BESCHOUWING

van

DEN AARD, DE VOORDEELEN,
EN DE INRIGTING

DER

MAATSCHAPPIJEN

VAN

LEVENSVERZEKERING;

BEVATTENDE TEVENS

EENE VERKLARING DER WARE GRONDEN VAN
BEREKENING TOT HET ONTWERPEN VAN

DUURZAME WEDUWEN-FONDSEN,

bijzonderlijk opgesteld ten dienste der onge-
oefenden in de Wiskunde,

DOOR

R. LOBATTO

Adviseur voor het vak der Maten en Gewigten bij
het Departement van Binnenlandsche Zaken.



Te AMSTERDAM, bij
 G. PORTIELJE.
 1830.


Aanvullende gegevens:
Oorspronkelijk XII + 177 pp. met daarachter 16 pp. tabellen.
Voetnoten aangegeven met sterretjes, kruisjes en andere tekens.
Uitgegeven bij G. Portielje te Amsterdam (1830).
Opgenomen zijn het Voorberigt (pp. III-X), de inhoudsopgave (pp. XI-XII) en de hoofdstukken III en IX.


VOORBERIGT.



De theorie der levensverzekeringen maakt reeds, sedert geruimen tijd, eenen belangijken tak van toegepaste hoogere wiskunde uit; zij is haren tegenwoordigen staat van uitbreiding, zoo al niet geheel, althans grootendeels aan den arbeid van verscheidene voorname Engelsche Wiskundige verschuldigd. Hare eerste grondslagen werden echter in Nederland gelegd, en hiertoe mogen wij ons, op het getuigenis van buitenlandsche geleerden zelve, beroepen. Onze beroemde HUYGENS behoorde onder de eersten, die de leer der waarschijnlijkheden of de kansrekening, waarop de gemelde theorie geheel gegrond is, beoefenden, en door hunne schriften verspreidden; terwijl HUDDE en J. DE WITT, beide in de geschiedenis der wiskunde met zoo veel lof bekend, de eerste waren, die eene juiste berekening der lijfrenten bekend maakten (1). Na hen werd dat onderwerp verder [pag. IV] uiteengezet door onze kundige landgenoten STRUYCK en KERSSEBOOM, die zich daarbij gelijktijdig met onderscheidene nuttige berekeningen, aangaande de afsterving van het menschelijke geslacht, inlieten. Sedert schijnt de smaak voor de beoefening der politieke rekenkunde, en der daarmede zoo naauw verbondene theorie der levensverzekeringen, hier te lande onder de wiskundigen ten eenenmale verloren te zijn geraakt; en heeft alzoo dat vak van wetenschap, in het lot van zoo menige andere moeten deelen, welke in ons vaderland haar eerste aanwezen verkregen, doch wier uitbreiding en volmaking aan vreemden overgelaten werden. Over dusdanige verwaarloozing mogen wij ons met des te meer reden verwonderen, daar het hier geene bloote afgetrokken wiskundige bespiegeling geldt, maar integendeel een onderwerp van onmiddelijke toepassing op het dagelijksche leven, en van eenen grooteren invloed op den welvaart van de onderscheidene standen der Maatschappij, dan men welligt oppervlakkig vermoeden zoude. Bedroevend is het daarenboven, de gevolgen te aanschouwen van de hieruit bij ons voortgevloeide, en in den tegenwoordigen tijd zoo blijkbare onkunde in de theorie der levensverzekeringen, bij verre het grootste gedeelte van hen, die zich aan het hoofd van daarop gegronde inrigtingen stellende, met de wiskundige gronbeginselen der levensverzekeringen eenigzins van nabij behoorden bekend te zijn; doch die integendeel, slechts met eene middelmatige kennis van rekenkunst toegerust, het licht der wiskunde daarbij vermeenen geheel te kunnen ontberen. Dergelijke inrigtingen, welke zich deze laatste jaren in ons vaderland, onder verschillende benamingen, zeer vermenigvuldigd hebben, en uit derzelver aard niets [pag. V] dan weldaden voor de belanghebbende deelgenooten moesten verspreiden, hebben ongelukkiglijk, door de onkundevan hare ontwerpers, wellicht niet altijd aan belanglooze inzigten gepaard, reeds spoedig na de oprigting, jammerklagten doen ontstaan over teleurgestelde verwachting van weidsche beloften, en over den kommerlijken toestand van hen, wie zulks moest treffen. Die gevolgen zijn ook daarom als zeer noodlottig te beschouwen, dewijl men, bij gebrek aan hulpmiddelen of kenmerken, om in deze het goede van het slechte te onderscheiden, al ras genegen is om over al de bestaande inrigtingen van levensverzekeringen, een en hetzelfde ongunstige vonnis uittespreken, waardoor dus ten onregte een algemeen wantrouwen verspreid wordt, op maatschappelijke instellingen, welke het openbare vertrouwen zoo zeer behoeven, en zonder hetzelfde bezwaarlijk immer tot eenen bloeijenden stand kunnen geraken. Alzoo wordt hare ontwikkeling reeds bij de geboorte belemmerd, ten merkelijken nadeele der heilzame vruchten, welke zij eenmaal bestemd zijn te dragen.
In Engeland en Duitschland onder anderen, heeft men zich in de voorgaande eeuw wel is waar, eveneens over het lot van vele der gemelde inrigtingen, bijzonderlijk der zoogenaamde weduwen- en weezenkassen te beklagen gehad, ten gevolge van de onbekendheid der oprigters met de wiskundige gronden van berekening, en zulks niettegenstaande er destijds reeds onderscheidene werken geschreven waren, waaruit zij de hun ontbrekende wetenschap hadden kunnen verkrijgen (2). [pag. VI]
Doch ook uit dien hoofde mogt men met reden verwachten, dat de lessen eener treurige ondervinding hierbij niet geheel verloren zouden zijn gegaan, en men eenmaal het dwaalspoor verlaten zou hebben, om voortaan den eenigen zekeren weg te bewandelen, dien weg namelijk, welken de wiskundige theorie, toegepast op naauwkeurige en volledige waarnemingen nopens de sterfte, daartoe reeds voorlang aangewezen had. Gewis zou het tegenovergestelde verschijnsel zich thans bij ons niet doen gevoelen, zonder die verwaarloozing, waarover wij hiervoren onze verwondering en leedwezen betuigden; aan welke omstandigheid dan ook ongetwijfeld, het volslagen gebrek aan eenige geschikte handleiding in onze moedertaal over die stoffe, en wel inzonderheid over het berekenen der weduwen-pensioenen, mag toegeschreven worden (3). Een [pag. VII] werkje van dien aard, hoofzakelijk bestemd tot onderrigt van hen, die zich met het ontwerpen van weduwen-fondsen en soorgelijke vereenigingen bezig houden, of geroepen zijn, om over dezelver al of niet voortdurende bestaanbaarheid te oordeelen, kwam ons voor, in het tegenwoordige tijdstip van eene wezenlijke behoefte te zijn. De overtuiging van het nut, dat hiermede verrigt kan worden, heeft ons aangespoord tot het opstellen en utigeven van het geschrift, hetwelk wij bij deze aan de beoordeeling van deskundigen onderwerpen, en, naar wij hopen, zal mogen strekken, om in die behoefte eenigermate te voorzien. Wij hebben ons daarbij een tweeledig oogmerk voorgesteld; in de eerste plaats namelijk, om onze landgenooten meer van nabij bekend te maken, zoo met den aard en de inrigting der maatschappijen van algemeene levensverzekering, als met de voordeelen, welke dezelve aan de onderscheidene klassen van ingezetenen aanbieden, omtrent welk een en ander men tot dusverre onjuiste en soms verwarde denkbeelden ziet plaats grijpen; en, in de tweede plaats, om de ware wiskundige gronden van berekening der weduwen-pensioenen, op eene, zooveel ons mogelijk was, bevattelijke wijze te verklaren, ten [pag. VIII] dienste van allen, die in deze kennis eenig belang stellen, zonder echter eene bedrevenheid in de wiskundige teekenspraak te bezitten, en die dus niet in staat zouden zijn, eene meer algemeene wijze van voorstelling der zaak in allen deele te volgen. Wij hebben daarom getracht, onze redeneringen van alle eenigzins ingewikkelde stelkusntige formulen te ontdoen, ten einde het gebruik van dit werkje voor een grooter aantal lezers geschikt te maken. Alleen de kennis der zamengestelde interest-berekening, en die van de behandeling der Logarithmne, worden hier, uit den aard van het onderwerp, gevorderd; en deze kundigheden toch mogen wij gerustelijk onderstellen, althans bij hen, die aan het hoofd der meergemelde inrigtingen staan, of tot derzelver beheer medewerken.
Wel verre, dat de leerwijze, welke wij voordragen, eenig nieuws zou behelzen, kan zoodanige verdienste aan de door ons volbragte taak geenszins toegekend worden, vermits men diezelfde leerwijze, reeds in de eerste helft der voorgaande eeuw, door voorname schrijvers, onder eenen meer of min wiskundigen vorm, verklaard en toegepast vindt. Onze hedendaagsche ontwerpers van weduwen-fondsen zullen echter daaruit kunnen ontwaren, dat er, tot eene billijke en juiste regeling der voorwaarden van deelneming aan die inrigtingen, vrij wat omslagtigere bewerkingen vereischt worden, dan zij tot hiertoe begrepen hadden; en tevens, hoe verre zij in hunne op onjuiste grondslagen rustende berekeningen, van de waarheid afwijken, door het verzekeren van aanzienlijke voordeelen, voor zulke geringe bijdragen, als zij van de balanghebbenden vorderen. Voorwaar, zulk een meesterstuk van diepzinnige rekenkunst [pag. IX] schijnt alleen voor de kunde van die mannen onzer eeuw bewaard te zijn gebleven.
Men wachte hier van ons geen algemeen overzigt noch beoordeeling van de menigvuldige in deze laatste jaren onstane inrigtingen van levensverzekering. Om verschillende redenen, hebben wij gemeend, ons hiervan te moeten onthouden; ook wel voornamelijk daarom, dewijl dit geschrift hierdoor eene te groote wijdloopigheid zou verkregen hebben, en in hetzelve overigens al de vereischten tot het duurzame bestaan van dusdanige inrigtingen ontvouwd worden, zoo dat elke belangstellende, die de hier voorgedragene gronden van berekening zal gevat hebben, gemakkelijk in staat gesteld wordt, om zich van het al of niet gebrekkige der vereeniging, waartoe hij behoort, te overtuigen; iets, hetwelk wij onder anderen bijzonderlijk ten doel hadden.
Behalve de theorie van het berekenen der weduwen-pensioenen, hebben wij daarenboven eene eenvoudige rekenwijze voorgedragen, tot het bepalen der tegenwoordige waarde of van den prijs eener op iemands leven verzekerde geldsom; en zulks met behulp eener zoodanige redenering, welke even min eenige wiskundige kennis onderstelt, en, aan menigen lezer, gelijk wij vertrouwen, niet ongevallig zijn zal. Voor het oogenblik konden wij de theorie der levensverzekeringen niet uitvoeriger behandelen, zonder in het gebruik van zamengestelde wiskundige formules te vervallen; doch het is ons voornemen, over dat belangrijke onderwerp, nader eene meer volledige verhandeling, naar den tegenwoordigen staat der wetenschap ingerigt, ten dienste onzer vaderlandsche wiskundigen, zamentestellen, in de hoop van hierdoor ook wederom bij ons, de smaak voor de beoefening der bedoelde theorie te zien herleven. [pag. X]
Intusschen zullen wij ons voor de moeite en tijd aan de bearbeiding van dit werkje, en het berekenen der daarbij gevoegde tafels ten koste gelegd, genoeg beloond achten, indien hetzelve iets mogt kunnen bijdragen, om de instellingen van levensverzekering in al hare waarde te doen schatten, en onze belanghebbende landgenooten tegelijk in staat te stellen, zich juistere denkbeelden te vormen, aangaande de bedriegelijke verwachtingen van de meeste onzer inrigtingen, tot verzorging van het lot der weduwen daargesteld.
Voor zooverre ik echter in sommige mijner beschouwingen mogt gedwaald hebben, zal ik volgaarne de teregtwijzende aanmerkingen of wederleggingen van deskundigen te gemoet zien, ten einde dit nuttige onderwerp van alle zijden het meest toegelicht worde.
Mogt ook de aanleidende oorzaak tot de uitgave van dit geschrift, een nader bewijs opleveren van het wenschelijke eener meerdere verspreiding van de gronden der wiskunde onder den beschaafden stand, en de zoodanigen, die nog in den tegenwoordigen tijd zoo zeer daartegen ijveren, van hunne bevooroodeelde gevoelens dienaangaande eenigzins doen terugkomen.

