BRIEFWISSELING


tussen


Christiaan Huygens

en zijn broer

Lodewijk Huygens


(22 Augustus 1669 - 28 November 1669)

Fragmenten.


Aanvullende gegevens:
Deze vertaling van fragmenten uit de briefwisseling tussen Christiaan en Lodewijk Huygens is afkomstig uit Bouwstoffen voor de Geschiedenis van de Levensverzekeringen en Lijfrenten in Nederland (1897), pp. 64-83. De nummers boven de brieven verwijzen naar de nummers die deze brieven hebben in het zesde deel van de Oeuvres complètes de Christian Huygens, die op dat moment te verschijnen stonden. De originele (Franstalige) brieven bevinden zich in de Huygens-collectie van de Leidse universiteitsbibliotheek.
De voetnoten zijn door de redacteur in 1897 toegevoegd, en begonnen in de genoemde versie op iedere pagina opnieuw bij 1 te nummeren. Ze zijn hier voor de volledigheid opgenomen. De paginanummering betreft ook die van de Bouwstoffen, en staat in geen enkele relatie tot de brieven. Verder is in de originele versie iedere alinea voorzien van aanhalingstekens, omdat de redactie van het tijdschrift (een vertaling) van een fragment uit het zesde deel van het verzameld werk van Huygens publiceerde. Die aanhalingstekens zijn in de HTML-versie weggelaten.


Uit No. 1755, een brief van LODEWIJK HUYGENS 1) aan CHRISTIAAN HUYGENS te Parijs.

Den Haag, 22 Augustus 1669.


Ik heb de laatste dagen een Tafel gemaakt, waaruit blijkt, hoelang personen van allerlei leeftijd nog te leven hebben. Ik heb die afgeleid uit een tafel die voorkomt in een Engelsch boek, getiteld ,,the Bils of Mortality'' 2). Ik zend u hierbij een copie van die tafel, opdat gij dezelfde berekeningen zoudt kunnen doen, en wij kunnen zien in hoeverre onze uitkomsten overeenstemmen. Ik erken dat ik vrij wat moeite heb gehad om er mede gereed te komen, maar dat zal met u wel niet het geval zijn, en de uitkomsten zijn zeer vermakelijk en kunnen zelfs nuttig zijn bij het berekenen van Lijfrenten. De vraag is: hoelang heeft een kind, van een oogenblik af dat de moeder daarvan zwanger is, nog te leven volgens den gewonen gang der natuur? En verder hetzelfde voor iemand van 6 jaar, dan voor een van 16 jaar, van 26 jaar, enz. Indien gij daarbij zwarigheden ondervindt of het u te veel moeite is, dan ben ik bereid u bij de eerste gelegenheid mijne methode, die stellig goed is, mede te deelen. Vaarwel. Volgens mijne berekening zult gij ongeveer 56 en een half jaar oud worden en ik 55.


Uit No. 1756, een brief van CHRISTIAAN HUYGENS aan LODEWIJK HUYGENS te Den Haag.

Parijs, 28 Augustus 1669.


Dat gij de berekening der leeftijden hebt kunnen uitvoeren, waarmede gij zegt te zijn gereed gekomen, is [pag. 65] zeer verdienstelijk van u. Maar als die berekening op juistheid zal aanspraak maken, dan zou men een tafel moeten bezitten die jaar voor jaar aanwees hoeveel personen er sterven van een zeker ondersteld aantal, b.v. honderd, en gij moet die door het een of ander middel, zooals ik er een weet, hebben aangevuld, of anders kunt gij nooit nauwkeurig aangeven hoelang iemand van 6, 16 of 26 jaar enz. nog te leven heeft, en nog minder als de leeftijd van den persoon tusschen deze leeftijden in ligt, zooals gij ten opzichte van mij en van u zelven ondernomen hebt. Ik geloof dus, dat uwe bepaling alleen ten naastenbij geldig is.
Hetgeen ik als zeker uit de gegevens van de tafel kan afleiden is dit, dat hij die zou wedden dat een pas geboren kind (of een kind waarvan de moeder zwanger is, zooals gij zegt; maar het komt mij voor, dat de Engelschman dit niet bedoelt, want hoe wil men daarvan aanteekening houden) den 16 jarigen leeftijd zal bereiken, een onvoordeelige zaak doet, want hij hij heeft 4 slechte kansen tegen 3 goede. Evenzoo zou hij die wedde, dat iemand van 16 jaar den 36 jarigen leeftijd zal bereiken, evenzeer 4 slechte kansen hebben tegen 3 goede.
Ik heb er wel zin in om de tafel aan te vullen, zooals ik gezegd heb, en de vraagstukken op te lossen die men over dit onderwerp, dat nog al ingewikkeld is, kan stellen. Uwe methode is zeker niet dezelfde als de mijne, en ik zou haar gaarne willen zien. Vaarwel.


