voorgaande oneindig kleinen zelve weder oneindig klein werden. Op zich zelve beschouwd, bleven zij slechts denkbeeldige grootheden, en konden en moesten zij verwaarloost worden; alleen hare verhouding tot de oneindig kleine aangroeijing van de grootheid, waarvan zij afhangen, konde in aanmerking komen. Van daar, dat bij de aangroeijing van het vierkant het bovengenoemde snijpunt buiten rekening moest blijven. Deze aanschouwelijke wijze van voorstellen had veel innemends, en er behoeft hier wel niet opzettelijk op gewezen te worden, M.H., op den invloed, die deze beschouwingen op de wiskunde uitoefenden, op de ongekende, ongedachte, alle vermoeden verre achter zich latende uitbreiding, laat ons liever zeggen, geheele omkeering van die wetenschap, hieruit voortgesproten. Wat vroeger toch als hoogste doel eener beschouwing, eener onderzoeking mocht gelden, is thans slechts het begin daarvan; want niet alleen in de zuivere analysis, niet minder zelfs in de toepassing op de theorie van kromme lijnen en gebogen oppervlakken, is hare magtige werking openbaar geworden: ook de theorie der getallen, waarvoor aanvankelijk zulk werktuig ten eenenmale ongeschikt scheen, is thans aan hare beheersching onderworpen.
En toch, hoe was dit alles vroeger iets onmogelijks, iets denkbeeldigs. Ja, onze Huyghens, hoezeer ook zoo innig met de methode der ouden vertrouwd, dat hij bijna konde gezegd worden, de nieuwe methode te kunnen ontberen voor zijne fijne nasporingen en voor zijn diepgaand onderzoek; -- Huyghens erkende wel reeds den aanstaanden invloed van de theorie der fluctieen; maar daarentegen voor anderen zijner tijdgenooten, die toch ook niet misdeeld waren van wiskundige kennis, zoo als voor onzen Bernard Nieuwentijt 39), bleef zij iets onmogelijks, iets onwaars. Thans mogen wij ons verwonderen, dat Nieuwentijt de kracht der waarheid aldus konde miskennen: maar stellen wij ons, zoo mogelijk, op zijne plaats, in de heerschende denkbeelden van zijnen tijd, en erkennen [pag. 16] wij dankbaar, hoeveel gemakkelijker thans de waardering dier methode is; hoeveel wij thans boven hem zijn bevoorregt, nu die theorie der oneindig kleinen langzamerhand tot de theorie der grenzen, eigenlijk slechts eene wijziging van de exhaustie-methode der oudere wiskundigen, voerde; ja zelve daaruit menig ondergeschikt denkbeeld opnam. Het bleek daarbij al spoedig, dat deze veranderde opvatting alleen op de grondbegrippen zelve invloed uitoefende; maar dat de regelen der differentiaal-rekening, hare toepassing op de overige deelen der wiskunde, onveranderd bleven gelden: dat het hier eerder de meer of minder duidelijke voorstelling van het wezen der differentialen betrof, dan wel de uitkomsten voor ieder bijzonder geval. Er werden zelfs wiskundigen gevonden, die dezen overgang van het begrip der oneindig kleinen tot dat der grenzen louter door het aanbrengen van eene verbeteringsmethode wilden bewerkstelligen; die dus op zulk eene wijze aan het onbestaanbare een bestaan wilden verzekeren.
Was voor Nieuwentijt het begrip der tweede differentiaal reeds een bewijs voor de ongegrondheid, de onbestaanbaarheid dezer differentiaal-rekening, wat zoude hij wel gemeend hebben van iemand, die over differentialen met negatieven, met gebroken, ja met geheel willekeurigen aanwijzer 40) had gesproken? Dit zoude voorzeker, als een denkbeeldige toestand van eene op zich zelve reeds denkbeeldige grootheid, hem te meer onmogelijk, onbestaanbaar toegeschenen zijn. En toch, deze worden thans immers voor even geldig erkend, voor even bestaanbaar aangenomen, als vroeger de eerste differentialen zelfs tegenwerping vonden. Hierbij speelt eene groote rol, wat wij in onze taal ,,bewerkingsleer'' 41) zouden kunnen noemen, omdat bij deze de teekens der bewerkingen zelve met de aanwijzers, die daarbij eene herhaling of eenen zekeren graad of orde aanwijzen, als elementen in de rekening worden opgenomen en weder aan zekere bewerkingen worden onderworpen. Deze leert ons meermalen van het geval, waarin het aantal van zekere bewerkingen oorsponkelijk, als uit den aard der zake, door een geheelen aanwijzer wordt aangeduid, over te gaan tot het meer algemeene geval, waarbij die aanwijzer negatief, gebroken, onmeetbaar, ja zelfs geheel willekeurig wordt. Zulk een functieteeken met geheel willekeurigen aanwijzer mag voorzeker wel onder die begrippen gerangschikt [pag. 17] worden, welke, indien ze al eens bij een of anderen denker waren opgekomen, zeker toch in den regel tot de onbestaanbare, denkbeeldige zouden gerekend zijn. Vergeten wij daarentegen ook weder niet, dat diezelfde onmogelijkheid bij de leer der magten reeds zoodanig burgerrecht had verkregen, dat wij ons ter nauwernood meer bewust zijn van het bijzondere aan haar eigen; dat wij ons thans moeijelijk kunnen voorstellen, hoe in vroegeren tijd eene negatieve, ja zelfs eene gebroken magt zeker tot de onbestaanbare grootheden zoude behoord hebben: niet alleen als geheel strijdig met het oorspronkelijk begrip van magt, als kortere voorstelling van een produkt van eenige gelijke factoren, maar zelfs als alle overeenkomstig begrip geheel uitsluitende.
Ter loops moge hierbij gewaagd worden van eene dergelijke uitbreiding van begrippen bij de theorie der analytische faculteiten, dat is produkten van een zeker aantal, telkens met een gelijk verschil opklimmende, factoren. De overgang van deze grootheden tot de functie Gamma, of tot de Eulersche Integralen der tweede soort, bestaat eenvoudig daarin, dat de aanwijzer, die bij de eersten het aantal factoren aanduidt en derhalve een geheel getal is, hier eene willekeurige grootheid wordt. Denkt men zich beide grootheden in den vorm der integraal, zoo is de overgang van genoemde standvastigen uit den vorm van geheele getallen tot willekeurige waarden zeer geleidelijk en levert niets onnatuurlijks op; het onnatuurlijke, het onbestaanbare schijnt zich eerst te vertoonen, wanneer men ze zich voorstelt als de uitgedrukte waarden dier integraal.
Tegenover het oneindig kleine staat het oneindig groote op gelijke lijn. Wie is er, die ontkennen zoude, dat dit eigenlijk iets onmogelijks, iets denkbeeldigs voorstelt? En toch, men is gewoon, daarmede om te gaan; zoowel onbewust, wanneer men niet daarop acht geeft, dat het in eenige redenering ingewikkeld voorkomt; als bewust, wanneer men het als zoodanig invoert; men pleegt het te gebruiken en te misbruiken, tot dat men eenmaal bij ondervinding leert, hoe hier inderdaad de schijn ons op dwaalwegen voeren kan. Wie telt de drogredenen, steunende op het verkeerd gebruik van het oneindig groot? Wie de valsche uitkomsten, die zelfs groote wiskundigen vaak verkregen door niet genoegzaam op het oneindig groot te letten 42)? Vanwaar toch komt dit? Vanwaar, dat wij ons over [pag. 18] het werkelijk onbestaanbare van dit begrip niet bekommeren, terwijl anders het schijnbaar onbestaanbare ons dikwerf doet terugdeinzen? Het is, omdat wij geneigd zijn te vergeten, dat het oneindig groot geene grootheid meer is in den eigenlijken, in den waren zin des woords; dat wij derhalve ook als zoodanig in onze rekeningen niet meer mogen beschouwen of invoeren. Zelfs de eenvoudigste grondwaarheden falen hier; het ,,gelijke grootheden met gelijke grootheden vermeerderd of verminderd, geven gelijke sommen of verschillen'' is hier onwaar: alle vergelijking tusschen deze geheel ongelijksoortige grootheden, de eindige en de oneindige, houdt op, omdat de maatstaf van vergelijking ten eenenmale ontbreekt.
Deze eenvoudige waarheid is evenwel nog niet oud. Het is nog zoo lang niet geleden, --zoude het thans nimmer voorkomen? -- dat de grootste wiskundigen haar niet gedachten; dat zij slechts voortgingen met hunne redeneringen, zonder zich aan haar te storen. Dan, de uitkomsten deden ten slotte iets onbestaanbaars, iets onwaars in die redeneringen onderstellen; men ging terug, om dat op te zoeken; en zie daar, onder de meesterhand van eenen Cauchy ontstond de theorie van de convergentie en de divergentie der reeksen 43), de leer, die dienen moest om te bepalen, wanneer eene in het oneindig voortlopende reeks door eene gesloten uitdrukking konde worden voorgesteld, konde geacht worden een vastbepaalde waarde te bezitten; wanneer daarentegen zulke gelijkstelling ongeoorloofd was. Deelt men bijv. de eenheid door één meer dan eene zekere grootheid, dan is het quotient eene reeks van termen, die de opvolgende magten dier grootheid tot waarde hebben, en met een telkens afwisselend teeken voorzien zijn. Verwaarloost men de rest, dan wordt die reeks eene oneindige; en nu ontstaat de vraag: wanneer mag men die oneindige reeks voor de breuk in de plaats schrijven? of ook: wanneer zal de rest als verdwijnend kunnen worden beschouwd en dus gerustelijk kunnen worden verwaarloosd? Dit nu blijkt geoorloofd te zijn, wanneer die grootheid kleiner is dan de eenheid: de reeks is dan convergent, nadert al meer en meer tot de waarheid; --het is ongeoorloofd, wanneer die grootheid grooter dan de eenheid is: dan is de reeks divergent, verwijdert zich hoe langer zoo meer van de waarde der breuk. Men kan evenwel diezelfde breuk ook ontwikkelen in eene reeks, waarvan de termen, [pag. 19] die mede telkens van teeken verwisselen, voorgesteld worden door de opeenvolgende negatieve magten van die gegeven grootheid. Bij deze geldt nu de omgekeerde redenering van daar straks: is de grootheid kleiner dan de eenheid, zoo worden hier de termen telkens grooter, en de oneindige reeks wordt divergent; is die grootheid daarentegen grooter dan één, zoo worden de termen steeds kleiner, en de reeks is convergent. Iedere der beide reeksen geldt dus telkens slechts voor die waarden der grootheid, welke bij de andere juist uitgesloten zijn. En toch is het wel eens gebeurd, ook in lateren tijd, dat beide ontwikkelingen aan elkander gelijk werden gesteld! Tot zulke ongerijmdheden voert het verwaarloozen van de regels der convergentie en divergentie. Maar hoe is het dan, vraagt Gij misschien, M.H., wanneer die grootheid juist de eenheid zelve is? Ja, dan worden beide reeksen volkomen gelijk en vormen zij de zoogenaamde reeks van Leibnitz; maar ook dan hebben zij volstrekt geene beteekenis, vertegenwoordigen zij geene waarde hoegenaamd: want dan bestaat de reeks uit eene opeenvolging van eenheden, met telkens afwisselend teeken, die toch niet met de waarde van de breuk, een half, overeenkomt; ook in dit geval is dus de reeks divergent.
Thans worden door vele wiskundigen alle niet convergente reeksen als onbestaanbaar verworpen en geheel uit de beschouwingen en berekeningen verbannen: het is echter niet onmogelijk, niet onwaarschijnlijk zelfs, dat naderhand ook deze, al zij het dan altijd met de noodige voorzigtigheidsmaatregelen, weder in de leer der functien zullen worden toegelaten; of liever, dat men bij het bezigen van reeksen niet eerst omtrent hare al of niet convergentie een dikwijls moeijelijk onderzoek zal behoeven in te stellen, maar eerst aan het slot der redenering eene verbetering zal behooren aan te brengen, ter opheffing van de eerst verwaarloosde fouten. Vooralsnog echter moeten wij ons scharen onder hen, die zich wachten voor het gebruik van divergente reeksen, als werkelijk onbestaanbaar zijnde en tot valsche uitkomsten aanleiding gevende.
In naauw verband met deze leer staat die van de continuiteit en discontinuiteit der functien 44), in zooverre deze namelijk in het eerste met convergente, in het laatste met divergente reeksen zamenhangen. Continue functien toch zijn zulke, die met haar argument geregeld, onafgebroken [pag. 20] van waarde veranderen; discontinue zulke, waar zoodanige veranderingen plotseling plaats grijpen, waar zij afgebroken worden, of waar de functie soms voor eenige waarde van het argument oneindig groot wordt. Deelen wij bijv. de eenheid door de eenheid verminderd met de tweede magt van zekere grootheid, dan wordt die breuk, --hetzij wij die grootheid van nul, hetzij wij die bijv. van twee, gestadig tot de eenheid doen naderen,-- in getallenwaarde hoe langer zoo grooter. Op het oogenblik, dat die grootheid werkelijk de eenheid bereikt, wordt de noemer nul, en de breuk zelve wordt oneindig groot: de breuk is voor die waarde discontinu, daar zij van het positief oneindige naar het negatief oneindige overspringt; buiten die waarde is zij continu. Stel nu, dat wij de breuk voor alle mogelijke waarden van die grootheid, welke tusschen twee standvastige getallen gelegen zijn, moeten sommeren, dat is, dat men de waarde eener bepaalde integraal moet zoeken, tusschen twee gegeven grenzen, van de differentiaal van x, gedeeld door één min het quadraat van x, zoo vinden wij daarvoor een zekeren logarithmus. Zijn de grenzen beide grooter of kleinder dan de eenheid, dan blijft de breuk steeds continu, en heeft het gevraagde geen bezwaar; ligt echter de eenheid tusschen beide grenzen van het integreren, dan wordt de breuk tusschen de grenzen discontinu; en ontstaat de vraag, wat er nu van die waarde wordt? Is zij al dan niet onbestaanbaar? Die toestand, deze vraag en dergelijke vragen meer, die bij discontinue functien kunnen voorkomen, werden vroeger over het hoofd gezien; en eerst nadat het gebleken was, dat zulks tot misslagen aanleiding gaf, kwam men daarop terug, en maakte die vraag een punt van gezette overweging uit. Het was weder Cauchy, die in deze theorie der continuiteit belangrijke onderzoekingen aan het licht bragt, in het genoemde geval van eene bepaalde integraal voornamelijk door zijne theorie van singuliere integralen en de rekening der residuen. Het is toch vooral in de theorie der bepaalde integralen, dat deze beschouwingen eene groote rol spelen: toen vroeger de gevallen van discontinuiteit veelal over het hoofd pleegden gezien te worden, gaf dit tot groot verschil van gevoelen en tot vele valsche uitkomsten aanleiding; ja, van hoe groot belang ook de overweging omtrent continuiteit en discontinuiteit blijkt te zijn, wordt zij echter in den regel ook [pag. 21] thans nog te weinig in toepassing gebragt, te dikwijls over het hoofd gezien. --Op den arbeid van Cauchy steunende, is sedert door Briot en Bouquet 45) eene theorie geleverd van de perioden der functien, ook van onbestaanbare grootheden, ten opzigte van hare continuiteit; een stelsel dat van fijn onderzoek getuigt, en nog in de toekomst teregt veel vruchtbaarheid belooft. Dit onderzoek had vooral ten doel, de straks geopperde vraag te onderzoeken, in hoeverre en wanneer het geoorloofd zij, de gewone regels der analysis ook op complexe grootheden toe te passen; --welke voorzigtigheidsmaatregelen daarbij zijn in acht te nemen.
Bij deze methode zoowel als bij het onderzoek omtrent meer dan een der vroeger aangestipte punten, is de analytische meetkunde van Descartes, zoowel als de nieuwere meetkunde, in het algemeen de theorie van lijnen en oppervlakken, van veelzijdig nut, ja veelal is zij geheel onmisbaar tot het vormen van zuivere begrippen. En ook op dit gebied ontbreekt zelf het zoogenaamd onbestaanbare niet, en is evenmin de verklaring daarvan onvruchtbaar achterwege gebleven: integendeel heeft zij ook hier tot grooter verruiming van begrippen aanleiding gegeven, al zij het dan ook veelal in gansch andere rigting dan in het vorige besproken werd.
Herinneren wij ons de meetkundige voorstelling van de oplossing der hoogere-magtsvergelijkingen; hoe door eene evenwijdige verplaatsing der as, dat is door de verandering van den standvastigen term in eene vergelijking, twee wortels eerst tot gelijkheid kunnen worden gebragt, wanneer die as van snijlijn tot raaklijn overgaat; hoe die wortels later onbestaanbaar worden, of liever gezegd verdwijnen, wanneer die as buiten de kromme lijn ligt; dan bleef hier de vraag, wat er met die beide wortels eigenlijk geschiedde? Deze vraag is thans voldoende beantwoord door het aanwijzen van andere, nieuwe takken der kromme lijn, die mede tot de voorstelling der bewuste vergelijking behooren; takken, die in een loodregt vlak gelegen zijn, en de oorspronkelijke kromme, in het oorspronkelijke vlak begrepen, aanraken in zekere punten, overeenstemmende met een paar gelijke wortels: ieder van zulke takken wijst dus minstens een paar onbestaanbare wortels aan, waarvan het bestaanbare deel gelijk moet zijn. Deze beschouwing komt geheel overeen met de vroeger vermelde voorstelling [pag. 22] der zoogenaamd onbestaanbare grootheid i, de loodlijn namelijk, hier het loodregte vlak; zij heeft reeds tot gewigtige uitkomsten geleid.
Wij zouden thans nog moeten spreken over de onbestaanbare of denkbeeldige punten en stralen en raaklijnen, die in de nieuwere meetkunde eene voorname rol spelen, en tot zulke uitbreiding van begrippen aanleiding hebben gegeven: dan zulks zoude op deze plaats, zonder eenige hulpmiddelen tot toelichting en ondersteuning van het gesproken woord, moeijelijk zijn. Alleen moge hier als voorbeeld gewezen worden op de chordaal van twee cirkels. Snijden deze beide cirkels elkander, zoo staat de gemeenschappelijke koorde loodregt op het gemeenschappelijke stuk van de lijn die de middelpunten vereenigt; en verdeelt dat segment in bepaalde reden. Liggen nu de cirkels buiten elkander, dan wordt dat gemeenschappelijk segment vervangen door den uitwendigen afstand tusschen de omtrekken; wordt ook deze in eene door dezelfde wet bepaalde reden verdeeld, en uit dat punt eene loodlijn opgerigt. Alzoo heeft men de chordaal, die in eigenschappen met de gemeenschappelijke koorde overeen komt, --zij verdeelt bijv. de raaklijnen, die beide cirkels gemeen hebben, tusschen de raakpunten, in twee gelijke deelen -- en dus als een denkbeeldig geval daarvan kan worden opgevat. Zoo als reeds werd opgemerkt, heeft de beschouwing van dergelijke denkbeeldige toestanden een gewigtigen invloed op de nieuwere meetkunde uitgeoefend.