's Gravenhage,
December 1829.

DE SCHRIJVER




INHOUD.



I. HOOFDSTUK. Over den aard en de strekking der Levensverzekeringen, in den algemeensten zin beschouwd. . . . bl. 1
II. HOOFDSTUK. Van den zedelijken invloed der Maatschappijen van levensverzekering. . . . bl. 12
III. HOOFDSTUK. Over de zamenstelling van sterftetafels. Onderzoek naar den waarschijnlijken en gemiddelden leeftijd op elken ouderdom. . . . bl. 18
IV. HOOFDSTUK. Over de soliditeit of duurzaamheid der Maatschappijen van Levensverzekering. . . . bl. 38
V. HOOFDSTUK. Over de Lijfrente berekening. . . . bl. 48
VI. HOOFDSTUK. Over de berekening van weduwenpensioenen. . . . bl. 69
VII. HOOFDSTUK. Verklaring van het gebruik en de toepassing der Tafels IV en V. . . . bl. 95
VIII. HOOFDSTUK. Nadere beschouwing van de inrigtingen tot verzorging van weduwen. . . . bl. 120
IX. HOOFDSTUK. Over de berekening der tegenwoordige waarde eener op iemands leven verzekerde geldsom. . . . bl. 141
X. HOOFDSTUK. Over de inrigting en het beheer der Maatschappijen van Levensverzekering. . . . bl. 148


IIIe HOOFDSTUK.

 Over de zamenstelling van sterftetafels. Onderzoek
naar den waarschijnlijken en gemiddelden leeftijd
op elken ouderdom.


§ 9. Te midden der onregelmatigheden of afwijkingen, welke men dikwerf in den loop de natuurverschijnselen bespeurt, worden wij echter door aanhoudende en geregelde waarnemingen, weldra het aanwezen gewaar eener vaste regelmaat of wet, waaraan die verschijnselen gebonden zijn, en waardoor wij ons in staat bevinden, om dezelver gemiddelde uitkomsten, met voldoende zekerheid vooraf te bepalen. Dit gestelde geldt inzonderheid de veranderingen, welke in de bevolking van een Rijk, door de afwisselende geboorten en sterfgevallen ontstaan. Sedert men zich in de meeste beschaafde landen meer opzettelijk met onderzoekingen dienaangaande heeft bezig gehouden, is het overtuigend gebleken, dat, uitgezonderd in tijden van buitengewone sterfte door pest, epidemische ziekten, gebrek aan levensmiddelen, oorlog, en andere soortgelijke oorzaken van verwoesting te weeg gebragt, zoo wl de sterfte, als het aantal geboorten in ieder land, jaarlijks genoegzaam in dezelfde evenredigheid tot de algemeene bevolking blijft, althans dat de hierin plaatshebbende afwijkingen, binnen naauwe grenzen besloten zijn. (1) Het is er echter verre af dat [pag. 19] de sterfte van het menschelijk geslacht op alle plaatsen, en zelfs op alle tijden, dezelfde verhouding volge. De aard der levenswijze van de inwoners, de plaatselijke gesteldheid, de gezondheids maatregelen van wege de regering genomen, en vele zedelijke oorzaken kunnen hierin, gelijk de aard der zake medebrengt, merkbare veranderingen doen ontstaan. Wie weet niet dat de sterfte in groote en volkrijke steden, grooter is dan ten platte lande? De meerdere ligchamelijke werkzaamheid bij den landbewoner, zijne rustigere levenswijze, het genot van gezondere lucht en spijzen, de onthouding van menige schadelijke gewoonten en vermaken, in tegenoverstelling des stedelings, die daarenboven aan meerdere epidemische ziekten, aan de woelingen zijner driften en hartstochten onderhevig is, mogen gewis als de naaste oorzaken van het aangewezene verschil in den graad van sterfelijkheid, opgegeven worden. Wij kunnen echter niet nalaten hier, in het voorbijgaan te doen opmerken, Dat men bij de vergelijking der meerdere of mindere mate van ongezondheid tusschen verschillende [pag. 20] steden, uit de waargenomene sterfte afgeleid, met omzigtigheid behoort te werk te gaan, en daarbij te onderscheiden heeft, de sterfte in massa, van die welke voor bijzondere klassen van ingezetenen, voor bijzondere gedeelten of wijken eener stad, ja zelfs voor bijzondere godsdienstige gezindheden, plaats heeft. Men raadplege dienaangaande het voortreffelijke stuk van den Hoogleeraar VAN SWINDEN, Over de bevolking van Amsterdam, enz. te vinden in den Algem. kunst- en Letterbode van 29 mei 1803, hetwelk wij voor een meesterstuk van fijne oordeelkunde bij dergelijke onderzoekingen mogen houden. Aldaar wordt de jaarlijkse sterfte in massa voor die stad, volgens waarnemingen van de jaren 1778 tot 1801 ingesloten, opgegeven gemiddeld 1/20 der algemeene bevolking te bedragen, dat is met andere woorden, dat er van de 26 inwoners jaarlijks één ten grave daalt, waarmede genoegzaam overeenstemt de uitkomst door den HEER NIEUWENHUYS, uit veertigjarige waarnemingen van 1774 tot 1813, verkregen (2). Volgens mijne onderstaande berekening, schijnt deze evenredigheid echter in de laatste tijden eene gunstige verandering ondergaan te hebben.
Immers het tienjarig tijdperk van 1816 tot 1825 hiertoe ten grondslag nemende, heeft men, ingevolge de opgaven der stedelijke Courant, de sterfte in elk dezer jaren als volgt (3). [pag. 21]