Uit No. 1771, een brief van LODEWIJK HUYGENS aan CHRISTIAAN HUYGENS te Parijs.

Den Haag, 30 October 1669.


Ik geef toe, dat mijne berekeningen der leeftijden niet geheel juist zijn, maar er is zoo weinig tegen te zeggen, [pag. 66] dat dit in het geheel niet van gewicht is, en wel des te minder omdat de Engelsche tafel, waarvan wij uitgaan, evenmin op zulk een volkomen juistheid aanspraak maakt; de bewerker zegt zelf: ,,deze getallen liggen voor de praktijk na genoeg bij de waarheid, want de menschen sterven niet volgens nauwkeurige verhoudingen, en evenmin volgens gebroken getallen.'' Ziehier dan de methode, waarvan ik mij bediend heb. Ik bereken eerst de jaren die alle 100 personen te zamen moeten geleefd hebben, hetgeen in het geheel 1822 uitmaakt. Ik bewijs dit aldus:
,,De 36 personen, die sterven beneden 6 jaar oud, hebben, den een door den ander gerekend, 3 jaren geleefd, hetgeen uitmaakt 108 jaren.
,,De 24 personen, die tusschen hun 6 en 16 jaar sterven, hebben, den een door den ander gerekend, 11 jaar geleefd, hetgeen uitmaakt 264 ,,
,,De 15 die sterven tusschen 16 en 26 jaar, hebben geleefd 21 jaar, hetgeen uitmaakt 315 ,,
,,De 9 tusschen 26 en 36 hebben 31 jaren geleefd, 't geen uitmaakt 279 ,,
,,De 6 tusschen 36 en 46 hebben 41 jaren geleefd, 't geen uitmaakt 246 ,,
,,De 4 tusschen 46 en 56 hebben 51 jaren geleefd, 't geen uitmaakt 204 ,,
,,De 3 tusschen 56 en 66 hebben 61 jaren geleefd, 't geen uitmaakt 183 ,,
,,De 2 tusschen 66 en 76 hebben 71 jaren geleefd, 't geen uitmaakt 142 ,,
,,En de één die sterft tusschen 76 en 86 heeft 81 jaren geleefd 81 ,,
Totaal . . . . . 1822 jaren.
[pag. 67] Als we deze 1822 jaren geleidelijk over de 100 personen verdeelen, dan vinden wij voor ieder ongeveer 18 jaren en 2 maanden, hetgeen, den een door den ander gerekend, den leeftijd van elken persoon voorstelt, hetzij die geboren is of dat zijn moeder nog zwanger van hem is. In 't voorbijgaan doe ik u opmerken, dat de Engelschman wel degelijk ook deze laatste bedoelt, en hij kan van hen evengoed aanteekening houden als van de geborenen, omdat de miskramen ook in den kring der waarneemingen vallen.
Om nu op onze berekening terug te komen en uit te maken, hoelang iemand van een bepaalden leeftijd nog te leven heeft, ben ik als volgt te werk gegaan.
Ik trek eerst van het geheel aantal van 1822 jaren af de 108 jaren (hetgeen de levensjaren zijn der 36 kinderen die sterven beneden de 6 jaren); er blijven dan 1714 jaren over, die verdeeld moeten worden over de 64 personen die nog in leven zijn gebleven, hetgeen voor elk hunner, d.i. voor elk kind van 6 jaren, ongeveer 26 jaren en 10 maanden uitmaakt, zoodat zij, op den genoemden leeftijd van 6 jaren, nog 20 jaren en 6 maanden te leven hebben.
Vervolgens trek ik van de 1714 jaren af de levensjaren der 24 personen die sterven tusschen 6 en 16 (264 jaren); er schiet over 1450. Deze moeten over de 40 personen die in leven zijn gebleven verdeeld worden, hetgeen uitmaakt voor elk hunner d.i.:
Jaren. Maanden.
voor elken persoon van 16 jaren, 36 jaren en 3 maanden, zoodat zij nog te leven hebben 20 3
voor die van 26 jaren, geeft dit 45 jaren en 4 maanden, of voor hun levensduur 19 4
voor die van 36 jaren, 53 jaren en 6 maanden, voor hun levensduur 17 6
voor die van 46 jaren, 61 jaren, voor hun levensduur 15 -
voor die van 56 jaren, 67 jaren en 6 maanden, voor hun levensduur 12 8
voor die van 66 jaren, 74 jaren en 4 maanden, voor hun levensduur 8 4
voor die van 76 jaren, 81 jaren, voor hun levensduur 5 -
voor die van 86 jaren, Niets 0 -
[pag. 68] Als ik wil bepalen hoelang een persoon, die tusschen de 36 en 46 jaren oud is, zooals dat b.v. met u en met mij het geval is, dan bereken ik hunne aanstaande levensjaren naar verhouding van de jaren dat zij de 36 gepasseerd zijn, en zoo vervolgens.
Op grond van hetgeen voorafgaat, begrijp ik de reden niet van uwe becijfering van 4 tegen 3, want naar mijn oordeel zijn de kansen ongeveer gelijk, als men wedt dat iemand van 6 of 16 jaren nog ongeveer 20 jaren zullen leven. Ik wacht dus op uwe nadere verklaring, daar ik u ook de mijne gezonden heb.