Gij zaagt het M.H., het onbestaanbare, het denkbeeldige is meermalen in de geschiedenis der wiskunde voorgekomen, hetzij men daarop stuitte, en den weg in die rigting voor immer gesloten waande; hetzij men onbewust daarover was heengestapt, of het ter zijde had laten liggen, en men eerst door latere uitkomsten genoodzaakt werd, op den betreden weg terug te keeren, ten einde den oorsprong van de verkeerde uitkomsten op te sporen. Doch Gij zaagt tevens, hoe, zoowel in het eene als in het andere geval, juist zulke onbestaanbare grootheden gereede aanleiding gaven tot de grootste ontdekkingen in de wiskunde, en hoe zij strekten tot uitbreiding der begrippen; hoe zij dienden om die wetenschap te zuiveren van verkeerde of onvaste grondstellingen, om haar allengs dat karakter van zekerheid te doen toekomen, dat haar bij uitnemendheid ten [pag. 23] kenmerk strekt. Gij erkendet daarin de magt van het onbestaanbare. Maar Gij zaagt eindelijk ook, hoe er nog, vooreerst althans, werkelijk onbestaanbaren voor ons overblijven, wachtende op den eenen of anderen meester, die ze zal komen oplossen.
Maar ook voor ons, M.H., al zijn wij zulke meesters, kan het gezegde, hoe kortelijk dan ook aangestipt, van nut wezen. Het kan ons doen gevoelen, waar de klippen liggen, die hetzij boven de golven uitsteken, hetzij onder de baren bedolven zijn. Het kan ons voorzigtigheid leeren in het uitspreken onzer oordeelen, gematigdheid bij het beoordeelen van anderen, die onze opvatting der waarheid niet deelen. Het kan ons tot eene strenge methode voor ons zelven voeren, opdat ook wij misschien een of anderen steen voor het gebouw der wetenschap mogten aanbrengen: is die weg niet de gemakkelijkste, zij belooft de zekerste uitkomsten. En mogt het ons gelukken, zulk eenen steen magtig te worden: de zelfvoldoening, de dankbaarheid over zulke vondst zal menige zure stonde verzoeten, zal menigen zwaren arbeid geheel doen vergeten, wat zeg ik! ze doen zegenen. Mogten velen onzer zulke oogenblikken op hunnen levensweg ontmoeten.


En thans wend ik mij tot U, Edelgroothachtbare Heeren, Curatoren dezer Hoogeschool! Gij hebt aanleiding willen geven, dat de Regering haar blik op mij vestigde, om mij eenen nieuwen leerstoel aan deze Hoogeschool te doen innemen. Wilt U overtuigd houden, bid ik U, dat dit bewijs van vertrouwen mij den moed gaf, om van eenen in vele opzigten geheel onderscheiden werkkring en uit betrekkingen van gansch anderen aard over te gaan op den baan, waarop ik mij voortaan zal hebben te bewegen. Dat daartoe moed noodig was, --dat die ook thans mij noodig is bij het besef van zooveel, dat mij ontbreekt voor de betrekking, die ik aanvaard, gevoel ik levendig ook op dezen stond. Immers, de taak van de faculteit der wis- en natuurkundige wetenschappen aan onze Hoogeschool staat in regtstreekschen zin eene ruimere te worden, dan zij vroeger wel mogt heeten: de studie, met name die van de hoogere deelen der wiskunde, heeft het vooruitzigt zich in een grooter getal beoefenaars te zullen verheugen, [pag. 24] dan wel tot heden het geval plagt te zijn; --nu weinige maanden geleden bij de wet geregeld werd, wat toegepaste wetenschap mag genoemd worden. Daarbij zullen er inrigtingen ontstaan, die voldoen moeten aan de behoeften naar praktische vorming van het nijvere deel onzer medeburgers; behoeften, zoo innig, al zij het dan ook veelal nog zoo onbestemd en onzeker gevoeld en uitgedrukt. Doch zulke inrigtingen vereischen onderwijzers, die, hunne roeping ten volle bewust, komen putten aan de bron der wetenschap, om daar kennis te vergaderen en geschiktheid op te doen voor hunne volgende betrekking. Zulken wacht Gij hier aan deze Hoogeschool, en alzoo kan deze ook de vruchtbare stam worden van eene in rigting geheel onderscheidene tak van onderwijs. Van mij wordt verwacht, dat ik medewerke bij deze opleiding: ik gevoel mij bereid, om mijne beste krachten te wijden aan de taak mij voorgesteld; eene taak, die, al moge zij moeijelijk wezen, toch ook zeker eene schoone mag genoemd worden. En daarbij steun ik op Uwen bijstand, op Uwe aanmoediging, waar ik die behoeven mogt.
En Gij, Hooggeleerde Heeren! Hoogleeraren aan deze Hoogeschool, waar ik mijne opleiding mogt ontvangen. Ik zie onder U nog de meeste mijner vroegere leermeesters, die mij den tempel der wetenschap hebben ingeleid. Met U werd, sedert ik deze Hoogeschool verliet, de betrekking niet verbroken: en van zoo velen Uwer mogt ik, waar wij elkander ontmoetten, steeds zoovele bewijzen van belangstelling, van vriendschap ondervinden: blijve die vriendschap ook thans mijn deel, nu ik geroepen word, naast U eene eervolle plaats in te nemen; zij zal mij helpen en ondersteunen bij mijne ernstige pogingen, om het mijne bij te brengen tot het volvoeren onzer gemeenschappelijke taak.
Dit zij niet het minst noch het laatst tot U gezegd, hooggeschatte Verdam! mijnen voormaligen promotor, dien ik steeds als vriend mogt blijven waardeeren, en dien ik heden voor het eerst als ambtgenoot ter zijde treed. Het zijn de lessen, vroeger van U genoten, de wenken, die Gij mij voortijds gaaft, welke de rigting mijner studien hebben helpen bepalen, welke mij thans in staat moeten stellen, zelf naast U in het onderwijs dierzelfde vakken op te treden, met U aan hetzelfde werk gezamenlijk te arbeiden. De herinnering aan Uw voorbeeld moge mij steeds [pag. 25] eene opwekking zijn tot het volijverig en naauwgezet volbrengen der taak, die mij wacht.
Die taak heb ik ook met U te deelen, mijne vroegere academiebroeders! die mij hierheen zijt voorgegaan. Één was vroeger ons doel: toe te nemen in kennis en beschaving; één moge ook thans weder ons streven wezen, nu het geldt, anderen te leiden en te ondersteunen bij hunne pogingen.
Bij dat doel toch, al mijne ambtgenooten! verdwijnt het onderscheid tusschen de verschillende leerstoelen, tusschen de onderscheidene faculteiten: het is het zoeken naar de waarheid, dat wij ons voorstellen; en zoo straks heb ik getracht aan te wijzen, hoe het onbevooroordeeld zoeken als van zelf ons omzigtig maakt in het handhaven van eigen meening, gematigd in het beoordeelen der meeningen van anderen. Zulke stemming geeft den zekersten grondslag voor een welwillend zamenwerken, ook dáár, waar de rigtingen zich onderling verre verwijderen, ja geheel tegenovergesteld zouden schijnen te zijn. Daarom beveel ik mij ten zeerste in Uw aller medewerking, in Uw aller ondersteuning, in Uw aller vriendschap aan.
Wanneer ik mij zoo even in het verledene terug bewoog, hoe zoude het dan anders kunnen, dan dat ik U herdenke, geliefde Vader! U, die van den beginne aan mijn trouwe leidsman waart, die mij van lieverlede de rigting zaagt nemen van mijnen tegenwoordigen loopbaan. Gij hebt mij dit steeds gemakkelijk gemaakt, mij met raad en daad gesteund, mij getoond, hoe men vooreerst en vooral mensch moet worden. Ik dank God, voor mij zelven en voor U, dat hij U in het leven spaarde en mij gunde, U hier op dezen dag van deze plaats te begroeten. Ontbreken mij de woorden, om U uit te drukken, wat ik op dezen stond gevoel, Gij gevoelt het met mij en verstaat ook de onuitgesproken woorden.
En thans rigt ik het woord tot U, Weledele Heeren, Studenten aan deze Hoogeschool! Gij, die het tegenwoordige vertegenwoordigt, die nu zijt, wat ik voor ruim drie vijftallen jaren was; ik acht het een groot, een hoog te waarderen voorregt, geroepen te zijn, met U mede te werken, U ter zijde te staan in het vergaderen van nuttige kennis, in de beschaving des geestes. Ik verbloem mij het moeijelijke dier taak geenzins: want niet gemakkelijk altijd is de weg der wetenschap; maar wanneer [pag. 26] wij met welgemeenden ijver te zamen trachten naar het grootsche doel, dat U naar deze schole drijft, dan verminderen en verdwijnen de doornen, dan worden de rozen onze des te zoeter belooning. Opregtelijk en met vertrouwen reik ik U de vriendenhand, om dien weg te bewandelen; neemt haar aan, zoo als zij U wordt aangeboden: dan kunnen zelfs de moeijelijkheden die wij ontmoeten, juist de middelen worden, om een te schooner doel te bereiken. Moge dan onze gezamenlijke arbeid gewenschte vruchten dragen en medewerken tot de bloei dezer Hoogeschool.
Dat zij zoo.