In 1816 -- 6233, In 1821 -- 7125,
1817 -- 8416, 1822 -- 7998,
1818 -- 6300, 1823 -- 6634,
1819 -- 6557, 1824 -- 6076,
1820 -- 7066, 1825 -- 6302,
Totaal 34572. 34135 zielen.

dus gemiddeld over de tien jaren 6871 zielen.
Volgens de op het laatst van 1826 gedane telling in de stad Amsterdam, bedroeg hare bevolking 200784 inwoners, (Zie ons jaarboekje over 1827 ); waaruit dus op te maken is, dat de algemeene sterfte aldaar bijna tot op 1/29 verminderd zou zijn.
Volgens de tabellen door de Commissie voor de Statistiek in het licht gegeven, bedraagt de gemiddelde sterfte in de steden der provincie Noord-Holland in massa 1/29,02, doch voor de gewesten ten platten lande slechts 1/38,37; terwijl over het geheele rijk de verhouding voor de steden ruim 1/33, en voor de gemeenten ruim 1/44 opgegeven wordt. Voor enkele bijzondere provincien is dat verschil nog opmerkelijker, zoo als bijv. in die van Namen, alwaar de eerstgemelde verhouding 1/33, doch de laatste ruim 1/50 bedraagt. dit zij genoeg om het aangewezene onderscheid van sterfelijkheid, ook hier te lande buiten eenige twijfel te stellen (4).
Van vrij meer belang intusschen is de kennis der sterfte op elken gegeven ouderdom bij den mensch. Veeljarige waarnemingen op onderscheidene tijden en plaatsten in het werk gesteld, hebben getoond, dat in [pag.22] gewone tijden, waarin namelijk geene oorzaken van buitengewone sterfte heerschen, de natuur hierbij eene verwonderlijke orde volgt, zoodanig dat de gemiddelde uitkomsten afgeleid uit een groot aantal sterfgevallen, in hetzelfde land of in dezelfde stad voorgevallen, aan eene bepaalde regelmaat gebonden zijn, welke uit dien hoofde de wet van sterfelijkheid genaamd wordt, en waaruit wij met eene voldoende zekerheid gewaar worden, hoe veel menschen er van een bepaald aantal levend geborenen, bij het einde van elk volgend jaar, overig blijven, tot dat dezelve geheel uitgestorven zijn. het opmaken eener zoodanige wet of sterfelijkheidslijst, is geene gemakkelijke taak, en kan alleen uit de naauwkeurigheid der gedane waarnemingen nopens de sterfte op verschillenden ouderdom, eenige waarde voor de statistiek verkrijgen. Zeer weinige landen zijn tot dusverre in het bezit eener wet van sterfelijkheid over de massa der bevolking berekend. (5) Meestal is dezelve voor enkele voorname steden opgemaakt, en achtervolgens [pag.23] Gewijzigd geworden, hetzij door meer naauwkeurige waarnemingen omtrent de sterfte, hetzij door natuurlijke of plaatselijke bestendige oorzaken van meerdere of mindere sterfte. Aldus heeft de heilzame instelling in Frankrijk en hier te lande, van het aanleggen der registers of akten van den burgerlijken stand, een onfeilbaar middel opgeleverd tot het verzamelen van meer naauwkeurige waarnemingen nopens de geboorten, sterfte en huwelijken, waaromtrent te voren, alleen door de kerkelijke besturen en door de geestelijkheid, soms op eene vrij slordige wijze, aanteekeningen werden gehouden; eene omstandigheid welke ons in de vergelijking tusschen de uitkomsten van vroegere en latere waarnemingen van gemelden aard, met omzigtigheid moet doen te werk gaan, ten einde tot geene onjuiste gevolgtrekkingen te vervallen. Eveneens is de uitbreiding der koepokinenting tot voorkoming der kinderziekte, welke voorheen zoo vele slachtoffers ten grave deed dalen, als een bestendige oorzaak van sterfte vermindering te beschouwen, die, naar de berekeningen van den HEER DUVILLARD reeds op den gemiddelden leeftijd in Frankrijk van beteekenenden invloed geweest is (6). Zoo ook kunnen er plaatstelijke oorzaken ontstaan, die, hetzij op de bevolking [pag 24] in massa, hetzij op bijzondere klassen van ingezetenen werkende, eene wijziging aan de aangenomen wet van sterfte toebrengen. Uit dien hoofde is het van belang de waarnemingen bij de berekening dezer wet ten grondslage gelegd, noch over een te klein, noch over een te groot aantal jaren te doen uitstrekken, daar men anders wellicht gevaar zou loopen, het aanwezen van eene dier oorzaken over het hoofd te zien.
§10. Wij hebben reeds te kennen gegeven, dat het opmaken eener sterfelijkheids-tafel hierop neder komt, om te bepalen, hoeveel er van een bepaald aantal gelijktijdig levend geborenen, na verloop van ieder jaar aanwezig, blijven. Die bewerking nu zoude geen bezwaar opleveren, indien het eenigzins mogelijk ware, te dien einde gebruik te maken van de registers van den burgerlijken stand, of van de vroegere aanteekeningen nopens de geboorten en sterfgevallen op dezelfde plaats, gedurende eene gansche eeuw voorgevallen. Men zoude alsdan namelijk, de jaarlijksche afsterving van een groot aantal geborenen, op de registers der overledenen moeten nagaan, en het overblijvende aantal op iederen ouderdom aanteekenen. doch wie zal dien eindeloozen arbeid ondernemen, welke behalve dien aan zoo veele onnaauwkeurigheden onderhevig is, vooral uit hoofde der verhuizingen naar elders, en der menigvuldige gelijkheid van namen der ingezetenen, waaruit groote verwarringen kunnen ontstaan, gezwegen nog van de gebreken in de aanteekeningen zelve aanwezig (7).
[pag. 25] De onmogelijkheid om zoodanige handelwijze werkstellig te maken, heeft de wiskundigen naar andere hulpmiddelen doen omzien, om hetzelfde doel te bereiken. Thans bedient men zich alzoo van eene der twee volgende handelwijzen.
De eerste, en deze is dezelfde welke HALLEY gebezigd heeft, bestaat eenvoudig hierin, om uit de sterfregisters van een aantal jaren, het gemiddelde getal overledenen op elken ouderdom op te maken, en daarbij te onderstellen dat er weinig of geen verschil plaats hebbe, tusschen het jaarlijksche getal geboorten en sterfgevallen, en de bevolking dus in denzelfden toestand of stationnair zou gebleven zijn, zonder de veranderingen, ontstaande uit den aanwinst van vreemdelingen, of het vertrek van ingezetenen naar elders; eene onderstelling welke op verre de meeste groote en volkrijke steden, zonder merkelijk van de waarheid af te wijken, kan toegepast worden, en in zoodanig geval laat zich de achtervolgende uitsterving van een aantal gelijktijdig levend geborenen, gelijk staande aan het voormelde getal jaarlijksche sterfgevallen, onmiddelijk afleiden uit het bekende getal jaarlijks overledenen op iederen ouderdom.
De tweede handelwijze komt hierop neder, dat men de verhouding bepale, tusschen het gemiddelde aantal overledenen op elken ouderdom, (eveneens uit de sterfregisters opgemaakt)en het getal aanwezige personen [pag. 26] van denzelfden ouderdom. Deze laatste handelwijze, hoezeer wegens meerdere naauwkeurigheid den voorrang verdienende, vordert echter eene juiste kennis van het aantal op iederen ouderdom in leven zijnde personen, welke kennis alleen door eene naauwkeurige volkstelling kan verkregen worden; zij is derhalve bij gebrek aan deze laatste maatstaf niet toe te passen (8).
In beide handelwijzen behoort het aantal sterfgevallen op iederen ouderdom voorvallende, juist bekend te zijn. Gewoonlijk echter wordt hetzelve, ter vereenvoudiging van den arbeid, niet van jaar tot jaar, maar te rekenen \van tien jaren na de geboorte, slechts bij perioden van 5 jaren opgemaakt; en men is alsdan verpligt, de sterfgevallen in de tusschen jaren voorvallende, door berekening te bepalen, of gelijk de wiskundigen zulks noemen, te interpoleren.
Het is hier de plaats niet om in eenige meerdere bijzonderheden te treden, nopens het vervaardigen van sterfelijkheids-tafels, daar zulks niet onmiddelijk tot het doel van dit werkje behoort, en ook bezwaarlijk geschieden kan zonder eene wiskundige taal te gebruiken, waarvan de kennis niet bij alle mijne lezers mag ondersteld worden (9). Wellicht zal zulks [pag. 27] eenmaal het onderwerp eener opzettelijke verhandeling, ten behoeve onzer beoefenaars der wiskunde, uitmaken.
Genoeg zij het thans te berigten, dat de achter dit werk geplaatste Tafelen I en II, de wet van sterfte voor de stad Amsterdam voorstellen, zoo als dezelve door ons, volgens de eerstgemelde handelwijze, uit een tienjarig tijdvak van 1816 tot 1825 ingesloten, voor elk der beide geslachten afzonderlijk, zorgvuldig berekend is (10); wij hebben hierbij het gemiddelde aantal jaarlijks levend geborenden, tot het grondtal of den wortel 10,000 herleid; zoo als zulks meestal in de sterfelijkheids-tafels geschiedt, ten einde dezelve des te gemakkelijker onderling te kunnen vergelijken. Wij begrepen hierin des te geruster volgens de eerste handelwijze te kunnen te werk gaan, aangezien het aantal geboorten in het aangenomen tienjarig tijdvak, dat der sterfgevallen 3,176 te boven gegaan is; bedragende alzoo gemiddeld slechts 318 's jaars, op eene bevolking van ruim 200,000 zielen. De onderscheiding der geslachten in eene sterfelijkheids-tafel is, voor eene juiste berekening der levensverzekeringen des te noodzakelijker, daar het, sedert de uitbreiding der waarnemingen nopens de sterfte in alle landen, buiten allen [pag. 28] verderen twijfel gesteld is, dat de afsterving der beide geslachten vooral op hoogere jaren, geenzins aan dezelfde wet gebonden wordt.
De tweede kolom in elk dezer tafels, stelt het aantal personen voor, dat na verloop van het in den eersten kolom aangewezen getal jaren, van de 10,000 levend geborenen nog in wezen is; of met andere woorden, hoeveel mannen of vrouwen er slechts eenen gegeven ouderdom bereiken, waaruit de achtervolgende jaarlijksche sterfte van het aangenomen aantal personen, gemakkelijk op te maken is, zoo als men die dan ook in de vierde kolom aangeteekend vindt. Wij zien nu in de eerste plaats, hoe snel die afsterving voor beide geslachten, in de vijf eerste jaren na de geboorte is; hoedanig dezelve vermindert tot op den veertien-jarigen ouderdom, als wanneer het getal overledenen het geringste is, en vervolgens wederom langzamerhand toeneemt. De vijfde kolom aanwijzende, hoeveel personen er jaarlijks op iederen ouderdom van 10,000 sterven, zal die afwisselingen duidelijker voor oogen stellen, en alzoo tot eene geschikte maatstaf der levenskracht op eenen gegeven ouderdom, kunnen strekken.
[pag. 29] Reeds een jaar na de geboorte, is bij het mannelijke geslacht ruim 1/4, en bij het vrouwelijke ruim 1/5 ten grave gedaald; terwijl binnen de drie eerste maanden na de geboorte, de sterfte der kinderen het aanzienlijkste is (11). Het blijkt ons verder dat het aantal 10,000 geborenen van het mannelijk geslacht, reeds na verloop van 24 jaren, bijna voor de helft uitgestorven is; dat echter bij het vrouwelijke geslacht, dat tijdstip eerst tusschen het 34 en 35 jaar na de geboorte invalt; voorwaar een belangrijk verschil ten voordeele van dit laatste geslacht. De onderlinge vergelijking der beide sterftetafels toont overigens genoegzaam aan, de mindere sterfte bij het vrouwelijke dan bij het mannelijke geslacht plaats hebbende. De vrouwen bereiken dus over het algemeen eenene hoogeren ouderdom dan de mannen, gelijk dit uit de volgende aanwijzing van onze tafels op te maken is.

