OVER DE MAGT
VAN HET
ZOOGENAAMD ONBESTAANBARE IN DE WISKUNDE.
REDEVOERING
TER AANVAARDING VAN HET AMBT VAN BUITENGEWOON HOOGLEERAAR
AAN DE HOOGESCHOOL TE LEIDEN,
DEN VIJF EN TWINTIGSTEN SEPTEMBER 1863,
UITGESPROKEN
DOOR
DR. D. BIERENS DE HAAN.
Aanvullende gegevens:
Oorspronkelijk document telt 63 pagina's inclusief eindnoten.
Gedrukt te Leiden bij J.C. Drabbe.
EDELGROOTACHTBARE HEEREN, CURATOREN DER LEIDSCHE,
HOOGESCHOOL;
WELEDELGESTRENGE HEER, SECRETARIS VAN HET COLLEGIE
VAN CURATOREN;
HOOGGELEERDE HEER, RECTOR MAGNIFICUS;
HOOGGELEERDE HEEREN, HOOGLEERAREN IN DE VERSCHILLENDE
VAKKEN VAN WETENSCHAP, ZEER GEACHTE AMBTGENOOTEN;
WELEDEL ZEERGELEERDE HEEREN, LECTOREN IN VERSCHILLENDE
VAKKEN VAN WETENSCHAP;
EDELACHTBARE HEEREN, AAN WIEN HET HET BESTUUR DEZER
STAD EN DE HANDHAVING DES REGTS IS TOEVERTROUWD;
WELEERWAARDE HEEREN, LEERAREN DER GODSDIENST;
WELEDEL ZEERGELEERDE HEEREN, DOCTOREN IN DE VERSCHILLENDE
WETENSCHAPPEN;
WELEDELE HEEREN STUDENTEN, KWEEKELINGEN VAN DEZE
HOOGESCHOOL;
GIJ ALLEN VOORTS, DIE DEZE PLEGTIGHEID MET UWE
TEGENWOORDIGHEID
WILT VEREEREN;
ZEER GEËERDE TOEHOORDERS!
Wanneer wij van de tegenwoordige hoogte, waarop de
wiskunde staat, terugzien op haren toestand voor ettelijke eeuwen, in de laatst
verlopene, ja slechts een menschengeslacht vroeger; dan kunnen wij niet
nalaten met dankbaarheid op te merken, welke vorderingen zij gemaakt heeft,
welke zij nog voortdurend maakt: maar dan erkennen wij ook, -- de toekomst zal
hierin onze verwachting zeker overtreffen, -- welk een groot veld er nog ter
bearbeiding open ligt.
De geschiedenis der wetenschappen leert ons, dat deze
vooruitgang niet immer geleidelijk geschiedt, maar dikwerf eerder als bij stooten
en schokken [pag. 4]. Soms komen er tijdperken, dat enkele uitstekende
geleerden zich eene baan breken door de nog onbekende velden der wetenschap
en daarbij hunne tijdgenoten vooruit snellen; zoo zelfs, dat zij door hunne
tijdgenooten naauwelijks kunnen gevolgd worden niet alleen, maar zelfs dat
deze hen niet meer verstaan. Eerst aan latere geslachten is het dan
voorbehouden in hunne schriften het edele koorn van het meer vluchtige kaf te
scheiden, en den kracht van den werkelijk wetenschappelijk gevormden geest te
bewonderen, die onder zulke omstandigheden en met zulke gegevens tot zulke
inzigten zich konde verheffen. Men denke slechts aan Leonhard Euler, wiens
talrijke bijdragen, belangrijke geschriften niet alleen gedurende zijn leven, maar
ook nog eene halve eeuw later, telkens zooveel medewerkten tot de
ontwikkeling der wiskunde 1); -- aan Augustin Louis Cauchy,
dien fijnen analyst, die de grondslagen der wetenschap zuiverde van het
onkruid, dat ze dreigde te doen vermolmen, en ze hechter en sterker uit die
zuivering deed verrijzen; maar die ook in de hoogere deelen zooveel werkte en
bouwde, dat er voor het nageslacht nog werk te over is om dit alles te volgen
en tot nuttig eigendom te verwerken 2); -- aan Pierre Fermat, wiens
stellingen ook in lateren tijd de steunpilaren der getallenleer vormden, en nog in
de laatste jaren meermalen het onderwerp van gezette overweging uitmaakten
3); -- aan Matthew
Stweart, wiens algemeene stellingen op het gebied der nieuwere meetkunde
sedert ruim eene eeuw telkens stoffe leverden tot vernieuwde behandeling,
zonder dat men misschien nu nog heur oorsprong ten volle begrijpt 4); -- eindelijk aan den onlangs
overleden Jacob Steiner, die weder op het gebied der nieuwere meetkunde,
even als de beide voorgaanden, een tal van stellingen heeft achtergelaten ter
ontraadseling voor de nakomelingen, zonder aanduiding van den weg, die hem
tot deze uitkomsten voerde 5).
Na zulje enkelen komen er dan anderen in hunne
voetstappen treden, welke die snel afgeloopen baan meer langzaam volgen, die
verbreeden, die effen en toegankelijk maken, en er vruchten vinden en
verzamelen, waarvan de eersten misschien wel eenig voorgevoel hadden, maar
waarbij zij zich in hunne vaart niet konden ophouden. Deze breiden de
wetenschap mee geleidelijk uit; zij bewerken meer de bijzondere deelen, en
stuiten, hoezeer ook van de grenzeloosheid der wetenschap overtuigd, [pag. 5]
meermalen, en soms onbewust, op eene schijnbare grens, die zij, met alle
inspanning des geestes zelfs, niet vermogen te overschrijden. Zij maken dan
echter van lieverlede den grond vaster, tot er weder een nieuwe ontginner zich
opdoet, die zich boven alle grenzen verheft, en zich in dikwerf geheel
ongedachte rigting eenen nieuwen weg opent. En alzoo zijn het meermalen de
zwarigheden, die den voortgang belemmeren, -- de schijnbare grenzen, die den
horizon dreigen te verbergen, -- welke juist tot nieuwen vooruitgang der
wetenschap worden dienstbaar gemaakt, haren gezigteinder plotseling
verruimen.
Voor den beoefenaar der wetenschap kan dus de kennis
juist dier zwarigheden zelve, -- der wijze, waarop zij zijn te boven gekomen, --
der uitbreiding, die zij der wetenschap hebben doen toekomen, -- een groot en
veelzijdig nut hebben; hij kan daaruit leeren, hoe hij te handelen hebbe, wat hij
te beproeve hebbe. Eene volledige uiteenzetting, M.H., van dit onderwerp zoude
ongevoelig tot eene geschiedenis der wiskunde voeren; een enkel punt daaruit
moge het onderwerp mijner rede in dezer ure zijn: de magt van het
zoogenaamd onbestaanbare in de wiskunde. Laat ons nagaan, wat wij in
de geschiedenis dier wetenschap daaromtrent kunnen opsporen; verleent mij
daarbij, bid ik U, een welwillend gehoor, en staat mij toe, wanneer zulks voor
het juiste begrip en gewenschte kortheid van uitdrukking onvermijdelijk zal
wezen, ook eene of andere uitheemsche zegswijze te bezigen.
Ik mag het wel bij U als bekend veronderstellen, M.H.,
wat thans onder de uitdrukking: eene onbestaanbare grootheid in de
wiskunde pleegt verstaan te worden. Wanneer wij ons echter in vroegere tijden
verplaatsen, verkrijgt dit begrip eene meer ruime uitbreiding. Wat toch is wel de
eigenlijke, de werkelijke beteekenis, die aan deze uitdrukking moet gehecht
worden? Eene onbestaanbare grootheid, -- in andere talen eene denkbeeldige of
imaginaire genoemd, -- is zulk eene, die niet voldoet aan de bewust of
onbewust, regtstreeks of ingewikkeld, gedachte of uitgesproken kenmerken, die
wij aan grootheden van dezelfde soort toekennen. En daaruit vloeit als vanzelve
de waarheid voort van de vroegere bewering, dat juist het ontmoeten van zulke
schijnbaar onoverkomelijke [pag. 6] zwarigheden dikwerf de aanleiding konde
worden tot eene onverhoopte uitbreiding der wetenschap; en wel inzonderheid
op die wijze, dat daardoor eene verruiming van begrippen noodzakelijk werd
voorbereid niet alleen, maar ook werd tot stand gebragt. Gaan wij voor eenige
oogenblikken tot vroegere tijdperken terug, dan zal ons dit spoedig duidelijk
worden.
Wat toch is de oorsprong der wiskunde anders dan de
behoefte aan tellen en meten; deze heeft in alle tijden en in alle landen zich doen
gevoelen; zij klom met de vermeerderde beschaving. Ja, in den aanvang van de
geschiedenis der volksbeschaving zijn het wel de vorderingen in de wiskunde,
die als maat dier beschaving, als maatstaf van vergelijking kunnen strekken:
dáár, waar de kunst van tellen en meten weinig ontwikkeld is,
kan men wel bijna zeker zijn nog weinig beschaving te zullen ontmoeten. Reeds
in dien oorspronkelijken toestand kwamen er al spoedig grootheden voor, die als
denkbeeldig schenen. Getal toch dacht men zich zeer beperkt, zooverre als het
ware men het nog konde overzien; wat daarbuiten lag, was even goed alsof het
niet bestond: het ging alle begrip te boven. Totdat men op het denkbeeld kwam
van een getalstelsel; -- niet zoo als wij dit kennen, o neen! men gebruikte
slechts teekens of letters, om veelvouden uit te drukken en plaatste die naast
elkander: zoo deden de Toscanen, de Romeinen, de Grieken, de Semitische
volkeren, de Mexicanen, de Cingalezen. Maar sommigen daaronder gingen reeds
verder, en duidden hoogere of lagere waarden door een bijgevoegd teeken uit;
zoo als de Grieken door het aanbrengen van een streepje beneden het getal aan
een getal hetzelve met duizend vermenigvuldigden; en door het plaatsen van
zulk een streepje boven aan een getal eene breuk uitdrukten, waarbij dit getal
den noemer voorstelde. De geheel verschillende gedachte, die beide
uitdrukkingen beheerschte, was wel de oorzaak, dat de Grieken niet tot de
groote vordering geraakten, die men in het arabische stofschrift, de Gobar
6), en ook in het
scholium van den griekschen monnik Neophytos 7), de [aritmoi indixoi]
aantreft: het regelmatig gebruik van coefficienten of vermenigvuldigers, waarbij
dan bovengestelde rangletters de veelvouden van de daaronder staande
getalletters aanduidden. Doch eerst toen de plaatswaarde werd ingevoerd,
verkreeg het stelsel allengs die [pag. 7] volkomenheid, waarin wij het thans zoo
gewoon zijn te gebruiken, dat ons die eigenschap naauwelijks meer in het oog
springt; en toch -- daartoe werd nog vereischt het teeken, om eene ontbrekende
plaats aan te vullen: het nulteeken. Dit stelsel vindt men bij den Pythagorischen
Abacus of Algorithmus, in de Geometrie van Boethius 8), en evenzeer bij de arabische
en indische algebraïsten 9);
het werd echter door de
algemeene invoering van dat nulteeken eerst in de middeneeuwen meer
algemeen nuttig en verbreid.
Bij de eenvoudigste rekenkundige bewerkingen stiet
men verder al dadelijk op schijnbare onmogelijkheden: bij de deeling, wanneer
het deeltal niet een volkomen veelvoud van den deeler was. Hieruit ontstond het
begrip van breuken, doch werd tevens het algemeenere begrip van reden, van
vehouding eerst mogelijk, verder dan dat van evenredigheid. Hoe eenvoudig ons
deze begrippen thans schijnen, zij waren niettemin evenzeer onbestaanbaar
vóór er breuken waren, een begrip geheel onderscheiden van dat
der gewone getallenrij. En dan weder de tiendeelige breuken, voor ons zoo
duidelijk als eene logische voortzetting van het talstelsel; hoeveel bezwaren
moesten er overwonnen, hoeveel moeijelijke berekeningen moesten er
doorworsteld worden, voor dat Simon Stevin op dat denkbeeld kwam, zijne
,,Thiende'' te schrijven; een denkbeeld, dat ons, pas een halve eeuw geleden, in
het bezit van het tientallige stelsel van maten en gewigten bragt. Wordt dit bezit
door onze burgerij naauw op prijs gesteld, de groote voordeelen, daaraan
verknocht, staan toch aan gene zijde van het kanaal op het punt eene geheele
hervorming te weeg te brengen in het zoo zamengestelde engelsche stelsel:
eene hervorming, die dáár aan eene volksbeweging haar bestaan
zal te danken hebben.
En is dit alles het gevolg van de omgekeerde
vermenigvuldiging, de omgekeerde magtsverheffing gaf wederom aanleiding tot
eene geheel andere soort van onbestaanbare grootheden. Wel wist men een
volkomen vierkant daar te stellen, door twee gelijke getallen te
vermenigvuldigen, en dus ook omgekeerd uit dit product tot den
vermenigvuldiger, den wortel, op te klimmen; maar voor een volkomen vierkant
bestond er zulk een getal niet. Ja, men konde wel is waar hoe langer hoe digter
tot die waarde naderen; maar ze bereiken, dit was onmogelijk, hoe langen tijd
[pag. 8] ook men aan het schrijven van zoodanig getal zoude willen besteden.
Van daar de oorsprong der wortelgrootheden, die weder een onderdeel van de
onmeetbaren uitmaken. Welk eene rol spelen deze in de geheele getallenleer?
Wie had vroeger ooit kunnen voorzien, dat het met behulp der kettingbreuken
mogelijk zoude worden, over de al of niet meetbaarheid van eenige grootheid
een zeker, onfeilbaar oordeel te vellen? Wie, dat juist deze onmeetbaren
aanleiding zouden geven tot het uitvinden en leeren gebruiken van die fijne
werktuigen in de leer der oneindige reeksen, die het mogelijk gemaakt hebben,
om met betrekkelijk weinig moeite het grondtal der natuurlijke logarithmen tot
op honderd en vijf tiendeeligen, de genoeg bekende verhouding tusschen omtrek
en inhoud des cirkels tot op vijfhonderd en dertig tiendeeligen met volkomen
juistheid te bepalen?
Eene geheele omkeering bragt Renatus Descartes te
weeg, toen hij de waarheden der meetkunde in stelkundige taal leerde
overbrengen, de grootheden der stelkunde meetkundig leerde voorstellen in zijne
analytische meetkunde 10); toen hij de leer der negatieve
grootheden deed ontstaan, die zich, als een noodzakelijk gevolg daarvan, bij
hem moesten opdringen. Hoevele grootheden, vroeger onbestaanbaar,
denkbeeldig, verkregen nu een duidelijkheid, geheel gewettigd, volkomen
verklaard bestaan! Plotseling echter geschiedde dit niet. Thans weet men, wat
het is, wanneer een vraagstuk eene negatieve winst, eene negatieve ontvangst,
een negatief tijdsverloop sedert een vast tijdspunt, tot uitkomst oplevert, amar
denkt niet, M.H., dat deze begrippen, ons zoo helder, onzen voorvaderen ook
zoo duidelijk voor den geest stonden. Neen, daartoe was een lang tijdverloop,
eene veelzijdige beschouwing noodig, maar deze droeg ook rijke vruchten voor
de werenschap. Wel is waar, het beginsel van tegenstelling, dat in het begrip
der negatieve grootheden lag opgesloten, liet zich niet moeijelijk tot eene
eenvoudige optelling en aftrekking herleiden, ja door dezelfde teekens
voorstellen. Maar juist die gemeenschappelijke teekens voor oorspronkelijk
geheel verschillende begrippen hebben wel eens verwarring te weeg gebragt in
het juist opvatten van de theorie zelve 11); hoezeer het weder aan den
anderen kant niet te ontkennen is, dat juist daardoor eerst die magtige inwerking
van dit begrip is mogelijk geworden in eenen tijd, dat men zich over de streng-
logische uiteenzetting der [pag. 9] beginselen minder bekommerde, dan wel over
de snelle uitbreiding der wetenschap. Toen men later echter tot eene strengere
bearbeiding der grondbeginselen terugkeerde, vond men zooveel schijnbare en
werkelijke verwarring, dat nog omstreeks het begin dezer eeuw er onder de
geachtste engelsche wiskundigen waren 12), die de leer van het
negatieve uit een leerboek der stelkunde meenden te moeten verwijderd houden,
om begripsverwarring te voorkomen.
Deze leer van negatieve grootheden 13) was vooral van grooten
invloed op de theorie der vergelijkingen: immers vóór dien tijd
waren er alleen positieve wortels bekend, werden zelfs de negatieve niet eens
vermoed; later zelfs werden zij nog geruimen tijd veelal als valsche wortels
onderscheiden. Met behulp van deze theorie onderging echter de leer der
vergelijkingen eene geheele verandering; thans eerst konde men tot het besluit
komen, dat het aantal wortels door den graad der vergelijking wordt bepaald, en
daarop de leer der vergelijkingen gronden, die sedert Newton zoo weinig
verwachte vorderingen gemaakt heeft; thans eerst vond men, dat vergelijkingen,
waaraan tot dus verre nimmer door eenige waarde had kunnen voldaan worden,
en die dus onmogelijk, onbestaanbaar moesten worden geacht, -- toch, hoewel
dan ook slechts negatieve wortels, wortels hadden, en dientengevolge geheel
van karakter veranderden. Ook thans eerst konde de theorie der negatieve
magten ontstaan; van hoeveel invloed deze op de leer der logarithmen moest
zijn, behoeft hier naauwelijks opzettelijk te worden aangestipt.
Diezelfde leer der vergelijkingen leidde de
opmerkzaamheid op eene andere soort van grootheden, die alle terug te brengen
zijn tot den tweede-magtswortel uit de negatieve eenheid: eene grootheid, die
meer bijzonder met den naam van ,,onbestaanbaar'' pleegt bestempeld te
worden. Dan, wij zagen het immers, vóór deze waren er reeds
onderscheidene andere onbestaanbaren, die eerst bestaanbaar werden door de
verruiming van begrippen, waartoe zij, als met de onweerstaanbare kracht der
waarheid dringende, aanleiding gaven. En op dezelfde wijze is ook de
beschouwing van deze grootheden geheel van aard veranderd. Wel is waar werd
reeds vroeger door Wallis 14), later door Kühn
15) over de
beteekenis der onbestaanbare grootheden gehandeld, maar toch waren
Buée, Mourey, [pag. 10] Warren 16) onder de eersten, die het
kenmerkende deezer grootheid zochten in eene draaijing rondom het nulpunt.