[pag. 69]

Appendix bij No. 1772, bevattende de copie waarvan sprake is in No. 1755. Copie van de Engelsche tafel.

Op 100 sterven er binnen de eerste zes jaren 36
De volgende 10 jaren of decade 24
De tweede decade 15
De derde decade 9
De vierde 6
De volgende 4
De volgende 3
De volgende 2
De volgende 1
Hieruit volgt, dat er van de 100, die men aanvankelijk ondersteld heeft, in leven blijven:
Tot het einde van 't 6de jaar 64
Tot het einde van 't 16de jaar 40
Tot 26 25
Tot 36 16
Tot 46 10
Tot 56 6
Tot 66 3
Tot 76 1
Tot 86 0



No. 1776, Brief van CHRISTIAAN HUYGENS aan LODEWIJK HUYGENS te Den Haag.

Parijs, 21 November 1669.


Ik heb uwe berekening der leeftijden nagezien, en de mijne, die ik verloren had, nog eens over gemaakt. Ik wenschte wel dat de uwe vertrouwbaar was, omdat zij [pag. 70] ons een eenigszins langer leven geeft, maar het helpt niets of wij ons zelven al vleien; scit nos Proserpina canos 3) en zij stoort zich niet aan onze berekeningen. Gij komt tot het vrij juiste resultaat, dat de 100 personen samen 1822 jaren leven, maar daaruit volgt niet, dat de 18 jaren en 2 maanden, die men verkrijgt door dit getal door 100 te deelen, den leeftijd voorstelt van elken persoon die geboren wordt of waarvan de moeder zwanger is, zooals gij voor zeker aanneemt. Nemen wij eens aan, bij voorbeeld, dat de menschen in hunne kindsheid nog zwakker zijn dan zij zijn, en dat er van de 100 gewoonlijk 90 sterven in de 6 eerste jaren, maar dat zij die dezen leeftijd te boven zijn daarentegen Nestors en Methusalems worden, en dat zij gewoonlijk leven totdat ze 152 jaar en 2 maanden oud zijn. Ge zoudt dan voor de 100 hetzelfde getal van 1822 jaren vinden, en toch zou iemand, die wedden wilde dat een kind, waarvan de moeder zwanger is, dan zelfs maar zes jaar oud zou worden, een zeer onvoordeelige zaak doen, omdat er van de 10 maar één het zover brengt.
Ziehier een ander voorbeeld. Neem eens aan dat ik op elk van de 100 kinderen, waarvan de moeders zwanger zijn (bij de bekende onderstellingen), eene weddingschap aanging, dat het den leeftijd van 16 jaren zou bereiken. Dan is het zeker dat ik, omdat ik er van de 100 maar 40 op 16 jarigen leeftijd overig zijn, een onvoordeelige zaak zou doen, en dat ik 40 tegen 60, of 2 tegen 3, had moeten wedden zoo de kansen gelijk zouden zijn.
Gij ziet dus dat de 18 jaren en 2 maanden in het geheel niet den leeftijd voorstellen van een kind, waarvan de moeder zwanger is, en ik vind niet meer dan ongeveer 11 jaren.
[pag. 71] Hij die zou willen wedden, dat een kind van 6 jaren tot zijn 26 jaar leven zal, moet 25 tegen 39 inzetten, omdat er van de 64 kinderen van 6 jaren maar 25 zijn, die den leeftijd van 26 jaren bereiken, tegen 39 die vroeger sterven.
En die zou willen wedden, dat een jongen van 16 jaren tot zijn 36 jaar leven zal, moet 16 tegen 24 inzetten of 2 tegen 3, zoodat het voor iemand van 16 jaar een weinig meer waarschijnlijk is om nog 20 jaar te blijven leven, dan voor iemand van 6 jaar.
Gij ziet dat deze berekening zeer vertrouwbaar en zeer gemakkelijk is, maar gij zult vragen op welke wijze ik, zooals gij gedaan hebt, bepalen kan, hoe lang iemand van willekeurigen leeftijd redelijkerwijze nog leven kan. Om zulks te doen heb ik de kleine Engelsche tafel aangevuld, zonder het mij echter met eenige berekening moeilijk te maken, maar door het trekken van een kromme lijn, waarop ik met den passer het leven afmeet van elken willekeurigen persoon, en ik zie b.v. dat gij, op uw leeftijd van 38 jaar, nog obgeveer 19 jaren en 4 maanden leven kunt. Maar als gij u amuseeren wilt met dikwijls menschen uit te dagen, 4) dan moet gij daarvan nog iets aftrekken. Ik zal u een volgende keer deze levenslijn toezenden met de gebruiksaanwijzing en zelfs een levenstafel voor elken leeftijd van jaar tot jaar die mij niet de minste moeite kost. [pag. 72]