Aanwezig Van 10,000 gelijktijdig geborenen.
op den ouderdom
van 		Mannen. Vrouwen.
60 jaren. 2051 2948
70 ---- 1093 1765
80 ---- 317 572
90 ---- 35 61
95 ---- 10 19 (12).

§ 11. [pag. 30] Onder waarschijnlijken leeftijd verstaat men het aantal jaren na verloop waarvan, het getal levenden reeds tot op de helft uitgestorven is, en men dus evenveel kans, hoop of waarschijnlijkheid heeft om onder het getal der levenden te blijven, dan onder dat der overledenen te behooren. Wij hebben hiervoor reeds doen opmerken, dat zulks bij de geboorte, voor het mannelijk geslacht, na 24 jaren plaats had. Nemen wij thans eenen bepaalden ouderdom, bijv. dien van 40 jaren, waarop blijkens tafel I nog 3814 personen aanwezig zijn; de helft hiervan bedraagt 1907; het naaste hiermede overeenkomende getal in de tafel is 1953, waarbij de ouderdom van 61 jaren aangewezen staat, zoodat na 21 jaren bijna de helft uitgestorven is; onderstellende nu de sterfte van het 61e op het 62e jaar regelmatig te geschieden, dan heeft men voor het verschil 46, tusschen de getallen 1953 en 1907, in evenredigheid van 99 sterfgevallen in het jaar, het gebroken 46/99 = 0,46 jaar, of 5m. 16d. Gevolgelijk bedraagt de waarschijnlijke leeftijd voor eenen man van 40 jaren, 21j,46 of 21j. 5m. 16d; hij heeft dus gelijke kans om den ouderdom van 61j,46 te bereiken, als om vóór dien tijd te sterven. Deze leeftijd laat zich nu op dezelfde wijs voor iederen ouderdom van de geboorte af, berkenen; de 9e kolom van onze tafels wijst dien voor elk geslacht aan, waaromtrent insgelijks eenig belangrijk onderscheid tusschen beide geslachten valt op te merken.
[pag. 31] Behalven den waarschijnlijken, beschouwt men nog den middelbaren leeftijd, zijnde niets anders dan het aantal jaren dat ieder der aanwezige personen van gelijken ouderdom, nog gemiddeld te leven heeft, en hetwelke uit de sterftetafel afgeleid wordt, door de som der jaren welke zij gezamenlijk bereiken, door het aantal aanwezigen te deelen. Stel bijv. dat men den gemiddelden leeftijd van een' man van 90 jaren begeert te berekenen. Volgens tafel I bestaan er nog slechts 35 personen van dien ouderdom, welk getal na verloop van 1, 2, 3, enz. jaren, achtereenvolgens tot op 27, 21, 17 enz. vermindert. Onderstellende nu voor een oogenblik, dat deze achtereenvolgende uitsterving bij het einde van elk jaar plotseling plaats had, dan zouden er vooreerst 35 personen, ieder een jaar, dus te zamen 35 jaren leven; de in het 2e jaar overig blijvende 27, zouden te zamen 27; de in het 3e jaar overig blijvende 21, zouden te zamen 21 jaren enz. leven: de som der getallen van de tweede kolom, van onderen af gerekend tot op het getal 35, geeft dus de som der levens jaren te kennen van 35 personen elk den ouderdom van 90 jaren hebbende; men vindt hiervoor 152; dat getal nu door 35 gedeeld geeft 4,34 tot quotient, zijnde de middelbare leeftijd van elk hunner. Daar echter de hierbij aangenomene onderstelling eenigermate van de waarheid afwijkt, vermits de afsterving, zoo wel in het begin als bij het einde van ieder jaar plaats heeft, zoo behoort men tot meerdere naauwkeurigheid te onderstellen, dat de afsterving gemiddeld tegen de helft des jaars geschiedt, en dan kan aan ieder der levenden, het laatste jaar slechts voor zes maanden aangerekend worden, waaruit verder volgt dat de bevonden gemiddelde leeftijd met een half jaar verminderd moet worden, en dus [pag. 32] op den 90 jarigen ouderdom slechts 31,84 bedraagt. Op deze wijze hebben wij, voor iederen ouderdom van de geboorte af, ook den middelbaren leeftijd voor de ingezetenen van Amsterdam berekend; men vindt dien in de 8e kolom van elke tafel aangewezen; de 7e kolom bevat de som der levensjaren voor iederen ouderdom van onderen af gerekend, invoege als wij zulks zoo even verklaarden. De getallen der 8e kolom zijn derhalve niets anders dan de verhoudingen tusschen die van de 7e en 2e kolom, verminderd met een ½.
Bij het vergelijken der getallen in de 8e en 9e kolommen voorkomende, zal men terstond bemerken, dat er in de eerste tijden na de geboorte voor elk der geslachten eenig belangrijk verschil bestaat tusschen den waarschijnlijken, en den middelbaren leeftijd; de eerste ofschoon bij de geboorte kleiner dan de laatste, overtreft dien vervolgens bij het mannelijke geslacht tot op den ouderdom van 33 jaren, als wanneer er geen verschil meer tusschen dezelve bestaat. Hier na wordt de waarschijnlijken leeftijd integendeel kleiner dan de middelbare, terwijl het verschil met de jaren toeneemt.
Zoowel bij het mannelijke als bij het vrouwelijke geslacht is de waarschijnlijke leeftijd het grootste voor een kind van 4 jaren, en de middelbare voor een van 5 jaren (13). Vrij aanmerkelijk is intusschen het onderscheid tusschen den middelbaren leeftijd voor ieder der geslachten op het tijdstip der geboorte. Terwijl een kind van het vrouwelijk geslacht op eenen gemiddelden ouderdom van ruim 35 jaren mag rekenen, kan dat van het mannelijke slechts op dien van 29 jaren hoopen. Dat de waarschijnlijke [pag. 33] even als de middelbare leeftijd, bij de geboorte niet het grootste is, laat zich hieruit verklaren, dewijl zulks eerst dan kan plaats hebben, wanneer de gevaren waaraan de eerste jaren der kindschheid onderhevig zijn, opgehouden hebben te bestaan.
Nadere beschouwingen dienaangaande zouden ons te ver van het hoofddoel van dit geschrift afleiden, en behooren ook eerder tot eene opzettelijke wiskundige verhandeling over de wet van sterfte, en de daarop toegepaste kansberekeningen. Wij onthouden ons tevens om hier eenige vergelijkingen met andere groote steden in Europa bijtevoegen, uit hoofde ons tot dusverre geene naauwkeurige berekeningen op waarnemingen van lateren tijd gegrond, bekend zijn, althans niet de zoodanige waarbij het onderscheid van geslacht in acht genomen is, en welke wij met volle vertrouwen zouden kunnen aanhalen, om hier in geene verkeerde gevolgtrekkingen te vervallen. Dit voorgaande zij alzoo genoegzaam, om den lezer wien dergelijke beschouwingen nog vreemd waren, eenig denkbeeld daarvan te geven; en wij zouden hiermede, hetgeen de sterfte tafels betreft kunnen eindigen, ware het niet dat wij vermeenden nog eenige nadere toelichting betrekkelijk het ware begrip eener sterftetafel te moeten laten volgen, ter voorkoming van alle verkeerde opvattingen bij sommige onzer lezers.