Kan men -- zoo redeerden zij -- den overgang uit den positieven tot
den negatieven toestand voorstellen door eene draaijing van 180°
rondom het nulpunt, zoodat de lijn, die de grootheid voorstelt, juist
een gestrekten hoek beschreven heeft; zoo kan even zoo goed de
onbestaanbare grootheid, als middenevenredige tusschen het positieve
en het negatieve, door de halve draaijing, die van 90°, worden
voorgesteld. Daaruit volgt dan eensdeels, dat de wortel uit de
negatieve eenheid met de loodlijn overeenstemt; ten anderen, dat al
de n onderscheidene n-demagtswortels uit eenig getal
moeten worden voorgesteld door even zoo vele lijnen, uit het nulpunt
uitgaande, die alle onderling gelijke hoeken maken ter groote van
360° gedeeld door den aanwijzer der magt, zoo als bijv. de
windstreken op een kompas; -- waaruit noodzakelijk voortvloeit, dat,
wanneer deze lijnen, ieder voor zich, de beweging van uit de positieve
as even zoo veel maal herhalen, als de aanwijzer der magt zelve bedraagt,
zij alle weder met die as moeten zamenvallen.
Gauss 17)
daarentegen bezag deze grootheden uit een meer verheven standpunt,
en zocht dadelijk de beteekenis eener complexe grootheid, dat is
van zulke eene, die tweeledig is en waarvan het eerste lid wel, en
het tweede niet bestaanbaar is. Hij vond daarvoor de hypothenuse
van eenen regthoekigen driehoek, die beide leden, niet lettende op
den factor van onbestaanbaarheid, tot regthoekszijden zoude hebben:
en hierin lag de grond van een ruimer begrip van optelling, dat weder
bij de theorie der getallen in den modulus van Cauchy wordt terug
gevonden. Het is inzonderheid een gevolg van die beschouwingen, dat
aan deze grootheden eene zoo gewigtige rol schijnt voorbehouden.
Vooreerst wel om als middel te dienen tot de uitbreiding van de
onderlinge betrekking tusscjen de analysis en de meetkunde
18), ja zelfs met de theorie der
getallen; maar niet alleen dit: want zij hebben reeds gediend,
om te komen tot een veel algemeener opgevat begrip van de hoofdregels
der rekenkunde 19). Hoezeer men
zich nog niet ten volle bewust schijnt, welke gevolgen deze nieuwe
begrippen zullen na zich slepen, is het toch ontegenzeggelijk, dat
men ze veelomvattend mag onderstellen. ie had vermoed, dat die
onbestaanbare grootheden 20)
[pag 20] op zulk eene wijze een bestaan zouden erlangen; al moge
het nog eenigen tijd aanhouden, voor men zulks ten volle leert
inzien, en als mogen alsdan daarmede ook nog eenige wijzigingen
van de grondgedachte gepaard gaan.
Immers zoodanige wijzigingen ontbreken reeds nu
niet: zij ontstonden uit eene eenigzins andere opvatting der
bepaling. Men weet toch, dat in de analysis het woord functie
gebruikt wordt om eene grootheid voor te stellen, die volgens
zekere, hoe dan ook gedachte wet met eene andere grootheid te
zamen hangt. Dienovereenkomstig kan men zich den tweedemagtswortel
uit de negatieve eenheid, dien men door de letter i pleegt
voor te stellen, zoodaanig als een functieteeken denken, dat eene
herhaaling daarvan, dat is: i maal i, de negatieve
eenheid tot uitkomst heeft; en dit stemt ook geheel met de vorige
beschouwingen overeen. Dit denkbeeld nu is door Sir William Rowan
Hamilton, den Royal Astronomer van Ierland, zeer geleidelijk dus
uitgebreid, dat hij drie functieteekens aannam: i, j
en k, die meetkundig konden voorgesteld worden door drie
onderling loodregte assen; zoodanig dat zij, ieder voor zich
verdubbeld of herhaald wordende, de negatieve eenheid telkens
voortbragten; maar dat de verbinding of het product van twee
hunner, of in dezelfde, of in tegengestelde orde genomen, de derde
of het negatieve daarvan zouden voortbrengen. Hij noemde dit het
stelsel der Quaternions. Wel moge het bij de eerste beschouwing
vreemd schijnen, dat een product van teeken verandere bij
omkeering in de orde der factoren: bedenken wij echter, hoeveel
van het hier gesprokene den ouden als volstrekte onwaarheid zoude
hebben in de ooren geklonken, zoude hebben aangedruischt tegen
alle beginselen van wiskundige strengheid, hadden zij die gekend
zoo als wij: bedenken wij, hoe misschien onze nazaten over ons
zullen oordeelen, wanneer zij zien, dat de logische doorzetting van
een begrip tot deze aanneming moest voeren: en schorsen wij liever
ons oordeel op, dan voorbarig af te keuren, wat misschien van
groot gewigt en voordeel in de wiskunde kan worden. Immers, het
stelsel der quaternions, dat weder is uitgebreid en gewijzigd,
heeft reeds op zich zelf beschouwd tot verrassende uitkomsten
aanleiding gegeven 21).
Het zoude ons te ver voeren, indien wij de
verschillende uitbreiding en [pag. 12] wijziging van dezelfde
gedachte, zoo als die inzonderheid in Engeland een aantal
vernuftige en scherpdenkende analysten bezig hield, in hare
bijzonderheden wilden nagaan: het zij genoeg hier slechts te
wijzen op de theorie der algerbraische koppels van John T.
Graves 22), de symbolische
algebra van George Peacock 23),
de twee- en drievoudige algebra van Augustus de Morgan
24), de triplets van John T.
en Charles Graves 25), de
octaves of octomials van John T. Graves en Arthur Cayley
26), de tessarines van James
Cockle 27), de biquaternions
van Sir W. Rowan Hamilton 28),
de pluquaternions van T.P. Kirkman
29), de clefs algébriques
van Cauchy 30); alle berustende op
zekere, vooruit aangenomen grondstellingen of met bepaalde
bedoelingen opgestelde voorwaardens-vergelijkingen, en als
logische gevolgtrekking daaruit voortvloeijende; op dergelijke
wijze, als dit voor de quaternions is aangegeven. Zij plegen
te zamen wel eens onder den naam van hyper-algebraische
grootheden te worden begrepen 31).
Keeren wij terug tot de gewone stelkunde, dan
vinden wij dadelijk een merkwaardig verband tusschen de
zoogenaamd onbestaanbare grootheden en de bestaanbare. Vooreerst
blijkt het, dat zij zich aan dezelfde regels bij de gewone
grondbewerkingen onderwerpen, en daarbij weder telkens
een tweeledige, complexe grootheid tot uitkomst opleveren.
Slechts in enkele gevallen wordt die complexe grootheid tot eene
bestaanbare. Het product bijv. van de som en het verschil van
twee grootheden, waarvan dezelfde den factor i behoudt,
is bestaanbaar; evenzeer de derde magt van den wortel uit minus
drie, vermeerderd op verminderd met de eenheid. Men zoude dus hier
even goed den onbestaandbaren als den bestaanbaren vorm gebruiken,
wanneer deze grootheden in eenige rekening voorkwamen; en deze
overeenstemming breidt zich nog verder uit. Men weet immers, dat
de trigonometrische functien van een onbestaanbaar argument, die
ook wel hyperbolische functien plegen genoemd te worden, zich door
middel van exponentiele functien van het overeenkomstige, bestaanbare
argument laten uitdrukken, en ook omgekeerd; -- dat er tusschen de
cyclometrische functien en de logarithmen een dergelijk verband
bestaat, zoodat eenige cyclometrische functie van eenige
onbestaanbare grootheid volkomen
gelijk is aan eene zekere bestaanbare logarithmische functie,
[pag. 13] en omgekeerd: alles binnen zekere grenzen der waarde
van het argument, en onder zekere voorwaarden omtrent de meervoudige
waarden der genoemde functien. Ja, zelfs de geheele leer der
meervoudige waarden heeft haar ontstaan te danken aan de zoogenaamd
onbestaanbare grootheden, die dan ook daarbij eene groote rol
spelen: herinneren wij daarbij slechts aan de rijke vruchten van
den beroemden twist tusschen Leibnitz en d'Alembert over de
logarithmen van negatieve en onbestaanbare grootheden
32). Er was een Cauchy noodig, om
aan dezen twist op zulk eene wijze een einde te maken. Maar toch
rijst de vraag, of het onbepaald geoorloofd is, in de analytische
bewerkingen zulke onbestaanbare grootheden in te voeren; op deze
grootheden de verschillende bewerkingen der analysis toe te passen,
ook waar het oneindige reeksen bijv. betreft; of de einduitkomsten
daarbij altijd alle vertrouwen verdienen, zoner telkens een nieuw,
onafhankelijk bewijs harer geldigheid te behoeven? Deze vraag zal
straks weder ter sprake komen.
Maar ook nu nog blijven er voor ons onbestaanbare
grootheden op dit veld over, en wel bij de regtstreeksche, algemeene
stelkundige oplossing der hoogere-magtsvergelijkingen. Voor die der
eerste magt is zij van vroeger tijden reeds bekend, evenzeer als
voor die der tweede magt. Voor die der derde en vierde magten
hebben wij voor de eerste oplossingsmethoden slechts terug te gaan
tot de dagen, waarin Italie vooral bakermat der zich ontwikkelende
stelkunde was; mannen als Nicolao Tartaglia, Hieronymus Cardano en
Ludovico Ferrari zijn genoeg bekend. Maar ook in lateren tijd is
men veel gevorderd, niet alleen wat het ware begrip der wortels,
maar evenzeer wat de methoden betreft, om die af te zonderen
33). Doch hier scheen zich ook
voor het menschelijk vernuft, voor het menschelijk verstand een
onzigtbare muur te verheffen, die alle bestorming en schijnbaar
gelukte overrompeling wederstond. Ja, men begon te vermoeden,
dat hier een einde aan ons weten was, en twee groote wiskunigen,
de Italiaan Ruffini en de Zweed Abel wilden zelfs bewijzen, dat
de algemeene oplossing van vijfde en hoogere-magtsvergelijkingen
onmogelijk zoude zijn. Later heeft men zich met dit onderwerp in
Engeland lang bezig gehouden en zich in vernuftige bespiegelingen
hieromtrent verdiept; ten slotte heeft Jerrard volgehouden, dat die
oplossing niet onmogelijk [pag. 14] is, mits men tot een nieuwe
soort functien zijne toevlugt zoekt neme
34). Beslecht is dit pleit nog
niet, maar wij schijnen ons toch ook hier weder aan de grens
te bevinden, waar het schijnbaar onmogelijke wordt weggenomen
door uitbreiding van begrippen.
Niet ten eenenmale vreemd aan deze laatste
beschouwingen zijn de onbestaanbare of onmogelijke vergelijkingen,
waaronder de congenerische vergelijkingen met wortelgrootheden
eene voorname plaats bekleeden: zij worden geacht te behooren tot
dezulke, waaraan geene waarde hoegenaamd der onbekende voldoet,
die dus geenen wortel hebben. Ook deze zijn voornamelijk
overwogen door engelsche wiskundigen, die in den regel zeer
vernuftig en zeer gelukkig zijn in het behandelen van dergelijke,
ietwat louter uit bespiegeling voortgesproten onderwerpen
35).
Een geheel nieuw soort van onbestaanbare,
denkbeeldige grootheden zijn de oneindig kleinen; grootheden,
kleiner dan eenige grootheid, die men zich kan voorstellen.
Zij komen reeds bij Michel Stifel
36) voor, maar werden eerst door
Johan Kepler, Bonaventura Cavalieri en John Wallis
37) in toepassing gebragt bij de
inhoudsbepaling van kromme lijnen. Doch het was Leibnitz vooral,
die dit begrip gebruikte en uitbreidde, toen hij de
differentiaalrekening grondde. Sedert die dagen is er aanhoudend
over haar bestaan getwist, is ten hare voordeele gestreden en hare
verwerping geëischt; en ook thans nog staan de kampvechters
in beide gelederen pas 38).
Laat ons kortelijk kortelijk nagaan waaraan zij, hoe onbestaanbaar
dan ook, dat langdurige bestaan te danken hebben. Het denkbeeld
van de veranderingen eener functie met die van haar argument te
meten, om bijv. nategaan, hoe de vergrooting van een vierkant
afhangt van het grooter worden eener zijde daarvan, voerde tot
deze oneindig kleinen, onder welken vorm en onder hoedanigen
naam ook ingevoerd. Stel, om bij het genoemde voorbeeld te
blijven, dat de zijde des vierkants met een oneindig klein
vermeerdert, dan moet dit zoowel in de lengte als in de breedte
plaats hebben; het verschil tusschen het nu ontstaande en het
oorspronkelijke vierkant is vooreerst twee lijnen, volgens de
lengte en volgens de breedte, ieder juist aan de oorspronkelijke
zijde gelijk, en vervolgens het punt, waar die lijnen elkander
snijden. Het eerste deel der aangroeijing, ten bedrage van de
dubbele zijde, is nu de differentiaal van het vierkant; het tweede
[pag. 15] deel, het snijpunt, is een oneindig klein der tweede
orde, hier de tweede differentiaal. In het algemeen is bij een vlak
de eerste differentiaal eene lijn, dat is een vlak met oneindig
kleine breedte: de tweede differentiaal een punt, dat is een lijn
met oneindig kleine lengte. En zoo kwam men tot het begrip van
oneindig kleinen van hoogere orden: dat is van zulke grootheden, die
in betrekking tot de voorgaande oneindig kleinen zelve weder oneindig
klein werden. Op zich zelve beschouwd, bleven zij slechts denkbeeldige
grootheden, en konden en moesten zij verwaarloost worden; alleen hare
verhouding tot de oneindig kleine aangroeijing van de grootheid,
waarvan zij afhangen, konde in aanmerking komen. Van daar, dat bij
de aangroeijing van het vierkant het bovengenoemde snijpunt buiten
rekening moest blijven. Deze aanschouwelijke wijze van voorstellen
had veel innemends, en er behoeft hier wel niet opzettelijk op gewezen
te worden, M.H., op den invloed, die deze beschouwingen op de wiskunde
uitoefenden, op de ongekende, ongedachte, alle vermoeden verre achter
zich latende uitbreiding, laat ons liever zeggen, geheele omkeering van
die wetenschap, hieruit voortgesproten. Wat vroeger toch als hoogste doel
eener beschouwing, eener onderzoeking mocht gelden, is thans slechts het
begin daarvan; want niet alleen in de zuivere analysis, niet minder zelfs
in de toepassing op de theorie van kromme lijnen en gebogen oppervlakken,
is hare magtige werking openbaar geworden: ook de theorie der getallen,
waarvoor aanvankelijk zulk werktuig ten eenenmale ongeschikt scheen, is
thans aan hare beheersching onderworpen.
En toch, hoe was dit alles vroeger iets onmogelijks,
iets denkbeeldigs. Ja, onze Huyghens, hoezeer ook zoo innig met de
methode der ouden vertrouwd, dat hij bijna konde gezegd worden, de nieuwe
methode te kunnen ontberen voor zijne fijne nasporingen en voor zijn
diepgaand onderzoek; -- Huyghens erkende wel reeds den aanstaanden
invloed van de theorie der fluctieen; maar daarentegen voor anderen
zijner tijdgenooten, die toch ook niet misdeeld waren van wiskundige
kennis, zoo als voor onzen Bernard Nieuwentijt
39), bleef zij iets onmogelijks, iets
onwaars. Thans mogen wij ons verwonderen, dat Nieuwentijt de kracht
der waarheid aldus konde miskennen: maar stellen wij ons, zoo mogelijk,
op zijne plaats, in de heerschende denkbeelden van zijnen tijd, en
erkennen [pag. 16] wij dankbaar, hoeveel gemakkelijker thans de waardering
dier methode is; hoeveel wij thans boven hem zijn bevoorregt, nu die
theorie der oneindig kleinen langzamerhand tot de theorie der grenzen,
eigenlijk slechts eene wijziging van de exhaustie-methode der oudere
wiskundigen, voerde; ja zelve daaruit menig ondergeschikt denkbeeld
opnam. Het bleek daarbij al spoedig, dat deze veranderde opvatting alleen
op de grondbegrippen zelve invloed uitoefende; maar dat de regelen der
differentiaal-rekening, hare toepassing op de overige deelen der wiskunde,
onveranderd bleven gelden: dat het hier eerder de meer of minder
duidelijke voorstelling van het wezen der differentialen betrof, dan wel
de uitkomsten voor ieder bijzonder geval. Er werden zelfs wiskundigen
gevonden, die dezen overgang van het begrip der oneindig kleinen tot
dat der grenzen louter door het aanbrengen van eene verbeteringsmethode
wilden bewerkstelligen; die dus op zulk eene wijze aan het onbestaanbare
een bestaan wilden verzekeren.
Was voor Nieuwentijt het begrip der tweede
differentiaal reeds een bewijs voor de ongegrondheid, de onbestaanbaarheid
dezer differentiaal-rekening, wat zoude hij wel gemeend hebben van iemand,
die over differentialen met negatieven, met gebroken, ja met geheel
willekeurigen aanwijzer 40) had
gesproken? Dit zoude voorzeker, als een denkbeeldige toestand van
eene op zich zelve reeds denkbeeldige grootheid, hem te meer onmogelijk,
onbestaanbaar toegeschenen zijn. En toch, deze worden thans immers voor
even geldig erkend, voor even bestaanbaar aangenomen, als vroeger de
eerste differentialen zelfs tegenwerping vonden. Hierbij speelt eene
groote rol, wat wij in onze taal ,,bewerkingsleer''
41) zouden kunnen noemen, omdat bij
deze de teekens der bewerkingen zelve met de aanwijzers, die daarbij
eene herhaling of eenen zekeren graad of orde aanwijzen, als elementen
in de rekening worden opgenomen en weder aan zekere bewerkingen worden
onderworpen. Deze leert ons meermalen van het geval, waarin het aantal
van zekere bewerkingen oorsponkelijk, als uit den aard der zake, door
een geheelen aanwijzer wordt aangeduid, over te gaan tot het meer
algemeene geval, waarbij die aanwijzer negatief, gebroken, onmeetbaar,
ja zelfs geheel willekeurig wordt. Zulk een functieteeken met geheel
willekeurigen aanwijzer mag voorzeker wel onder die begrippen
gerangschikt [pag. 17] worden, welke, indien ze al eens bij een of
anderen denker waren opgekomen, zeker toch in den regel tot de
onbestaanbare, denkbeeldige zouden gerekend zijn. Vergeten wij
daarentegen ook weder niet, dat diezelfde onmogelijkheid bij de
leer der magten reeds zoodanig burgerrecht had verkregen, dat wij
ons ter nauwernood meer bewust zijn van het bijzondere aan haar
eigen; dat wij ons thans moeijelijk kunnen voorstellen, hoe in
vroegeren tijd eene negatieve, ja zelfs eene gebroken magt zeker tot
de onbestaanbare grootheden zoude behoord hebben: niet alleen als
geheel strijdig met het oorspronkelijk begrip van magt, als kortere
voorstelling van een produkt van eenige gelijke factoren, maar zelfs
als alle overeenkomstig begrip geheel uitsluitende.