Noten

1) Leonhard Euler, die reusachtig arbeidende wiskundige, heeft niet alleen gedurende zijn leven de akademische werken van St. Petersburg, Berlijn enz. telken jare met zijne verhandelingen verrijkt, maar heeft nog zulk een schat van handschrift achtergelaten, dat tot op eene halve eeuw na zijnen dood de drie reeksen verhandelingen der Petersburger akademie - - de Acta van T. IV. P. II tot T. VI, de Noav Acta T. I-XIII, de Mémoires T. I-XI, waarvan het XIe deel, in 1830 uitgekomen, alleen diende om alle overgebleven verhandelingen, zoo als men toen meende, optenemen, -- daarmede konde prijken en telkens der wetenschap tot nieuw voedsel verstrekken. Toen bevatten de werken der Petersburger akademie over de 500, die der Berlijnsche 120, die der Fransche 14, die van Leipzig 10, die der Turijnsche 6 verhandelingen, behalve het tal van werken, die afzonderlijk zijn uitgegeven; -- en toch is het gebleken, dat er nog een groot getal onuitgegeven verhandelingen voorhanden waren, alle van regtstreeks belang voor de wetenschap. --
Zie N. Fuss, Éloge de L. Euler. St. Pétersbourg, 1783. 4o (waarvan eene hoogduistche vertaling van den schrijver zelven het licht zag: *N. Fuss, Lobrebe auf Herrn Leonhard Euler. Berol. 1786. 8o). -- Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII siècle. St. Pétersb. 1843. II Tomes. 8o. -- *P.N. Fuss, Nachricht über eine Sammlung unedirter Handschriften L. Eulers. Petersb. 1848. in 8o (overdruk van Bull. de la Classe phys. et math. de l'Acad. Imp. de St. Pétersb. T. 7. A. 1849. p. 337-368.

De met * geteekende werken zijn in mijn bezit. Omtrent de ongeteekende ontbrak mij tijd en
gelegenheid de afzonderlijke werken nategaan. De aanhalingen uit tijdschriften of Acta zijn in den
regel door mij nagezien.



2) Om zich van de onvermoeide werkzaamheid van Augustin Louis Cauchy een denkbeeld te maken, behoeft men slechts in te zien zijne Exercices de mathématique. V Vol. [pag. 28] Paris 1826-1830. 4o. -- *Résumés analytiques. 5 No. Turin. 1833. 4o. -- Nouveaux exercices de mathématique. II Vol. Prague. 1835, 36. 4o. -- Exercices d'analyse et de physique mathématique. IV Vol. Paris. 1838- 1847. 4o -- en de Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences de Paris. T. 4-44 A. 1837- 1857. Bovendien zijn nog in de werken der Fransche akademie, het Journal d l'Ecole Polytechnique, enz. vele verhandelingen en prijsschriften van hem opgenomen, terwijl hij nog een groot getal afzonderlijke werken uitgaf.

3) Over Pierre Fermat van Toulouse, wiens stellingen over priemgetallen, en de ontbinding van getallen in sommen van gelijknamige magten, bekend zijn, en die in verband daarmede de Analysis van Diophantus, een gedeelte van de leer der onbepaalde vergelijkingen, zulke uitbreiding deed ondergaan, zie men o.a.: *E. Brassine. Précis des oeuvres mathématiques de P. Fermat et de l'arthmétique de Diophante. Paris 1853. 8o.

4) Het werkje van Matthew Stewart, -- Some general Theorems of considerable use in the higher parts of Mathematics. Edinburgh 1746, -- heeft tot voor eenige jaren vele geleerden bezig gehouden. Zie o.a.:
R. Small, edinburgh Philos. Trans. V. 2. A. 1790. p. 112-134. Demonstrations of some of Dr. Matthew Stewart's General Theorems. -- C. Babbage, Journal Royal Instit., V. 1. A. 1817. p. 6-24. Demonstration of some of Dr. Matthew Stewart's General Theorems, to which is added an Account of some new Properties of the Circle. -- R. Leslie Ellis, Cambr. Math. Journ. V. 2. A. 1841. p. 271-276. Analytical Demonstration of Dr. Matthew Stewart's Theorems. -- G. Wilson, Proceed. Edinburgh Phil. Soc. V. 1. A. 1832-1844. p. 471. On Dr. Matthew Stewart's General Theorems. -- T.S. Davies, Edinburgh Philos. Trans. V. 15. A. 1844. p. 573-608. Analystical Discussion of Dr. Matthew Stewart's General Theorems. -- Breton (de Champ) Journal de Math. de J. Liouville. T. 13. A. 1848. p. 281-332. Analyse de l'ouvrage de Stewart, intitulé: ,,Quelques théorèmes généraux d'un grand usage dans les hautes mathématiques.''

5) De werken van Jacob Steiner vindt men voornamelijk bijeen in het Journal für die reine und angewandte Mathematik von A.L. Crelle, en wel in de 55 eerste deelen, 1826 tot 1858. Die verhandelingen zijn 54 in getal; 27 daarvan zijn geheel of grootendeels lijsten van opgaven en stellingen, meerendeels zonder bewijzen: zij bevatten een rijke schat van arbeid ter bewerking voor den nakomeling.

6) Dit handschrift werd in 1810 door Silvestre de Sacy in de bibliotheek van de oude Abdij St. Germain des Près ontdekt: verg. diens Grammaire Arabe. 1810. Zie ook A. von Humboldt, Crelle's Journal. Bd. 4. S. S. 205-231. -- Woepcke, Journal Asiatique. 1854. p. 358.

7) Zie hierover A. von Humbodt, l.c. --Böckh, Sommercatalog. 1841. -- Friedlein, Gerbert, die Geometrie des Boethius, und die indische Ziffern. Erlangen. 1861.

8) Over de slecht begrepen Geometrie van Boethius en den abacus van Gerbert is in lateren tijd veel geschreven, o.a. door *Chasles, Compt. Rend. 1843.

9) Veel is er getwist over de vraag, of wij ons getalstelsel aan de Arabieren te danken hebben, dan wel of wij en zij uit eene vroegere bron hebben geput bij oudere wiskundigen. Hierover, zoowel als over getalstelsels in het algemeen, kan men behalve de in Noot 6-8 aangehaalde werken nog nazien:
J. Dirney, Journal of Roy. Instit. V. 1. A. 1817. p. 166- 168. Conjectures respecting the original Formation of the Arabic Digits. -- Journal of Roy. Instit. V. 2. A. 1817. p. 147. On the original Formation of the Arabic Digits. -- Journal of Roy. Instit. V. 5. A. 1818. p. 323. On the original Formation of the Arabic Digits. -- Decaphilus, Phil. Mag. V. 64. A. 1824. p. 362-267 On weights and measures and on numerical Notation. -- A. von Humboldt, Journ. v. Crelle. Bd. 4. A. 1829. S. 205-231. Ueber die bei verschiedenen Völkern üblichen Systemen von Zahlzeichen und über den Ursprung des Stellenwehrtes in den indischen Zahlen. -- A. von Humboldt, Quart. Journ. Roy. Instit. V. 29. A. 1830. p. 300-331. On the System of Numerical Signs used by different Nations, and on the origin of the Expression of Values by Position in the Indian Numbers. -- Chasles, Compt. Rend. T. 6 A. 1838. p. 678-680. De la connaissance qu'ont eue les anciens d'une numération décimale écrite qui fait usage de neuf chiffres, prenant des valeurs de position. -- Chasles, Compt. Rend. T. 8. A. 1839. p. 72-81. Sur l'origine de notre système de numération. -- Vincent, Compt. Rend. T. 8 A. 1839. p. 338-340. Note sur l'origine de nos chiffres. -- Roulin, Compt. Rend. T. 8. A. 1839. p. 971, 972. Sur une date du 12e siècle écrite en chiffres Romains avec valeur de postion. -- Chasles, Compt. Rend. T. 9. A. 1839. p. 447. Note sur l'Abacus. -- Libri, Compt. Rend. T. 9. A. 1839. p. 447, 448, 452-454, 469, 470. Remarques sur cette Note. -- Chasles, Compt. Rend. T. 9. A. 1839. p. 448-442, 463-469, 470. Réponses à ces remarques. -- Vincent, Journ. de Liouville. T. 4. A. 1839. p. 261-280. Note sur l'origine de nos chiffres et sur l'Abacus des Pythagoriciens. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag. Vol. 15. A. 1839. p. 447-450. On the Connexion between the Boetian and the Middle-Arabic numerical Forms. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag. Vol. 16 A. 1840. p. 51, 52. Observations on the Authenticity of the Passage in the Treatise of Boethius ,,de Geometria'' on Numeical contractions. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag. Vol. 16. A. 1840. p. 136-138. New Researches on the true Nature of the Boetian Contractions, especially with reference to the Explanation given by M. Chasles. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag. Vol. 16. A. 1840. p. 221, 222. Additional Note on the Authenticity of the Disputed Passage in the Treatise of Boethius ,,de Geometria'' on Numerical Contractions. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag. Vol. 18. A. 1841. p.13, 14. On the Impossibility of the Boetian System of numerical Contradictions and the Alalbaldine Notation having had a common Origin. -- [p. 30] *G. Libri, Histoire des science mathématiques en Italie. IV. Vol. Paris 1831-41. 8o. -- J.O. Halliwell, Proceed. Irish Soc. V. 1. A. 1841. p. 386, 387. An inquiry into the Period of of the first Use of the Zero. -- J.O. Halliwell, Proceed. Irish Soc. V. 1. A. 1841. p. 415- 420. On the Boetian Numerical Notation. -- *G.H.L. Nesselmann, Die Algebra der Griechen. Berl. 1842. 8o. -- Gerhardt, Arch. von Grunert. Bd. 2. A. 1842. S. 427-431. Ueber den Ursprung und die Verbreitung unseres gegenwärtigen Zahlensystemes. -- Vincent, Compt. Rendu. T. 14. A. 1842. p. 43, 44Sur un certain emploi que faisaent les Romains dàs le 2e ou le 3e siècle de notre ère, des valeurs de position pour l'expression des nombres. -- Chasles, Compt. Rendu. T. 14. A. 1842. p. 547- 559. Eclaircissements sur le traité de Numero Arenae d'Archimède. -- Chasles, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 156-173. Explication des traités;s de l'Abacus, et particulièrement du traité de Gerbert. -- Libri, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 215, 216. Remarques. -- Chasles, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 216-246. Règles de l'Abacus. -- Chasles, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 281- 299. Analyse et Explication du Traité de Herbert. -- Chasles, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 1393-1420. Développements et détails historique sur divers points du système de l'Abacus. -- Chasles, Compt. Rend. T. 17. A. 1843. p. 143-154. Recherches des traces du système de l'Abacus après que cette méthode a pris le nom d'Algorithme. -- Preuves qu'a toutes les époques jusqu'au 16e siècle on a su que l'Arithmétique vulgaire avait pour origine cette méthode ancienne. -- *A. Arneth, Die Geschichte der reinen Mathematik. Stuttg. 1852. 8o. -- Cantor, Zeitschr. v. Schlömilch. B. 1. A. 1856. S. 65-74. Ueber die Einfürung unserer gegenwärtiger Ziffern in Europa. -- Terquem, Bull. de Bibl. A. 1857. p. 1- 4. Sur l'existence prétendu, dans le Massorah, d'un nombre exprimé selon un système de position. Epoque présumée d'admission chez les Arabes. Origine du signe [oneindig]. -- Cantor, Zeitschr. v. Schlöm. B. 3. A. 1858. S. 325-341. Zur Geschichte der Zahlzeichen. -- &M. Cantoe, Mathematische Beiträge zur Kulturlehre der Völker. Halle 1863. 8o. (Dit laatste werk bevat eene grondige doorwerkte geschiedenis, ook der getalstelsels, en is met eene menigte uitvoerige aanteekeningen verrijkt.)

10) De ,,Geométrie'' van Renatus Descartes zag in 1637 het licht. Zij werd in 1649, met de ,,Notes'' van Florimond de Beaune, door Franciscus van Schooten in het latijn vertaald, en, met ,,Comentarii'' en een ,,Additamentum'' verrijkt, te Leiden in 4o uitgegeven. Reeds in 1659 verscheen, mede te Leiden, een tweede druk in II Dl. 4o, waarin nog verschillende zeer belangrijke stukken van Johannes Hudden, Fr. van Schooten, Henricus van Heuraet, Johannes de Witt zijn opgenomen.
Ook Jacobus van Wassenaer, Christiaan Huygens en R.F. Slusius bragten het hunne bij tot ontwikkeling van dit nieuwe gedeelte der wiskunde. Zie verder *P. Cl. Rabuel, Commentaires sur la géométrie de M. Descartes. Lyon. 1730. 4o. -- *J.P. de Gua de Malves, Usages de l'analyse de Descartes. Paris. 1740. 8o.