§ 12. Hoe grooter het aantal waarnemingen nopens de sterfte op onderscheidenen ouderdom, in eene bepaalde stad of in een geheel land, genomen is, om daaruit eene sterfte tafel te ontwerpen, des te naauwkeuriger zullen de gemiddelde aanwijzingen of uitkomsten dezer tafel zijn, vermits die aanwijzingen eeniglijk strekken, om uit het voorledene met eenen hoogen graad van waarschijnlijkheid tot het toekomstige te besluiten, even [pag. 34] als zulks geldt van alle waarnemingen nopens het aanwezen van eenig natuurlijk verschijnsel, welks oorzaal al dan niet bekend zij, en waarvan de herhaling ons des te waarschijnlijker wordt, naar mate die waarnemingen menigvuldiger zijn. Wanneer men in eene sterftetafel naast den ouderdom van bijv. 26 jaren, het getal 4840 vindt, zoo als die welke wij voor het mannelijke geslacht ontworpen hebben, aanwijst, dan moeten wij dit slechts zoodanig verstaan, dat er van de 10000 gelijktijdig geborene jongens, na verloop van 26 jaren, waarschijnlijk nog 4880 of 121/250 in wezen zullen zijn; terwijl die waarschijnlijkheid des te meer tot de zekerheid nadert, naar mate het aantal geboorten grooter genomen wordt, waardoor de afwijkingen welke hierin kunnen plaats hebben, telkens binnen naauwere grenzen gelegen zullen zijn, en die waarschijnlijkheid daarentegen afneemt, indien wij dezelfde evenredigheid op een kleiner aantal personen wilden toepassen. Aldus zouden wij met mindere waarschijnlijkheid daaruit mogen afleiden, dat er van de 100 nog 48; en nog veel minder, dat en van een tiental nog 5 overig zullen blijven, vermits het gemakkelijk gebeuren kon, dat er van de tien, reeds 4 of 5 in weinige jaren na de geboorte zouden overleden zijn. Trouwens men gevoelt dadelijk, dat bijaldien dezelfed evenredigheid op ieder gegeven aantal personen, met gelijke mate van naauwkeurigheid toepasselijk ware, men alsdan genoegzaam in staat ware, den levenstijd van den individueelen mensch aan te wijzen, hetwelk ten eenen male buiten ons bereik ligt. Hetgeen alzoo bijna zeker is voor groote massas of vereenigingen van menschen, kan voor ieder op zich zelven hoogst onzeker zijn; en afzonderlijke afwijkingen of anomalien kunnen nimmer iets tegen eene als algemeen erkende natuurwet bewijzen. [pag. 35] Zij die de kans rekening of de leer der waarschijnlijkheden bestudeerd hebben, zullen het gewigt dezer stelling het best beseffen. Duidelijkshalve zullen wij hier nog een paar voorbeelden van denzelfden aard tot staving daarvan aanvoeren.
Reeds sedert langen tijd hebben de geboorte registers in alle landen doen opmerken, dat er jaarlijks meer jongens dan meisjes geboren worden, zoodanig dat zulks thans voor eene standvastige natuurwet te houden is, hoezeer de verhouding tusschen het aantal mannelijke en vrouwelijke geboorten in elk land, uit welke oorzaak dan ook, onderling eenigzins verschillend zijn moge. Voor ons Rijk bedraagt die verhouding, uit een tienjarig tijdvak afgeleid, gemiddeld 0,941; dat is met andere woorden, dat men op 1000 jongens slechts 941 meisjes kan rekenen. (14) In de provincie Drenthe nogtans heeft het aantal geboorten van het mannelijk geslacht in 1827, 940, doch dat van het vrouwelijk geslacht daarentegen 976 bedragen (15), zoodat te dezen aanzien werkelijk eene afwijking heeft plaats gegrepen. Dat verschijnsel nu zoude eveneens in andere kleine of weinig bevolkte provinciën, en dus nog eerder in steden of afzonderlijke wijken derzelve kunnen voorvallen, gelijk ook inderdaad somtijds waargenomen wordt, zonder dat daarom aan de algemeene wet, welke alleen van groote massas geldt, iets te kort gedaan zou zijn.
Bij het meer bijzonderlijk nagaan in lateren tijd der plaats hebbende maandelijksche geboorten en sterfgevallen, heeft men kunnen bemerken, dat dezelve in iedere maand niet in even groot aantal zijn, en aan eene bestendige wet of volgorde gebonden schijnen. [pag. 36] De Hoogleeraar QUETELET bevond voor de stad Brussel, uit eene achtienjarige reeks van waarnemingen, en in de onderstelling van iedere maand op een gelijk tijdsverloop van 30 dagen, dat de meeste geboorten in de maand Februarij, en de minste in de maand Julij voorvallen, en dit met de sterfte nagenoeg eveneens plaats had. Wij hebben deze wet volkomen bevestigd gevonden, niet alleen voor de vijf voornaamste steden van ons land, maar ook naderhand, door onze berekeningen toetepassen op de gezamenlijke geboorten en sterfgevallen in het geheele Rijk voorgevallen, gedurende het tienjarige tijdvak van 1815 tot 1824 ingesloten, zoodat de door den Heer QUETELET voor het eerst aangewezene regelmaat bij de geboorten en sterfgevallen hier te lande waargenomen, thans als eene natuurwet, te beschouwen is (16). ZIj geldt echter slechts van de groote massas van geboorten en sterfgevallen, en het moet ons geenszins bevreemden, zoo [pag. 37] dezelve vooral in kleine steden en landen dikwerf afwijkingen in de tijdstippen der maxima en minima vertoonde, waartoe ook bijzondere plaatselijke oorzaken, en toevallige verstooringen in den gewonen loop der natuur kunnen medewerken, gelijk dir laatste onder anderen gedurende den jare 1826 in de provinciën Noord-Holland, Zuid-Holland, Zeeland, Vriesland en Groningen, ten gevolge der buitengewoone sterfte, het geval geweest is.
Eene sterftetafel hoe naauwkeurig dan ook zamengesteld, behoort derhalve met omzigtigheid gebruikt te worden; zij kan alleen de afsterving van een zeker aantal menschen van gegeven ouderdom, met des te hoogeren graad van waarschijnlijkheid aanwijzen, naarmate dat aantal ruimer genomen is; en door dezelve op kleine vereenigingen toe te passen, loopt men stellig gevaar, van in aangewezen verhoudingen, zelfs in gewone omstandigheden, afwijkingen te zien voorvallen, welke men ten onregte aan de onjuistheid der tafel zou toeschrijven. De grenzen tusschen welke die aanwijzingen voor elke vereeniging kunnen gelegen zijn, hebben echter zekere bepaalde waarschijnlijkheden, tot welker berekening de wiskundige theorie der kansrekening, de middelen aan de hand geeft. Tot eene proeve hiervan strekke het stukje, voorkomende in ons jaarboekje over 1829, Over het berekenen van gemiddelde uitkomsten uit een zeker aantal waarnemingen, waarheen wij overigens de weetgierigen lezer verwijzen.