Ter loops moge hierbij gewaagd worden van eene
dergelijke uitbreiding van begrippen bij de theorie der analytische
faculteiten, dat is produkten van een zeker aantal, telkens met een
gelijk verschil opklimmende, factoren. De overgang van deze grootheden
tot de functie Gamma, of tot de Eulersche Integralen der tweede soort,
bestaat eenvoudig daarin, dat de aanwijzer, die bij de eersten het
aantal factoren aanduidt en derhalve een geheel getal is, hier eene
willekeurige grootheid wordt. Denkt men zich beide grootheden in den
vorm der integraal, zoo is de overgang van genoemde standvastigen
uit den vorm van geheele getallen tot willekeurige waarden zeer
geleidelijk en levert niets onnatuurlijks op; het onnatuurlijke, het
onbestaanbare schijnt zich eerst te vertoonen, wanneer men ze zich
voorstelt als de uitgedrukte waarden dier integraal.
Tegenover het oneindig kleine staat het oneindig
groote op gelijke lijn. Wie is er, die ontkennen zoude, dat dit
eigenlijk iets onmogelijks, iets denkbeeldigs voorstelt? En toch,
men is gewoon, daarmede om te gaan; zoowel onbewust, wanneer men niet
daarop acht geeft, dat het in eenige redenering ingewikkeld voorkomt;
als bewust, wanneer men het als zoodanig invoert; men pleegt het te
gebruiken en te misbruiken, tot dat men eenmaal bij ondervinding
leert, hoe hier inderdaad de schijn ons op dwaalwegen voeren kan.
Wie telt de drogredenen, steunende op het verkeerd gebruik van
het oneindig groot? Wie de valsche uitkomsten, die zelfs groote
wiskundigen vaak verkregen door niet genoegzaam op het oneindig
groot te letten 42)? Vanwaar toch
komt dit? Vanwaar, dat wij ons over [pag. 18] het werkelijk
onbestaanbare van dit begrip niet bekommeren, terwijl anders het
schijnbaar onbestaanbare ons dikwerf doet terugdeinzen? Het is,
omdat wij geneigd zijn te vergeten, dat het oneindig groot geene
grootheid meer is in den eigenlijken, in den waren zin des woords;
dat wij derhalve ook als zoodanig in onze rekeningen niet meer mogen
beschouwen of invoeren. Zelfs de eenvoudigste grondwaarheden falen
hier; het ,,gelijke grootheden met gelijke grootheden vermeerderd
of verminderd, geven gelijke sommen of verschillen'' is hier onwaar:
alle vergelijking tusschen deze geheel ongelijksoortige grootheden,
de eindige en de oneindige, houdt op, omdat de maatstaf van
vergelijking ten eenenmale ontbreekt.
Deze eenvoudige waarheid is evenwel nog niet oud.
Het is nog zoo lang niet geleden, --zoude het thans nimmer voorkomen?
-- dat de grootste wiskundigen haar niet gedachten; dat zij slechts
voortgingen met hunne redeneringen, zonder zich aan haar te storen.
Dan, de uitkomsten deden ten slotte iets onbestaanbaars, iets onwaars
in die redeneringen onderstellen; men ging terug, om dat op te zoeken;
en zie daar, onder de meesterhand van eenen Cauchy ontstond de theorie
van de convergentie en de divergentie der reeksen
43), de leer, die dienen moest om te
bepalen, wanneer eene in het oneindig voortlopende reeks door eene
gesloten uitdrukking konde worden voorgesteld, konde geacht worden
een vastbepaalde waarde te bezitten; wanneer daarentegen zulke
gelijkstelling ongeoorloofd was. Deelt men bijv. de eenheid door
één meer dan eene zekere grootheid, dan is het quotient
eene reeks van termen, die de opvolgende magten dier grootheid tot
waarde hebben, en met een telkens afwisselend teeken voorzien zijn.
Verwaarloost men de rest, dan wordt die reeks eene oneindige; en nu
ontstaat de vraag: wanneer mag men die oneindige reeks voor de breuk
in de plaats schrijven? of ook: wanneer zal de rest als verdwijnend
kunnen worden beschouwd en dus gerustelijk kunnen worden verwaarloosd?
Dit nu blijkt geoorloofd te zijn, wanneer die grootheid kleiner is dan
de eenheid: de reeks is dan convergent, nadert al meer en meer tot de
waarheid; --het is ongeoorloofd, wanneer die grootheid grooter dan de
eenheid is: dan is de reeks divergent, verwijdert zich hoe langer zoo
meer van de waarde der breuk. Men kan evenwel diezelfde breuk ook
ontwikkelen in eene reeks, waarvan de termen, [pag. 19] die mede telkens
van teeken verwisselen, voorgesteld worden door de opeenvolgende
negatieve magten van die gegeven grootheid. Bij deze geldt nu de
omgekeerde redenering van daar straks: is de grootheid kleiner dan
de eenheid, zoo worden hier de termen telkens grooter, en de oneindige
reeks wordt divergent; is die grootheid daarentegen grooter dan
één, zoo worden de termen steeds kleiner, en de reeks
is convergent. Iedere der beide reeksen geldt dus telkens slechts
voor die waarden der grootheid, welke bij de andere juist uitgesloten
zijn. En toch is het wel eens gebeurd, ook in lateren tijd, dat beide
ontwikkelingen aan elkander gelijk werden gesteld! Tot zulke
ongerijmdheden voert het verwaarloozen van de regels der convergentie
en divergentie. Maar hoe is het dan, vraagt Gij misschien, M.H.,
wanneer die grootheid juist de eenheid zelve is? Ja, dan worden beide
reeksen volkomen gelijk en vormen zij de zoogenaamde reeks van Leibnitz;
maar ook dan hebben zij volstrekt geene beteekenis, vertegenwoordigen
zij geene waarde hoegenaamd: want dan bestaat de reeks uit eene
opeenvolging van eenheden, met telkens afwisselend teeken, die toch
niet met de waarde van de breuk, een half, overeenkomt; ook in dit
geval is dus de reeks divergent.
Thans worden door vele wiskundigen alle niet
convergente reeksen als onbestaanbaar verworpen en geheel uit de
beschouwingen en berekeningen verbannen: het is echter niet onmogelijk,
niet onwaarschijnlijk zelfs, dat naderhand ook deze, al zij het dan
altijd met de noodige voorzigtigheidsmaatregelen, weder in de leer der
functien zullen worden toegelaten; of liever, dat men bij het bezigen
van reeksen niet eerst omtrent hare al of niet convergentie een dikwijls
moeijelijk onderzoek zal behoeven in te stellen, maar eerst aan het slot
der redenering eene verbetering zal behooren aan te brengen, ter
opheffing van de eerst verwaarloosde fouten. Vooralsnog echter moeten
wij ons scharen onder hen, die zich wachten voor het gebruik van
divergente reeksen, als werkelijk onbestaanbaar zijnde en tot valsche
uitkomsten aanleiding gevende.
In naauw verband met deze leer staat die van de
continuiteit en discontinuiteit der functien
44), in zooverre deze namelijk in het
eerste met convergente, in het laatste met divergente reeksen
zamenhangen. Continue functien toch zijn zulke, die met haar argument
geregeld, onafgebroken [pag. 20] van waarde veranderen; discontinue zulke,
waar zoodanige veranderingen plotseling plaats grijpen, waar zij
afgebroken worden, of waar de functie soms voor eenige waarde van het
argument oneindig groot wordt. Deelen wij bijv. de eenheid door de
eenheid verminderd met de tweede magt van zekere grootheid, dan wordt
die breuk, --hetzij wij die grootheid van nul, hetzij wij die bijv. van
twee, gestadig tot de eenheid doen naderen,-- in getallenwaarde hoe
langer zoo grooter. Op het oogenblik, dat die grootheid werkelijk de
eenheid bereikt, wordt de noemer nul, en de breuk zelve wordt oneindig
groot: de breuk is voor die waarde discontinu, daar zij van het
positief oneindige naar het negatief oneindige overspringt; buiten die
waarde is zij continu. Stel nu, dat wij de breuk voor alle mogelijke
waarden van die grootheid, welke tusschen twee standvastige getallen
gelegen zijn, moeten sommeren, dat is, dat men de waarde eener
bepaalde integraal moet zoeken, tusschen twee gegeven grenzen, van
de differentiaal van x, gedeeld door één min het
quadraat van x, zoo vinden wij daarvoor een zekeren logarithmus.
Zijn de grenzen beide grooter of kleinder dan de eenheid, dan blijft de
breuk steeds continu, en heeft het gevraagde geen bezwaar; ligt echter
de eenheid tusschen beide grenzen van het integreren, dan wordt de
breuk tusschen de grenzen discontinu; en ontstaat de vraag, wat er nu
van die waarde wordt? Is zij al dan niet onbestaanbaar? Die toestand,
deze vraag en dergelijke vragen meer, die bij discontinue functien
kunnen voorkomen, werden vroeger over het hoofd gezien; en eerst nadat
het gebleken was, dat zulks tot misslagen aanleiding gaf, kwam men
daarop terug, en maakte die vraag een punt van gezette overweging uit.
Het was weder Cauchy, die in deze theorie der continuiteit belangrijke
onderzoekingen aan het licht bragt, in het genoemde geval van eene
bepaalde integraal voornamelijk door zijne theorie van singuliere
integralen en de rekening der residuen. Het is toch vooral in de
theorie der bepaalde integralen, dat deze beschouwingen eene groote
rol spelen: toen vroeger de gevallen van discontinuiteit veelal over
het hoofd pleegden gezien te worden, gaf dit tot groot verschil van
gevoelen en tot vele valsche uitkomsten aanleiding; ja, van hoe groot
belang ook de overweging omtrent continuiteit en discontinuiteit blijkt
te zijn, wordt zij echter in den regel ook [pag. 21] thans nog te
weinig in toepassing gebragt, te dikwijls over het hoofd gezien.
--Op den arbeid van Cauchy steunende, is sedert door Briot en Bouquet
45) eene theorie geleverd van de
perioden der functien, ook van onbestaanbare grootheden, ten opzigte
van hare continuiteit; een stelsel dat van fijn onderzoek getuigt, en
nog in de toekomst teregt veel vruchtbaarheid belooft. Dit onderzoek
had vooral ten doel, de straks geopperde vraag te onderzoeken, in
hoeverre en wanneer het geoorloofd zij, de gewone regels der analysis
ook op complexe grootheden toe te passen; --welke voorzigtigheidsmaatregelen
daarbij zijn in acht te nemen.
Bij deze methode zoowel als bij het onderzoek omtrent
meer dan een der vroeger aangestipte punten, is de analytische meetkunde
van Descartes, zoowel als de nieuwere meetkunde, in het algemeen de
theorie van lijnen en oppervlakken, van veelzijdig nut, ja veelal is zij
geheel onmisbaar tot het vormen van zuivere begrippen. En ook op dit
gebied ontbreekt zelf het zoogenaamd onbestaanbare niet, en is evenmin de
verklaring daarvan onvruchtbaar achterwege gebleven: integendeel heeft
zij ook hier tot grooter verruiming van begrippen aanleiding gegeven, al
zij het dan ook veelal in gansch andere rigting dan in het vorige
besproken werd.
Herinneren wij ons de meetkundige voorstelling van de
oplossing der hoogere-magtsvergelijkingen; hoe door eene evenwijdige
verplaatsing der as, dat is door de verandering van den standvastigen
term in eene vergelijking, twee wortels eerst tot gelijkheid kunnen worden
gebragt, wanneer die as van snijlijn tot raaklijn overgaat; hoe die
wortels later onbestaanbaar worden, of liever gezegd verdwijnen,
wanneer die as buiten de kromme lijn ligt; dan bleef hier de vraag,
wat er met die beide wortels eigenlijk geschiedde? Deze vraag is thans
voldoende beantwoord door het aanwijzen van andere, nieuwe takken der
kromme lijn, die mede tot de voorstelling der bewuste vergelijking
behooren; takken, die in een loodregt vlak gelegen zijn, en de
oorspronkelijke kromme, in het oorspronkelijke vlak begrepen, aanraken
in zekere punten, overeenstemmende met een paar gelijke wortels: ieder
van zulke takken wijst dus minstens een paar onbestaanbare wortels aan,
waarvan het bestaanbare deel gelijk moet zijn. Deze beschouwing komt
geheel overeen met de vroeger vermelde voorstelling [pag. 22] der
zoogenaamd onbestaanbare grootheid i, de loodlijn namelijk, hier
het loodregte vlak; zij heeft reeds tot gewigtige uitkomsten geleid.
Wij zouden thans nog moeten spreken over de
onbestaanbare of denkbeeldige punten en stralen en raaklijnen, die in de
nieuwere meetkunde eene voorname rol spelen, en tot zulke uitbreiding
van begrippen aanleiding hebben gegeven: dan zulks zoude op deze plaats,
zonder eenige hulpmiddelen tot toelichting en ondersteuning van het
gesproken woord, moeijelijk zijn. Alleen moge hier als voorbeeld
gewezen worden op de chordaal van twee cirkels. Snijden deze beide
cirkels elkander, zoo staat de gemeenschappelijke koorde loodregt op
het gemeenschappelijke stuk van de lijn die de middelpunten vereenigt;
en verdeelt dat segment in bepaalde reden. Liggen nu de cirkels buiten
elkander, dan wordt dat gemeenschappelijk segment vervangen door den
uitwendigen afstand tusschen de omtrekken; wordt ook deze in eene door
dezelfde wet bepaalde reden verdeeld, en uit dat punt eene loodlijn
opgerigt. Alzoo heeft men de chordaal, die in eigenschappen met de
gemeenschappelijke koorde overeen komt, --zij verdeelt bijv. de
raaklijnen, die beide cirkels gemeen hebben, tusschen de raakpunten,
in twee gelijke deelen -- en dus als een denkbeeldig geval daarvan
kan worden opgevat. Zoo als reeds werd opgemerkt, heeft de
beschouwing van dergelijke denkbeeldige toestanden een gewigtigen
invloed op de nieuwere meetkunde uitgeoefend.
Gij zaagt het M.H., het onbestaanbare, het denkbeeldige
is meermalen in de geschiedenis der wiskunde voorgekomen, hetzij men
daarop stuitte, en den weg in die rigting voor immer gesloten waande;
hetzij men onbewust daarover was heengestapt, of het ter zijde had laten
liggen, en men eerst door latere uitkomsten genoodzaakt werd, op den
betreden weg terug te keeren, ten einde den oorsprong van de verkeerde
uitkomsten op te sporen. Doch Gij zaagt tevens, hoe, zoowel in het eene
als in het andere geval, juist zulke onbestaanbare grootheden gereede
aanleiding gaven tot de grootste ontdekkingen in de wiskunde, en hoe zij
strekten tot uitbreiding der begrippen; hoe zij dienden om die wetenschap
te zuiveren van verkeerde of onvaste grondstellingen, om haar allengs dat
karakter van zekerheid te doen toekomen, dat haar bij uitnemendheid ten
[pag. 23] kenmerk strekt. Gij erkendet daarin de magt van het onbestaanbare.
Maar Gij zaagt eindelijk ook, hoe er nog, vooreerst althans, werkelijk
onbestaanbaren voor ons overblijven, wachtende op den eenen of anderen
meester, die ze zal komen oplossen.
Maar ook voor ons, M.H., al zijn wij zulke meesters,
kan het gezegde, hoe kortelijk dan ook aangestipt, van nut wezen. Het kan
ons doen gevoelen, waar de klippen liggen, die hetzij boven de golven
uitsteken, hetzij onder de baren bedolven zijn. Het kan ons voorzigtigheid
leeren in het uitspreken onzer oordeelen, gematigdheid bij het beoordeelen
van anderen, die onze opvatting der waarheid niet deelen. Het kan ons tot
eene strenge methode voor ons zelven voeren, opdat ook wij misschien een
of anderen steen voor het gebouw der wetenschap mogten aanbrengen: is die
weg niet de gemakkelijkste, zij belooft de zekerste uitkomsten. En mogt
het ons gelukken, zulk eenen steen magtig te worden: de zelfvoldoening,
de dankbaarheid over zulke vondst zal menige zure stonde verzoeten,
zal menigen zwaren arbeid geheel doen vergeten, wat zeg ik! ze doen
zegenen. Mogten velen onzer zulke oogenblikken op hunnen levensweg
ontmoeten.
En thans wend ik mij tot U, Edelgroothachtbare Heeren,
Curatoren dezer Hoogeschool! Gij hebt aanleiding willen geven, dat de
Regering haar blik op mij vestigde, om mij eenen nieuwen leerstoel
aan deze Hoogeschool te doen innemen. Wilt U overtuigd houden, bid ik U,
dat dit bewijs van vertrouwen mij den moed gaf, om van eenen in vele
opzigten geheel onderscheiden werkkring en uit betrekkingen van gansch
anderen aard over te gaan op den baan, waarop ik mij voortaan zal hebben
te bewegen. Dat daartoe moed noodig was, --dat die ook thans mij noodig
is bij het besef van zooveel, dat mij ontbreekt voor de betrekking, die
ik aanvaard, gevoel ik levendig ook op dezen stond. Immers, de taak van
de faculteit der wis- en natuurkundige wetenschappen aan onze Hoogeschool
staat in regtstreekschen zin eene ruimere te worden, dan zij vroeger wel
mogt heeten: de studie, met name die van de hoogere deelen der wiskunde,
heeft het vooruitzigt zich in een grooter getal beoefenaars te zullen
verheugen, [pag. 24] dan wel tot heden het geval plagt te zijn; --nu
weinige maanden geleden bij de wet geregeld werd, wat toegepaste wetenschap
mag genoemd worden. Daarbij zullen er inrigtingen ontstaan, die voldoen
moeten aan de behoeften naar praktische vorming van het nijvere deel
onzer medeburgers; behoeften, zoo innig, al zij het dan ook veelal nog
zoo onbestemd en onzeker gevoeld en uitgedrukt. Doch zulke inrigtingen
vereischen onderwijzers, die, hunne roeping ten volle bewust, komen
putten aan de bron der wetenschap, om daar kennis te vergaderen en
geschiktheid op te doen voor hunne volgende betrekking. Zulken wacht Gij
hier aan deze Hoogeschool, en alzoo kan deze ook de vruchtbare stam
worden van eene in rigting geheel onderscheidene tak van onderwijs.