Nos. 1777 en 1778 bevatten Bijlagen tot den bovenstaanden brief, en dragen dezelfden datum. Niettegenstaande hierin wel eens iets herhaald wordt wat vroeger ook al gezegd was, nemen wij toch alles over, omdat het het eigen werk van CHRISTIAAN HUYGENS is.


Eerste Bijlage bij Nr. 1776.

No. 1777. Bij het onderzoek van de berekening van mijn broeder LODEWIJK, kom ik tot het volgende:
Volgens de waarnemingen, met de uiterste nauwkeurigheid te Londen geschied,
sterven er van 100 personen, waarvan de moeders zwanger zijn 36 binnen 6 jaren
24 tusschen 6 en 16 jaren
15 tusschen 16 en 26
9 tusschen 26 en 36
6 tusschen 36 en 46
4 tusschen 46 en 56
3 tusschen 56 en 66
2 tusschen 66 en 76
1 tusschen 76 en 86
dus van 100 personen bereiken den leeftijd van 6 jaren
16 jaren
26
36
46
56
66
76
86
 		64
40
25
16
10
6
3
1
0
Men gaat uit van kinderen waarvan de moeders zwanger zijn, omdat onder de geboorten ook de miskramen zijn opgenomen. [pag. 73]
Hij die zou willen wedden, dat zulk een kind 6 jaar zal bereiken, moet 64 tegen 36, of 16 tegen 9 inzetten.
En hij diezou willen wedden, dat zulk een kind 16 jaar zal bereiken, kan niet meer inzetten dan 40 tegen 60, of 2 tegen 3, omdat er van de 100 maar 40 den leeftijd van 16 jaren bereiken.
Maar hij die zou willen wedden, dat een kind van 6 jaren 16 jaar zal bereiken, moet 40 tegen 24 of 5 tegen 3 inzetten, omdat er van 64 personen van 6 jaren 40 zijn die 16 jaren oud worden, en 24 vroeger sterven.
Eveneens moet hij, die zou willen wedden, dat een kind van 16 jaren 26 jaar zal bereiken, ook 5 tegen 3 inzetten, omdat er van 40 personen van 16 jaren 25 zijn die 26 jaren oud worden, en 15 vroeger sterven.
Die zou willen wedden, dat een kind van 6 jaren 26 jaar zal bereiken, moet 25 tegen 39 inzetten, omdat er van 64 kinderen van 6 jaren maar 25 zijn die 26 jaren oud worden, en 39 vroeger sterven.
Op overeenkomstige wijze moet hij, die zou willen wedden, dat iemand van 16 jaren 36 jaar zal bereiken, 16 tegen 24 of 2 tegen 3 inzetten, zoodat het iets waarschijnlijker is voor een 16 jarige dan voor een 6 jarige om nog 20 jaren te leven.
Van honderd jonggeborenen 5) sterven er 36 voor zij den leeftijd van 6 jaren bereikt hebben. Van de 64 overblijvende zesjarigen sterven er 24 vóór 16 jaar; deze hebben dooreen genomen 11 jaren geleefd. En zoo vervolgens.
Een jongeborene heeft dus [pag. 74]
36 kansen om 3 jaren te leven, en
24 kansen om 11 jaren te leven. en
15 kansen om 21 jaren te leven, enz.

Nu moet men, volgens mijn regel voor ,,spelen van geluk,'' elk aantal kansen vermenigvuldigen met de jaren die zij geven, en de som der producten, die hier 1822 is, deelen door de som van alle kansen, die hier 100 is. En het quotient, dat hier 18 jaren en ongeveer 21/2 maand is, zal aanwijzen wat de waarde van de kans van den of de jonggeborene is. Men lette op de volgende tafels:
Vermenigvuldig 36 met 3

24 ,, 11

15 ,, 21

9 ,, 31

6 ,, 41

4 ,, 51

3 ,, 61

2 ,, 71

1 ,, 81 		dan verkrijgt men 108 . . .