. . . . .




IXe HOOFDSTUK.

 Over de berekening der tegenwoordige
waarde eener op iemands leven
verzekerde geldsom.


§ 32. Onder de middelen, welke de bezorgde huisvader kan te baat nemen, tot voorziening in het lot van een natelaten huisgezin, behoort insgelijks het doen verzekeren op zijn lijf van een kapitaal, dat bij zijn overlijden, aan de overblijvende erfgenamen zijner bezittingen uitgekeerd worde. Eene dusdanige levensverzekering kan, even als eene weduwen jaarrente, gekocht worden, het zij door jaarlijksche bijdragen, eindigende bij het leven des verzekerden, het zij door eene inlegsom in eens af, welke als dan den prijs, of de tegenwoordige waarde der levensverzekering uitmaakt. Het eerste middel zal echter door het grootste aantal verzekerden verkozen, vermits hetzelve, vooral bij de minvermogende klasse, aan minder bezwaar in de uitvoering onderhevig is.
Wij hebben vermeend onzen lezers geenen ondienst te zullen doen, door hen in dit hoofdstuk, tevens met eene eenvoudige handelwijze bekend te maken, waardoor de prijs en de jaarlijksche bijdrage eener hier bedoelde levensverzekering, ook zonder behulp [pag. 142] van eenige wiskundige formules, onmiddelijk uit de bekende waarde der lijfrente, kan worden berekend.
Onderstellen wij te dien einde eenen man van 50 jaren, begeerende eene levensverzekering van f 10.000 op zijn lijf te koopen, dan laat zich de zaak gemakkelijk indiervoege beredeneren. Het genot eener som van f 100, kan gelijk gesteld worden met dat eener eeuwigdurende rente van f 4, betaalbaar bij het einde van elk jaar. Wanneer echter die betaling reeds bij het begin des jaars moest plaats hebben, zou hiertoe een kapitaal van f 104 gevorderd worden; in dit laatste geval komt dus het bezit eener som van f 100, overeen, met dat eener eeuwigdurende rente van 4 × 100/104 = 100/26 = 3,846. De som van f 100 kan alzoo als de tegenwoordige waarde der laatstgemelde rente beschouwd worden.
Een man van den voorgestelden ouderdom moet voor eene lijfrente van f 1, den prijs van f 10,57 voldoen (zie Tafel I); welke som met de eenheid vermeerderd wordt, ingeval de betaling der lijfrente bij het begin, in plaats van op het einde van ieder jaar geschiedt. Voor eene lijfrente van f 3,846 zal dus de prijs in de laatste onderstelling bedragen 3,846 × 11,57 = 1157/26. Daar nu het genot der verzekerde som, of der daarmede gelijk staande eeuwigdurende rente, eerst bij het einde des jaars, waarin het overlijden des verzekerden plaats heeft, bedongen is, zoo laat zich hieruit met weinig moeite besluiten, dat de tegenwoordige waarde derzelve gelijk is aan het verschil tusschen den prijs der eeuwigdurende rente zijnde het bedrag der verzekerde som en dien der lijfrente. Derhalve [pag. 143] is de gezochte waarde eener levensverzekering van f 100 voor het gegeven lijf, gelijk f 100 - 1157/26 = 100 - 44,50 = 55,50, en voor f 10.000 zal dezelve f 5500 beloopen.
Dezelve redenering nu op elken gegeven ouderdom toepassende, kan men hieruit dezen algemeenen regel afleiden, tot het berekenen van den prijs eener levensverzekering van f 100, betaalbaar bij het einde des jaars van het overlijden des verzekerden, en bij eene interestbepaling van 4 pCt. 's jaars. Men zoeke uit tafel I, de waarde der lijfrente van f 100, in de onderstelling, dat deze bij het begin van ieder jaar betaalbaar zij; men deele dezelve vervolgens door het getal 26, zijnde de met de eenheid vermeerderde interestpenning, en trekke het quotient van het getal 100 af, dan zal de rest de gezochte waarde opleveren.
Om nu tevens de jaarlijksche bijdrage te berekenen tot aankoop dezer levensverzekering, in de onderstelling namelijk, dat de betaling dezer bijdrage telken jare bij voorschot geschiede, gelijk door alle Maatschappijen gevorderd wordt, zoo hebbe men slechts de gevondene tegenwoordige waarde te deelen, door die der lijfrente van f 1, met de eenheid vermeerderd. De reden hiervan laat zich uit eene eenvoudige evenredigheid gemakkelijk opmaken. In ons voorbeeld zal dus de jaarlijksche bijdrage = 55,50/11,57 = 100/11,57 - 44,50/11,57 = 100/11,57 - 100/26 = 8,643 - 3,846 = 4,797 (1). [pag. 144] De hier achter geplaatste tafels VII en VIII, naar de zoo even verklaarde gronden door ons berekend, wijzen voor ieder der beide geslachten, den prijs en de jaarlijksche bijdrage eener verzekering van f 100 op eenen gegeven leeftijd aan; het gebruik dezer tafels zal geene verklaring behoeven. Men kan zich van de naauwkeurigheid der uitkomsten gemakkelijk verzekeren, door met behulp onzer sterftetafels, het jaarlijks aantal stervenden van eene vereeniging van bijv. 1000 mannen of vrouwen van bepaalden ouderdom nategaan, en hierop eene uitvoerige berekening van de [pag. 145] inkomsten en uitgaven der kas te gronden, invoege als wij zulks hiervoren op twee onderscheiden wijzen voor de weduwen-fondsen verrigt hebben. Wij laten deze uitrekening aan den lezer over, daar wij het overbodig achten dezelve thans hier medetedeelen.
§ 33. Indien men begreep bij de voorgaande berekeningen, den gemiddelden of den waarschijnlijken leeftijd te moeten tot grondslag nemen, dan zou hieruit voor de kas der Maatschappij nadeel ontstaan, vooral bij het verzekeren van jongere lijven. In ons vorig voorbeeld van een' man van 50 jaren, heeft men (zie Tafel I) voor den gemiddelden leeftijd 16j, 41 en voor den waarschijnlijken 15j, 66; nemende voor het medium van beiden het ronde getal 16, zoo zien wij vooreerst uit Tafel III, dat de tegenwoordige waarde van f 100, betaalbaar over 16 jaren, f 53,391 bedraagt; zijnde alzoo minder dan de vroeger verkregene uitkomst. De jaarlijksche bijdrage laat zich in dezelfde onderstelling, op de volgende wijze berekenen. Een kapitaal, ontstaande uit de jaalijksche storting van f 1, bij het begin des jaars, bedraagt, volgens gemelde tafel. na verloop van 16 jaren f 22,6975; men heeft dus de evenredigheid
kap. kap. jaarl.
stort. 		jaarl.
stort.
22,6975 : 100 = 1 : x
waaruit x = 100/22,6975 = 4,406, insgelijks minder dan de vorige uitkomst bedragende. Nemen wij tot een ander voorbeeld, een mannelijk lijf van 24 jaren. Het medium tusschen den waarschijnlijken en gemiddelden leeftijd, bedraagt hier in een rond getal, 31. De tegenwoordige van f 100, betaalbaar na verloop van 31 jaren, is f 29,646. Het kapitaal, ontstaande uit de [pag. 146] jaarlijksche storting van f 1, gedurende dat aantal jaren, beloopt f 61,701: dus voor f 100 zal de storting bedragen 100/61,701 = f 1,621. Onze Tafel VI wijst in het tegenwoordige geval aan f 36,44 voor den prijs, en f 2,203 voor de jaarlijksche bijdrage tot aankoop eener levensverzekering van f 100. Men ziet, dat het onderscheid uit beide wijzen van berekenen ontstaande, hier vrij aanzienlijk is. Het zal overigens blijken, dat de resultaten nagenoeg dezelfde zijn voor den ouderdom van 59 à 60 jaren, doch voor hoogere jaren een tegenovergesteld verschil opleveren, zoo dat de belanghebbenden, naar de laatste wijze van berekening, grootere sommen voor hunne levensverzekeringen zouden moeten voldoen. Daar echter zoodanige contracten weinig op hoogen ouderdom aangegaan worden, zoo zou hieruit voor de kas der Maatschappij steeds een nadeel over de massa der levensverzekeringen ontstaan.
§ 34. Onder de menigvuldige in onze Noordelijke Provinciën bestaande bijzondere inrigtingen van levensverzekering, treft men ook zoogenaamde begrafenis-fondsen aan, eeniglijk daargesteld, om den deelnemer, tegen voldoening eener jaarlijksche bijdrage, bij deszelfs overlijden, eene vooraf bepaalde som te vezekeren, om aan zijne erfgenamen uitbetaald te worden, tot bestrijding der kosten van begrafenis, enz. Het is klaar, dat het bedrag der naar den ouderdom van elk verzekerd lijf te vorderen premie, naar geene andere gronden van berekening kan geregeld worden, dan naar die, welke wij zoo even verklaarden, ter bepaling van den prijs en de premie eener op iemands leven verzekerde geldsom; alle afwijkingen hiervan, zouden vroeg of laat tot de ontbinding [pag. 147] van het fonds moeten leiden, of bijzondere maatregelen van voorziening, het zij eene verhooging van contributiën, als anderzins, noodzakelijk maken (2).
Hoe loffelijk ook het doel der ontwerpers van dusdanige inrigtingen zijn moge, zal men ons echter gereedelijk toestemmen, dat deze, in de onderstelling [pag. 148] zelfs van op op eene juiste berekening gegrond te zijn, geheel nutteloos worden daar, waar wel ingerigte Maatschappijen van algemeene verzekering gevestigd zijn; en zij ook nimmer zulke voordeelige voorwaarden van deelneming kunnen aanbieden dan deze laatste, vermits zij, gewoonlijk geen groot aantal leden tellende, eerder aan ongunstige afwijkingen van de aangenomen sterfte blootgesteld zijn, dan de bedoelde maatschappijen, welke hare handelingen over eene aanzienlijke massa van verzekerden uitstrekken, en ook uit dien hoofde, even als alle overige bijzondere inrigtingen van levensverzekering, hoogere premiën behooren te vorderen, om de bedoelde risico te kunnen dekken. Wij hebben reeds vroeger (zie Hoofdst. III) te kennen gegeven, en kunnen niet genoeg herhalen, dat eene onbepaalde uitbreiding van dusdanige inrigtingen, als schadelijk voor dezelver algemeene bloei te beschouwen is, en het aantal daarvan, in elk rijk steeds aan de uitgestrektheid der bevolking behoorde ondergeschikt te blijven.