Van mij wordt verwacht, dat ik medewerke bij deze opleiding: ik gevoel
mij bereid, om mijne beste krachten te wijden aan de taak mij voorgesteld;
eene taak, die, al moge zij moeijelijk wezen, toch ook zeker eene schoone
mag genoemd worden. En daarbij steun ik op Uwen bijstand, op Uwe
aanmoediging, waar ik die behoeven mogt.
En Gij, Hooggeleerde Heeren! Hoogleeraren aan deze
Hoogeschool, waar ik mijne opleiding mogt ontvangen. Ik zie onder U nog
de meeste mijner vroegere leermeesters, die mij den tempel der wetenschap
hebben ingeleid. Met U werd, sedert ik deze Hoogeschool verliet, de
betrekking niet verbroken: en van zoo velen Uwer mogt ik, waar wij
elkander ontmoetten, steeds zoovele bewijzen van belangstelling, van
vriendschap ondervinden: blijve die vriendschap ook thans mijn deel, nu
ik geroepen word, naast U eene eervolle plaats in te nemen; zij zal mij
helpen en ondersteunen bij mijne ernstige pogingen, om het mijne bij te
brengen tot het volvoeren onzer gemeenschappelijke taak.
Dit zij niet het minst noch het laatst tot U gezegd,
hooggeschatte Verdam! mijnen voormaligen promotor, dien ik steeds als
vriend mogt blijven waardeeren, en dien ik heden voor het eerst als
ambtgenoot ter zijde treed. Het zijn de lessen, vroeger van U genoten,
de wenken, die Gij mij voortijds gaaft, welke de rigting mijner studien
hebben helpen bepalen, welke mij thans in staat moeten stellen, zelf
naast U in het onderwijs dierzelfde vakken op te treden, met U aan
hetzelfde werk gezamenlijk te arbeiden. De herinnering aan Uw voorbeeld
moge mij steeds [pag. 25] eene opwekking zijn tot het volijverig en
naauwgezet volbrengen der taak, die mij wacht.
Die taak heb ik ook met U te deelen, mijne vroegere
academiebroeders! die mij hierheen zijt voorgegaan. Één
was vroeger ons doel: toe te nemen in kennis en beschaving; één
moge ook thans weder ons streven wezen, nu het geldt, anderen te leiden
en te ondersteunen bij hunne pogingen.
Bij dat doel toch, al mijne ambtgenooten! verdwijnt
het onderscheid tusschen de verschillende leerstoelen, tusschen de
onderscheidene faculteiten: het is het zoeken naar de waarheid, dat
wij ons voorstellen; en zoo straks heb ik getracht aan te wijzen, hoe
het onbevooroordeeld zoeken als van zelf ons omzigtig maakt in het
handhaven van eigen meening, gematigd in het beoordeelen der meeningen
van anderen. Zulke stemming geeft den zekersten grondslag voor een
welwillend zamenwerken, ook dáár, waar de rigtingen
zich onderling verre verwijderen, ja geheel tegenovergesteld zouden
schijnen te zijn. Daarom beveel ik mij ten zeerste in Uw aller
medewerking, in Uw aller ondersteuning, in Uw aller vriendschap aan.
Wanneer ik mij zoo even in het verledene terug bewoog,
hoe zoude het dan anders kunnen, dan dat ik U herdenke, geliefde Vader!
U, die van den beginne aan mijn trouwe leidsman waart, die mij van
lieverlede de rigting zaagt nemen van mijnen tegenwoordigen loopbaan.
Gij hebt mij dit steeds gemakkelijk gemaakt, mij met raad en daad
gesteund, mij getoond, hoe men vooreerst en vooral mensch moet worden.
Ik dank God, voor mij zelven en voor U, dat hij U in het leven spaarde
en mij gunde, U hier op dezen dag van deze plaats te begroeten. Ontbreken
mij de woorden, om U uit te drukken, wat ik op dezen stond gevoel, Gij
gevoelt het met mij en verstaat ook de onuitgesproken woorden.
En thans rigt ik het woord tot U, Weledele Heeren,
Studenten aan deze Hoogeschool! Gij, die het tegenwoordige vertegenwoordigt,
die nu zijt, wat ik voor ruim drie vijftallen jaren was; ik acht het een
groot, een hoog te waarderen voorregt, geroepen te zijn, met U mede te
werken, U ter zijde te staan in het vergaderen van nuttige kennis, in
de beschaving des geestes. Ik verbloem mij het moeijelijke dier taak
geenzins: want niet gemakkelijk altijd is de weg der wetenschap; maar
wanneer [pag. 26] wij met welgemeenden ijver te zamen trachten naar het
grootsche doel, dat U naar deze schole drijft, dan verminderen en
verdwijnen de doornen, dan worden de rozen onze des te zoeter belooning.
Opregtelijk en met vertrouwen reik ik U de vriendenhand, om dien weg te
bewandelen; neemt haar aan, zoo als zij U wordt aangeboden: dan kunnen
zelfs de moeijelijkheden die wij ontmoeten, juist de middelen worden, om
een te schooner doel te bereiken. Moge dan onze gezamenlijke arbeid
gewenschte vruchten dragen en medewerken tot de bloei dezer Hoogeschool.
Dat zij zoo.
Noten
1) Leonhard Euler, die reusachtig arbeidende
wiskundige, heeft niet alleen gedurende zijn leven de akademische werken van
St. Petersburg, Berlijn enz. telken jare met zijne verhandelingen verrijkt, maar
heeft nog zulk een schat van handschrift achtergelaten, dat tot op eene halve
eeuw na zijnen dood de drie reeksen verhandelingen der Petersburger akademie -
- de Acta van T. IV. P. II tot T. VI, de Noav Acta T. I-XIII, de Mémoires
T. I-XI, waarvan het XIe deel, in 1830 uitgekomen, alleen diende om alle
overgebleven verhandelingen, zoo als men toen meende, optenemen, --
daarmede konde prijken en telkens der wetenschap tot nieuw voedsel
verstrekken. Toen bevatten de werken der Petersburger akademie over de 500,
die der Berlijnsche 120, die der Fransche 14, die van Leipzig 10, die der
Turijnsche 6 verhandelingen, behalve het tal van werken, die afzonderlijk zijn
uitgegeven; -- en toch is het gebleken, dat er nog een groot getal onuitgegeven
verhandelingen voorhanden waren, alle van regtstreeks belang voor de
wetenschap. --
Zie N. Fuss, Éloge de L. Euler. St.
Pétersbourg, 1783. 4o (waarvan eene hoogduistche
vertaling van den schrijver zelven het licht zag: *N. Fuss, Lobrebe auf Herrn
Leonhard Euler. Berol. 1786. 8o). -- Correspondance
mathématique et physique de quelques célèbres
géomètres du XVIII siècle. St. Pétersb. 1843. II
Tomes. 8o. -- *P.N. Fuss, Nachricht über eine
Sammlung unedirter Handschriften L. Eulers. Petersb. 1848. in
8o (overdruk van Bull. de la Classe phys. et math. de l'Acad.
Imp. de St. Pétersb. T. 7. A. 1849. p. 337-368.
De met * geteekende werken zijn in mijn bezit. Omtrent de ongeteekende
ontbrak mij tijd en
gelegenheid de afzonderlijke werken nategaan. De aanhalingen uit tijdschriften
of Acta zijn in den
regel door mij nagezien.
2) Om zich van de onvermoeide werkzaamheid van
Augustin Louis Cauchy een denkbeeld te maken, behoeft men slechts in te zien
zijne Exercices de mathématique. V Vol. [pag. 28] Paris 1826-1830.
4o. -- *Résumés analytiques. 5
No. Turin. 1833. 4o. -- Nouveaux exercices
de mathématique. II Vol. Prague. 1835, 36. 4o. --
Exercices d'analyse et de physique mathématique. IV Vol. Paris. 1838-
1847. 4o -- en de Comptes Rendus hebdomadaires des
séances de l'académie des sciences de Paris. T. 4-44 A. 1837-
1857. Bovendien zijn nog in de werken der Fransche akademie, het Journal d
l'Ecole Polytechnique, enz. vele verhandelingen en prijsschriften van hem
opgenomen, terwijl hij nog een groot getal afzonderlijke werken uitgaf.
3) Over Pierre Fermat van Toulouse, wiens stellingen
over priemgetallen, en de ontbinding van getallen in sommen van gelijknamige
magten, bekend zijn, en die in verband daarmede de Analysis van Diophantus,
een gedeelte van de leer der onbepaalde vergelijkingen, zulke uitbreiding deed
ondergaan, zie men o.a.: *E. Brassine. Précis des oeuvres
mathématiques de P. Fermat et de l'arthmétique de Diophante.
Paris 1853. 8o.
4) Het werkje van Matthew Stewart, -- Some general
Theorems of considerable use in the higher parts of Mathematics. Edinburgh
1746, -- heeft tot voor eenige jaren vele geleerden bezig gehouden. Zie
o.a.:
R. Small, edinburgh Philos. Trans. V. 2. A. 1790. p.
112-134. Demonstrations of some of Dr. Matthew Stewart's General
Theorems. -- C. Babbage, Journal Royal Instit., V. 1. A. 1817. p. 6-24.
Demonstration of some of Dr. Matthew Stewart's General
Theorems, to which is added an Account of some new Properties of the
Circle. -- R. Leslie Ellis, Cambr. Math. Journ. V. 2. A. 1841. p. 271-276.
Analytical Demonstration of Dr. Matthew Stewart's Theorems. -- G. Wilson,
Proceed. Edinburgh Phil. Soc. V. 1. A. 1832-1844. p. 471. On Dr. Matthew
Stewart's General Theorems. -- T.S. Davies, Edinburgh Philos. Trans. V. 15. A.
1844. p. 573-608. Analystical Discussion of Dr. Matthew Stewart's General
Theorems. -- Breton (de Champ) Journal de Math. de J. Liouville. T. 13. A.
1848. p. 281-332. Analyse de l'ouvrage de Stewart, intitulé: ,,Quelques
théorèmes généraux d'un grand usage dans les
hautes mathématiques.''
5) De werken van Jacob Steiner vindt men voornamelijk
bijeen in het Journal für die reine und angewandte Mathematik von A.L.
Crelle, en wel in de 55 eerste deelen, 1826 tot 1858. Die verhandelingen zijn
54 in getal; 27 daarvan zijn geheel of grootendeels lijsten van opgaven en
stellingen, meerendeels zonder bewijzen: zij bevatten een rijke schat van arbeid
ter bewerking voor den nakomeling.
6) Dit handschrift werd in 1810 door Silvestre de Sacy
in de bibliotheek van de oude Abdij St. Germain des Près ontdekt: verg.
diens Grammaire Arabe. 1810. Zie ook A. von Humboldt, Crelle's Journal. Bd.
4. S. S. 205-231. -- Woepcke, Journal Asiatique. 1854. p. 358.
7) Zie hierover A. von Humbodt, l.c. --Böckh,
Sommercatalog. 1841. -- Friedlein, Gerbert, die Geometrie des Boethius, und die
indische Ziffern. Erlangen. 1861.
8) Over de slecht begrepen Geometrie van Boethius en
den abacus van Gerbert is in lateren tijd veel geschreven, o.a. door *Chasles,
Compt. Rend. 1843.
9) Veel is er getwist over de vraag, of wij ons
getalstelsel aan de Arabieren te danken hebben, dan wel of wij en zij uit eene
vroegere bron hebben geput bij oudere wiskundigen. Hierover, zoowel als over
getalstelsels in het algemeen, kan men behalve de in Noot 6-8 aangehaalde
werken nog nazien:
J. Dirney, Journal of Roy. Instit. V. 1. A. 1817. p. 166-
168. Conjectures respecting the original Formation of the Arabic Digits. --
Journal of Roy. Instit. V. 2. A. 1817. p. 147. On the original Formation of the
Arabic Digits. -- Journal of Roy. Instit. V. 5. A. 1818. p. 323. On the original
Formation of the Arabic Digits. -- Decaphilus, Phil. Mag. V. 64. A. 1824. p.
362-267 On weights and measures and on numerical Notation. -- A. von
Humboldt, Journ. v. Crelle. Bd. 4. A. 1829. S. 205-231. Ueber die bei
verschiedenen Völkern üblichen Systemen von Zahlzeichen und
über den Ursprung des Stellenwehrtes in den indischen Zahlen. -- A. von
Humboldt, Quart. Journ. Roy. Instit. V. 29. A. 1830. p. 300-331. On the
System of Numerical Signs used by different Nations, and on the origin of the
Expression of Values by Position in the Indian Numbers. -- Chasles, Compt.
Rend. T. 6 A. 1838. p. 678-680. De la connaissance qu'ont eue les anciens
d'une numération décimale écrite qui fait usage de neuf
chiffres, prenant des valeurs de position. -- Chasles, Compt. Rend. T. 8. A.
1839. p. 72-81. Sur l'origine de notre système de numération. --
Vincent, Compt. Rend. T. 8 A. 1839. p. 338-340. Note sur l'origine de nos
chiffres. -- Roulin, Compt. Rend. T. 8. A. 1839. p. 971, 972. Sur une date du
12e siècle écrite en chiffres Romains avec valeur de postion. --
Chasles, Compt. Rend. T. 9. A. 1839. p. 447. Note sur l'Abacus. -- Libri,
Compt. Rend. T. 9. A. 1839. p. 447, 448, 452-454, 469, 470. Remarques sur
cette Note. -- Chasles, Compt. Rend. T. 9. A. 1839. p. 448-442, 463-469,
470. Réponses à ces remarques. -- Vincent, Journ. de Liouville.
T. 4. A. 1839. p. 261-280. Note sur l'origine de nos chiffres et sur l'Abacus
des Pythagoriciens. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag. Vol. 15. A. 1839. p.
447-450. On the Connexion between the Boetian and the Middle-Arabic
numerical Forms. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag. Vol. 16 A. 1840. p. 51,
52. Observations on the Authenticity of the Passage in the Treatise of Boethius
,,de Geometria'' on Numeical contractions. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag.
Vol. 16. A. 1840. p. 136-138. New Researches on the true Nature of the
Boetian Contractions, especially with reference to the Explanation given by M.
Chasles. -- J.O. Halliwell, L. and E. Phil. Mag. Vol. 16. A. 1840. p. 221, 222.
Additional Note on the Authenticity of the Disputed Passage in the Treatise of
Boethius ,,de Geometria'' on Numerical Contractions. -- J.O. Halliwell, L. and E.
Phil. Mag. Vol. 18. A. 1841. p.13, 14. On the Impossibility of the Boetian
System of numerical Contradictions and the Alalbaldine Notation having had a
common Origin. -- [p. 30] *G. Libri, Histoire des science mathématiques
en Italie. IV. Vol. Paris 1831-41. 8o. -- J.O. Halliwell, Proceed.
Irish Soc. V. 1. A. 1841. p. 386, 387. An inquiry into the Period of of the first
Use of the Zero. -- J.O. Halliwell, Proceed. Irish Soc. V. 1. A. 1841. p. 415-
420. On the Boetian Numerical Notation. -- *G.H.L. Nesselmann, Die Algebra
der Griechen. Berl. 1842. 8o. -- Gerhardt, Arch. von Grunert.
Bd. 2. A. 1842. S. 427-431. Ueber den Ursprung und die Verbreitung unseres
gegenwärtigen Zahlensystemes. -- Vincent, Compt. Rendu. T. 14. A.
1842. p. 43, 44Sur un certain emploi que faisaent les Romains dàs le
2e ou le 3e siècle de notre ère, des valeurs de position pour
l'expression des nombres. -- Chasles, Compt. Rendu. T. 14. A. 1842. p. 547-
559. Eclaircissements sur le traité de Numero Arenae
d'Archimède. -- Chasles, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 156-173.
Explication des traités;s de l'Abacus, et particulièrement du
traité de Gerbert. -- Libri, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 215, 216.
Remarques. -- Chasles, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 216-246.
Règles de l'Abacus. -- Chasles, Compt. Rend. T. 16. A. 1843. p. 281-
299. Analyse et Explication du Traité de Herbert. -- Chasles, Compt.
Rend. T. 16. A. 1843. p. 1393-1420. Développements et
détails historique sur divers points du système de l'Abacus. --
Chasles, Compt. Rend. T. 17. A. 1843. p. 143-154. Recherches des traces du
système de l'Abacus après que cette méthode a pris le
nom d'Algorithme. -- Preuves qu'a toutes les époques jusqu'au 16e
siècle on a su que l'Arithmétique vulgaire avait pour origine cette
méthode ancienne. -- *A. Arneth, Die Geschichte der reinen
Mathematik. Stuttg. 1852. 8o. -- Cantor, Zeitschr. v.
Schlömilch. B. 1. A. 1856. S. 65-74. Ueber die Einfürung unserer
gegenwärtiger Ziffern in Europa. -- Terquem, Bull. de Bibl. A. 1857. p. 1-
4. Sur l'existence prétendu, dans le Massorah, d'un nombre
exprimé selon un système de position. Epoque
présumée d'admission chez les Arabes. Origine du signe
[oneindig]. -- Cantor, Zeitschr. v. Schlöm. B. 3. A. 1858. S. 325-341. Zur
Geschichte der Zahlzeichen. -- &M. Cantoe, Mathematische Beiträge zur
Kulturlehre der Völker. Halle 1863. 8o. (Dit laatste werk
bevat eene grondige doorwerkte geschiedenis, ook der getalstelsels, en is met
eene menigte uitvoerige aanteekeningen verrijkt.)
10) De ,,Geométrie'' van Renatus Descartes zag
in 1637 het licht. Zij werd in 1649, met de ,,Notes'' van Florimond de Beaune,
door Franciscus van Schooten in het latijn vertaald, en, met ,,Comentarii'' en
een ,,Additamentum'' verrijkt, te Leiden in 4o uitgegeven.
Reeds in 1659 verscheen, mede te Leiden, een tweede druk in II Dl.
4o, waarin nog verschillende zeer belangrijke stukken van
Johannes Hudden, Fr. van Schooten, Henricus van Heuraet, Johannes de Witt
zijn opgenomen.
Ook Jacobus van Wassenaer, Christiaan Huygens en
R.F. Slusius bragten het hunne bij tot ontwikkeling van dit nieuwe gedeelte der
wiskunde. Zie verder *P. Cl. Rabuel, Commentaires sur la
géométrie de M. Descartes. Lyon. 1730. 4o. --
*J.P. de Gua de Malves, Usages de l'analyse de Descartes. Paris. 1740.
8o.
11) Deze verwarring wilde Carnot trachten te
voorkomen door het invoeren der benamingen ,,direct'' en ,,inverse'' (zie
*L.N.M. Carnot, De la corrélation des figures en
géométrie. Paris. 1801. 4o.), in onbewuste
navolging van E. de Velay, Introduction à l'Algébre. Lausanne
1799. Zie verder L.N.M. Carnot, Géométrie de position. Paris
1803. 4o.; van welk thans reeds zeldzame werk H.C.