264 . . .

315 . . .

279 . . .

246 . . .

204 . . .

183 . . .

142 . . .

81 . . .
 		1822 op 100
1108
1714 op 64
1264
1450 op 40
1315
1135 op 25
1279
1856 op 16
1246
1610 op 10
1204
1406 op 6
1183
1223 op 3
1142
1281 op 1
1822

[pag. 75] De methode van mijn broeder LODEWIJK voert tot hetzelfde resultaat, ofschoon hij langs andere wegen daartoe gekomen is.
Maar ofschoon de verwachting (espérance) van een jonggeborene 18 jaren en 21/2 maand waard is, zoo is daarmede niet gezegd, dat het waarschijnlijk is dat hij of zij zoolang zal leven, want het is veel waarschijnlijker dat zulk een kind vóór dien tijd zal sterven. Zoodat, indien men zou willen wedden dat het dien leeftijd zal bereiken, men een onvoordeelige zaak zou doen; immers men kan alleen met gelijke kansen wedden, dat het ongeveer 11 jaren zal leven. Derhalve bedriegt mijn broeder zich ook, als hij zegt, dat de kansen gelijk zijn, wanneer men wedt, dat een kind van 6 jaar of een van 16 jaar nog 20 jaren leven zal. Want men kan maar 25 tegen 39 inzetten op het kind van 6 jaar, en 2 tegen 3 op dat van 16 jaar, ofschoon de verwachting zoowel van het een als van het ander 20 jaren waard is, dat wil zeggen, dat zij verkeerd zouden doen als zij zich niet van 20 jaren levens verzekerd hielden. Zijne berekening is goed voor lijfrenten.
Men wenscht te weten in welken tijd er 2 van veertig 46-jarigen zullen sterven. Antw. in 1 jaar en 3 maanden.
Van 10 sterven er 4 tusschen 46 en 56, dat is in 10 jaren; 16 sterven er in 10 jaren, dus sterven er 2 in 1 jaar en 3 maanden.
Iemand van 56 jaren huwt eene vrouw van 16 jaren; hoelang kunnen zij rekenen nog samen te zullen leven, zonder dat noch de een noch de ander sterft? Of wel, indien men zich verbonden had mij 100 francs te geven aan 't einde van elk jaar dat zij te zamen nog leven zullen, voor hoeveel zou men dan die verplichting billijkerwijze kunnen afkoopen? In hoeveel tijd moeten beiden sterven? [pag. 76]
In hoeveel tijd zullen 40 personen, ieder van 46 jaren, overleden zijn?
Te bereiken leeftijd.
6) Een jonggeb. kind heeft nog te leven 18,22 of 18 j. en 22/3 m. Ongev. 18,22
Een kind van 6 jaren ,, ,, ,, ,, 20,81 of 20 j. en 10 m. ,, 26,81
Een kind van 16 jaren ,, ,, ,, ,, 20,25 of 20 j. en 3 m. ,, 36,25
Een kind van 26 jaren ,, ,, ,, ,, 19,40 of 19 j. en 5 m. ,, 45,40
Een kind van 36 jaren ,, ,, ,, ,, 17,50 of 17 j. en 6 m. ,, 53,50
Een kind van 46 jaren ,, ,, ,, ,, 15,00 of 15 j. en 0 m. ,, 61,00
Een kind van 56 jaren ,, ,, ,, ,, 11,67 of 11 j. en 8 m. ,, 67,67
Een kind van 66 jaren ,, ,, ,, ,, 8,33 of 8 j. en 4 m. ,, 74,33
Een kind van 76 jaren ,, ,, ,, ,, 5,00 of 5 j. en 0 m. ,, 81,00
Een kind van 86 jaren ,, ,, ,, ,, 0,00 of 0 j. en 0 m. ,, 86,00