11) Deze verwarring wilde Carnot trachten te voorkomen door het invoeren der benamingen ,,direct'' en ,,inverse'' (zie *L.N.M. Carnot, De la corrélation des figures en géométrie. Paris. 1801. 4o.), in onbewuste navolging van E. de Velay, Introduction à l'Algébre. Lausanne 1799. Zie verder L.N.M. Carnot, Géométrie de position. Paris 1803. 4o.; van welk thans reeds zeldzame werk H.C. Schumacher eene hoogduitsche vertaling gaf, onder den titel *Carnot, Geometrie der Stellung. Altona. 1808. II Bd. 8o., die veel meer bekend is dan het oorspronkelijke werk. Ook N.F. Canard schreef hierover in zijn *Traité Élémentaire du Calcul des Inéquations. Paris. 1808. VIII et 477 pages in 8o., waar hij bl. 56 de beide beteekenissen van het minus-teeken ondescheidt in de ,,quantités métanégatives et pronégatives.''

12) W. Frend, Principles of Algebra. London 1796. -- Zie ook W. Frend, True Theory of Equations. London. 1799, met een bijvoegsel van Fr. Maseres. -- *Fr. Maseres, A Dissertation on the Use of the Negative Sign in Algebra. London. 1758. 4o. In de Phil. Trans. 1780. p. 221, schreef Maseres: ,,Geometry and Algebra (for if we banish from it the ridiculous mysteries arising from the supposition of negative quantities, or quantities less than nothing, the latter may deserve the name of a science as well as the former).''

13) Tot de bibliographie der positieve en negatieve grootheden behooren o.a.: C.H. Krausen, Sendschreiben an Herrn W.J.G. Karsten. Leipzig. 1757. 8o. -- *D.G. Rudolph, Sendschreiben wegen einigen scheinbaren Schwürigkeiten bei der Multiplication und Division der positiven und negativen Grössen. Leipzig. 1757. 8o. -- d'Alembert, in Diction. hist. crit. Art. négatif. -- O. Holmberg, Diss. de quantitate negativa: praes. F. Mallet. Upsal. 1776. 4o. -- A.F.C. Reinhard. Act. Erfurd. T. 3. A. 1778. De vera notione additionis et substractionis quantitatum oppositarum. -- *d'Alembert, Opuscules. T. 8. Sur les quantités négatives. 1780. -- F.C.H. Arentsz, Nye. Samml. Danske. Skr. (2e Raekke) B. 1. A. 1782. S. 536-557. En noiere Bestemmelse af Tagnenz + og - Hensende til detes Betijdning og Brug. -- *(D. Porro), Exposition du calcul des quantités négatives. Avignon. 1784. 8o. -- J.H. Lambert, Leipz. Mag. 1787. St. 1. S. 62-71. Ueber die Mehrheit der Wurzeln höherer Gleichungen. -- A.G. Kästner, Leipz. Mag. 1787. St. 1. S. 71-76. Ueber eine scheinbare Schwierigkeit bey kleinern und grössern Quotienten. -- A.G. Kästner, Leipz. Mag. 1767. St. 4. S. 423-430. Gedanken über einen Aufsatz von Lambert. -- W. Greenfield, Edinburgh Phil. Trans. V. 1. A. 1788. p. 131-145. On the Use of the Negative Quantities in the Solution of Problems by Algebraical Equations. -- de Castillon, Mém. Berlin. A. 1790, 91. p. 331-341, 342-363. Examen philosophique de quelques principes de l'Algèbre. 1er et 2d Mém. -- [pag. 32] F. Mallet, N. Acta Upsal. T. 5. A. 1792. p. 145-163. De negatione quantitatum Geometricarum. -- G.S. Klügel, Arch. von Hindenb. B. 1 H. 3 S. 309-319; H. 4. S. 470-481. A. 1795. Ueber die Lehre von den entgegengesetzten Grössen. -- G,S, Klügel, Arch. von Hindenb. B. 3. H. 11. S. 340-348. A. 1800. Schreiben. -- H.D. Wilkens, Die Lehre von den entgegengesetzten Grössen im neuen Gewande. Brschwg. 1800. 8°. -- *F.G. Busse, Neue Erörterungen über Plus und Minus. Cöthen. 1801. 8°. -- R. Woodhouse, The Principles of Analytical Calculation. Cambridge. 1803. -- Rothe, Handbuch der reinen Mathematik. Leips. 1804. -- F.G. Busse, Vergeleichung zwischen Carnot's und meiner Ansicht der Algebra. Freib. 1804. 8°. -- Von Winterfeld, Anfangsgründe der Rechenkunst. Brschwg. 1809. -- M.V. do Conto, Mem. Lisboa. T. 3.2.A. 1814. p. 149-178. Breve Ensais sobre a Deducção Philosophica das operações Algebricas. -- Cach, Ann. de Math. T. 4.A. 1814. p. 1-6. Essai sur la théorie des quantités négatives. -- Gergonne, Ann. de Math. T. 4. A. 1814. p. 6-20. Reflexions sur le même sujet. -- H.C. Englefield, Phil. Mag. V. 45. A. 1815. p. 15-19. On the rules for Algebraic Multiplication. -- *K.C. Langsdorf, Ueber Newtons, Eulers, Kaestners und Consorten Pfuschereien in der Mathematik. Heidelb. 1807. 8°. -- *J. de Gelder, Over den positieven en negatieven toestand der grootheden. Amst. 1815. 8°. -- Fr. von Spaun, Die Lehrsätze des gesunden Menschenverstandes in Beziehung auf das Negative und Unmögliche. München. 1816. 8°. -- *Fr. Schmeiszer, Lehrbuch der reinen Mathesis, zu einem zum Selbstfinden leitenden Vortrage. Berlin. 1817. 8°. -- W.A. Försteman, Ueber den Gegensatz positiver und negativer Grössen. Nordh. 1817. -- A. Hermann, Abhandlung über die wahre Natur der Negativen und Positiven, nebst einer leicht fasslichen Berichtigung von dem Begriffe der sogenannten unmöglichen Grössen. Wien. 1818. -- Ch. Babbage, Cambr. Phil. Trans. Vol. 2. A. 1827. p. 325-380. On the influence of Signs in Mathematical Reasoning. -- J.P.W. Stein, Elemente der Algebra. Trier. 1828. -- Mourey, La vraie théorie des quantités négative et des quantités prétendues imaginaires. Paris 1818. -- J. Warren, Phil. Trans. A. 1829. P. 2. p. 241-254. Consideration of the objections raised against the geometrical representation of the square roots of negative quantities. -- *W.A. Diesterweg, Beiträge zu der Lehre von den positiven und negativen Grössen. Bonn. 1831. 8°. -- *D. Gilbert, On the Nature of negative and imaginary Quantities. London. 1831. 4°. (ook Phil. Trans. 1831. P. 1. p. 91-98.) -- J.H.G. Heusinger, Grundlehre der Grössenkunst. Leips. 1835. -- Stevelly, Not. Brit. Assoc. V. 5. A. 1836. p. 5-7. Illustration of the meaning of the doubtful Algebraic Sign in certain Formules of Algebraic Geometry. -- D. Gilbert, Proceed. Phil. Trans. Lond. V. 3. A. 1830-37. p. 4-59. On the Nature of Negative and Imaginary Quantities. -- D., Cambr. Math. Journ. V. 1. A. 1839. p. 74-77. On some elementary Pinciples in the [pag. 35] Application of Algebra to Geometry. -- A. de Morgan, L. E. and D. Phil Mag. 3d Ser. V. 20. A. 1842. p. 135-137. On the Invention of the Signs + and -; and on the Sense in which the former was used by Leonardo da Vinci. -- *Fr. Schmeiszer, Kritische Betrachtung einiger Lehren der reinen Analysis, welchen der Vorwurf der Ungereimtheit gemacht worden ist. Frcft. a/O. 1842. 4°. -- J.N. Noel, Mém. Liège. T. 1. A. 1843. p. 1-48. De l'analogie en Géométrie-Principes d'Analogie-Similitude. -- D.F. Gregory, C. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 153-159. On a difficulty in the theory of Algebra. -- L. Ballauf, Arch. von Grunert. B. 5. A. 1844. S. 259-286. Beiträge zur systematischen Darstellung der allgemeinen Arithmetik. -- *Marie, Discours sur la nature des grandeurs négatives et imaginaires. Paris. 1844. 8°. -- C. Graves, Proceed. Irish. Ac. V. 3. A. 1847. p. 325-327. On the use of distributive Signs of Operation, both real and imaginary, in the constuction of Systems of Algebra. -- J.N. Noel, Mém. Liège. T. 4. A. 1848, 49. p. 296-352. Exercices de Géometrie analytique. -- G. Eisenstein, Journ. von Crelle. B. 39. A. 1850. S. 181, 182. Lehrsätze. -- A. de Morgan, C. and D. Math. Journ. V. 6. A. 1851. p. 156-160. On the mode of using the signs + and - in plane geometry. -- W. Walton, C. and D. Math. Journ. V. 7. A. 1852. p. 234-242. On the Doctrine of Impossibles in Algebraic Geometry. -- A. de Morgan, C. and D. Math. Journ. V. 7. A. 1852. p. 242-251. On the Signs + and - in Geometry, and on the interpretation of the equation of a curve. -- Flauti, Rendic. Borbon. T. 4. A. 1855. p. 17-24. Delle quatità negative. -- Terquem, Nouv. Ann. Math. T. 15. A. 1856. p. 172-175. Observation sur un passage de l'Algèbre de M. Bertrand. -- Lord Brougham, Compt. Rend. T. 44. A. 1857. p. 1134-1139, 1177-1184. Sur certains paradoxes réels ou supposés, principalement dans le calcul intégral. -- Flauti, Mem. Borbon. V. 2. A. 1855-57. p. 3-36. Sulle vera (genuina) nozione delle quantità negative, risultanti della risoluzioni de' problemi. -- H. Schleffler, Arch. von Grunert. B. 28. A. 1857. S. 121-162. Ueber das Wesen der Functionen, insbesondere über Vieldeutigkeit, Unbestimmtheit, Veränderlichkeit, Differentiation und Stetigkeit.

14) J. Wallis, Treatise of Algebra. London. 1685.

15) H. Kühn, Nov. Comm. Acad. Scient. Imp. Petropol. T. 3. A. 1750, 51. p. 170-223. Meditationes de quantitatibus imaginariis construendis et radicibus imaginariis exhibendis.

16) *Buée, Mémoire sur les quantités imaginaires. (Zie ook Phil. Trans. A. 1806. p. 23-88.) -- C.V. Mourey, 1828. (zie Noot 13). -- Warren, A treatise on the geometrical representation of the square roots of negative quantities. Cambridge. 1828.

17) C.F. Gauss, Gött. gelehrte Anz. 1831. St. 64. S. 634-638. (overgedrukt in Arch. von Grunert. B. 6. S. 236-238.) -- C.F. Gauss, Theoria residuorum [pag. 34] biquadraticorum comment. 2a. Gött. 1832. 4°. (zie Comm. Rec. Gött. T. 7. A. 1828-1831. p. 89-148.)

18) *H. Schleffler, Ueber das Verhältnis der Arithmetik zur Geometrie, insbesondre über die geometrische Bedeutung der imaginären Zahlen. Brschwg. 1846. 8°. -- *H. Schleffler, Der Situations-kalkul. Versuch einer arithmetischen Darstellung der Geometrie. Brschwg. 1851. 8°. -- *D. Bierens de Haan, Iets over de betrekking tusschen Meetkunde en Getallenleer. Deventer. 1852. 4°.

19) Argand, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Paris. 1806. (zie Ann. de Math. V. 4. A. 1813, 14. p. 133-147.) -- Français, Ann. de Math. V. 4. A. 1813, 14. p. 61-71. Nouveaux principes de géométrie de position et interprétation géométrique des symboles imaginaires. -- Français, Ann. de Math. V. 4. A. 1813, 14. p. 222-227, 364-366. Lettre sur la théorie des imaginaires. -- Servois, Ann. de Math. V. 4. A. 1813, 14. p. 228-255. Lettre à ce sujet. -- Lacroix, Ann. de Math. V. 4. A. 1813, 14. p. 363. Letter à ce sujet. -- *H. Grassmann, Die Wissenshaft der extensiven Grösse, oder die Ausdehnungslehre. Leipz. 1844. 8°. -- *W. Matzka, Versuch einer richtigen Lehre von der Realität der vorgeblich imaginären Grössen der Algebra, oder einer Grundlehre von der Ablenkung algebraischer Grössenbeziehungen. Prag. 1850. 4. (zie Abh. Böhm. Ges. 1e Folge. B. 6. A. 1848-50. S. 179-363.)