Schumacher eene hoogduitsche vertaling gaf, onder den titel *Carnot,
Geometrie der Stellung. Altona. 1808. II Bd. 8o., die veel
meer bekend is dan het oorspronkelijke werk. Ook N.F. Canard schreef hierover
in zijn *Traité Élémentaire du Calcul des
Inéquations. Paris. 1808. VIII et 477 pages in 8o.,
waar hij bl. 56 de beide beteekenissen van het minus-teeken ondescheidt in de
,,quantités métanégatives et pronégatives.''
12) W. Frend, Principles of Algebra. London 1796. --
Zie ook W. Frend, True Theory of Equations. London. 1799, met een bijvoegsel
van Fr. Maseres. -- *Fr. Maseres, A Dissertation on the Use of the Negative
Sign in Algebra. London. 1758. 4o. In de Phil. Trans. 1780. p.
221, schreef Maseres: ,,Geometry and Algebra (for if we banish from it the
ridiculous mysteries arising from the supposition of negative
quantities, or quantities less than nothing, the latter may deserve the
name of a science as well as the former).''
13) Tot de bibliographie der positieve en negatieve
grootheden behooren o.a.: C.H. Krausen, Sendschreiben an Herrn W.J.G.
Karsten. Leipzig. 1757. 8o. -- *D.G. Rudolph, Sendschreiben
wegen einigen scheinbaren Schwürigkeiten bei der Multiplication und
Division der positiven und negativen Grössen. Leipzig. 1757.
8o. -- d'Alembert, in Diction. hist. crit. Art.
négatif. -- O. Holmberg, Diss. de quantitate negativa: praes.
F. Mallet. Upsal. 1776. 4o. -- A.F.C. Reinhard. Act. Erfurd. T.
3. A. 1778. De vera notione additionis et substractionis quantitatum
oppositarum. -- *d'Alembert, Opuscules. T. 8. Sur les quantités
négatives. 1780. -- F.C.H. Arentsz, Nye. Samml. Danske. Skr. (2e
Raekke) B. 1. A. 1782. S. 536-557. En noiere Bestemmelse af Tagnenz + og -
Hensende til detes Betijdning og Brug. -- *(D. Porro), Exposition du calcul des
quantités négatives. Avignon. 1784. 8o. --
J.H. Lambert, Leipz. Mag. 1787. St. 1. S. 62-71. Ueber die Mehrheit der
Wurzeln höherer Gleichungen. -- A.G. Kästner, Leipz. Mag. 1787.
St. 1. S. 71-76. Ueber eine scheinbare Schwierigkeit bey kleinern und
grössern Quotienten. -- A.G. Kästner, Leipz. Mag. 1767. St. 4. S.
423-430. Gedanken über einen Aufsatz von Lambert. -- W. Greenfield,
Edinburgh Phil. Trans. V. 1. A. 1788. p. 131-145. On the Use of the Negative
Quantities in the Solution of Problems by Algebraical Equations. -- de Castillon,
Mém. Berlin. A. 1790, 91. p. 331-341, 342-363. Examen philosophique
de quelques principes de l'Algèbre. 1er et 2d Mém. -- [pag. 32]
F. Mallet, N. Acta Upsal. T. 5. A. 1792. p. 145-163. De negatione quantitatum
Geometricarum. -- G.S. Klügel, Arch. von Hindenb. B. 1 H. 3 S. 309-319;
H. 4. S. 470-481. A. 1795. Ueber die Lehre von den entgegengesetzten
Grössen. -- G,S, Klügel, Arch. von Hindenb. B. 3. H. 11. S. 340-348.
A. 1800. Schreiben. -- H.D. Wilkens, Die Lehre von den entgegengesetzten
Grössen im neuen Gewande. Brschwg. 1800. 8°. -- *F.G. Busse, Neue
Erörterungen über Plus und Minus. Cöthen. 1801. 8°. -- R.
Woodhouse, The Principles of Analytical Calculation. Cambridge. 1803. -- Rothe,
Handbuch der reinen Mathematik. Leips. 1804. -- F.G. Busse, Vergeleichung
zwischen Carnot's und meiner Ansicht der Algebra. Freib. 1804. 8°. -- Von
Winterfeld, Anfangsgründe der Rechenkunst. Brschwg. 1809. -- M.V. do
Conto, Mem. Lisboa. T. 3.2.A. 1814. p. 149-178. Breve Ensais sobre a
Deducção Philosophica das operações Algebricas. --
Cach, Ann. de Math. T. 4.A. 1814. p. 1-6. Essai sur la théorie des
quantités négatives. -- Gergonne, Ann. de Math. T. 4. A. 1814. p.
6-20. Reflexions sur le même sujet. -- H.C. Englefield, Phil. Mag. V. 45.
A. 1815. p. 15-19. On the rules for Algebraic Multiplication. -- *K.C.
Langsdorf, Ueber Newtons, Eulers, Kaestners und Consorten Pfuschereien in der
Mathematik. Heidelb. 1807. 8°. -- *J. de Gelder, Over den positieven en
negatieven toestand der grootheden. Amst. 1815. 8°. -- Fr. von Spaun, Die
Lehrsätze des gesunden Menschenverstandes in Beziehung auf das Negative
und Unmögliche. München. 1816. 8°. -- *Fr. Schmeiszer, Lehrbuch
der reinen Mathesis, zu einem zum Selbstfinden leitenden Vortrage. Berlin.
1817. 8°. -- W.A. Försteman, Ueber den Gegensatz positiver und
negativer Grössen. Nordh. 1817. -- A. Hermann, Abhandlung über die
wahre Natur der Negativen und Positiven, nebst einer leicht fasslichen
Berichtigung von dem Begriffe der sogenannten unmöglichen Grössen.
Wien. 1818. -- Ch. Babbage, Cambr. Phil. Trans. Vol. 2. A. 1827. p. 325-380. On
the influence of Signs in Mathematical Reasoning. -- J.P.W. Stein, Elemente
der Algebra. Trier. 1828. -- Mourey, La vraie théorie des
quantités négative et des quantités prétendues
imaginaires. Paris 1818. -- J. Warren, Phil. Trans. A. 1829. P. 2. p. 241-254.
Consideration of the objections raised against the geometrical representation
of the square roots of negative quantities. -- *W.A. Diesterweg, Beiträge
zu der Lehre von den positiven und negativen Grössen. Bonn. 1831. 8°.
-- *D. Gilbert, On the Nature of negative and imaginary Quantities. London.
1831. 4°. (ook Phil. Trans. 1831. P. 1. p. 91-98.) -- J.H.G. Heusinger,
Grundlehre der Grössenkunst. Leips. 1835. -- Stevelly, Not. Brit. Assoc.
V. 5. A. 1836. p. 5-7. Illustration of the meaning of the doubtful Algebraic
Sign in certain Formules of Algebraic Geometry. -- D. Gilbert, Proceed. Phil.
Trans. Lond. V. 3. A. 1830-37. p. 4-59. On the Nature of Negative and Imaginary
Quantities. -- D., Cambr. Math. Journ. V. 1. A. 1839. p. 74-77. On some
elementary Pinciples in the
[pag. 35]
Application of Algebra to Geometry. -- A. de Morgan, L. E. and D. Phil Mag.
3d Ser. V. 20. A. 1842. p. 135-137. On the Invention of the Signs +
and -; and on the Sense in which the former was used by Leonardo da Vinci. --
*Fr. Schmeiszer, Kritische Betrachtung einiger Lehren der reinen Analysis,
welchen der Vorwurf der Ungereimtheit gemacht worden ist. Frcft. a/O. 1842.
4°. -- J.N. Noel, Mém. Liège. T. 1. A. 1843. p. 1-48. De
l'analogie en Géométrie-Principes d'Analogie-Similitude. -- D.F.
Gregory, C. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 153-159. On a difficulty in the
theory of Algebra. -- L. Ballauf, Arch. von Grunert. B. 5. A. 1844. S. 259-286.
Beiträge zur systematischen Darstellung der allgemeinen Arithmetik. --
*Marie, Discours sur la nature des grandeurs négatives et imaginaires.
Paris. 1844. 8°. -- C. Graves, Proceed. Irish. Ac. V. 3. A. 1847. p.
325-327. On the use of distributive Signs of Operation, both real and
imaginary, in the constuction of Systems of Algebra. -- J.N. Noel, Mém.
Liège. T. 4. A. 1848, 49. p. 296-352. Exercices de Géometrie
analytique. -- G. Eisenstein, Journ. von Crelle. B. 39. A. 1850. S. 181, 182.
Lehrsätze. -- A. de Morgan, C. and D. Math. Journ. V. 6. A. 1851. p.
156-160. On the mode of using the signs + and - in plane geometry. -- W.
Walton, C. and D. Math. Journ. V. 7. A. 1852. p. 234-242. On the Doctrine of
Impossibles in Algebraic Geometry. -- A. de Morgan, C. and D. Math. Journ. V.
7. A. 1852. p. 242-251. On the Signs + and - in Geometry, and on the
interpretation of the equation of a curve. -- Flauti, Rendic. Borbon. T. 4. A.
1855. p. 17-24. Delle quatità negative. -- Terquem, Nouv. Ann. Math. T.
15. A. 1856. p. 172-175. Observation sur un passage de l'Algèbre de M.
Bertrand. -- Lord Brougham, Compt. Rend. T. 44. A. 1857. p. 1134-1139,
1177-1184. Sur certains paradoxes réels ou supposés,
principalement dans le calcul intégral. -- Flauti, Mem. Borbon. V. 2. A.
1855-57. p. 3-36. Sulle vera (genuina) nozione delle quantità negative,
risultanti della risoluzioni de' problemi. -- H. Schleffler, Arch. von Grunert.
B. 28. A. 1857. S. 121-162. Ueber das Wesen der Functionen, insbesondere
über Vieldeutigkeit, Unbestimmtheit, Veränderlichkeit,
Differentiation und Stetigkeit.
14) J. Wallis, Treatise of Algebra. London. 1685.
15) H. Kühn, Nov. Comm. Acad. Scient. Imp. Petropol. T.
3. A. 1750, 51. p. 170-223. Meditationes de quantitatibus imaginariis
construendis et radicibus imaginariis exhibendis.
16) *Buée, Mémoire sur les quantités
imaginaires. (Zie ook Phil. Trans. A. 1806. p. 23-88.) -- C.V. Mourey, 1828.
(zie Noot 13). -- Warren, A treatise on the
geometrical representation of the square roots of negative quantities.
Cambridge. 1828.
17) C.F. Gauss, Gött. gelehrte Anz. 1831. St. 64. S.
634-638. (overgedrukt in Arch. von Grunert. B. 6. S. 236-238.) -- C.F. Gauss,
Theoria residuorum
[pag. 34]
biquadraticorum comment. 2a. Gött. 1832. 4°. (zie Comm.
Rec. Gött. T. 7. A. 1828-1831. p. 89-148.)
18) *H. Schleffler, Ueber das Verhältnis der Arithmetik
zur Geometrie, insbesondre über die geometrische Bedeutung der
imaginären Zahlen. Brschwg. 1846. 8°. -- *H. Schleffler, Der
Situations-kalkul. Versuch einer arithmetischen Darstellung der Geometrie.
Brschwg. 1851. 8°. -- *D. Bierens de Haan, Iets over de betrekking
tusschen Meetkunde en Getallenleer. Deventer. 1852. 4°.
19) Argand, Essai sur une manière de
représenter les quantités imaginaires dans les constructions
géométriques. Paris. 1806. (zie Ann. de Math. V. 4. A. 1813, 14.
p. 133-147.) -- Français, Ann. de Math. V. 4. A. 1813, 14. p. 61-71.
Nouveaux principes de géométrie de position
et interprétation géométrique des
symboles imaginaires. -- Français, Ann. de Math.
V. 4. A. 1813, 14. p. 222-227, 364-366. Lettre sur la
théorie des imaginaires. -- Servois, Ann. de Math.
V. 4. A. 1813, 14. p. 228-255. Lettre à ce sujet.
-- Lacroix, Ann. de Math. V. 4. A. 1813, 14. p. 363.
Letter à ce sujet. -- *H. Grassmann, Die
Wissenshaft der extensiven Grösse, oder die
Ausdehnungslehre. Leipz. 1844. 8°. -- *W. Matzka,
Versuch einer richtigen Lehre von der Realität der
vorgeblich imaginären Grössen der Algebra,
oder einer Grundlehre von der Ablenkung algebraischer
Grössenbeziehungen. Prag. 1850. 4. (zie Abh.
Böhm. Ges. 1e Folge. B. 6. A. 1848-50.
S. 179-363.)
20) Tot de literatuur der zoogenaamd
onbestaanbare grootheden behooren, behalve hetgeen in
Noot 15-19 voorkomt, alsmede van Noot 13 Spaun 1816,
Hermann 1818, Warren 1829, Gilbert 1831, 1837, D. 1839,
Schmeiszer 1842, Marie 1844, C. Graves 1847, W. Walton
1852, de Morgan 1852, Scheffler 1857, nog de volgende:
W.O. Reitz, Verh. Holl. Maatsch. Haarlem. Dl. 3. A. 1757.
blz. 239-320. Nieuwe bespiegeling en ontcijfering der
teerlingsche vergelijkingen. -- *D. de Foncenex,
Reflexions sur les quantités imaginaires. Turin.
1759. 4°. (zie Misc. Taur. T. 1. P. 2. A. 1759. p.
113-144.) -- *D. de Foncenex, Eclaircissemens pour la
mémoire sur les quantités imaginaires.
Turin. 1761. 4°. (zie Misc. Taur. T. 2. P. 2. A.
1760, 61. p. 337-343.) -- *J. Playfair, On the Arithmetic
of impossible Quantities. London. 1776. 4°. (zie
Phil. Trans. 1778. p. 318-343.) -- G. Fontana, Mem. Soc.
Ital. Veronae. T. 1. A. 1782. p. 183-202. Sopri i
logarithmi delle quantità negative et sopra
gl'immaginarj. -- S. Canterzani, Mem. Soc. Ital. Veronae.
T. 2. A. 1784. p. 720-732. Dimonstrazione delle
reducibilità d'ogni quantità immaginaria
algebraica, alle forma A ±
B-1; adcitata
ad un Trattato elementar della nature delle equazioni.
-- C.G. Ricatti, Mem. Soc. Ital. Veronae. T. 4. A. 1788.
p. 116-122. Teorema. Il nulla immaginario non più
confonderi col reale. -- J. Kant, Ueber eine Entdeckung.
Königsb. 1790. -- *C.F. Gauss, Demonstratio nova
theorematis etc. Helmst. 1799. 4°. -- *R.
Woodhouse, On the necessary Truth of certain Conclusions
obtained by imaginary Quantities. Lond.
[pag. 35]
1801. 4°. (zie Phil. Trans. A. 1801. p. 89-119.)
-- *A. Suremain-Missery, Théorie purement
algébrique des quantités imaginaires, et
des fonctions qui en résultent, où l'on
traite de nouveau la question des Logarithmes des
Quantités négatives. Paris. 1801. 8°.
-- R. Woodhouse, Phil. Trans. A. 1802. p. 85-135. On the
Independence of the Analytical and Geometrical Methods
of investigation: and on the advantage to be derived
from their Separation. -- Von Busse, Erster Unterricht
in der algberaischen Auflösung. Freiburg. 1808. --
R. Woodhouse, Abstr. Phil. Trans. Lond. Vol. 1. A.
1800-1814. p. 39. On the necessary Truth of certain
conclusions obtained by means of imaginary Quantities.
-- Buée, Abstr. Phil. Trans. Lond. Vol. 1. A.
1800-1814. p. 216. Mémoire sur les quantités
imaginaires. -- B. Gompertz, Abstr. Phil. Trans. Lond.
Vol. 1. A. 1800-1814. p. 224. The application of a
method of differences to the species of series whose sums
are obtained by Mr. Landen by the help of impossible
quantities. -- *C.F. Gauss, Demonstratio nova altera
theorematis etc. Gött. 1817. (zie Comm. Rec. Gott.
T. 3. A. 1814, 15. p. 107-134.) -- Argand, Ann. Math. T.
5. A. 1815. p. 197-209. Reflexions sur la nouvelle
théorie des imaginaires. -- *B. Gompertz, The
Principles and Application of Imaginary Quantities. II
Books. London. 1817, 18. 4°. -- Gergonne, Ann. Math.
T. 10. A. 1820. p. 122-130. Dissertation sur un cas
singulier, que présente l'approximation des
racines des équations numériques. -- J.
Nordmark, N. Act. Upsal. T. 8. A. 1821. S. 136-156.
Meditationes nonnullae de Reductione Quantitatum
imaginarium ad Formam simplicissimam, oriundisque inde
seriebus transcendentalibus summabilibus. -- J. Herapath,
Phil. Mag. V. 66. A. 1825. p. 102-109. On the conditions
of possibility, arbitrary functions, and complete
solutions of periodical functional equations. -- J.
Warren, Phil. Trans. A. 1829. P. 2. p. 339-360. On the
geometrical representation of the powers of quantities,
whose indices involve the square roots of negative
quantities. -- J. Warren, Abstr. Phil. Trans. Lond. T.
2. A. 1815-30. p. 371-373. Considerations of the Objections
raised against the geometrical Representation of the
Square Roots of Negative Quantities. -- J. Warren, Abstr.
Phil. Trans. Lond. V. 2. A. 1815-1830. p. 382. On the
geometrical representation of the powers of Quantities
whose indices involve the Square Roots of negative
Quantities. -- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 17. A. 1831.
p. 293-422. Theory of the conjugate Functions, or
Algebraic couples, with a preliminary and elementary
Essay on Algebra as the Science of Pure Time. -- J.
Murphy, L. and E. Phil. Mag. 3d Ser. V. 2. A.
1833. p. 287, 288. On the real functions of imaginary
quantities. -- *P.R.E. Egen, Handbuch der allgemeinen
Arithmetik. II Th. 2e Aufl. Berl. 1833. --
W.R. Hamilton, Not. Brit. Assoc. V. 3. A. 1834. p.
519-523. On conjugate Functions or Algebraic couples, as
tending to illustrate generally the Doctrine of Imaginary
Quantities, and as confirming the Results of Mr. Graves
respecting the existence of two independent Integers in
the complete expression of an Imaginary Logarithm. --
*W.M. Drobisch, Grundzüge der Lehre von den
höheren numerischen Gleichungen. Leipz. 1834. 8°.
-- J.G. Garnier, Bull. Brux. T. 6, 1. A. 1839. p. 151-161.
Sur la transformation de quelques fonctions imaginaires.