In hoeveel tijd zullen 2 personen setrven, ieder van 16 jaar? Antw. In 29 maanden en 22/3 maanden.
Om te weten te komen hoe lang de laatste van 2 personen van 16 jaar nog leven zal, moet men zich voorstellen, dat ieder hunner één biljet trekt uit 40 (d.w.z. alle kansen), waarvan er zijn:
15 die 5 jaren geven, 3 die 45 jaren geven,
9 die 15 jaren geven, 2 die 55 jaren geven,
6 die 25 jaren geven, 1 die 65 jaren geeft,
4 die 35 jaren geven,
en dat zij voor het leven van den langstlevende datgene van de 2 biljetten nemen, dat het grootste aantal jaren heeft.
Onderstellen wij dat men het eerst zijn biljet neemt, dan is het zeker dat hij 15 kansen heeft om er een te krijgen, dat nog 5 levensjaren geeft. En 9 kansen om er een te krijgen van 15 levensjaren, enz. Indien hij er nu een neemt van 5 levensjaren, dan moet de andere [pag. 77] persoon daarna ook zijn biljet trekken, en al wat hem ten deel valt beneden de 5 jaren, kan geen nadeel geven, omdat de eerste reeds een biljet van 5 jaren heeft, zoodat al wat minder dan 5 jaren aan den tweede kan ten deel vallen, voor 5 jaren geldt. Maar de tweede heeft 15 kansen, waarvan er 7½ zijn om minder dan 5 jaren te leven, en 7½ om 6 of 7 of 8 of 9 of 10 jaren te leven, hetgeen gelijkwaardig is met 7½ om 8 jaren te leven. En daarenboven 25 kansen die gelden voor een mensch van 16, 20, 40 jaren (want deze moeten aldus genomen worden, omdat niet eene van deze 25 kansen minder geeft dan 5 jaren). De eerste heeft dus als hij zijn billet trekt 15 kansen om te hebben
7½ kansen voor 5 jaren,
7½ kansen voor 8 jaren,
25 kansen voor 29,40 jaren.
15 -- 71/2 -- 5 20,3
71/2 -- 8
25 -- 29.40
9 -- 191/2 -- 15 24,3
41/2 -- 18
16 -- 371/2
6 -- 27 -- 25 30,2
3 -- 28
10 -- 45
4 -- 32 -- 35 37,6
2 -- 38
6 -- 51.67
3 -- 351/2 -- 45 46,1
1/2 -- 48
3 -- 58.33
2 -- 38 -- 55 55,3
1 -- 58
1 -- 65
1 -- 39 -- 65 65,0
1 -- 661/2
Als deze eerste een billet trekt heeft hij ook 9 kansen om er een van 15 jaren te krijgen, en als hij er een van deze gekregen heeft, dan geldt al wat minder dan 15 jaren aan den ander kan ten deel vallen, voor 15 jaren. Maar die tweede heeft 15 kansen, die minder dan 15 jaren geven, hetgeen, dus gelijk staat met 15 kansen van 15 jaren. En hij heeft er 9, waarvanb er 4½ zijn van minder dan 15 jaren en dus gelijk staan met 15 jaren, en 4½ andere die 16, 17, 18, 19 of 20 jaren geven, hetgeen gelijkwaardig is met 4½ kansen om 18 jaren te [pag. 78] leven. En daarenboven 16 kansen om 37½ jaar te leven. De eerste heeft dus als hij zijn billet trekt ook
19½ kansen voor 15 jaren,
4½ kansen voor 18 jaren,
16 kansen voor 37½ jaren,
En zoo vervolgens in de nevenstaande becijfering is aangegeven.
De eerste heeft dus kans van te trekken:
15 kansen voor 20,3 0304,5 d.i. 29,22 jaren 7), die de laatste van 2 personen van 16 jaren ieder, nog leven zal; d.w.z. dat een van de twee den leeftijd van 45 jaren en 22/3 maand zal bereiken.
9 ,, ,, 24,3 0218,7
6 ,, ,, 30,2 0181,2
4 ,, ,, 37,6 0150,4
3 ,, ,, 46,1 0138,3
2 ,, ,, 55,3 0110,6
1 ,, ,, 65,0 0165,0
1168,7

Om te weten te komen in hoeveel tijd een van 2 personen ieder van 16 jaren zal sterven, moet men zich weder voorstellen, dat de een na de ander één billet trekt uit de 40 (d.w.z. alle) kansen waarvan er 15 zijn die 5 jaren geven, en 9 die 15 jaren geven, enz. evenals bij het voorgaand vraagstuk, maar dat men hier de jaren moet nemen van het billet, dat het kleinste aantal jaren geeft.
Als de eerste zijn billet trekt, heeft hij 15 kansen om 5 jaren te leven, 9 kansen om 15 jaren te leven, enz. En als hij een der 15 billetten van 5 jaren neemt, dan is het voor den ander, als die zijn billet trekt, van geen beteekenis om de 5 jaren te passeeren, welk billet hij ook trekke, omdat men zich van de 2 billetten toch bepaalt bij dat wat het kleinste aantal jaren geeft. Maar het kan daarentegen nog eenigszins verminderd worden; want [pag. 79] men moet ten zijnen opzichte de 15 billetten van 5 jaren beschouwen alsof er 7½ zijn van meer dan 5 jaren, die echter maar voor 5 gelden, en 7½ van 5 of 4 of 3 of 2 of 1 jaren. Nu heeft deze tweede, behalve zijn 15 billetten of kansen, er nog 25 die ook niet voor meer dan voor 5 jaren kunnen gelden. Als dus de eerste zijn billet trekt, heeft hij 15 kansen om te hebben
7½ kansen voor 3 jaren
en 32½ kansen voor 5 jaren.
De eerste had ook toen hij zijn billet trok 9 kansen om een billet te krijgen van 15 jaren. En als hij een daarvan trekt, dan kan het den ander als die zijn billet trekt niets helpen of hij iets trekt wat de 15 jaren te boven gaat. Maar hij kan ze nog verminderen, eerstens indien hij er een trekt van de 15 van 5 jaren, of een van de 4½ die, als zijnde onder de 15, gelijkwaardig zijn met 13 jaren, terwijl de ander 4½ ook niet voor meer dan voor 15 gelden, al zijn zij daar ook boven. Nu heeft deze tweede, behalve deze 15 en 9 of 24 kansen, er nog 16, die ook niet meer dan 15 kunnen gelden. Toen dus de eerste zijn billet trok, had hij ook 9 kansen om te hebben 15 kansen voor 5 jaren, 4½ kansen voor 13 jaren, 20½ kansen voor 15 jaren. 8)


