Sur une généralisation de l'intégrale
définie;
PAR
M. H. LEBESGUE.
Aanvullende gegevens:
Verschenen in de Comptes Rendus de l'Academie des Sciences (1901), pp.
1-3; twee voetnoten, beiden gemerkt met het nummer één zijn hier
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Dans le cas des fonctions continues, il y a identité
entre les notions d'intégrale et de fonctions primitive. Riemann a
défini l'intégrale de certaines fonctions discontinues, mais
toutes les fonctions dérivées ne sont pas intégrables, au
sens de Riemann. Le problème de la recherche des fonctions primitives
n'est donc pas résolue par l'intégration, et l'on peut
désirer une définition de l'intégrale comprenant comme cas
particulier celle de Riemann et permettant de résoudre le
problème des fonctions primitives
(1).
Pour définir l'intégrale d'une fonction continue
croissante
y(x) (a < x < b)
on divise l'intervalle (a, b) en intervalles partiels et l'on fait la
somme des quantités obtenues en multipliant la longueur de chaque
intervalle partiel par l'une des valeurs de y quand x est dans cet
intervalle. Si x est dans l'intervalle (ai,
ai+1), y varie entre certaines limites mi,
mi+1, et réciproquement si y est entre
mi et mi+1, x est entre
ai et ai+1. De sorte qu'au lieu de se
donner la division de la variation de x, c'est-à-dire de se
donner les nombres ai, on aurait ou se donner la division de
la variation de y, c'est-à-dire les nombres mi.
De là deux manières de généraliser la notion
d'intégrale. On siat que la première (se donner les
ai) conduit à la définition donnée par
Riemann et aux définitions des intégrales par excès et par
défaut données par M. Darboux. Voyons le seconde. [pag. 2]
Soit la fonction y comprise entre m et M.
Donnons-nous
m = m0 < m1 < m2 <
... < mp-1 < M = mp
y = m, quand x fait partie d'un ensemble E0;
mi-1 < y < mi quand x
fait partie d'un ensemble Ei.
Nous définirons plus loin les mesures
0,
i de ces ensembles.
Considérons l'une ou l'autre des deux sommes
m00 +
mii;
m00 +
mi-1i;
si, quand l'écart maximum entre deux mi consécutifs
tend vers zéro, ces sommes tendent vers une même limite
indépendante des mi choisis, cette limite sera par
définition l'intégrale des y qui sera dite
intégrable.
Considérons un ensemble de points de (a, b); on
peut d'une infinité de manières enfermer de la somme des longuers
de ces intervalles; la limite inférieure de la somme des longueurs de ces
intervalles est la mesure de l'ensemble. Un ensemble E est dit mesurable
si sa mesure augmentée de celle de l'ensemble des points ne faisant pas
partie de E donne la mesure de (a, b)
(2). Voici deux propriétés de
ces ensembles: une infinité d'ensembles mesurables Ei
étant donnée, l'ensemble des points qui font partie de l'un au
moins d'entre eux est mesurable; si les Ei n'ont deux à
deux aucun point commun, la mesure de l'ensemble obtenu est la somme des
mesures Ei. L'ensemble des points communs à tous les
Ei est mesurable.
Il est naturel de considérer d'abord les fonctions
telles que les ensembles qui figurent dans la définition de
l'intégrale soient mesurable. On trouve que: si une fonction
limitée supérieurement en valeur absolue est telle que, quels que
soient A et B, l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on
a A < y < B est mesurable, elle est intégrable
par le procédé indiqué. Une telle fonction sera dite
sommable. L'intégrale d'une fonction sommable est comprise entre
l'intégrale par défaut et l'intégrale par excès. De
sorte que, si une fonction intégrable au sens de Riemann est
sommable, l'intégrale est la même avec les deux
définitions. Or, toute fonction intégrable au sens de
Riemann est sommable, car l'ensemble de ses points de discontinuité
est de mesure nulle, et l'on peut démontrer que si, en faisant
abstraction d'un ensemble de valeurs de x de mesure nulle, il reste un
ensemble en chaque
[pag. 3]
point duquel une fonction continue, cette fonction est sommable. Cette
propriété permet de former immédiatement des fonctions non
intégrables au sens de Riemann et cependant sommables. Soient f(x)
et (x) deux fonctions continues,
(x) n'étant pas toujours
nulle; une fonction qui ne diffère de f(x) qu'aux points d'un
ensemble de mesure nulle partout dense et qui en ces points est égale
à f(x) + (x) est
sommable sans être intégrable au sens de Riemann. Exemple:
La fonction égale à 0 si x irrationnel, égale
à 1 si x rationel. Le procédé de formations qui
précède montre qui l'ensemble des fonctions sommables a une
puissance supérieure au continue. Voici deux propriétés des
fonction de cet ensemble:
1. Si f et sont
sommables, f + le sont et
l'intégrale de f + est la somme
des intégrales de f et de .
2. Si une suite de fonctions sommables a une limite, c'est
une fonction sommable.
L'ensemble des fonctions sommables contient évidemment
y = k et y = x; donc, d'après 1°, il contient tous les
polynomes et comme, d'aprés 2°, il contient toutes ses limites, il
contient donc toutes les fonctions continues, c'est-a-dire les fonctions de
première classe (voire Baire, Annali di Matematica, 1899), il
contient toutes celles de seconde classe, etc.
En particulier, toute fonction dérivée,
limitée supérieurement en valeur absolue, étant de
première classe, est sommable, et l'on peut démontrer que
son intégrale, considerée comme fonction de sa limite
supérieure, est une de ses fonctions primitives.
Voici mainenant une application géométrique: si
|f'|, |'|,
|'| sont limitées
supérieurement, la courbe
a pour longueur l'intégrale de
(f'2 +
'2 +
'2). Si
=
= 0, on a la variation totale de la
fonction f à variation limitée. Dans le cas où
f', ',
' n'existent pas, on peut obtenir un
théorème presque identique en remplaçant les
dérivées par les nombres dérivés de Dini.
(29 avril 1901.)
Voetnoten:
(1) Ces deux conditions imposées a priori
à toute généralisation de l'intégrale sont
évidemment compatibles, car toute fonction dérivée
intégrable, au sens de Riemann, a pour intégrale une de ses
fonctions primitives.
(2) Si l'on ajoute à ces ensembles des ensembles de
mesures nulles convenablement choisis, on a des ensembles mesurables au sens de
M. Borel (Leçons sur la théorie des fonctions).