-- D.F. Gregory, Cambr. Math. Journ. V. 1. A. 1839.
p. 259-266. On the existence of branches of curves in
several planes. -- Th. White, Ladies Diary. London. 1839.
p. 69. On the algebraical expansion of quantity and on
the symbol -1,
which is usually considered to denote impossible or
imaginary quantity. -- Pagani, Bull. Brux. T. 7, 2. A.
1840. p. 50-58. Note sur quelques transformations
algébriques. -- F. Deahna, Journ. v. Crelle. B.
20. A. 1840. S. 337-339. Neuer Beweis für die
Auflösbarkeit der algebraischen Gleichungen durch
reelle oder imaginäre Wehrte der Unbekannten. --
J.A. Grunert, Arch. v. Grunert. B. 1. A. 1841. S. 295-317.
Ueber die Bedingungen der Ungleichkeit, von den
Mittelgrössen und von den imaginären Grössen.
-- T.W. Müller, Arch. v. Grunert. B. 1. A. 1841.
S. 397-400. Anwendung der Lehre vom Zuge auf die
Nachweisung der geometrischen Bedeutung der Form a +
b-1. -- D.F.
Gregory, Cambr. Math. Journ. V. 2. A. 1841. p. 91.
Addition to V. 1. p. 259. -- M.F. Vallas, Etudes
philosophiques sur la science du calcul. Paris. 1841. --
A. de Morgan, Cambr. Phil. Trans. V. 7. A. 1842. p.
287-300. On the Foundation of Algebra. N°. 2. --
*M. Ohm, Geist der mathematischen Analysis. Berlin. 1842.
8°. (waarvan een engelsche vertaling door A.J.
Ellis. London. 1843. 12°.) -- Valat, Actes Bordeaux.
T. 5. A. 1843. p. 331-352. Mémoire sur les
équations binômes et les les radicaux
algébriques. -- Fr. Moth, Denkschr. München.
B. 3. A. 1837-43. S. 85-150. Ueber die Anwendung der
imaginären Zahlformen in der Geometrie. -- G.
Bellavitis, Mem. Ist. Veneto. T. 2. A. 1843. p. 46-48.
Soluzione grafiche di problemi geometrice del primo e del
secondo grado, trovata col metodo delle equipollenze. --
G. Bellavitis, Mem. Ist. Veneto. T. 2. A. 1843. p. 46-48.
Soluzione grafiche di olcuni problemi geometrici del 1 e
2 grado, trovata col metodo delle equipollenze. -- D.F.
Gregory, Cambr. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 153-159.
On a difficulty in the theory of Algebra. -- Cellerier,
Compt. Rend. T. 18. A. 1844. p. 168, 169. Note relative
à la théorie des imaginaires (Rapport sur).
-- Valat, Actes Bordeaux. T. 6. A. 1844. p. 179-180. Note
sur les racines de l'équation xm = a +
b-1. -- L.
Ballauf, Arch. von Grunert, B. 5. A. 1844. S. 259-286.
Beiträge zur systematischen Darstellung der
allgemeinen Arithmetik. F. Imaginäre Grössen
und Zahlen. -- C.A. Brettschneider, Lehrgebäude der
niederen Geometrie. Jena. 1844. -- A. Cauchy, Compt. Rend.
T. 20. A. 1845. p. 546-552. Note sur les modules
principaux des fonctions. -- T. Wittstein, Arch. von
Grunert. B. 6. A. 1845. S. 225-235. Geometrischer Beweis
des Satzes, dasz jeder algebraischer Gleichung mit einer
Unbekannten durch einen complexen Wehrt dieser
[pag. 37]
Unbekannten Genüge geleistet werden kann. -- L.
Ballauf, Arch. von Grunert. B. 6. A. 1845. S. 409-414.
Ueber die Potenzen mit imaginären Exponenten. --
H.B. Lübsen, Ausführliches Lehrbuch der
Arithmetik und Algebra. Oldenburg. 1845. -- A. Cauchy,
Compt. Rend. T. 23. A. 1846. p. 271-273. Mémoire
sur les fonctions de variables imaginaires. -- T.
Wittstein, Arch. von Grunert. B. 7. A. 1846. S. 402-410.
Ein paar einfache Anwendungen der geometrischen
Darstellung imaginärer Zahlen, insbesondere auf
Cubische Gleichungen. -- T. Wittstein, Arch. von Grunert.
B. 7. A. 1846. S. 411-430. Ueber die geometrischen
Darstellung complexer Functionen. -- J.C. Ulherr, Journ.
von Crelle. Bd. 31. A. 1846. S. 231-234. Zwei Beweise
für die Existenz der Wurzeln der höhern
algebraischen Gleichungen. -- H.S. Warner, L.E. and D.
Phil. Mag. 3d Ser. V. 29. A. 1846. p. 88-92.
On the connexion of the circle and the hyperbola; and on
the geometrical interpretation of imaginary exponentials.
-- L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 29. A.
1846. p. 171-175. On the symbol
-1 in Geometry.
-- *F. Schmeiszer, Kritische Betrachtung einiger Lehren
der reinen Analysis, welchen der Vorwurf der
Ungereimtheit gemacht worden ist. 2e Abth.
Frcft a/O. 1846. 4°. -- Th. Wittstein, Lehrbuch der
Arithmetik. Hannover 1846. -- Wantzel, Compt. Rend. T.
24. A. 1847. p. 430-434. Note sur la théorie des
nombres complexes. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 24. A.
1847. p. 469-481, 516-528, 578-584, 633-636, 661-666.
Mémoire sur de nouvelles formules relatives à
la théorie des polynômes radicaux et sur le
dernier thérème de Fermat. -- Kummer, Compt.
Rend. 24. A. 1847. p. 899-900. Lettre sur la théorie
des nombres complexes. A. Cauchy, Compt. Rend. 24. A.
1847. p. 1120-1130. Mémoire sur une nouvelle
théorie des imaginaires, et sur les racines
symboliques des équations et des équivalences.
-- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 25. A. 1847. p. 129-133.
Mémoire sur l'apllication de la nouvelle
théorie des imaginaires aux diverses branches des
sciences mathématiques. -- C. Graves, Proceed.
Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 325-327. On the use of the
Distributive Signs of Operations both real and imaginary
in the Construction of Systemes of Algebra. -- J.
Arenstein, Ber. v. Haidinger. B. 3. A. 1847. S. 292-296.
Monographie der imaginären Grösse. -- H.S.
Warner, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 30.
A. 1847. p. 185, 186. On
-1. -- W.R.
Hamilton, Irish Trans. V. 21. A. 1848. p. 199-296.
Researches respecting Quaternions. 1st Series.
-- J.Th. Ryll, Sitzber. Wien. B. 1. A. 1848. S. 90-127.
Abhandlung über Ortsversetzungen durch Rechnung
oder über die Elemente der Lagerrechnung. §
1-19. -- Drobisch, Ber. Sächs. Geselsch. B. 2. A.
1848. S. 171-179. Ueber die geometrische Construction
der Imaginären Wurzeln. -- J. Arenstein, Abh. v.
Haidinger. B. 2. A. 1848. S. 43-115. Was sind die
imaginären Grössen, und welcher ist ihr
analytischer und geometrische Sinn. -- J. Petzval, Ber.
v. Haidinger. B. 4. A. 1848. S. 62, 63. Arenstein's
Abhandlung über imaginären Grössen. --
S. Spitzer,
[pag. 38]
Ber. v. Haidinger. B. 4. A. 1848. S. 96-99. Imaginäre
Grössen in de Polygonometrie. -- Ferrol, Edinb.
Phil. Trans. V. 16. A. 1849. p. 345-356. An Attempt to
elucidate and apply the Principles of Goniometry as
published by Mr. Warren in his Treatise on square Roots
of Negative Quantities. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 29.
A. 1849. p. 250-257. Sur les quantités
géométriques et sur une méthode
nouvelle pour la résolution des équations
algébriques de degré quelconque. -- A. de
Morgan, Cambr. Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 139-142,
241-254. On the Foundations of Algebra. N°. 3, 4. --
On Triple Algebra. -- H. Goodwin, Cambr. Phil. Trans. V.
8. A. 1849. p. 269-277. On the Connexion between the
Sciences of Mechanics and Geometry. -- H. Goodwin, Cambr.
Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 278-286. On the Pure
Science of Magnitude and Direction. -- H. Goodwin, Cambr.
Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 342-360. On the geometrical
Representation of the Roots of Algebraic Equations. --
M. o'Brian, Cambr. Phil. Trans. V. 8. A. 1849. p. 497-507.
Contributions toward a System of Symbolical Geometry and
Mechanics. -- J.Th. Ryll, Sitzber. Wien. B. 3. A. 1849.
S. 62-130. Abhandlung über Ortsversetzungen durch
Rechnung oder über die Elemente der Lagerechnung.
§ 20-75. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 35. A. 1849. p. 434-437. On systems
of Algebra, involving more than one imaginary: and on
equations of the fifth degree. -- Ferrol, Proceed. Edinb.
V. 2. A. 1844-1850. p. 111. An attempt to elucidate and
apply Mr. Warren's Doctrine respecting the Square Root of
Negative Quantities. -- Ferrol, Proceed. Edinb. V. 2. A.
1844-1850. p. 156-159. On Algebraical Symbolism. -- A.
Roy, Mathemat. V. 3. A. 1850. p. 13, 14. Note on certain
imaginary exponential Expressions. -- Davies, Mathemat.
V. 3. A. 1850. p. 86-89. On the Expression of Imaginary
Exponentials. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 281-283. On
impossible equations, on impossible quantities and on
Tessarines. -- *B. Gompertz, Hints on Porisms with a
Scholion. London. 1850. 4°. -- A. Cauchy, Compt.
Rend. T. 32. A. 1851. p. 160-162. Sur les fonctions des
variables imaginaires. -- H. Scheffler, Arch. von Grunert.
B. 16. A. 1851. S. 133-137. Ueber die durch die Gleichung
y = x
dargestelten Curve. -- Zech, Arch. von Grunert. B. 16. A.
1851. S. 354-361. Ueber einige geometrische Sätze
und die Rechnung mit den Imaginären Grössen.
-- *B. Riemann, Grundlinien für eine allgemeine
Theorie der Functionen einer veränderl;ichen
complexen Grösse. Gött. 1851. 4°. -- *Fr.
von Lamezan, Beiträge zur Philosophie der Mathematik
und des Imaginäre. Wurzb. 1851. 8°. -- Grebel,
Die complexen Werthe der Fundamental-Functionen in
geometrischer Darstellung. Zeitz. 1852. 4°. -- J.
Booth, Phil. Trans. 1852. P. 2. p. 311-416. Researches on
the geometrical properties of Elliptic Integrals. -- J.
Paterson, Proceed. Americ. Assoc. V. 6. A. 1852. p. 1-36.
On the Relation between the square roots of negative
quantities, and
[pag. 39]
the Principle of Perpendicularity in Geometry. -- G.
Bellavitis, Mem. Ist. Veneto. T. 4. A. 1852. p. 243-345.
Saggio sull' Algebra degli immaginarii. -- A. Weiler,
Arch. v. Grunert. B. 18. A. 1852. S. 194-233. Die
Auflösung algebraischer Gleichungen. -- W. Walton,
C. and D. Math Journ. V. 7. A. 1852. p. 234-242. On the
Doctrine of Impossibles in Algebraic Geometry. -- Bouquet
et Briot, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p. 264. Recherches
sur les séries ordonnées suivant les
puissances croissantes d'une variable imaginaire. -- A.
Cauchy, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p. 454-459. Note sur
les séries convergentes dont les diverses termes
sont des fonctions continues d'une variable réelle
ou imaginaire entre des limites données. -- J.A.
Grunert, Arch. v. Grunert. B. 20. A. 1853. S. 121-174.
Ueber die Lehre von den imaginären Grössen, als
Fortsetzung und weitere Ausführung der Abh. S. 295
im 1en Theile des Archivs. -- J. Booth, C. and
D. Math. Journ. V. 8. A. 1853. p. 65-79. On the
Trigonometry of the Parabola. -- W. Walton, C. and D.
Math. Journ. V. 8. A. 1853. p. 101-103. Note on the
Doctrine of Impossibles. -- R. Carmichael, L.E. and. D.
Phil. Mag. 4th Ser. V. 6. A. 1853. p. 273-284.
On Laplace's Equation, its analogues and the Calculus of
imaginaries. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 38. A. 1854.
p. 67-71. Sur les rayons vecteurs associé et sur
les avantages que présente l'emploi de ces rayons
vecteurs dans la physique mathématique. -- R.
Furlay, Mem. Manchester. 2d Ser. Vol. 11. A.
1854. p. 169-199. On supplementary curves. -- H. Burhenne,
Arch. v. Grunert. B. 22. A. 1854. S. 43-47. Zur Theorie
der imaginären Grössen. -- F. Vallas, Nouv.
Ann. Math. T. 13. A. 1854. p. 449-464. Observations sur
le rapprochement théorique et pratique des formes
réelles et imaginaires dans certaines recherches
par approximation. -- J. Bellavitis, Nouv. Ann. Math.
Bull. Bibl. 1855. p. 60-62. Sur la méthode des
équipollences. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 40.
A. 1855. p. 382-386. Sur la distinction et la
représentation des fonctions continues et
discontinues. -- P.A. Laurent, Compt. Rend. T. 40. A.
1855. p. 633-644. Théorie des imaginaires et
examen de la théorie de la lumière dans le
système des ondes. II Mém. (Rapport sur).
-- A. Cauchy, Compt. Rend. T. 40. A. 1855. p. 663-672.
Note sur un thérème de M. Puiseux. -- A. de
Morgan, Cambr. Phil. Trans. Vol. 9. A. 1856. p. 608. On
the Singular Points of Curves and on Newton's Method of
coordinated Exponents. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil.
Mag. 4th Ser. V. 11. A. 1856. p. 275-281. On
the Theory of Logarithmes. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil.
Mag. 4th Ser. V. 12. A. 1856. p. 466, 467.
Memorandum respecting a new System of Roots of Unity. --
Briot et Bouquet, Journ. Éc. Polyt. T. 21. 1. Cah.
36. p. 85-132. Etudes des fonctions d'une variable
imaginaire. 1er Mém. -- Briot et
Bouquet, Journ. Éc. Polyt. T. 21. 1. Cah. 36. p.
133-198. Recherches sur les propriétés des
fonctions définies
[pag. 40]
par des équations différentielles. -- Briot
et Bouquet, Journ. Éc. Polyt. T. 21. 1. Cah. 36.
p. 199-254. Mémoire sur l'intégration des
équations différentielles au moyen des
fonctions elliptiques. -- Ch.J. Hargreave, Not. Brit.
Assoc. A. 1857. p. 184-195. On the Algebraic Couples: and
on the Equivalents of Indeterminate Expressions. -- J.
Plana, Mem. de Torino. T. 16. A. 1857. p. 97-106.
Démonstration nouvelle de l'équation
donnée par Lagrange pour exprimer la valeur
réelle de la somme de deux quantités
imaginaires, en supposant connues les valeurs réelles
par le moyen d'une courbe. -- W. Denzler, Arch. v.
Grunert. B. 28. A. 1857. S. 369-401. Ein Beitrag zur
Analysis der complexen Zahlen. -- B. Riemann, Journ. v.
Crelle, B. 54. A. 1857. S. 111-114. Bestimmung einer
Funktion einer veränderlichen complexen Grösse
durch Grenz- und Unstetigkeitsbestimmungen. -- Siebeck,
Journ. v. Crelle. B. 55. A. 1858. S. 221-253. Ueber die
graphische Darstellung imaginärer Funktionen. -- M.
Marie, Journ. de Liouville. 2e Série.
T. 3. A. 1858. p. 361-383; T. 4. A. 1859. p. 121-152,
305-328, 369-388. Nouvelle théorie des fonctions
de variables imaginaires. -- J. Bertrand, Compt. Rend. T.
48. A. 1859. p. 417-419. Note sur les fonctions d'une
variable imaginaire. -- G. Zehfuss, Arch. v. Grunert. B.
32. A. 1859. S. 234-236. Sur le sens géométrique
des quantités imaginaires. -- Riecke, Arch. v.
Grunert. B. 32. A. 1859. S. 470-475. Die Rechnung mit
Richtungszahlen.
Onder deze literatuur is uit den aard
der zake veel opgenomen, dat tevens kan strekken,
wanneer er over de toepassing van de theorie der
zogenaamd onbestaanbare grootheden, o.a. op de leer der
vergelijkingen en op de analytische meetkunde sprake is:
het is, bij het verband tusschen beide laatstgenoemde
deelen der wetenschap, niet wel mogelijk deze immer
gescheiden te houden bij eene opgave als de bovenstaande.
21) Reeds by Servois 1814 (zie
Noot 19) vindt men dezelfde grondgedachte,
die Hamilton later tot het stelsel der ,,Quaternions'' voerde. Zie
daarover:
W.R. Hamilton, Proceed. Irish Soc. V. 2. A. 1844. p.
424-434. On a new Species of Imaginary Quantities, connected with the Theory
of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Not. Brit. Assoc. A. 1844. p. 2. On a Theory
of Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V.
25. A. 1844. p. 10-14, 241-246. On Quaternions or on a new System of
Imaginaries in Algebra. N°. 1-5, 6-11. -- W.R. Hamilton, L.E. and D.
Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 141-145. On certain results
relating to Quaternions. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 3d
Ser. V. 26. A. 1845. p. 208-211. On Jacobi's Elliptic Functions in Reply to
Rev. B. Bronwin; and on Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 26.
[pag. 41]
A. 1845. p. 220-225; V. 29. A. 1846. p. 26-31, 113-122, 326-328. On
Quaternions or on a new System of Imaginaries in Algebra. N°. 12-17, 18-21,
22-27, 28. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 1-16,
109, 273-292. Theory of Quaternions. -- C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 3. A.
1847. p. 325-327. On the Use of Distributive Signs of Operation, both real and
imaginary, in the Construction of Systems of Algebra. -- W.R. Hamilton, Proc.
Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 507-521. On the Application of the Calculus of
Quaternions to the Theory of the Moon. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V.
3. A. 1847. App. III. p. XXXI-L. Illustrations from Geometry of the Theory of
Algebraic Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. App.
V. p. LI-LXI. Additional Applications of the Theory of Algebraic Quaternions.
-- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 30. A. 1847.
p. 458-461; V. 32. A. 1847. p. 214-219, 278-293, 511-519. On Quaternions, or
on a new System of Imaginaries in Algebra. N°. 29-32, 33-36, 37-50, 51-55.
-- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 21. A. 1848. p., 197-296. Researches
respecting Quaternions. 1st Series. -- W.R. Hamilton, L.E. and D.
Phil. Mag. 3d Ser. V. 32. A. 1848. p. 363-375; V. 33. A. 1848. p.
58-60. On Quaternions or on a new System of Imaginaries in Algebra. N°.