20) Tot de literatuur der zoogenaamd onbestaanbare grootheden behooren, behalve hetgeen in Noot 15-19 voorkomt, alsmede van Noot 13 Spaun 1816, Hermann 1818, Warren 1829, Gilbert 1831, 1837, D. 1839, Schmeiszer 1842, Marie 1844, C. Graves 1847, W. Walton 1852, de Morgan 1852, Scheffler 1857, nog de volgende: W.O. Reitz, Verh. Holl. Maatsch. Haarlem. Dl. 3. A. 1757. blz. 239-320. Nieuwe bespiegeling en ontcijfering der teerlingsche vergelijkingen. -- *D. de Foncenex, Reflexions sur les quantités imaginaires. Turin. 1759. 4°. (zie Misc. Taur. T. 1. P. 2. A. 1759. p. 113-144.) -- *D. de Foncenex, Eclaircissemens pour la mémoire sur les quantités imaginaires. Turin. 1761. 4°. (zie Misc. Taur. T. 2. P. 2. A. 1760, 61. p. 337-343.) -- *J. Playfair, On the Arithmetic of impossible Quantities. London. 1776. 4°. (zie Phil. Trans. 1778. p. 318-343.) -- G. Fontana, Mem. Soc. Ital. Veronae. T. 1. A. 1782. p. 183-202. Sopri i logarithmi delle quantità negative et sopra gl'immaginarj. -- S. Canterzani, Mem. Soc. Ital. Veronae. T. 2. A. 1784. p. 720-732. Dimonstrazione delle reducibilità d'ogni quantità immaginaria algebraica, alle forma A ± B-1; adcitata ad un Trattato elementar della nature delle equazioni. -- C.G. Ricatti, Mem. Soc. Ital. Veronae. T. 4. A. 1788. p. 116-122. Teorema. Il nulla immaginario non più confonderi col reale. -- J. Kant, Ueber eine Entdeckung. Königsb. 1790. -- *C.F. Gauss, Demonstratio nova theorematis etc. Helmst. 1799. 4°. -- *R. Woodhouse, On the necessary Truth of certain Conclusions obtained by imaginary Quantities. Lond. [pag. 35] 1801. 4°. (zie Phil. Trans. A. 1801. p. 89-119.) -- *A. Suremain-Missery, Théorie purement algébrique des quantités imaginaires, et des fonctions qui en résultent, où l'on traite de nouveau la question des Logarithmes des Quantités négatives. Paris. 1801. 8°. -- R. Woodhouse, Phil. Trans. A. 1802. p. 85-135. On the Independence of the Analytical and Geometrical Methods of investigation: and on the advantage to be derived from their Separation. -- Von Busse, Erster Unterricht in der algberaischen Auflösung. Freiburg. 1808. -- R. Woodhouse, Abstr. Phil. Trans. Lond. Vol. 1. A. 1800-1814. p. 39. On the necessary Truth of certain conclusions obtained by means of imaginary Quantities. -- Buée, Abstr. Phil. Trans. Lond. Vol. 1. A. 1800-1814. p. 216. Mémoire sur les quantités imaginaires. -- B. Gompertz, Abstr. Phil. Trans. Lond. Vol. 1. A. 1800-1814. p. 224. The application of a method of differences to the species of series whose sums are obtained by Mr. Landen by the help of impossible quantities. -- *C.F. Gauss, Demonstratio nova altera theorematis etc. Gött. 1817. (zie Comm. Rec. Gott. T. 3. A. 1814, 15. p. 107-134.) -- Argand, Ann. Math. T. 5. A. 1815. p. 197-209. Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires. -- *B. Gompertz, The Principles and Application of Imaginary Quantities. II Books. London. 1817, 18. 4°. -- Gergonne, Ann. Math. T. 10. A. 1820. p. 122-130. Dissertation sur un cas singulier, que présente l'approximation des racines des équations numériques. -- J. Nordmark, N. Act. Upsal. T. 8. A. 1821. S. 136-156. Meditationes nonnullae de Reductione Quantitatum imaginarium ad Formam simplicissimam, oriundisque inde seriebus transcendentalibus summabilibus. -- J. Herapath, Phil. Mag. V. 66. A. 1825. p. 102-109. On the conditions of possibility, arbitrary functions, and complete solutions of periodical functional equations. -- J. Warren, Phil. Trans. A. 1829. P. 2. p. 339-360. On the geometrical representation of the powers of quantities, whose indices involve the square roots of negative quantities. -- J. Warren, Abstr. Phil. Trans. Lond. T. 2. A. 1815-30. p. 371-373. Considerations of the Objections raised against the geometrical Representation of the Square Roots of Negative Quantities. -- J. Warren, Abstr. Phil. Trans. Lond. V. 2. A. 1815-1830. p. 382. On the geometrical representation of the powers of Quantities whose indices involve the Square Roots of negative Quantities. -- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 17. A. 1831. p. 293-422. Theory of the conjugate Functions, or Algebraic couples, with a preliminary and elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time. -- J. Murphy, L. and E. Phil. Mag. 3d Ser. V. 2. A. 1833. p. 287, 288. On the real functions of imaginary quantities. -- *P.R.E. Egen, Handbuch der allgemeinen Arithmetik. II Th. 2e Aufl. Berl. 1833. -- W.R. Hamilton, Not. Brit. Assoc. V. 3. A. 1834. p. 519-523. On conjugate Functions or Algebraic couples, as tending to illustrate generally the Doctrine of Imaginary Quantities, and as confirming the Results of Mr. Graves respecting the existence of two independent Integers in the complete expression of an Imaginary Logarithm. -- *W.M. Drobisch, Grundzüge der Lehre von den höheren numerischen Gleichungen. Leipz. 1834. 8°. -- J.G. Garnier, Bull. Brux. T. 6, 1. A. 1839. p. 151-161. Sur la transformation de quelques fonctions imaginaires. -- D.F. Gregory, Cambr. Math. Journ. V. 1. A. 1839. p. 259-266. On the existence of branches of curves in several planes. -- Th. White, Ladies Diary. London. 1839. p. 69. On the algebraical expansion of quantity and on the symbol -1, which is usually considered to denote impossible or imaginary quantity. -- Pagani, Bull. Brux. T. 7, 2. A. 1840. p. 50-58. Note sur quelques transformations algébriques. -- F. Deahna, Journ. v. Crelle. B. 20. A. 1840. S. 337-339. Neuer Beweis für die Auflösbarkeit der algebraischen Gleichungen durch reelle oder imaginäre Wehrte der Unbekannten. -- J.A. Grunert, Arch. v. Grunert. B. 1. A. 1841. S. 295-317. Ueber die Bedingungen der Ungleichkeit, von den Mittelgrössen und von den imaginären Grössen. -- T.W. Müller, Arch. v. Grunert. B. 1. A. 1841. S. 397-400. Anwendung der Lehre vom Zuge auf die Nachweisung der geometrischen Bedeutung der Form a + b-1. -- D.F. Gregory, Cambr. Math. Journ. V. 2. A. 1841. p. 91. Addition to V. 1. p. 259. -- M.F. Vallas, Etudes philosophiques sur la science du calcul. Paris. 1841. -- A. de Morgan, Cambr. Phil. Trans. V. 7. A. 1842. p. 287-300. On the Foundation of Algebra. N°. 2. -- *M. Ohm, Geist der mathematischen Analysis. Berlin. 1842. 8°. (waarvan een engelsche vertaling door A.J. Ellis. London. 1843. 12°.) -- Valat, Actes Bordeaux. T. 5. A. 1843. p. 331-352. Mémoire sur les équations binômes et les les radicaux algébriques. -- Fr. Moth, Denkschr. München. B. 3. A. 1837-43. S. 85-150. Ueber die Anwendung der imaginären Zahlformen in der Geometrie. -- G. Bellavitis, Mem. Ist. Veneto. T. 2. A. 1843. p. 46-48. Soluzione grafiche di problemi geometrice del primo e del secondo grado, trovata col metodo delle equipollenze. -- G. Bellavitis, Mem. Ist. Veneto. T. 2. A. 1843. p. 46-48. Soluzione grafiche di olcuni problemi geometrici del 1 e 2 grado, trovata col metodo delle equipollenze. -- D.F. Gregory, Cambr. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 153-159. On a difficulty in the theory of Algebra. -- Cellerier, Compt. Rend. T. 18. A. 1844. p. 168, 169. Note relative à la théorie des imaginaires (Rapport sur). -- Valat, Actes Bordeaux. T. 6. A. 1844. p. 179-180. Note sur les racines de l'équation xm = a + b-1. -- L. Ballauf, Arch. von Grunert, B. 5. A. 1844. S. 259-286. Beiträge zur systematischen Darstellung der allgemeinen Arithmetik. F. Imaginäre Grössen und Zahlen. -- C.A. Brettschneider, Lehrgebäude der niederen Geometrie. Jena. 1844. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 20. A. 1845. p. 546-552. Note sur les modules principaux des fonctions. -- T. Wittstein, Arch. von Grunert. B. 6. A. 1845. S. 225-235. Geometrischer Beweis des Satzes, dasz jeder algebraischer Gleichung mit einer Unbekannten durch einen complexen Wehrt dieser [pag. 37] Unbekannten Genüge geleistet werden kann. -- L. Ballauf, Arch. von Grunert. B. 6. A. 1845. S. 409-414. Ueber die Potenzen mit imaginären Exponenten. -- H.B. Lübsen, Ausführliches Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Oldenburg. 1845. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 23. A. 1846. p. 271-273. Mémoire sur les fonctions de variables imaginaires. -- T. Wittstein, Arch. von Grunert. B. 7. A. 1846. S. 402-410. Ein paar einfache Anwendungen der geometrischen Darstellung imaginärer Zahlen, insbesondere auf Cubische Gleichungen. -- T. Wittstein, Arch. von Grunert. B. 7. A. 1846. S. 411-430. Ueber die geometrischen Darstellung complexer Functionen. -- J.C. Ulherr, Journ. von Crelle. Bd. 31. A. 1846. S. 231-234. Zwei Beweise für die Existenz der Wurzeln der höhern algebraischen Gleichungen. -- H.S. Warner, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 29. A. 1846. p. 88-92. On the connexion of the circle and the hyperbola; and on the geometrical interpretation of imaginary exponentials. -- L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 29. A. 1846. p. 171-175. On the symbol -1 in Geometry. -- *F. Schmeiszer, Kritische Betrachtung einiger Lehren der reinen Analysis, welchen der Vorwurf der Ungereimtheit gemacht worden ist. 2e Abth. Frcft a/O. 1846. 4°. -- Th. Wittstein, Lehrbuch der Arithmetik. Hannover 1846. -- Wantzel, Compt. Rend. T. 24. A. 1847. p. 430-434. Note sur la théorie des nombres complexes. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 24. A. 1847. p. 469-481, 516-528, 578-584, 633-636, 661-666. Mémoire sur de nouvelles formules relatives à la théorie des polynômes radicaux et sur le dernier thérème de Fermat. -- Kummer, Compt. Rend. 24. A. 1847. p. 899-900. Lettre sur la théorie des nombres complexes. A. Cauchy, Compt. Rend. 24. A. 1847. p. 1120-1130. Mémoire sur une nouvelle théorie des imaginaires, et sur les racines symboliques des équations et des équivalences. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 25. A. 1847. p. 129-133. Mémoire sur l'apllication de la nouvelle théorie des imaginaires aux diverses branches des sciences mathématiques. -- C. Graves, Proceed. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 325-327. On the use of the Distributive Signs of Operations both real and imaginary in the Construction of Systemes of Algebra. -- J. Arenstein, Ber. v. Haidinger. B. 3. A. 1847. S. 292-296. Monographie der imaginären Grösse. -- H.S. Warner, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 30. A. 1847. p. 185, 186. On -1. -- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 21. A. 1848. p. 199-296. Researches respecting Quaternions. 1st Series. -- J.Th. Ryll, Sitzber. Wien. B. 1. A. 1848. S. 90-127. Abhandlung über Ortsversetzungen durch Rechnung oder über die Elemente der Lagerrechnung. § 1-19. -- Drobisch, Ber. Sächs. Geselsch. B. 2. A. 1848. S. 171-179. Ueber die geometrische Construction der Imaginären Wurzeln. -- J. Arenstein, Abh. v. Haidinger. B. 2. A. 1848. S. 43-115. Was sind die imaginären Grössen, und welcher ist ihr analytischer und geometrische Sinn. -- J. Petzval, Ber. v. Haidinger. B. 4. A. 1848. S. 62, 63. Arenstein's Abhandlung über imaginären Grössen. -- S. Spitzer, [pag. 38] Ber. v. Haidinger. B. 4. A. 1848. S. 96-99. Imaginäre Grössen in de Polygonometrie. -- Ferrol, Edinb. Phil. Trans. V. 16. A. 1849. p. 345-356. An Attempt to elucidate and apply the Principles of Goniometry as published by Mr. Warren in his Treatise on square Roots of Negative Quantities. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 29. A. 1849. p. 250-257. Sur les quantités géométriques et sur une méthode nouvelle pour la résolution des équations algébriques de degré quelconque. -- A. de Morgan, Cambr. Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 139-142, 241-254. On the Foundations of Algebra. N°. 3, 4. -- On Triple Algebra. -- H. Goodwin, Cambr. Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 269-277. On the Connexion between the Sciences of Mechanics and Geometry. -- H. Goodwin, Cambr. Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 278-286. On the Pure Science of Magnitude and Direction. -- H. Goodwin, Cambr. Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 342-360. On the geometrical Representation of the Roots of Algebraic Equations. -- M. o'Brian, Cambr. Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 497-507. Contributions toward a System of Symbolical Geometry and Mechanics. -- J.Th. Ryll, Sitzber. Wien. B. 3. A. 1849. S. 62-130. Abhandlung über Ortsversetzungen durch Rechnung oder über die Elemente der Lagerechnung. § 20-75. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 35. A. 1849. p. 434-437. On systems of Algebra, involving more than one imaginary: and on equations of the fifth degree. -- Ferrol, Proceed. Edinb. V. 2. A. 1844-1850. p. 111. An attempt to elucidate and apply Mr. Warren's Doctrine respecting the Square Root of Negative Quantities. -- Ferrol, Proceed. Edinb. V. 2. A. 1844-1850. p. 156-159. On Algebraical Symbolism. -- A. Roy, Mathemat. V. 3. A. 1850. p. 13, 14. Note on certain imaginary exponential Expressions. -- Davies, Mathemat. V. 3. A. 1850. p. 86-89. On the Expression of Imaginary Exponentials. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 281-283. On impossible equations, on impossible quantities and on Tessarines. -- *B. Gompertz, Hints on Porisms with a Scholion. London. 1850. 4°. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 32. A. 1851. p. 160-162. Sur les fonctions des variables imaginaires. -- H. Scheffler, Arch. von Grunert. B. 16. A. 1851. S. 133-137. Ueber die durch die Gleichung y = x dargestelten Curve. -- Zech, Arch. von Grunert. B. 16. A. 1851. S. 354-361. Ueber einige geometrische Sätze und die Rechnung mit den Imaginären Grössen. -- *B. Riemann, Grundlinien für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderl;ichen complexen Grösse. Gött. 1851. 4°. -- *Fr. von Lamezan, Beiträge zur Philosophie der Mathematik und des Imaginäre. Wurzb. 1851. 8°. -- Grebel, Die complexen Werthe der Fundamental-Functionen in geometrischer Darstellung. Zeitz. 1852. 4°. -- J. Booth, Phil. Trans. 1852. P. 2. p. 311-416. Researches on the geometrical properties of Elliptic Integrals. -- J. Paterson, Proceed. Americ. Assoc. V. 6. A. 1852. p. 1-36. On the Relation between the square roots of negative quantities, and [pag. 39] the Principle of Perpendicularity in Geometry. -- G. Bellavitis, Mem. Ist. Veneto. T. 4. A. 1852. p. 243-345. Saggio sull' Algebra degli immaginarii. -- A. Weiler, Arch. v. Grunert. B. 18. A. 1852. S. 194-233. Die Auflösung algebraischer Gleichungen. -- W. Walton, C. and D. Math Journ. V. 7. A. 1852. p. 234-242. On the Doctrine of Impossibles in Algebraic Geometry. -- Bouquet et Briot, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p. 264. Recherches sur les séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une variable imaginaire. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p. 454-459. Note sur les séries convergentes dont les diverses termes sont des fonctions continues d'une variable réelle ou imaginaire entre des limites données. -- J.A. Grunert, Arch. v. Grunert. B. 20. A. 1853. S. 121-174. Ueber die Lehre von den imaginären Grössen, als Fortsetzung und weitere Ausführung der Abh. S. 295 im 1en Theile des Archivs. -- J. Booth, C. and D. Math. Journ. V. 8. A. 1853. p. 65-79. On the Trigonometry of the Parabola. -- W. Walton, C. and D. Math. Journ. V. 8. A. 1853. p. 101-103. Note on the Doctrine of Impossibles. -- R. Carmichael, L.E. and. D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 6. A. 1853. p. 273-284. On Laplace's Equation, its analogues and the Calculus of imaginaries. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 38. A. 1854. p. 67-71. Sur les rayons vecteurs associé et sur les avantages que présente l'emploi de ces rayons vecteurs dans la physique mathématique. -- R. Furlay, Mem. Manchester. 2d Ser. Vol. 11. A. 1854. p. 169-199. On supplementary curves. -- H. Burhenne, Arch. v. Grunert. B. 22. A. 1854. S. 43-47. Zur Theorie der imaginären Grössen. -- F. Vallas, Nouv. Ann. Math. T. 13. A. 1854. p. 449-464. Observations sur le rapprochement théorique et pratique des formes réelles et imaginaires dans certaines recherches par approximation. -- J. Bellavitis, Nouv. Ann. Math. Bull. Bibl. 1855. p. 60-62. Sur la méthode des équipollences. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 40. A. 1855. p. 382-386. Sur la distinction et la représentation des fonctions continues et discontinues. -- P.A. Laurent, Compt. Rend. T. 40. A. 1855. p. 633-644. Théorie des imaginaires et examen de la théorie de la lumière dans le système des ondes. II Mém. (Rapport sur). -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 40. A. 1855. p. 663-672. Note sur un thérème de M. Puiseux. -- A. de Morgan, Cambr. Phil. Trans. Vol. 9. A. 1856. p. 608. On the Singular Points of Curves and on Newton's Method of coordinated Exponents. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 11. A. 1856. p. 275-281. On the Theory of Logarithmes. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 12. A. 1856. p. 466, 467. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity. -- Briot et Bouquet, Journ. Éc. Polyt. T. 21. 1. Cah. 36. p. 85-132. Etudes des fonctions d'une variable imaginaire. 1er Mém. -- Briot et Bouquet, Journ. Éc. Polyt. T. 21. 1. Cah. 36. p. 133-198. Recherches sur les propriétés des fonctions définies [pag. 40] par des équations différentielles. -- Briot et Bouquet, Journ. Éc. Polyt. T. 21. 1. Cah. 36. p. 199-254. Mémoire sur l'intégration des équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques. -- Ch.J. Hargreave, Not. Brit. Assoc. A. 1857. p. 184-195. On the Algebraic Couples: and on the Equivalents of Indeterminate Expressions. -- J. Plana, Mem. de Torino. T. 16. A. 1857. p. 97-106. Démonstration nouvelle de l'équation donnée par Lagrange pour exprimer la valeur réelle de la somme de deux quantités imaginaires, en supposant connues les valeurs réelles par le moyen d'une courbe. -- W. Denzler, Arch. v. Grunert. B. 28. A. 1857. S. 369-401. Ein Beitrag zur Analysis der complexen Zahlen. -- B. Riemann, Journ. v. Crelle, B. 54. A. 1857. S. 111-114. Bestimmung einer Funktion einer veränderlichen complexen Grösse durch Grenz- und Unstetigkeitsbestimmungen. -- Siebeck, Journ. v. Crelle. B. 55. A. 1858. S. 221-253. Ueber die graphische Darstellung imaginärer Funktionen. -- M. Marie, Journ. de Liouville. 2e Série. T. 3. A. 1858. p. 361-383; T. 4. A. 1859. p. 121-152, 305-328, 369-388. Nouvelle théorie des fonctions de variables imaginaires. -- J. Bertrand, Compt. Rend. T. 48. A. 1859. p. 417-419. Note sur les fonctions d'une variable imaginaire. -- G. Zehfuss, Arch. v. Grunert. B. 32. A. 1859. S. 234-236. Sur le sens géométrique des quantités imaginaires. -- Riecke, Arch. v. Grunert. B. 32. A. 1859. S. 470-475. Die Rechnung mit Richtungszahlen.
Onder deze literatuur is uit den aard der zake veel opgenomen, dat tevens kan strekken, wanneer er over de toepassing van de theorie der zogenaamd onbestaanbare grootheden, o.a. op de leer der vergelijkingen en op de analytische meetkunde sprake is: het is, bij het verband tusschen beide laatstgenoemde deelen der wetenschap, niet wel mogelijk deze immer gescheiden te houden bij eene opgave als de bovenstaande.