Tweede Bijlage bij Nr. 1776.

Op de rechte lijn aan den voet dezes 9) zijn de leeftijden van de personen aangegeven en waar het cijfer 6 staat is een loodlijn opgericht die 64 deelen bevat, omdat er, volgens de Engelsche tafel, van 100 personen nog 64 op den leeftijd van 6 jaren over zijn. Waar het cijfer [pag. 80] 16 staat is een loodlijn opgericht van 40 deelen, omdat er op de leeftijd van 16 jaren nog 40 personen over zijn van de 100 jonggeborenen. En door alle punten aan het einde van die loodlijnen gelegen, heb ik de kromme lijn 64, 40, 25 enz. getrokken. Als ik nu wil weten hoeveel personen van 100 jonggeborenen er overblijven na 20 jaren, dan neem ik op de rechte lijn den leeftijd van 20 jaren in het punt A, en daar een loodlijn opgericht hebbende, die de kromme lijn in B ontmoet, zeg ik, dat AB, die op de schaal der andere lijnen afgemeten 33 deelen uitmaakt, het getal personen aanwijst dat van 100 jonggeborenen den leeftijd van 20 jaren bereikt. Zoo ik vervolgens wil weten hoe lang een persoon van 20 jaren b.v. redelijkerwijze nog te leven heeft, dan neem ik de helft BA en pas die in DC tusschen de kromme en de rechte lijn, zoodat zij loodrecht komt te staan op de laatste. En ik heb AC voor de jaren die aan de gezegde personen nog te leven overblijven, hetgeen ongeveer 16 jaren is, zooals blijkt uit het aantal afdeelingen, waarvan elk een jaar voorstelt. De reden is dat de loodlijn DC de helft is van BA, die het aantal menschen voorstelt die er overblijven van 100, 20 jaren nadat de moeders van hen zijn zwanger geworden, namelijk 33, zoodat zij, neervallende op 36 van de rechte lijn, aanduidt dat er na 36 jaren nog de helft van 33 of 16½ menschen over zullen zijn. Daar dus van de 33 personen van 20 jaren de helft gewoonlijk sterft in de volgende 16 jaren, zoo zullen, als men wedt dat iemand van 20 jaren nog 16 jaren leven zal, de partijen gelijk staan.
Op dezelfde wijze zal men vinden dat het leven van een jonggeborene moet geschat worden op 11 jaren, en niet, zooals mijn broeder berekent, op 18 jaren en 2 maanden.


N° 1781. Uit een brief van CHRISTIAAN HUYGENS te Parijs, aan LODEWIJK HUYGENS te Den Haag van 28 November 1669.