56-61, 62-64. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33. A.
1848. p. 196-201. On the Application of Quaternions to the Theory of Rotation.
-- G. Boole, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33. A. 1848. p.
278-281. Notes on Quaternions. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 33. A. 1848. p. 435-439. On certain functions resembling
Quaternions, and on a new Imaginary in Algebra. -- W.R. Hamilton, C. and D.
Math. Journ. V. 4. A. 1849. p. 163-168. Exercises in Quaternions. -- W.R.
Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 34. A. 1849. p. 294-297,
340-344, 425-440; V. 35. A. 1849. p. 133-137, 200-204. On Quaternions, or on a
new System of Imaginaries in Algebra. N°. 65-67, 68-70, 71-81, 82-85, 86
and 87. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 35. A. 1849.
p. 434-437. On Systems of Algebra, involving more than one Imaginary: and on
Equations of the fifth Degree. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A.
1850. p. 14-19. An Account of some additional Applications of Quaternions to
Surfaces of the Second Order. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish. Soc. V. 4. A.
1850. p. 38-57. On the Application of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc.
Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 75-90. On the Application of Quaternions to the
Determination of the Distance of any recently discovered Comet or Planet from
the Earth. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 255-261. On
the Application of the Calculus of Quaternions to Problems respecting the
construction of a Circle touching three given Circles on a Sphere. -- W.R.
Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 306-309.
[pag. 42]
On Theorems relating to Surfaces, obtained by the Method of Quaternions. --
C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 347-349.
A general Theorem in the Calculus of Quaternions. -- W.R.
Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 349-356.
On a Theorem respecting Ellipsoids, obtained by the
Method of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish.
Soc. V. 4. A. 1850. p. 380-387. On some Results obtained
by the Quaternion Analysis respecting the Inscription
of Gauche Polygons in Surfaces of the Second Order. --
W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 4. A 1850. p. 541-557.
On Gauche Polygons in Central Surfaces of the Second
Order. -- A. Roy, Mathem. V. 13. A. 1850. p. 13, 14.
Note on certain imaginary exponential expressions. -- W.
Spottiswoode, L.E. and D. Phil. Mag. 33 Ser.
V. 36. A. 1850. p. 135-137. On the Equation Q =
q(w, x, y, z) = w + ix + jy + kz. -- W.R. Hamilton,
L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850.
p. 305-307. On Quaternions or a new System of Imaginaries
in Algebra. N°. 88-90. -- W. Spottiswoode, L.E. and
D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 379,
380. On the Quaternions Expressions for Coplanarity and
Homoconism. -- W.J. Donkin, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 427-433. On the
geometrical Laws of the Motion of a rigid System about
a fixed Point. -- W.J. Donkin, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 36. A. 1850. p. 489-503. On the
geometrical Interpretation of Quaternions. -- W.
Spottiswoode, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser.
V. 37. A. 1850. p. 50-53. On the Geometrical Interpretation
of Quaternions. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 281-283. On
Impossible Equations, on impossible Quantities and on
Tessarines. -- T.P. Kirkman, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 292-301. On bisignal
Univalent Imaginaries. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil.
Mag. 4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 371-373; V. 4.
A. 1852. p. 303, 304. On continued Fractions in
Quaternions. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 436-440. On
Algebraic Transformation, on Quadruple Algebra and on the
Theory of Equations. -- R. Carmichael, C. and D. Math.
Journ. T. 7. A. 1852. p. 126-137. Laplace's equation
and its analogues. -- C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 5.
A. 1853. p. 140-142. On a Formula, containing a Symbol,
which denotes Rotation through a given Angle and round
a given Axis, by means of rectangular Coordinates and
Differential Coefficients. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish
Soc. V. 5. A. 1853. p. 219-221, 281, 299-301. On the
Connexion of Quaternions with Continued Fractions and
Quadratic Equations. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish. Soc.
V. 5. A. 1853. p. 388-390. On Geometrical Interpretation
of some Results obtained by Calculation with Biquaternions.
-- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A. 1853. p.
407-415. On the geometrical Demonstration of some
Theorems by means of the Quaternion Analysis. -- W.R.
Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V.
5. A. 1853. p. 117-119, 236-239, 320-326. On continued
Fractions in Quaternions. -- R. Carmichael,
[pag. 43]
L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 5. A. 1853.
p. 273-284. On Laplace's Equation, its Analogues and the
Calculus of Imaginaries. -- W.R. Hamilton, Nouv. Ann.
Math. T. 12. A. 1853. p. 278-283. Sur les quaternions.
-- *W.R. Hamilton, Lectures on Quaternions. Dublin. 1853.
8°. -- J.D. Paterson, C. and D. Math. Journ. V. 9.
A. 1854. p. 241-255. The geometry of Quaternions. --
W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser.
V. 7. A. 1854. p. 492-499; V. 8. A. 1854. p. 125-127,
261-269; V. 9. A. 1855. p. 46-51, 280-290. On some
extensions of Quaternions. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish
Acad. V. 6. 1856. p. 62, 63. On differential equations.
-- W.R. Hamilton, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p.
86-88. On the Theorem of Dupin. -- W.R. Hamilton, Proc.
Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 114, 115. On Quaternions.
-- Ch. Graves, Proc. Irish Acad. V. 6. A. 1856. p.
162-171, 186-194. On the Equation of Laplace's Function.
-- W.R. Hamilton, Proc. Irish. Acad. V. 6. A. 1856. p.
181-185. Letter. -- R. Carmichael, Proc. Irish Acad. V.
6. A. 1856. p. 216-220. On Laplace's Equation and
Quaternions. -- Ch. Graves, Proc. Irish Acad. V. 6. A.
1856. p. 221-223. Observations. -- G. Boole, Proc. Irish
Acad. V. 6. A. 1856. p. 375-385. On the equation of
continuity of an incompressible fluid. -- Graves, Proc.
Irish Acad. V. 6. A. 1856. p. 385, 386. Remarks. -- W.R.
Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser.
V. 12. A. 1856. p. 446, 447. Memorandum respecting a new
System of Roots of Unity. -- R. Carmichael, Quart. Journ.
V. 1. A. 1857. p. 226-230. Laplace's Equation and the
Calculus of Quaternions. -- G. Bellavitis, Atti Ist.
Venet. Serie 3a T. 3. A. 1857, 58 p. 334-343.
Sul calcolo dei' quaternioni di W.R. Hamilton e delle
sue relazioni con metodo delle equipollenze. -- W.R.
Hamilton, Proc. Irish Acad. V. 7. A. 1859. p. 122-126,
163, 164. On some Quaternion equations connected with
Fresnell's Wave Surface for Biaxal Crystals.
22) Over deze Algebraische koppels zie
men: J.T. Graves, Phil. Trans. 1829. 1. p. 171-186. An
Attempt to rectify the inaccuracy of some logarithmic
formulae (with several Notes). -- W.R. Hamilton, Not.
Brit. Assoc. A. 1834. p. 519-523. On conjugate Functions,
or Algebraic couples, as tending to illustrate generally
the Doctrine of Imaginary Quantities and as confirming
the results of Mr. Graves respecting the Existence of
two Independent Integers in the complete Expression of
an Imaginary Logarithm. -- J.T. Graves, Not. Brit. Assoc.
1834. p. 523-531. On the Theory of Exponential Functions.
-- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 17.2. A. 1835. p.
293-422. Theory of Conjugate Functions or Algebraic
Couples with a preliminary and elementary Essay on the
Science of Pure Time. -- A. Cayley, L.E. and D. Phil.
Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 141-145. On
certain results relating to Quaternions. -- J.T. Graves,
L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845.
p. 315-320. On a connexion between the general theories
of normal couples and the theory of complete quadratic
functions of two variables. -- A. Cayley, L.E.
[pag. 44]
and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 27. A. 1845. p.
38-41. On Algebraic Couples. -- A. Cayley, L.E. and D.
Phil. Mag. 3d Ser. V. 30. A. 1847. p. 257,
258. Note on a System of Imaginaries. -- M.J. Hargreave,
Not. Brit. Assoc. 1857. p. 184-195. On the Algebraic
Couple and on the Equivalents of Indeterminate
Expressions.
23) Over de symbolische Algebra zie
men: G. Peacock, Algebra. Cambridge. 1830. -- G. Peacock,
Not. Brit. Assoc. A. 1834. p. 185-353. Report on the
recent Progress and present State of certain Branches of
Analysis. -- (O. Reynolds,) Strictures on certain points
of Peacock's Algebra. Cambridge. 1837. -- G. Peacock,
Arithmetical Algebra. Cambr. 1843. -- G. Peacock,
Symbolical Algebra. Cambr. 1845. -- W.R. Hamilton, C. and
D. Math. Journal. V. 1. A. 1846. p. 45-57, 137-154,
256-263; V. 2. A. 1847. p. 47-52, 130-133, 204-209; V. 3.
A. 1848. p. 68-84, 223-229; V. 4. A. 1849. p. 84-89,
105-118. On Symbolical Geometry.
24) Over de twee- en drievoudige
Algebra, zie o.a.: A. de Morgan, Cambr. Phil. Trans. Vol.
7. A. 1842. p. 287-300. On the Foundation of Algebra.
N°. 2. -- A. de Morgan, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8.
A. 1849. p. 139-142, 241-254. On the Foundation of
Algebra. N°. 3, 4. -- On Triple Algebra -- C. Graves,
L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 34. A. 1849.
p. 119-127. On a System of Triple Algebra and its
application to the Geometry of three dimensions. --
*J.A. de Morgan, Trigonometry and double Algebra. London.
1849. 8°.
25) Over de theorie der ,,Triplets''
kan men zien: C.Graves, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847.
p. 51-54, 57-65, 80-84, 105-108. On Algebraic Triplets.
-- C. Graves, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 111-113.
On two Methods of solving Biquadratic Equations. -- C.
Graves, Proc. Irish Soc. V. 3. A. 1847. p. 325-327. On
the Use of Distributive Signs of Operation, both real and
imaginary in the Construction of Systems of Algebra. --
C. Graves, Proc. Irish Acad. V. 5. A. 1853. p. 423-430.
On the Properties of the Functions of two Variables
employed in the Interpretation of Triplets.
26) Zie over de ,,Octaves'',
,,Octonomials'' o.a.: A. Cayley, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 208-211. On Jacobi's
Elliptic Functions in reply to Rev. B. Bronwin; and on
Quaternions. -- Nog vond ik aangehaald J.T. Graves, Irish
Trans. V. 21. p. 338; waarbij eene vergissing moet zijn:
dáár staat het stuk niet.
27) Over de ,,Tessarines'' raadplege
men: J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d
Ser. V. 33. A. 1848. p. 435-439. On certain Functions
resembling Quaternions and on a new Imaginary in Algebra.
-- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser.
V. 34. A. 1849. p. 37-48. On a new Imaginary in Algebra.
-- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser.
V. 34. A. 1849. p. 406-410. On the Symbols of Algebra
and on the Theory of Tessarines. -- J. Cockle, L.E. and
D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 35. A. 1849. p.
434-437. On Systems of Algebra involving more than
[pag. 45]
one Imaginary; and on Equations of the fifth Degree. --
W. Spottiswoode, L.E. and D. Phil. Mag. 3d
Ser. V. 36. A. 1850. p. 135-137. On the Equation Q =
q(w, x, y, z) = w + ix + jy + kz. -- J. Cockle, L.E.
and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 36. A. 1850. p.
290-295. On the true Amplitude of a Tessarine: on the
Derivation of the word Theodolite; and on Light under the
action of Magnetism. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 37. A. 1850. p. 281-283. On
impossible Equations, impossible Quantities and on
Tessarines. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 436-440. On
Algebraic Transformation, on Quadruple Algebra and on the
Theory of Equations. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 47,
48, 49, 50. Horae Algebraicae. -- J. Cockle, Mechan. Mag.
Vol. 50. p. 534-537. On the Symbols of Algebra and on
the Theory of Tessarines. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol.
50. p. 538-540. On the Tessarine Algebra. -- J. Cockle,
Mechan. Mag. Vol. 51. p. 124-127. On certain Researches
of Mr. Boole and on the Symbol of Infinity. -- J. Cockle,
Mechan. Mag. Vol. 51. p. 197-199. On systems of Quadruple
Algebra. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 51. p. 557. On
Quadruple Algebra. -- J. Cockle, Mechan. Mag. Vol. 51.
p. 619. On Tessarines.
28) Over de Theorie der ,,Biquaternions''
zie: W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 2. A. 1844. p.
424-434. On a new Species of Imaginary Quantities,
connected with the Theory of Quaternions. -- W.R. Hamilton,
Proc. Irish Soc. V. 4. A. 1850. p. 380-387. On some
Results obtained by the Quaternions Analysis respecting
the Inscription of Gauche Polygons in surfaces of the
Second Order. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A.
1853. p. 219-222, 281, 299-301. On the Connexion of
Quaternions with continued Fractions and Quadratic
Equations. -- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A.
1853. p. 388-390. On Geometrical Interpretation of some
Results obtained by Calculation with Biquaternions. --
W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 5. A. 1853. p. 407-417.
On the Geomtrical Demonstration of some Theorems by means
of the Quaternion Analysis. -- W.R. Hamilton, L.E. and D.
Phil. Mag. 4th Ser. V. 7. A. 1854. p. 492-499;
V. 8. A. 1854. p. 125-137, 261-269. On some Extensions
of Quaternions. -- W.R. Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag.
4th Ser. V. 12. A. 1856. p. 446, 447.
Memorandum respecting a new System of Roots of Unity.
29) Zie over ,,Pluquaternions'': T.P.
Kirkman, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 33.
A. 1848. p. 447-460, 494-509. On Pluquaternions and
Honoid Products of Sums of n Squares. -- T.P.
Kirkman, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37.
A. 1850. p. 292-301. On Bisignal Univalent Imaginaries.
30) Over de ,,Clefs algébriques''
zie men: A. Cauchy, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p.
70-75, 129-136. Sur les clefs algébriques. -- A.
Cauchy, Compt. Rend. T. 36. A. 1853. p. 161-169. Sur les
avantages que présente, dans un grand nombre
[pag. 46]
d'équations, l'emploi des clefs
algébriques. -- De Saint Venant, Compt. Rend. T.
36. A. 1853. p. 582-585. De l'interprétation
géométrique des clefs algébriques
et des déterminants. -- A. Cauchy, Compt. Rend. T.
37. A. 1853. p. 38-48, 57-64. Mémoire sur les
différentielles et les variations employées
comme clefs algébrique. -- Grassman, Compt. Rend.
T. 38. A. 1854. p. 743, 744. Remarques sur les clefs.
31) A. Cayley, C. Math. Journ. V. 3. A.
1843. p. 226. Note.
32) Men raadplege over dezen twist:
Thibaut, Historia controversiae circa
numerorum negativorum et impossibilium logarithmos. Gott.
1797.
33) Het zoude niet moeijelijk zijn,
hier een honderdtal namen aan te geven van wiskundigen,
die deze vergelijkingen tot onderwerp hunner
beschouwingen kozen, en dat nog in de laatste jaren:
zulks behoort echter hier niet ter plaatse.
34) Omtrent deze vergelijkingen kan men
o.a. nazien, behalve de verhandelingen van Ruffini, die
zich in het 1e, 9e en 12e
deel van de Mem. Societ. Ital. bevinden moeten:
N.H. Abel, Mémoire sur les
équations algébriques, ou l'on
démontre l'impossibilité de la
résolution de l'équation générale
du cinquième degré. Christiana. 1824.
4°. -- N.H. Abel, Journ. v. Crelle. B. 1. A. 1826.
S. 65-83. Beweis der Unmöglichkeit, algebraische
Gleichungen von höhern Graden als dem vierten
allgemein aufzulösen. -- G.B. Jerrard, L. and E.
Phil. Mag. 3d Ser. V. 7. A. 1835. p. 202,
478-480. On certain Transformations connected with the
finite Solutions of Equations of the fifth Degree. -- B.
Holmboe, Mag. Christiania. And. Raekke. B. 2. A. 1836. S.
279-285. Analysk Opgave. -- W.R. Hamilton, Rep. Brit.
Ass. V. 5. A. 1836. p. 295-340. Inquiry into the Validity
of a Method recently proposed by G.B. Jerrard for
transforming and resolving Equations of elevated Degrees,
undertaken at the Request of the Association. -- W.R.
Hamilton, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 8.
A. 1836. p. 538-544. Theorem respecting Algebraic
Elimination, connected with the Question of the Possibility
of resolving in finite Terms the general Equation of the
fifth Degree. -- W.R. Hamilton, L. and E. Phil. Mag.
3d Ser. V. 9. A. 1836. p. 28-32. Second
Theorem in Algebraic Elimination, connected with the
Question of the Possibility of resolving in finite Terms
Equations of the fifth Degree. -- W.R. Hamilton, Phil.
Trans. A. 1839. p. 171-259. On the Argument of Abel
respecting the Impossibility of expressing a Root of any
general Equation above the fourth Degree by any finite
Combination of Radicals and Rational Functions. -- W.R.
Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 1. A. 1841. p. 76-81.
Investigations respecting Equations of the fifth Degree.
-- W.R. Hamilton, Irish Trans. V. 19. A. 1843. p. 329-376.
On Equations of the fifth Degree, and especially on a
certain System of Expressions connected with those
Equations, which prof. Badano has lately proposed.
[pag. 47]
-- W.R. Hamilton, Proc. Irish Soc. V. 2. A. 1844. p. 275,
276, 355. On the Solution of Algebraic Equations of the
fifth Degree. -- Al. Casinelli, Nov. Comm. Bonon. T. 6.
A. 1844. p. 391-418. Disquisitiones variae super
resolutionem nonnullarum aequationum algebraicarum
praesertim quinti gradus. -- G. Eisenstein, Journ. v.
Crelle. B. 27. A. 1844. p. 81-83. Allgemeine
Auflösungen der Gleichungen von den ersten vier
Graden. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d
Ser. V. 27. A. 1845. p. 125-127. On the Resolution of
Equations of the fifth Degree. -- G.B. Jerrard, L.E. and
D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 28. A. 1846. p. 63.
Reflections on the Resolution of Algebraic Equations of
the fifth Degree. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 28. A. 1846. p.190-192. On the
Existence of Finite Algebraic Solutions of the General
Equations of the fifth, sixth and higher Degrees. -- J.
Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 30.
A. 1847. p. 28-30. On some formulae which serve to
indicate the limits of the application of Indeterminate
Methods to the Solution of certain Problems. -- B. Bronwin,
L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 31. A. 1847.
p. 341-346. On the Algebraic Equations of the fifth
Degree. -- E. Luther, Journ. v. Crelle. B. 34. A. 1847.
S. 244-254. De criteriis quibus cognoscatur an aequatio
quinti gradus irreductibilis algebraice solvi potest. --
J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V.