21) Reeds by Servois 1814 (zie Noot 19) vindt men dezelfde grondgedachte, die Hamilton later tot het stelsel der ,,Quaternions'' voerde. Zie daarover:
W.R. Hamilton, Proceed. Irish Soc. V. 2. A. 1844. p. 424-434. On a new Species of Imaginary Quantities, connected with the Theory of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Not. Brit. Assoc. A. 1844. p. 2. On a Theory of Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 25. A. 1844. p. 10-14, 241-246. On Quaternions or on a new System of Imaginaries in Algebra. N°. 1-5, 6-11. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 141-145. On certain results relating to Quaternions. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 208-211. On Jacobi's Elliptic Functions in Reply to Rev. B. Bronwin; and on Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. [pag. 41] A. 1845. p. 220-225; V. 29. A. 1846. p. 26-31, 113-122, 326-328. On Quaternions or on a new System of Imaginaries in Algebra. N°. 12-17, 18-21, 22-27, 28. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 1-16, 109, 273-292. Theory of Quaternions. -- C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 325-327. On the Use of Distributive Signs of Operation, both real and imaginary, in the Construction of Systems of Algebra. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 507-521. On the Application of the Calculus of Quaternions to the Theory of the Moon. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. App. III. p. XXXI-L. Illustrations from Geometry of the Theory of Algebraic Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. App. V. p. LI-LXI. Additional Applications of the Theory of Algebraic Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 30. A. 1847. p. 458-461; V. 32. A. 1847. p. 214-219, 278-293, 511-519. On Quaternions, or on a new System of Imaginaries in Algebra. N°. 29-32, 33-36, 37-50, 51-55. -- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 21. A. 1848. p., 197-296. Researches respecting Quaternions. 1st Series. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 32. A. 1848. p. 363-375; V. 33. A. 1848. p. 58-60. On Quaternions or on a new System of Imaginaries in Algebra. N°. 56-61, 62-64. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33. A. 1848. p. 196-201. On the Application of Quaternions to the Theory of Rotation. -- G. Boole, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33. A. 1848. p. 278-281. Notes on Quaternions. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33. A. 1848. p. 435-439. On certain functions resembling Quaternions, and on a new Imaginary in Algebra. -- W.R. Hamilton, C. and D. Math. Journ. V. 4. A. 1849. p. 163-168. Exercises in Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 34. A. 1849. p. 294-297, 340-344, 425-440; V. 35. A. 1849. p. 133-137, 200-204. On Quaternions, or on a new System of Imaginaries in Algebra. N°. 65-67, 68-70, 71-81, 82-85, 86 and 87. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 35. A. 1849. p. 434-437. On Systems of Algebra, involving more than one Imaginary: and on Equations of the fifth Degree. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 14-19. An Account of some additional Applications of Quaternions to Surfaces of the Second Order. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish. Soc. V. 4. A. 1850. p. 38-57. On the Application of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 75-90. On the Application of Quaternions to the Determination of the Distance of any recently discovered Comet or Planet from the Earth. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 255-261. On the Application of the Calculus of Quaternions to Problems respecting the construction of a Circle touching three given Circles on a Sphere. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 306-309. [pag. 42] On Theorems relating to Surfaces, obtained by the Method of Quaternions. -- C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 347-349. A general Theorem in the Calculus of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 349-356. On a Theorem respecting Ellipsoids, obtained by the Method of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish. Soc. V. 4. A. 1850. p. 380-387. On some Results obtained by the Quaternion Analysis respecting the Inscription of Gauche Polygons in Surfaces of the Second Order. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A 1850. p. 541-557. On Gauche Polygons in Central Surfaces of the Second Order. -- A. Roy, Mathem. V. 13. A. 1850. p. 13, 14. Note on certain imaginary exponential expressions. -- W. Spottiswoode, L.E. and D. Phil. Mag. 33 Ser. V. 36. A. 1850. p. 135-137. On the Equation Q = q(w, x, y, z) = w + ix + jy + kz. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 305-307. On Quaternions or a new System of Imaginaries in Algebra. N°. 88-90. -- W. Spottiswoode, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 379, 380. On the Quaternions Expressions for Coplanarity and Homoconism. -- W.J. Donkin, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 427-433. On the geometrical Laws of the Motion of a rigid System about a fixed Point. -- W.J. Donkin, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 489-503. On the geometrical Interpretation of Quaternions. -- W. Spottiswoode, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 50-53. On the Geometrical Interpretation of Quaternions. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 281-283. On Impossible Equations, on impossible Quantities and on Tessarines. -- T.P. Kirkman, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 292-301. On bisignal Univalent Imaginaries. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 371-373; V. 4. A. 1852. p. 303, 304. On continued Fractions in Quaternions. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 436-440. On Algebraic Transformation, on Quadruple Algebra and on the Theory of Equations. -- R. Carmichael, C. and D. Math. Journ. T. 7. A. 1852. p. 126-137. Laplace's equation and its analogues. -- C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 5. A. 1853. p. 140-142. On a Formula, containing a Symbol, which denotes Rotation through a given Angle and round a given Axis, by means of rectangular Coordinates and Differential Coefficients. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A. 1853. p. 219-221, 281, 299-301. On the Connexion of Quaternions with Continued Fractions and Quadratic Equations. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish. Soc. V. 5. A. 1853. p. 388-390. On Geometrical Interpretation of some Results obtained by Calculation with Biquaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A. 1853. p. 407-415. On the geometrical Demonstration of some Theorems by means of the Quaternion Analysis. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 5. A. 1853. p. 117-119, 236-239, 320-326. On continued Fractions in Quaternions. -- R. Carmichael, [pag. 43] L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 5. A. 1853. p. 273-284. On Laplace's Equation, its Analogues and the Calculus of Imaginaries. -- W.R. Hamilton, Nouv. Ann. Math. T. 12. A. 1853. p. 278-283. Sur les quaternions. -- *W.R. Hamilton, Lectures on Quaternions. Dublin. 1853. 8°. -- J.D. Paterson, C. and D. Math. Journ. V. 9. A. 1854. p. 241-255. The geometry of Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 7. A. 1854. p. 492-499; V. 8. A. 1854. p. 125-127, 261-269; V. 9. A. 1855. p. 46-51, 280-290. On some extensions of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Acad. V. 6. 1856. p. 62, 63. On differential equations. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 86-88. On the Theorem of Dupin. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 114, 115. On Quaternions. -- Ch. Graves, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 162-171, 186-194. On the Equation of Laplace's Function. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish. Acad. V. 6. A. 1856. p. 181-185. Letter. -- R. Carmichael, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 216-220. On Laplace's Equation and Quaternions. -- Ch. Graves, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 221-223. Observations. -- G. Boole, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 375-385. On the equation of continuity of an incompressible fluid. -- Graves, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 385, 386. Remarks. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 12. A. 1856. p. 446, 447. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity. -- R. Carmichael, Quart. Journ. V. 1. A. 1857. p. 226-230. Laplace's Equation and the Calculus of Quaternions. -- G. Bellavitis, Atti Ist. Venet. Serie 3a T. 3. A. 1857, 58 p. 334-343. Sul calcolo dei' quaternioni di W.R. Hamilton e delle sue relazioni con metodo delle equipollenze. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Acad. V. 7. A. 1859. p. 122-126, 163, 164. On some Quaternion equations connected with Fresnell's Wave Surface for Biaxal Crystals.