De berekening die ik u gezonden heb heeft u zeker in verlegenheid gebracht; sedert daarover en ook over de uwe nadenkende, kom ik tot het besluit dat wij beiden gelijk hebben, maar dat wij de zaak van verschillende kanten beschouwen. Gij geeft aan een jonggeborene 18 jaren en 2½ maand te leven, en het is waar dat zijne verwachting inderdaad zoo groot is. Intusschen is het niet waarschijnlijk dat hij zoo lang leven zal, wantr het is veel waarschijnlijker, dat hij vóór dien termijn sterven zal, zoodat als men wilde wedden dat hij dien tijd wèl zal bereiken, men een onvoordeelige zaak zou doen, want men kan, zoo de partijen gelijk zullen zijn, alleen wedden dat hij ongeveer 11 jaren leven zal, zooals ik dat door mijne manier vindt. Evenzoo bedraagt de verwachting van een kind van 6 jaren of van een jongen van 16 jaren inderdaad 20 jaren, zooals gij gevonden hebt, maar gij kunt daaruit niet afleiden, dat de partijen gelijk zouden zijn, wanneer men wedt dat hij nog 20 jaren zal leven, want daarvoor moet men maar 25 tegen 39 wedden voor het kind van 6 jaren, en 2 tegen 3 voor den jongen van 16 jaren. Of wel men kan wedden 1 tegen 1 dat een jongen van 16 jaren nog 15 jaren leven zal.
De verwachting of de waarde van den toekomstigen leeftijd van een persoon is dus iets anders dan de leeftijd dien hij met gelijke waarschijnlijkheid al dan niet zal bereiken. De eerste dient om de lijfrenten te bepalen, en de andere is bestemd voor hen die willen wedden. Ik zal eens zien of gij dezelfde onderscheiding gemaakt hebt. Intusschen is uwe methode zeer fraai en vernuftig gevonden. Zij komt juist op hetzelfde neer als ik vind [pag. 82] volgens mijne regels van de ,,spelen van geluk'', die afgedrukt zijn in de Exercitationes Mathematicae van VAN SCHOOTEN 10), zeggende dat een jonggeborene b.v. 36 kansen heeft om 3 jaren te leven, 24 kansen om 11 jaren te leven, enz., want men moet, om de waarde te leeren kennen, volgens den regel elk aantal kansen vermenigvuldigen met hetgeen zij opleveren, en de som der producten deelen door de som van alle kansen.
Wat uw kapiteins betreft 11), gij hebt geloof ik van de Engelsche tafel gebruik gemaakt, aldus redeneerende: als er van 10 personen 4 sterven tusschen de 46 en 56 jaren, dan zullen er van 40 personen 16 sterven tusschen de 46 en 56 jaren, d.i. in 10 jaren tijds, en als er 16 sterven in 10 jaren, dan sterven er, volgens den regel van drieën, 2 in 1 jaar en 3 maanden. Maar volgens deze berekening sterven er van 40 personen 2 in 15 maanden wanneer men onderstelt dat ieder 46 jaren, en niet 50 jaren oud zal zijn; zelfs zijn daartoe nog niet eens 15 maanden noodig, omdat zij niet over de 10 jaren gelijkelijk verdeeld sterven, maar meer in de eerste jaren, omdat dan het aantal personen grooter is dan nadat de dood er eenige heeft weggenomen.
Ziehier een zeer aardig vraagstuk, dat mij vrij wat moeielijker voorkomt dan dat der kapiteins, en dat ik nog niet heb uitgerekend, maar waartoe ik wel kans zie. Hoelang kunnen twee personen ieder van 16 jaren verwachten gezamelijk te leven, zonder dat een hunner sterft? En ook: in welken tijd zullen zij beiden gestorven [pag. 83] zijn? Dit zijn inderdaad twee verschillende vraagstukken, over elk waarvan veel gedacht moet worden.
Wanneer de leeftijden der 2 personen verschillend genomen worden, zoodat de eene b.v. 16 jaren en de andere 56 is, dan zou dat nog eenige verandering teweeg brengen, maar het zou niet veel moeite veroorzaken, nadat men de oplossing bij gelijke leeftijden gevonden had. De kromme lijn, waarvan ik in mijn voorgaanden gesproken heb, dient alleen voor hen, die willen wedden, daarom is het niet noodig u die toe te zenden. Maar men kan er ook eene maken op uw tafel van de levensduren (restes de vie) op elken leeftijd aan te vullen, maar op grooter schaal.



Voetnoten:

1) LODEWIJK was een jongere broer van CHRISTIAAN.

2) Een werk van JOHN GRAUNT.

3) Proserpina weet wel, dat wij kaal worden.

4) Dit slaat op een twist tusschen LODEWIJK HUYGENS en een zekeren graaf J. DU RIEUX, die veel hield van duelleeren.

5) Wij zullen hier voortaan de kinderen, waarvan de moeders zwanger zijn (enfants concues), jonggeborenen noemen.

6) De hier ingevoegde tafel hoort blijkbaar bij, en is afgeleid uit de voorgaande tafel.

7) Bedoeld wordt, dat men 1168,7 moet deelen door de som der kansen of 40.

8) Deze becijfering schijnt niet verder te zijn afgewerkt.

9) In een volgenden brief zegt HUYGENS dat hij dit figuur heeft achtergehouden.

10) Cf. ons Blaadje Nr. 251 (blz. 37).

11) De brief waarin LODEWIJK HUYGENS dit vraagstuk bespreekt, is verloren. In de 1ste Bijlage van den brief van CHRISTIAAN Nr. 1776 (1777) werd het reeds gesteld, onder mededeeling van de hier besproken oplossing van LODEWIJK.