Voetnoten Voorberigt

(1) Het werkje van laatstgenoemden voert ten titel: De waardij van de Lijfrenten na proportie der losrenten, door J. DE WIT. 's Gravenhage 1671; hetzelve komt zeer zelden voor.

(2) Zeer juist zijn de navolgende woorden van TENTENS, voorkomende in de voorrede van zijne Einleitung zur Berechnung der Leibrenten etc., 1785 Leipzig, een der beste werken over dat onderwerp. ,,Wer sind die Erfinder von den Mancehrlei Planen von Wittwen-, Waysen- und Todten-Cassen und dergleichen, womit das Publicum getäuscht ist? Lauter gute Zahlenrechner, aber keine Algebraisten, die durch Hülfe der allgemeine Arithmetik, die Säche im algemeinen hätten berechnen können. Ook BAILY, een voornaam Engelsch schrijver over de theorie der Levensverzekeringen, merkt te regt aan, ,,dat de ondergang van de meeste der bedoelde vereenigingen aan de onkunde der oprigters toeteschrijven is, of aan het veronachtzamen der ware wiskundige grondregels, welke zij hierin behoorden te volgen, en zonder welker in achtneming geene instelling van dien aard bloeijen kan.'' Zie zijne Doctrine of life annuities and assurances, Lond. 1810. Voorr. pag. VIII.

(3) Over dit laatste onderwerp is mij in onze taal geen ander onderrigt bekend, dan dat, voorkomend in de Nadere ontdekkingen nopens den staat van menschelijk geslacht, door STRUYCK, en in een zeker werkje van Dr. GALLAS, te Amsterdam in 1775 uitgekomen, onder den titel van Kortbondige en Stelkonstige Verhandeling over den Aard der Lyfrenten, Tontinen, Weduwen-beursen en andere Negotiatiën. Bij geen dezer schrijvers vindt men echter de ware theorie der weduwen-kassen ontwikkeld, daar zij hun onbekend schijnt geweest te zijn, hetgeen deskundigen mij gereedelijk zullen toestemmen. In het Ie Deel der Oefenschool der Mathem. Wetenschappen, door A.B. Strabbe, wordt wel is waar, de theorie der lijfrente-berekening vrij uit voerig verklaard, doch zonder eenige toepassing daarvan op de weduwen-pensioenen.


Voetnoten Hoofdstuk III.

(1) Eerst sedert de helft der zeventiende eeuw heeft men algemeen begonnen zoodanige waarnemingen te verzamelen, en berekeningen nopens de afsterving van het menschelijk geslacht te maken. HALLEY een Engelsch sterrekundige; ontwierp in 1693 de eerste algemeene sterftetafel, en zulks voor de stad Breslau in het bijzonder. Hier te lande werd zijn voorbeeld gevolgd door N. STRUIK en W. KERSEBOOM, die zulke tafelen opzettelijk voor renteniers vervaardigden. Hun nuttige arbied in dat opzigte wordt nog in de hedendaagsche werken over de lijfrente berekeningen met lof vermeld, en, even als de tafel van DEPARCIEUX voor Frankrijk, tot grondslag dier berekeningen aangenomen. Onder die genen welke zich in lateren tijd door de onderwerpelijke statistieke onderzoekingen verdienstelijk gemaakt hebben, mogen vooral genoemd worden, WARGENTIN in Zweden; MAITLAND, SIMPSOM, PRICE, MORGAN, BAILY in Engeland; SULZMICH, BAUMAN, KRITTER, en LAMBERT in Duitschland; ODIER, MURET in Zwitserland; ST. MAUR, BUFFON, en DUVILLARD in Frankrijk. Laatstgenoemde inzonderlijk, heeft door de toepassing eener diepzinnige wiskundige Analysis, getoond welk belang er voor den staat gelegen is, in de meerdere uitbreiding van dien tak van toegepaste wiskunde, gewoonlijk met den naam van Politieke rekenkunde bestempeld.

(2) Zie zijne in 1816 uitgegeven Proeve eener Geneeskundige plaatsbeschrijving (Topographie) der stad Amsterdam I. Deel. pag. 234 et seq. alwaar men vele belangrijke bijzonderheden nopens de statistiek der bevolking van gemelde stad aantreft. Deze hoogst nuttige arbeid verdiende ook in andere groote steden van ons vaderland, door deskundigen ondernomen te worden.

(3) De twee volgende jaren 1826 en 1827 zijn hierbij niet in rekening gebragt, uit hoofde der toenmaals in de hoofdstad geheerscht hebbende buitengewone sterfte, welke alzoo op de gemiddelde uitkomst van invloed geweest zou zijn.

(4) Men kan overigens hieromtrent raadplegen, de afzonderlijke Memorie door den Heer E. SMITS Secretaris der Commissie voor de Statistiek, ter nadere toelichting der aangehaalde tabellen, in 1827 uitgegeven.

(5) Zelfs in Engeland, hetwelk reeds sedert eene eeuw zoo veel inrigtingen van levensverzekering telt, heeft men tot dus verre bij gebrek aan eene naauwkeurige volkstelling, geene algemeene wet van sterfte kunnen opmaken. De tellingen van 1801, 1811 en 1821 aldaar bewerkstelligd, worden voor weinig naauwkeurig gehouden, door het gebrekkige der hulpmiddelen waarvan men zich telkens bediend heeft. Wenschelijk is het, dat er bij de eerstvolgende telling welke in den loop van 1831 te verrigten valt, meer gepaste maatregelen mogen voorgeschreven worden, en men eenmaal voor eene meer volledige aanteekening van geboorten, huwelijken, en sterfgevallen bij de verschillende Godsdienstige gezindheden voorvallende, zorg drage, ten einde hieruit de bedoelde wet van sterfte met zekerheid te kunnen opmaken. Men leze deswege een belangrijk stuk den opschrift hebbende Proposals for an Improved Census of the population, geplaatst in de Edingurgh Review, march 1829.

(6) Deze verdienstelijke geleerde vond die vermeerdering van den gemiddelden leeftijd, ongeveer drie jaren, waardoor spoedig een aanzienlijke aanwas van de bevolking ontstaan moet. Wel is waar bepaalt zich deze vermeerdering in de eerste 10 à 15 jaren slechts bij een grooter aantal kinderen, en dus eerder bij het consumerende dan bij het producerende gedeelte der bevolking, waaruit de staat geen voordeel kan trekken; doch bijaldien vervolgens geene andere oorzaken van meerdere sterfte onder het opkomend geslacht plaats grijpen, en de levensmiddelen in verhouding tot de bevolking blijven, moet hieruit eenmaal eene nuttige volksvermeerdering voor den staat voortvloeijen.

(7) Geheel anders echter is het met de sterfelijkheid der renteniers, of van zoodanige op wier leven lijfrenten gekocht worden, gelegen. De wet van afsterving op hen in het bijzonder toepasselijk, kan alleen op de in den text bedoelde wijze, vastgesteld worden. De sterfelijkheids tafelen van STRUIK en KERSEBOOM, waarvan wij in de noot op bladz. 19 reeds gewag maakten, werden uit dien hoofde onmiddelijk uit de Lijfrente boeken der stad Amsterdam afgeleid. De PARCIEUX in Frankrijk heeft ten aanzien der Tontines, nagenoeg op dezelfde wijze moeten te werk gaan. Ook voor weinige jaren is door den Heer J. FINLAISON te Londen, een dusdanige nuttige arbeid verrigt, met betrekking tot de eigenaars van lijfrenten, ten laste van het Gouvernement in Groot-Brittannie, en zulks voor elk der beide gelachten afzonderlijk. Men zie het in Maart 1829 op last van het Parlement gedrukt verslag van voorn. Heer, On the evidence and elementary facts on which the Tables of life annuities are founded.