22) Over deze Algebraische koppels zie men: J.T. Graves, Phil. Trans. 1829. 1. p. 171-186. An Attempt to rectify the inaccuracy of some logarithmic formulae (with several Notes). -- W.R. Hamilton, Not. Brit. Assoc. A. 1834. p. 519-523. On conjugate Functions, or Algebraic couples, as tending to illustrate generally the Doctrine of Imaginary Quantities and as confirming the results of Mr. Graves respecting the Existence of two Independent Integers in the complete Expression of an Imaginary Logarithm. -- J.T. Graves, Not. Brit. Assoc. 1834. p. 523-531. On the Theory of Exponential Functions. -- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 17.2. A. 1835. p. 293-422. Theory of Conjugate Functions or Algebraic Couples with a preliminary and elementary Essay on the Science of Pure Time. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 141-145. On certain results relating to Quaternions. -- J.T. Graves, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 315-320. On a connexion between the general theories of normal couples and the theory of complete quadratic functions of two variables. -- A. Cayley, L.E. [pag. 44] and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 27. A. 1845. p. 38-41. On Algebraic Couples. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 30. A. 1847. p. 257, 258. Note on a System of Imaginaries. -- M.J. Hargreave, Not. Brit. Assoc. 1857. p. 184-195. On the Algebraic Couple and on the Equivalents of Indeterminate Expressions.

23) Over de symbolische Algebra zie men: G. Peacock, Algebra. Cambridge. 1830. -- G. Peacock, Not. Brit. Assoc. A. 1834. p. 185-353. Report on the recent Progress and present State of certain Branches of Analysis. -- (O. Reynolds,) Strictures on certain points of Peacock's Algebra. Cambridge. 1837. -- G. Peacock, Arithmetical Algebra. Cambr. 1843. -- G. Peacock, Symbolical Algebra. Cambr. 1845. -- W.R. Hamilton, C. and D. Math. Journal. V. 1. A. 1846. p. 45-57, 137-154, 256-263; V. 2. A. 1847. p. 47-52, 130-133, 204-209; V. 3. A. 1848. p. 68-84, 223-229; V. 4. A. 1849. p. 84-89, 105-118. On Symbolical Geometry.

24) Over de twee- en drievoudige Algebra, zie o.a.: A. de Morgan, Cambr. Phil. Trans. Vol. 7. A. 1842. p. 287-300. On the Foundation of Algebra. N°. 2. -- A. de Morgan, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 139-142, 241-254. On the Foundation of Algebra. N°. 3, 4. -- On Triple Algebra -- C. Graves, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 34. A. 1849. p. 119-127. On a System of Triple Algebra and its application to the Geometry of three dimensions. -- *J.A. de Morgan, Trigonometry and double Algebra. London. 1849. 8°.

25) Over de theorie der ,,Triplets'' kan men zien: C.Graves, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 51-54, 57-65, 80-84, 105-108. On Algebraic Triplets. -- C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 111-113. On two Methods of solving Biquadratic Equations. -- C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 325-327. On the Use of Distributive Signs of Operation, both real and imaginary in the Construction of Systems of Algebra. -- C. Graves, Proc. Irish Acad. V. 5. A. 1853. p. 423-430. On the Properties of the Functions of two Variables employed in the Interpretation of Triplets.

26) Zie over de ,,Octaves'', ,,Octonomials'' o.a.: A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 208-211. On Jacobi's Elliptic Functions in reply to Rev. B. Bronwin; and on Quaternions. -- Nog vond ik aangehaald J.T. Graves, Irish Trans. V. 21. p. 338; waarbij eene vergissing moet zijn: dáár staat het stuk niet.

27) Over de ,,Tessarines'' raadplege men: J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33. A. 1848. p. 435-439. On certain Functions resembling Quaternions and on a new Imaginary in Algebra. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 34. A. 1849. p. 37-48. On a new Imaginary in Algebra. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 34. A. 1849. p. 406-410. On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 35. A. 1849. p. 434-437. On Systems of Algebra involving more than [pag. 45] one Imaginary; and on Equations of the fifth Degree. -- W. Spottiswoode, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 135-137. On the Equation Q = q(w, x, y, z) = w + ix + jy + kz. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 290-295. On the true Amplitude of a Tessarine: on the Derivation of the word Theodolite; and on Light under the action of Magnetism. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 281-283. On impossible Equations, impossible Quantities and on Tessarines. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 436-440. On Algebraic Transformation, on Quadruple Algebra and on the Theory of Equations. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 47, 48, 49, 50. Horae Algebraicae. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 50. p. 534-537. On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 50. p. 538-540. On the Tessarine Algebra. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 51. p. 124-127. On certain Researches of Mr. Boole and on the Symbol of Infinity. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 51. p. 197-199. On systems of Quadruple Algebra. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 51. p. 557. On Quadruple Algebra. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 51. p. 619. On Tessarines.

28) Over de Theorie der ,,Biquaternions'' zie: W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 2. A. 1844. p. 424-434. On a new Species of Imaginary Quantities, connected with the Theory of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 380-387. On some Results obtained by the Quaternions Analysis respecting the Inscription of Gauche Polygons in surfaces of the Second Order. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A. 1853. p. 219-222, 281, 299-301. On the Connexion of Quaternions with continued Fractions and Quadratic Equations. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A. 1853. p. 388-390. On Geometrical Interpretation of some Results obtained by Calculation with Biquaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A. 1853. p. 407-417. On the Geomtrical Demonstration of some Theorems by means of the Quaternion Analysis. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 7. A. 1854. p. 492-499; V. 8. A. 1854. p. 125-137, 261-269. On some Extensions of Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 12. A. 1856. p. 446, 447. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity.

29) Zie over ,,Pluquaternions'': T.P. Kirkman, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33. A. 1848. p. 447-460, 494-509. On Pluquaternions and Honoid Products of Sums of n Squares. -- T.P. Kirkman, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 292-301. On Bisignal Univalent Imaginaries.

30) Over de ,,Clefs algébriques'' zie men: A. Cauchy, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p. 70-75, 129-136. Sur les clefs algébriques. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p. 161-169. Sur les avantages que présente, dans un grand nombre [pag. 46] d'équations, l'emploi des clefs algébriques. -- De Saint Venant, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p. 582-585. De l'interprétation géométrique des clefs algébriques et des déterminants. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 37. A. 1853. p. 38-48, 57-64. Mémoire sur les différentielles et les variations employées comme clefs algébrique. -- Grassman, Compt. Rend. T. 38. A. 1854. p. 743, 744. Remarques sur les clefs.

31) A. Cayley, C. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 226. Note.

32) Men raadplege over dezen twist:
Thibaut, Historia controversiae circa numerorum negativorum et impossibilium logarithmos. Gott. 1797.

33) Het zoude niet moeijelijk zijn, hier een honderdtal namen aan te geven van wiskundigen, die deze vergelijkingen tot onderwerp hunner beschouwingen kozen, en dat nog in de laatste jaren: zulks behoort echter hier niet ter plaatse.

34) Omtrent deze vergelijkingen kan men o.a. nazien, behalve de verhandelingen van Ruffini, die zich in het 1e, 9e en 12e deel van de Mem. Societ. Ital. bevinden moeten:
N.H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques, ou l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré. Christiana. 1824. 4°. -- N.H. Abel, Journ. v. Crelle. B. 1. A. 1826. S. 65-83. Beweis der Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen von höhern Graden als dem vierten allgemein aufzulösen. -- G.B. Jerrard, L. and E. Phil. Mag. 3d Ser. V. 7. A. 1835. p. 202, 478-480. On certain Transformations connected with the finite Solutions of Equations of the fifth Degree. -- B. Holmboe, Mag. Christiania. And. Raekke. B. 2. A. 1836. S. 279-285. Analysk Opgave. -- W.R. Hamilton, Rep. Brit. Ass. V. 5. A. 1836. p. 295-340. Inquiry into the Validity of a Method recently proposed by G.B. Jerrard for transforming and resolving Equations of elevated Degrees, undertaken at the Request of the Association. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 8. A. 1836. p. 538-544. Theorem respecting Algebraic Elimination, connected with the Question of the Possibility of resolving in finite Terms the general Equation of the fifth Degree. -- W.R. Hamilton, L. and E. Phil. Mag. 3d Ser. V. 9. A. 1836. p. 28-32. Second Theorem in Algebraic Elimination, connected with the Question of the Possibility of resolving in finite Terms Equations of the fifth Degree. -- W.R. Hamilton, Phil. Trans. A. 1839. p. 171-259. On the Argument of Abel respecting the Impossibility of expressing a Root of any general Equation above the fourth Degree by any finite Combination of Radicals and Rational Functions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 1. A. 1841. p. 76-81. Investigations respecting Equations of the fifth Degree. -- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 19. A. 1843. p. 329-376. On Equations of the fifth Degree, and especially on a certain System of Expressions connected with those Equations, which prof. Badano has lately proposed. [pag. 47] -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 2. A. 1844. p. 275, 276, 355. On the Solution of Algebraic Equations of the fifth Degree. -- Al. Casinelli, Nov. Comm. Bonon. T. 6. A. 1844. p. 391-418. Disquisitiones variae super resolutionem nonnullarum aequationum algebraicarum praesertim quinti gradus. -- G. Eisenstein, Journ. v. Crelle. B. 27. A. 1844. p. 81-83. Allgemeine Auflösungen der Gleichungen von den ersten vier Graden. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 27. A. 1845. p. 125-127. On the Resolution of Equations of the fifth Degree. -- G.B. Jerrard, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 28. A. 1846. p. 63. Reflections on the Resolution of Algebraic Equations of the fifth Degree. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 28. A. 1846. p.190-192. On the Existence of Finite Algebraic Solutions of the General Equations of the fifth, sixth and higher Degrees. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 30. A. 1847. p. 28-30. On some formulae which serve to indicate the limits of the application of Indeterminate Methods to the Solution of certain Problems. -- B. Bronwin, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 31. A. 1847. p. 341-346. On the Algebraic Equations of the fifth Degree. -- E. Luther, Journ. v. Crelle. B. 34. A. 1847. S. 244-254. De criteriis quibus cognoscatur an aequatio quinti gradus irreductibilis algebraice solvi potest. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 32. A. 1848. p. 50-54. On Algebraic Equations of the fifth Degree. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 32. A. 1848. p. 351-367. Analysis of the Theory of Equations, with a few Remarks on recent English Works on the Subject. In a letter to T.S. Davies, with Notes on some of the Topics by T.S. Davies. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 35. A. 1849. p. 434-437. On Systems of Algebra involving more than one Imaginary and on Equations of the fifth Degree. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 493-510. Analysis of the Theory of Equations, second and concluding Part. -- G.B. Jerrard, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 112-117. Notes on the Resolution of Equations of the fifth Degree. -- Hermite, C. and D. Math Journ. V. 9. A. 1854. p. 172-217. Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. -- A. Cayley, Phil. Trans. V. 146. 1. A. 1856. p. 127-140. Researches on the Partition of Numbers. -- F. de Bruno, Thèse. Paris. 1856. -- J. Plana, Mem. de Torino. 2a Ser. T. 16. A. 1857. p. 1-56. Mémoire sur la formation de l'équation de 4e degré et celle de 6e degré, desquelles dépend la solution littérale de l'équation générale du 5e degré, -- A. Cayley, Proc. Phil. Trans. V. 8. A. 1856, 57. p. 325. Tables of the Sturmian Functions for equations of the second, third, fourth and fifth degrees. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 13. A. 1857. p. 354-365. On the theory of Equations of the fifth Degree. -- Hermite, Compt. Rend. T. 46. A. 1858. p. 508-515. Sur la résolution de l'équation de cinquième degré. -- Tortolini, [pag. 48] Compt. Rend. T. 47. A. 1858. p. 598, 599. Remarques historiques sur un point de la théorie des équations. -- Fr. Brioschi, Atti dell. Ist. Lombardo. T. 1. A. 1858. p. 275-283. Sul metodo di Kronecker per la risoluzione delle equazioni di quinto grado. -- J. Cockle, Quart. Journ. V. 2. A. 1858. p. 144, 145. On a new solvible form of equations of the fifth degree. -- Fergola, Compt. Rend. T. 49. A. 1859. p. 267, 268. Sur la résolution des équations du cinquième degré. -- S.R. Minich, Atti Ist. Veneto. Ser 3a. T. 4. A. 1858, 59. p. 19-38. Sulle teorie di Lagrange e di Vandermonde spettanti alla risoluzione generale equazioni algebraici et sulla risoluzione delle equazioni di quarto di quarto grado per radici esteriori quarto. -- G. Bellavitis, Atti Ist. Veneto. Ser. 3a. T. 4. A. 1858, 59. p. 55-61. Sulle risoluzione algebraica delle equazioni. -- S.R. Minich, Atti Istit. Veneto. Ser. 3a. T. 4. A. 1858, 59. p. 117-132. Sulla determinazione e sul calcolo delle risolventi delle equazioni algebriche. -- O. Schlömilch, Zeitschr. v. Schlömilch. B. 4. A. 1859. S. 77-90. Die Transformation und Auflösung der Gleichungen fünften Grades nach Jerrard und Hermite. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 17. A. 1859. p. 356-358; V. 18. A. 1859. p. 50-54, 342-344. Observations on the Theory of Equations of the fifth Degree.