32. A. 1848. p. 50-54. On Algebraic Equations of the
fifth Degree. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 32. A. 1848. p. 351-367. Analysis
of the Theory of Equations, with a few Remarks on recent
English Works on the Subject. In a letter to T.S. Davies,
with Notes on some of the Topics by T.S. Davies. -- J.
Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 35.
A. 1849. p. 434-437. On Systems of Algebra involving more
than one Imaginary and on Equations of the fifth Degree.
-- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser.
V. 37. A. 1850. p. 493-510. Analysis of the Theory of
Equations, second and concluding Part. -- G.B. Jerrard,
L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 3. A. 1852.
p. 112-117. Notes on the Resolution of Equations of the
fifth Degree. -- Hermite, C. and D. Math Journ. V. 9. A.
1854. p. 172-217. Sur la théorie des fonctions
homogènes à deux indéterminées.
-- A. Cayley, Phil. Trans. V. 146. 1. A. 1856. p. 127-140.
Researches on the Partition of Numbers. -- F. de Bruno,
Thèse. Paris. 1856. -- J. Plana, Mem. de Torino.
2a Ser. T. 16. A. 1857. p. 1-56. Mémoire
sur la formation de l'équation de 4e
degré et celle de 6e degré,
desquelles dépend la solution littérale de
l'équation générale du 5e
degré, -- A. Cayley, Proc. Phil. Trans. V. 8. A.
1856, 57. p. 325. Tables of the Sturmian Functions for
equations of the second, third, fourth and fifth degrees.
-- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 4th Ser.
V. 13. A. 1857. p. 354-365. On the theory of Equations of
the fifth Degree. -- Hermite, Compt. Rend. T. 46. A. 1858.
p. 508-515. Sur la résolution de l'équation
de cinquième degré. -- Tortolini,
[pag. 48]
Compt. Rend. T. 47. A. 1858. p. 598, 599. Remarques
historiques sur un point de la théorie des
équations. -- Fr. Brioschi, Atti dell. Ist.
Lombardo. T. 1. A. 1858. p. 275-283. Sul metodo di
Kronecker per la risoluzione delle equazioni di quinto
grado. -- J. Cockle, Quart. Journ. V. 2. A. 1858. p. 144,
145. On a new solvible form of equations of the fifth
degree. -- Fergola, Compt. Rend. T. 49. A. 1859. p. 267,
268. Sur la résolution des équations du
cinquième degré. -- S.R. Minich, Atti Ist.
Veneto. Ser 3a. T. 4. A. 1858, 59. p. 19-38.
Sulle teorie di Lagrange e di Vandermonde spettanti alla
risoluzione generale equazioni algebraici et sulla
risoluzione delle equazioni di quarto di quarto grado
per radici esteriori quarto. -- G. Bellavitis, Atti Ist.
Veneto. Ser. 3a. T. 4. A. 1858, 59. p. 55-61.
Sulle risoluzione algebraica delle equazioni. -- S.R.
Minich, Atti Istit. Veneto. Ser. 3a. T. 4. A.
1858, 59. p. 117-132. Sulla determinazione e sul calcolo
delle risolventi delle equazioni algebriche. -- O.
Schlömilch, Zeitschr. v. Schlömilch. B. 4. A.
1859. S. 77-90. Die Transformation und Auflösung
der Gleichungen fünften Grades nach Jerrard und
Hermite. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 4th
Ser. V. 17. A. 1859. p. 356-358; V. 18. A. 1859. p.
50-54, 342-344. Observations on the Theory of Equations
of the fifth Degree.
35) Zie over deze soort van
vergelijkingen: W.G. Horner, L.E. and D. Phil. Mag.
3d Ser. V. 8. A. 1836. p. 43-50. On the Theory
of Congeneric surd Equations. -- J. Cockle, L.E. and D.
Phil. Mag. 3d Ser. V. 32. A. 1848. p. 251-267.
Analysis of the Theory of Equations, with a few Remarks
on recent English Works on the Subject. In a letter to
T.S. Davies, with Notes on some of the Topics by Mr.
Davies. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d
Ser. V. 33. A. 1848. p. 435-439. On certain Functions
resembling Quaternions and on a new Imaginary in Algebra.
-- O. Schlömilch, Arch. v. Grunert, B. 12. A. 1849.
S. 293-297. Ueber eine transcendente Gleichung, welcher
keine complexe Zahl genügt. -- Clausen, Arch. v.
Grunert. B. 13. A. 1849. S. 334-336. Schreiben. -- J.
Cockle, L.E. and D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 37.
A. 1850. p. 281-283. On impossible Equations, on
impossible Quantities and on Tessarines. -- R. Harley,
Mem. Manchester. 2d Ser. V. 9. A. 1851. p.
236-243. On Impossible Equations. -- R. Baltzer, Arch. v.
Grunert. B. 16. A. 1851. S. 243. Ueber die Gleichung
(Archiv. B. 12. S. 293) welcher angeblich keine complexe
Zahl genügt. -- J. Cockle, L.E. and D. Phil. Mag.
4th Ser. V. 3. A. 1852. p. 436-440. On
Algebraic Transformation, on Quadruple Algebra and on the
Theory of Equations. -- J.J. Sylvester, L.E. and D. Phil.
Mag. 4th Ser. V. 4. A. 1852. p. 335-342. On
Staudt's Theorem concerning the contents of Polygones
and Polyhedrons, with a Note on a new and resembling
Class of Theorems. -- S.M. Drach, L.E. and D. Phil. Mag.
4th Ser. V. 4. A. 1852. p. 479. On an
[pag. 49]
Article of Mr. Sylvester that the non-Existence of real
Roots in Analytic Geometry corresponds to the reductio
ad absurdum of Euclid.
36) Stifel, Arithmetica integra. Norib.
1544.
37) J. Keppler, Nova stereometria
doliorum vinariorum. Accessit Stereometriae Archimedeae
Supplementum. Linc. 1615. fol. -- *B. Cavalieri,
Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione
promota. Bonon. 1635. 4°. -- *B. Cavalieri,
Exercitationes geometricae sex. Bonon. 1647. 4°. --
*J. Wallis, Arithmetica Infinitorum: zie zijn Opera
mathematica. Partes II. Oxon. 1656. 4°.
38) C.G. L(eibnitz), Act. Erud. A.
1684. p. 467-473. Nova methodus pro maximis et minimis,
itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales
quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus.
-- C.G. L(eibnitz), Act. Erud. A. 1689. p. 82-96.
Tentamen de motuum coelestium caussis. -- Acta Erud. A.
1695. p. 272, 273. De B. Nieuwentijt, Considerationes
circa analyseos etc. -- C.G. L(eibnitz), Acta Erud. A.
1695. p. 310-316. Responsio ad nonnullas difficultates
a D. B. Nieuwentijt, circa methodum differentialem seu
infinitesimalem motas. -- C.G. L(eibnitz), Acta Erud. A.
1695. p. 369-372. Addenda ad Schediasma p. 310. -- Acta
Erud. A. 1696. p. 80-82. De ,,B. Nieuwentijt, Analysis
infinitorum etc.'' -- Joh. Bernoulli, Acta Erud. A. 1696.
p. 82-85. Demonstratio analytica et synthetica suae
constructionis Curvae Bauneae in Act. Er. A. 1693. p.
234. -- Acta Erud. A. 1697. p. 124, 125. De ,,B.
Nieuwentijt, Considerationes secundae etc.'' -- Joh.
Bernoulli, Acta Erud. A. 1697. p. 125-133. Principia
Calculi exponentialium seu percurrentium. -- Acta Erud.
A. 1697. p. 137-139. De ,,Analyse des infiniments petits
etc.'' -- Joh. Bernoulli, Acta Erud. A. 1697. p. 211-217.
Solutio problematum fraternorum peculiari programmata
Cal. Jan. 1697 Groningae, nec non Act. Lips. mense Jun.
et Dec. 1696 et Febr. 1697 propositorum; una cum
propositione reciproca aliorum. -- B. Nieuwentijt, Acta
Erud. A. 1697. p. 256-260. Exerpta ex Considerationibus
Secundis circa Calculi Differentialis Principia. -- Joh.
Bernoulli, Acta Erud. A. 1698. p. 223-226. Demonstratio
synthetica problematis de infinitis cycloidibus absque
adminiculo infinite parvorum: item constructio aliorum
huic affinium a se propositorum m. Majo. A. 1697. -- Act.
Erud. A. 1701. p. 28, 29. De ,,J. Hermannus, Responsio
ad clar. viri B. Nieuwentijt etc.''. -- Rolle, Mém.
Paris. A. 1703. p. 312-336. Du nouveau système de
l'infini. -- P. Varignon, Acta Erud. A. 1712. p. 154-166.
Responsio ad P. Grandi Librum de infinitis infinitorum.
-- C.G. L(eibnitz), Acta Erud. A. 1712. p. 167-269.
Observatio quod rationes sive proportiones non habeant
locum circa quantitatis nihilo minores et de vero sensu
Methodi infinitesimalis. -- Acta Erud. A. 1712. p. 221-223.
De ,,G. Grandus, De infinitus infinitorum etc.''. --
Comm. Bonon. T. 1. A. 1731. p. 241-250. Analytica de
geometriae principiis et de formulis quibusdam
integrandis. -- *A.G. Kästner, Cautionem in
quantitatum infinite parvarum neglectu
[pag. 50]
observandam exemplis quibusdam illustrat. Lips. 1746.
4°. -- L. Euler, Act. Petrop. A. 1778. P. 1. p.
102-118. De infinities infinitis gradibus tam infinite
magnorum quam infinite parvorum. -- Stamford, Versuch die
Grundsätze des Differential- und Integralcalculs
ohne die Begriffe von dem unendlich kleinen Grössen
vorzutragen. Berl. 1784. 8°. -- *Lhuiler, Exposition
élémentaire des principes des calculs
supérieurs. Berl. 1786. 4°. J.G. Christiani,
Comment. qua explicantur fundamenta calculi quem ab
infinito nominamus; et Suppl. Gött. 1792, 93.
4°. -- *Lhuilier, Principiorum calculi differentialis
et integralis expositio elemtaris. Tüb. 1795. 4°.
-- L.N.M. Carnot, Reflexions sur la métaphysique
du calcul infinitésimal. Par. 1797. -- *2e
Ed. Par. 1813. 8°. [Hiervan is door J.K.F. Hauff
eene hoogduitsche vertaling geleverd: *Betrachtungen
über die Theorie der Infinitesimal-rechnung. Frcft.
1800. 8°. en door W. Dickson eene Engelsche:
Reflections on the Theory of the Infinitesimal Calculus
(the Method of Fluxions). London.]. -- Phil. Mag. V. 8.
A. 1800. p. 222-240, 335-353; V. 9. A. 1801. p. 39-55.
Reflexions on the Theory of the infinitesimal Calculus.
-- *H. Clarke, Animadversions on Dickson's Translations
of the Reflections of the Theory of the infinitesimal
Calculus from the french of Carnot. London. 1801. 8°.
-- *J. Schulz, Sehr leichte und kurze Entwicklung einiger
der wichtigsten mathematische Theorien. Königsb.
1803. 4°. -- *K.C. Langsdorf, Ueber die
Unstatthaftigkeit des Princips der unendlichen
Theilbarkeit. Erlangen. 1804. 8°. -- *M. Langsdorf,
Neue und gründlichere Darstellung der Principien
der Differentialrechnung. Heidelb. 1807. 8°. *E.G.
Fischer, Untersuchungen über den eigentlichen Sinn
der höhern Analysis. Berl. 1808. 8°. -- Phil.
Mag. V. 36. A. 1810. p. 186-191. On prime and ultimate
Ratios: with their application to the first Principles
of Fluxionary Calculus. -- H. Wronski, Introduction
à la métaphysique des mathématiques.
Par. 1810. -- F.T. Schubert, Mém. Petersb. T. 6.
A. 1813, 14. p. 153-234. Reflexions sur la théorie
du calcul différentiel. -- Servois, Ann. de Math.
T. 5. A. 1815. p. 141-170. Réflexions sur les
divers systèmes d'exposition des principes du
calcul différentiel et en particulier sur la
doctrine des infiniment petits. -- Gergonne, Ann. de
Math. T. 5. A. 1815. p. 183-186. De l'usage des
infiniment petits dans la géométrie
élémentaire. -- J. Nürnberger, Die
letzten Gründe der höhern Analysis. Halle.
1815. 8&176;. -- J. Nürnberger, Untersuchungen und
Entdeckungen in der höhern Analysis. Halle. 1816.
4°. -- C.F. de Nieuport, Nouv. Mém. Brux. T.
2. A. 1822. p. 45-102. Mémoire sur la
métaphysique du principe de la différentiation.
-- *F.G. Spehr, De quantitate fluente tractatus. Brunsw.
1824. 8°. -- Baumgartner, Baumgartner's Zeitschr.
B. 2. A. 1827. S. 109-135. Neue Ansicht der
Unendlich-kleinen und Anwendung derselbe in der Theorie
der Berührung der Linien und Flächen von
Cauchy. -- Silliman's Amer. Journ. V. 14. A. 1828. p.
297-303. On the Principles of Motion and their use in
the Higher Branches of Mathematics. -- E. Wright,
Silliman's Amer. Journ. V. 14.
[pag. 51]
A. 1828. p. 330-350. A Theory of Fluxions. -- Nörrenberg, Baumgartner's
Zeitschr. B. 6. A. 1829. S. 437-454. Bestimmung der Differential-quotienten
unbekannter Functionen. -- E. Wright, Silliman's Amer. Journ. V. 16. A. 1829. p.
53-60. A Discourse on the Different Views that have been taken of the Theory
of Fluxions. -- Fischer, Abh. Berl. 1829. S. 29-56. Versuch einer logischen
Analyse von dem Begriff des Unendlich-kleinen. -- Stiles French, Silliman's
Amer. Journ. V. 17. A. 1830. p. 74-81. The fundamental principle of the higher
calculus demonstrated by the Method of Indeterminates. -- Gergonne, Ann. de
Math. T. 20. A. 1830. p. 213-284. Exposition élémentaire du
principe du calcul différentiel. -- *Dietz, Versuch den Begriff der
Differentials zu entwickeln. Schleus. 1832. 4°. -- E. Wright, Silliman's
Amer. Journ. V. 24. A. 1833. p. 298-312; V. 25. A. 1834. p. 93-104. On the
Application of the Fluxional Ratio to particular Cases and the coincidence of
the several orders of Fluxions with the Binomial Theorem. -- *Könitzer,
Von dem Unendlichen in der Mathematik und von der Anwendung desselben zur
Begründung der Differentialrechnung. Neu-Ruppin. 1833. 4°. -- *J.B.
Friederich, Ueber das Unendliche. Ansbach. 1834. 4°. -- A. Bittner,
Böhm. Abh. Neue Folge. B. 4. A. 1833-36. S. 1-224. Ueber die
Differentialrechnung. -- N.G. de Schulten, Act. Fenn. Helsingfors. T. 1. A.
1842. p. 413-476. Considérations sur la manière la plus
convenable d'établir les principes du Calcul Différentiel. --
N.G. de Schulten, Act. Fenn. Helsingfors. T. 1. A. 1842. p. 687-730.
Considérations ultérieurs sur les principes du calcul
différentiel. -- Gerhardt, Arch. v. Grunert. B. 2. A. 1842. S. 200-206.
Historsiche Bemerkungen über das Princip der Differentialrechnung. -- J.N.
Noel, Mém. Liège. T. 1. A. 1843. p. 1-48. De l'Analogie en
Géométrie. -- Principe d'Analogie. -- Similitude. -- Th. Strong,
Silliman's Amer. Journ. V. 45. A. 1843. p. 269-273. Remarks on the first
Principles of the Differential Calculus, together with a new investigation of
Taylor's Theorem. -- L.F. Oftendinger, Arch. von Grunert. B. 5. A. 1844. S.
201-204. Ueber Euler's Princip der Differentialrechnung: ein Zusatz zu des
Herrn Dr. Gerhardt Aufsatze im II Bd. S. 200 des Archives. -- Lamarle,
Mém. Liège. T. 2. A. 1845, 46. p. 221-348. Essai sur les
principes fondamentaux de l'analyse transcedente. -- *F. Schmeiszer, Kritische
Betrachtung einiger Lehren der reinen Analysis welchen der Vorwurf der
Ungereimtheit gemacht worden ist. 2e Abth. Frcft a/O. 1846. 4°.
-- *M. Ohm, Der Geist der Differential und Integralrechung, nebst einer neuen
und gründlicher Theorie der bestimmten Integrale. Erlangen. 1846. 8°.
-- N.G. de Schulten, Act. Fenn. Helsingfors. T. 2. A. 1847. p. 81-98. Note sur
la détermination de la valeur de (1 + n)1/n
pour n = 0. -- N.G. Schulten, Act. Fenn. Helsingfors. T. 2. A. 1847. p.
317-346. Considérations sur la rélation, qui existe dans
quelques cas particuliers entre la valeur d'une fonction uniforme d'une seule
variable et celle de son coefficient différentiel
[pag. 52]
du premier ordre. -- *F. Haeck, Mémoire contre la theorie du calcul
infinitesimal, de la théorie des limites et en faveur du calcul
transcedant nouveau, proposé par M. Gilain. Brux. 1849. 8°. -- E.
Lamarle, Bull. Bruxelles. T. 21. P. 2. A. 1854. p. 140-161. Note sur les deux
équations fondamentales Lim. f(x+h) -
f(x)/h = f'(x) et dy =
f'(x)/\x. -- E. Lamarle, Bull. Bruxelles. T. 21. P. 2. A.
1854. p. 817-822. Etudes approfondies sur les deux équations
fondamentales de l'analyse, (Rapport sur). -- J.N. Noel, Mém.
Liège. T. 10. A. 1855. p. 25-137. Théorie infinitésimale
appliquée. -- J.N. Noel, Mém. Liège. T. 10. A. 1855. p.
461-532. Simplification des éléments de géométrie.
-- E. Lamarle, Nouv. Mé Brux. T. 29. A. 1855. p. 1-118. Etude
approfondie sur les deux équations fondamentales Lim. f(x+h) -
f(x)/h = f'(x) et dy =
f'(x)/\x. -- H. Weissenborn, Zeitschr. v. Schlömilch. B.
1. A. 1856. Liter. Zeit. S. 57-63. Die Principien der höhern Analysis. --
Sloman, Zeitschr. v. Schlömilch. B. 1. A. 1856. Liter. Zeit. S. 64-67.
Versuch die Differentialrechnung zu begründen.
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45) *Briot et Bouquet, Théorie des fonctions
doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques.
Par. 1859. 8°.
Nog niet alle noten zijn ingevoerd. Deze zullen in 1999 worden
toegvoegd.