(8) Met grond mogen wij ons vleijen dat de, ingevolge 's Konings besluit van den 19 September 1828 (Staatsbl. N° 57) in den loop van 1829 door het geheele Rijk te verrigten eenparige en gelijktijdige volkstelling, ten einde den waren stand der bevolking op den 1ste Januarij 1830 kenbaar te maken, gevoegd bij de opgaven aangaande de sterfte door de Commissie voor de statistiek, van de plaatselijke besturen ingewonnen, de noodige elementen of bouwstoffen zullen opleveren, om eenmaal eene naauwkeurige sterfelijkheids tafel voor Nederland te kunnen ontwerpen.

(9) Zij die hieromtrent eene meer grondige kennis wenschen te verkrijgen, raadplegen intusschen het onschatbare werk van Dr. PRICE, Observations on Reversionary payements. 2e Deel. (zevende druk in 1812 door MORGAN uitgegeven), alsmede het 3e deel der Beytrage zum gebrauche der mathematik van LAMBERT.

(10) De Heer VERHULST te Brussel, had reeds eene dergelijke tafel voor de stad Amsterdam ontworpen, welke door den Hoogleeraar QUETELET in het 3e Deel der Correspondance mathemat. et physique bekend gemaakt is geworden; zijne berekening is echter slechts uit een vijfjarig tijdvak van 1821 tot 1825 afgeleid, ingevolge de opgaven voorkomende in ons jaarb. over 1827. Die tafel is vervolgens overgenomen in Den vriend des Vaderlands. I Deel N°. IX, bladz. 698. In het reeds aangehaalde werk van den Heer NIEUWENHUYS, treft men insgelijks eenen dusdanigen arbeid aan, door den Heer H. BOEL, onder de benaming van Probabiliteits-tafel voor de inwoners der stad Amsterdam ontworpen. Doch behalve dat die berekening zich slechts over een vierjarig tijdvak, te weten van 1812 tot 1815 uitstrekt, is daarbij geenszins het onderscheid van sterfte tusschen ieder gelacht in acht genomen. Wij achten het niet onnoodig het voorgaande hier aan te stippen, ten einde onzen arbeid niet als overbodig te doen beschouwen. Het valt inderdaad te betreuren, dat de Hoogleraar VAN SWINDEN, zijne overige onderzoekingen en berekeningen nopens de wet van sterfte te Amsterdam (in zijne hier voren aangehaald stukje vermeld), nimmer het licht heeft doen zien.

(11) De verzorging en reiniging welke de jonggeborenen zoo aanhoudend vorderen, doch bij de mindere standen en behoeftige huisgezinnen, geen plaats kunnen vinden, zijn ontegenzeggelijk de oorzaak dezer aanzienlijke sterfte. Indien men afzonderlijke waarnemingen van de sterfte in de onderscheidene wijken eener stad, konde verzamelen, zou men gewis, naar gelang van den meerderen of minderen welvaart der standen, verschillende verhoudingen voor die sterfte vinden.

(12) Vele natuurlijke en zedelijke oorzaken tot verklaring van den langeren leeftijd bij het vrouwelijke geslacht kunnen aangevoerd worden, zoo wij, dienaangaande, in een bijzonder onderzoek willen treden. Men behoort echter de jaren der vruchtbaarheid hiervan uit te zonderen, gedurende welke de gehuwde vrouwen aan eene meerdere sterfte dan de gehuwde mannen onderhevig schijnen.

(13) Dat maximum is in elke tafel door den letter M aangewezen.

(14) Zie de tafel voorkomende in ons Jaarb. over 1828 bladz. 102.

(15) Zie het Jaarb. over 1829 bladz. 104.

(16) Zie deswege nader onze Jaarb. over 1826 en 1829, alsmede de door den Heer QUETELET uitgegevene Recherches sur la population, les naissances, les décès, etc. dans le Royaume des Pays-bas, waarbij zeer belangrijke noten van den staatsraad Baron DE KEVERBERG gevoegd zijn. Het zij ons vergund hier ter plaatse eene kleine drukfout te doen opmerken, welke in dat werkje bij de opgave der maandelijksche geboorten voor de stad Amsterdam ingeslopen is, en waaruit de Heer DE KEVERBERG aanleiding gevonden heeft, bij deze stad eene afwijking van het tijdstip der meeste geboorten aan te wijzen, welke nogtans geenszins bestaat. Wij vonden namelijk voor de maanden Maart en April, de verhoudingen 1,104 en 1.053, terwijl in voormeld werkje voor dit laatste getal, door eene toevallige cijferverplaatsing 1,503 aangewezen staat. Zulks zoude inderdaad eene aanzienlijke afwijking van den regel aantoonen, en het gezegde van laatsgen. Heer ,,Les causes d'une déviation aussi forte de la regle générale, meritent d'être apprfondies'', volkomen billijken.


Voetnoten Hoofdstuk IX.

(1) Voor hen, die met de Algebraische formulen eenigzins bekend zijn, diene nog de navolgende toelichting. Stellende in het algemeen den interest r per gulden, en de lijfrente van f 1 voor eenen gegegeven ouderdom = L, dan zal de prijs eener levensverzekering van f 1 naar den voorgaanden regel uitgedrukt worden door

1 - r/r+1 · (L + 1) = 1 - rL/1 + r = 1 + L/1 + r - L

en de jaarlijksche bijdrage door 1/L + 1 - r/1 + r.
Men kan nog eene andere wijze van redenering volgen, om onmiddelijk de jaarlijksche bijdrage te bekomen. Indien iemand L + 1 gulden geeft, voor eene lijfrente van f 1, bij het begin van het jaar betaalbaar, maakt hij voor f 1, eene dadelijke interest van 1/L + 1, doch de jaarlijksche interest r gulden zijnde, zou hij altijd voor elke f 1, bij het begin des jaars, r/1 + r interest bekomen hebben; vordert hij nu slechts deze laatste, dan is het verschil tusschen beide interesten, juist de jaarl. bijdrage tot aankoop eener levensverzekering van f 1, vermits de lijfrentekas, door het enkel uitbetalen van den gewonen interest r/1 + r, aan den verzekerden, bij deszelfs overlijden, de gestorte som van f 1 behoort terugtegeven; of, met andere woorden, daar de verzekerde persoon jaarlijks afstand doet van het bedoelde verschil, geeft hij zijnen erfgenamen hierdoor aanspraak op de terugvordering na zijnen dood de gestorte som van f 1.

(2) In den jare 1819 werd hier ter stede eene Begravenis-Societeit voor de Ambtenaren en Geëmploijeerden, tot het Algemeen Bestuur van het Rijk behoorende, opgerigt. Blijkens het Reglement worden daarin geene deelnemers boven de 50 jaar oud, toegelaten; hunne bijdragen beloopen slechts f 8 's jaars, in vier termijnen betaalbaar, boven en behalve eene primitive inleg, naar gelang der jaren berekend, te weten: van 20 tot beneden de 30 jaren f 1, en telkens voor elke tien jaren, tot op den 50jarigen ouderdom, met f 1 opklimmende, hoofdzakelijk bestemd tot bestrijding der administratiekosten. Voor zoodanig gering fournissement, onverschillig welken ouderdom de deelnemer bij zijne toetreding tot deze vereeniging bereikt heeft, wordt hem eene uitkeering van f 400 bij zijn overlijden verzekerd. De onevenredigheid der bijdragen, met betrekking tot de toegezegde som, zal uit de inzage van Tafel VII kunnen blijken; terwijl het onbillijke eener zoodanige regeling dadelijk in het oog loopt, indien men nagaat, dat een persoon van 50 jaren, volgens onze berekening, jaarlijks 4 × f 4,797 = f 19,19, doch een van 20 jaren slechts 4 × f 2,026 = f 8,10 voor eene levensverzekering van f 400 zou behooren te voldoen, en echter in het onderhavige fonds door elk slechts de bepaalde bijdrage van f 8 wordt geleverd. Deze inrigting heeft dan ook vrij spoedig de gevolgen van het aangewezen gebrek ondervonden, daar dezelve, zoo wij wel onderrigt zijn, zich reeds sedert eenigen tijd buiten staat bevindt, om aan hare aangegane verbindtenissen, zonder buitengewonen omslag onder de deelnemers, gestand te doen. Waren de contributiën op goede gronden berekend geweest, dan zou het met de belangen der inrigting strijdig geweest zijn, de deelneming enkel tot de ambtenaren van het algemeen Bestuur te beperken, zoo als thans, volgens art. 1 van het Reglement, plaats heeft.