35) Zie over deze soort van vergelijkingen: W.G. Horner, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 8. A. 1836. p. 43-50. On the Theory of Congeneric surd Equations. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 32. A. 1848. p. 251-267. Analysis of the Theory of Equations, with a few Remarks on recent English Works on the Subject. In a letter to T.S. Davies, with Notes on some of the Topics by Mr. Davies. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33. A. 1848. p. 435-439. On certain Functions resembling Quaternions and on a new Imaginary in Algebra. -- O. Schlömilch, Arch. v. Grunert, B. 12. A. 1849. S. 293-297. Ueber eine transcendente Gleichung, welcher keine complexe Zahl genügt. -- Clausen, Arch. v. Grunert. B. 13. A. 1849. S. 334-336. Schreiben. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 281-283. On impossible Equations, on impossible Quantities and on Tessarines. -- R. Harley, Mem. Manchester. 2d Ser. V. 9. A. 1851. p. 236-243. On Impossible Equations. -- R. Baltzer, Arch. v. Grunert. B. 16. A. 1851. S. 243. Ueber die Gleichung (Archiv. B. 12. S. 293) welcher angeblich keine complexe Zahl genügt. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 436-440. On Algebraic Transformation, on Quadruple Algebra and on the Theory of Equations. -- J.J. Sylvester, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 4. A. 1852. p. 335-342. On Staudt's Theorem concerning the contents of Polygones and Polyhedrons, with a Note on a new and resembling Class of Theorems. -- S.M. Drach, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 4. A. 1852. p. 479. On an [pag. 49] Article of Mr. Sylvester that the non-Existence of real Roots in Analytic Geometry corresponds to the reductio ad absurdum of Euclid.

36) Stifel, Arithmetica integra. Norib. 1544.

37) J. Keppler, Nova stereometria doliorum vinariorum. Accessit Stereometriae Archimedeae Supplementum. Linc. 1615. fol. -- *B. Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Bonon. 1635. 4°. -- *B. Cavalieri, Exercitationes geometricae sex. Bonon. 1647. 4°. -- *J. Wallis, Arithmetica Infinitorum: zie zijn Opera mathematica. Partes II. Oxon. 1656. 4°.

38) C.G. L(eibnitz), Act. Erud. A. 1684. p. 467-473. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus. -- C.G. L(eibnitz), Act. Erud. A. 1689. p. 82-96. Tentamen de motuum coelestium caussis. -- Acta Erud. A. 1695. p. 272, 273. De B. Nieuwentijt, Considerationes circa analyseos etc. -- C.G. L(eibnitz), Acta Erud. A. 1695. p. 310-316. Responsio ad nonnullas difficultates a D. B. Nieuwentijt, circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas. -- C.G. L(eibnitz), Acta Erud. A. 1695. p. 369-372. Addenda ad Schediasma p. 310. -- Acta Erud. A. 1696. p. 80-82. De ,,B. Nieuwentijt, Analysis infinitorum etc.'' -- Joh. Bernoulli, Acta Erud. A. 1696. p. 82-85. Demonstratio analytica et synthetica suae constructionis Curvae Bauneae in Act. Er. A. 1693. p. 234. -- Acta Erud. A. 1697. p. 124, 125. De ,,B. Nieuwentijt, Considerationes secundae etc.'' -- Joh. Bernoulli, Acta Erud. A. 1697. p. 125-133. Principia Calculi exponentialium seu percurrentium. -- Acta Erud. A. 1697. p. 137-139. De ,,Analyse des infiniments petits etc.'' -- Joh. Bernoulli, Acta Erud. A. 1697. p. 211-217. Solutio problematum fraternorum peculiari programmata Cal. Jan. 1697 Groningae, nec non Act. Lips. mense Jun. et Dec. 1696 et Febr. 1697 propositorum; una cum propositione reciproca aliorum. -- B. Nieuwentijt, Acta Erud. A. 1697. p. 256-260. Exerpta ex Considerationibus Secundis circa Calculi Differentialis Principia. -- Joh. Bernoulli, Acta Erud. A. 1698. p. 223-226. Demonstratio synthetica problematis de infinitis cycloidibus absque adminiculo infinite parvorum: item constructio aliorum huic affinium a se propositorum m. Majo. A. 1697. -- Act. Erud. A. 1701. p. 28, 29. De ,,J. Hermannus, Responsio ad clar. viri B. Nieuwentijt etc.''. -- Rolle, Mém. Paris. A. 1703. p. 312-336. Du nouveau système de l'infini. -- P. Varignon, Acta Erud. A. 1712. p. 154-166. Responsio ad P. Grandi Librum de infinitis infinitorum. -- C.G. L(eibnitz), Acta Erud. A. 1712. p. 167-269. Observatio quod rationes sive proportiones non habeant locum circa quantitatis nihilo minores et de vero sensu Methodi infinitesimalis. -- Acta Erud. A. 1712. p. 221-223. De ,,G. Grandus, De infinitus infinitorum etc.''. -- Comm. Bonon. T. 1. A. 1731. p. 241-250. Analytica de geometriae principiis et de formulis quibusdam integrandis. -- *A.G. Kästner, Cautionem in quantitatum infinite parvarum neglectu [pag. 50] observandam exemplis quibusdam illustrat. Lips. 1746. 4°. -- L. Euler, Act. Petrop. A. 1778. P. 1. p. 102-118. De infinities infinitis gradibus tam infinite magnorum quam infinite parvorum. -- Stamford, Versuch die Grundsätze des Differential- und Integralcalculs ohne die Begriffe von dem unendlich kleinen Grössen vorzutragen. Berl. 1784. 8°. -- *Lhuiler, Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs. Berl. 1786. 4°. J.G. Christiani, Comment. qua explicantur fundamenta calculi quem ab infinito nominamus; et Suppl. Gött. 1792, 93. 4°. -- *Lhuilier, Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elemtaris. Tüb. 1795. 4°. -- L.N.M. Carnot, Reflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal. Par. 1797. -- *2e Ed. Par. 1813. 8°. [Hiervan is door J.K.F. Hauff eene hoogduitsche vertaling geleverd: *Betrachtungen über die Theorie der Infinitesimal-rechnung. Frcft. 1800. 8°. en door W. Dickson eene Engelsche: Reflections on the Theory of the Infinitesimal Calculus (the Method of Fluxions). London.]. -- Phil. Mag. V. 8. A. 1800. p. 222-240, 335-353; V. 9. A. 1801. p. 39-55. Reflexions on the Theory of the infinitesimal Calculus. -- *H. Clarke, Animadversions on Dickson's Translations of the Reflections of the Theory of the infinitesimal Calculus from the french of Carnot. London. 1801. 8°. -- *J. Schulz, Sehr leichte und kurze Entwicklung einiger der wichtigsten mathematische Theorien. Königsb. 1803. 4°. -- *K.C. Langsdorf, Ueber die Unstatthaftigkeit des Princips der unendlichen Theilbarkeit. Erlangen. 1804. 8°. -- *M. Langsdorf, Neue und gründlichere Darstellung der Principien der Differentialrechnung. Heidelb. 1807. 8°. *E.G. Fischer, Untersuchungen über den eigentlichen Sinn der höhern Analysis. Berl. 1808. 8°. -- Phil. Mag. V. 36. A. 1810. p. 186-191. On prime and ultimate Ratios: with their application to the first Principles of Fluxionary Calculus. -- H. Wronski, Introduction à la métaphysique des mathématiques. Par. 1810. -- F.T. Schubert, Mém. Petersb. T. 6. A. 1813, 14. p. 153-234. Reflexions sur la théorie du calcul différentiel. -- Servois, Ann. de Math. T. 5. A. 1815. p. 141-170. Réflexions sur les divers systèmes d'exposition des principes du calcul différentiel et en particulier sur la doctrine des infiniment petits. -- Gergonne, Ann. de Math. T. 5. A. 1815. p. 183-186. De l'usage des infiniment petits dans la géométrie élémentaire. -- J. Nürnberger, Die letzten Gründe der höhern Analysis. Halle. 1815. 8&176;. -- J. Nürnberger, Untersuchungen und Entdeckungen in der höhern Analysis. Halle. 1816. 4°. -- C.F. de Nieuport, Nouv. Mém. Brux. T. 2. A. 1822. p. 45-102. Mémoire sur la métaphysique du principe de la différentiation. -- *F.G. Spehr, De quantitate fluente tractatus. Brunsw. 1824. 8°. -- Baumgartner, Baumgartner's Zeitschr. B. 2. A. 1827. S. 109-135. Neue Ansicht der Unendlich-kleinen und Anwendung derselbe in der Theorie der Berührung der Linien und Flächen von Cauchy. -- Silliman's Amer. Journ. V. 14. A. 1828. p. 297-303. On the Principles of Motion and their use in the Higher Branches of Mathematics. -- E. Wright, Silliman's Amer. Journ. V. 14. [pag. 51] A. 1828. p. 330-350. A Theory of Fluxions. -- Nörrenberg, Baumgartner's Zeitschr. B. 6. A. 1829. S. 437-454. Bestimmung der Differential-quotienten unbekannter Functionen. -- E. Wright, Silliman's Amer. Journ. V. 16. A. 1829. p. 53-60. A Discourse on the Different Views that have been taken of the Theory of Fluxions. -- Fischer, Abh. Berl. 1829. S. 29-56. Versuch einer logischen Analyse von dem Begriff des Unendlich-kleinen. -- Stiles French, Silliman's Amer. Journ. V. 17. A. 1830. p. 74-81. The fundamental principle of the higher calculus demonstrated by the Method of Indeterminates. -- Gergonne, Ann. de Math. T. 20. A. 1830. p. 213-284. Exposition élémentaire du principe du calcul différentiel. -- *Dietz, Versuch den Begriff der Differentials zu entwickeln. Schleus. 1832. 4°. -- E. Wright, Silliman's Amer. Journ. V. 24. A. 1833. p. 298-312; V. 25. A. 1834. p. 93-104. On the Application of the Fluxional Ratio to particular Cases and the coincidence of the several orders of Fluxions with the Binomial Theorem. -- *Könitzer, Von dem Unendlichen in der Mathematik und von der Anwendung desselben zur Begründung der Differentialrechnung. Neu-Ruppin. 1833. 4°. -- *J.B. Friederich, Ueber das Unendliche. Ansbach. 1834. 4°. -- A. Bittner, Böhm. Abh. Neue Folge. B. 4. A. 1833-36. S. 1-224. Ueber die Differentialrechnung. -- N.G. de Schulten, Act. Fenn. Helsingfors. T. 1. A. 1842. p. 413-476. Considérations sur la manière la plus convenable d'établir les principes du Calcul Différentiel. -- N.G. de Schulten, Act. Fenn. Helsingfors. T. 1. A. 1842. p. 687-730. Considérations ultérieurs sur les principes du calcul différentiel. -- Gerhardt, Arch. v. Grunert. B. 2. A. 1842. S. 200-206. Historsiche Bemerkungen über das Princip der Differentialrechnung. -- J.N. Noel, Mém. Liège. T. 1. A. 1843. p. 1-48. De l'Analogie en Géométrie. -- Principe d'Analogie. -- Similitude. -- Th. Strong, Silliman's Amer. Journ. V. 45. A. 1843. p. 269-273. Remarks on the first Principles of the Differential Calculus, together with a new investigation of Taylor's Theorem. -- L.F. Oftendinger, Arch. von Grunert. B. 5. A. 1844. S. 201-204. Ueber Euler's Princip der Differentialrechnung: ein Zusatz zu des Herrn Dr. Gerhardt Aufsatze im II Bd. S. 200 des Archives. -- Lamarle, Mém. Liège. T. 2. A. 1845, 46. p. 221-348. Essai sur les principes fondamentaux de l'analyse transcedente. -- *F. Schmeiszer, Kritische Betrachtung einiger Lehren der reinen Analysis welchen der Vorwurf der Ungereimtheit gemacht worden ist. 2e Abth. Frcft a/O. 1846. 4°. -- *M. Ohm, Der Geist der Differential und Integralrechung, nebst einer neuen und gründlicher Theorie der bestimmten Integrale. Erlangen. 1846. 8°. -- N.G. de Schulten, Act. Fenn. Helsingfors. T. 2. A. 1847. p. 81-98. Note sur la détermination de la valeur de (1 + n)1/n pour n = 0. -- N.G. Schulten, Act. Fenn. Helsingfors. T. 2. A. 1847. p. 317-346. Considérations sur la rélation, qui existe dans quelques cas particuliers entre la valeur d'une fonction uniforme d'une seule variable et celle de son coefficient différentiel [pag. 52] du premier ordre. -- *F. Haeck, Mémoire contre la theorie du calcul infinitesimal, de la théorie des limites et en faveur du calcul transcedant nouveau, proposé par M. Gilain. Brux. 1849. 8°. -- E. Lamarle, Bull. Bruxelles. T. 21. P. 2. A. 1854. p. 140-161. Note sur les deux équations fondamentales Lim. f(x+h) - f(x)/h = f'(x) et dy = f'(x)/\x. -- E. Lamarle, Bull. Bruxelles. T. 21. P. 2. A. 1854. p. 817-822. Etudes approfondies sur les deux équations fondamentales de l'analyse, (Rapport sur). -- J.N. Noel, Mém. Liège. T. 10. A. 1855. p. 25-137. Théorie infinitésimale appliquée. -- J.N. Noel, Mém. Liège. T. 10. A. 1855. p. 461-532. Simplification des éléments de géométrie. -- E. Lamarle, Nouv. Mé Brux. T. 29. A. 1855. p. 1-118. Etude approfondie sur les deux équations fondamentales Lim. f(x+h) - f(x)/h = f'(x) et dy = f'(x)/\x. -- H. Weissenborn, Zeitschr. v. Schlömilch. B. 1. A. 1856. Liter. Zeit. S. 57-63. Die Principien der höhern Analysis. -- Sloman, Zeitschr. v. Schlömilch. B. 1. A. 1856. Liter. Zeit. S. 64-67. Versuch die Differentialrechnung zu begründen.

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45) *Briot et Bouquet, Théorie des fonctions doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques. Par. 1859. 8°.


Nog niet alle noten zijn ingevoerd. Deze zullen in 1999 worden toegvoegd.