HET LIMIETBEGRIP

 door

Dr. P.J.H. Baudet






Aanvullende gegevens:
P.J.H. Baudet, Het limietbegrip, Groningen: P. Noordhoff (1919). Inaugurale rede bij Baudet's aanstelling te Delft. De redevoering telt 19 pp. waarvan de tekst aanvangt op p. 3; de voetnoten (op elke pagina opnieuw begonnen met nummeren) zijn hier als eindnoten opgenomen.
In de redevoering op p. 19 is een drietal errata opgenomen die de leesbaarheid bevorderen. Deze aantekeningen zijn hier verwerkt.


Edelgrootachtbare Heeren Curatoren dezer Hoogeschool, Hooggeleerde Heeren Professoren, Dames en Heeren Studenten en Gij Allen, die deze plechtigheid met Uwe tegenwoordigheid vereert,
ZEER GEACHTE TOEHOORDERESSEN EN TOEHOORDERS,


Het is sinds eeuwen gebruik, dat een nieuw benoemd hoogleeraar bij gelegenheid van zyn ambtsaanvaarding eene openbare rede uitspreekt en ik meen die gewoonte eene goede gewoonte te moeten noemen. Ik weet, dat velen mij oogenblikkelijk zullen tegenwerpen, dat het vrijwel onmogelijk is om voor een gemengd gehoor wetenschappelijke onderwerpen zóódanig te bespreken, dat ieder met een eenigszins voldaan gevoel heengaat, en voor mij zelf heb ik dan ook duidelijk deze onmogelijkheid gevoeld. Toch heeft juist dit zijne bijzondere bekoring.
Dikwijls ligt aan eene eerste officiële handeling eene diepere beteekenis ten grondslag, al zal ieder individu op zijn eigen wijze die beteekenis er in leggen. Zoo voel ik [in] de verplichting tot het houden eener openbare rede voor een gemengd auditorium uitgedrukt, dat de taak van hoogleeraar er eene is, die aan den betrokkene de hoogst mogelijke eischen stelt en die daardoor hem dwingt tot uiterste krachtsinspanning. Dit mogen wij een zegen noemen. Immers, het is in 't algemeen weinig interessant naar dat gene te trachten, dat gemakkelijk in 't bereik ligt. Indien men van een mensch daarentegen verlangt, dat hij een doel nastreeft, waarbij 't bereiken er van voor hem problematisch is, dan zal hij bij ernstig pogen tot volle ontplooiïng zijner krachten kunnen geraken.
Stel u voor een wetenschappelijk onderzoeker. Hem worden verschillende problemen gesteld, waarvan hij de oplossing tracht te vinden. Meestal weet hij niet vooruit, of hij in staat zal zijn de opgave meester te worden. 't Komt dan ook vaak voor, dat hij moeite en arbeid besteedt aan een probleem, waarvan hij nimmer de volledige oplossing vindt. Men mag dit echter [pag. 4] niet beschouwen als vergeefsche krachtsinspanning, daar tengevolge van de intensiteit van het zoeken zijn geest is verrijkt. Bovendien doet het zich herhaaldelijk voor, dat de oplossingen van andere vraagstukken dan het gezochte zich ongedwongen voordoen. Zelfs, als dit niet het geval is, kan de verrichte arbeid nog ten goede komen aan dengene, die de begonnen onderzoeking voortzet en die zoodoende reeds een deel van zijn pad geëffend vindt.
In verband met het bovenstaande komt men er toe by het bestudeeren van een onderwerp niet alleen te vragen naar de definitieve gedaante welke de behandeling er van ten slotte heeft aangenomen, maar ook 't wordingsproces en de naast-verwante problemen in de beschouwing op te nemen. Als ik dan ook heden met U iets omtrent het limietbegrip wil bespreken, dan zult U 't zeker billijken, dat ik mij niet uitsluitend bepaal tot het geven van eene definitie van dit begrip en eene opsomming van een aantal wiskundige theorieën en vraagstukken, waarbij dit begrip een rol speelt, maar dat ik tevens hiermee verwante oudere inzichten beschouw en daar langer by blijf stilstaan. Overigens zij opgemerkt, dat mijne bespreking uiteraard zeer onvolledig is. Ik hoop slechts de aandacht te vestigen op eenige personen en verhandelingen, die op mij bijzonderen indruk gemaakt hebben.
Ieder uwer heeft ongetwijfeld wel eens meer of minder bewust kennis gemaakt met 't limiethegrip en wellicht reeds in zijn prille jeugd. Zoo herinner ik mij nog levendig, dat op de rekenles gevraagd werd, hoe laat na drie uur de groote wijzer den kleinen inhaalt. Om de oplossing te vinden liet ik een kwartier verloopen en bemerkte, dat de kleine wijzer dientengevolge van zijn plaats geweken was en dat als ik thans den grooten wijzer den nog resteerenden afstand liet afleggen, de wijzers elkaar wederom niet zouden bedekken en dat mij zoodoende de oplossing van het vraagstuk nooit zou gelukken. Als ik nu hieruit de conclusie getrokken had, dat het aan den grooten wijzer dus ook nooit zou gelukken den kleinen in te halen dan had ik de fout gemaakt die ten grondslag ligt aan den beroemden paradox van ZENO omtrent Achilles en de schildpad. Deze fout kan men formuleeren daarin gelegen te zijn, dat men over zeker tijdvak (nl. dat, 't welk voor het inhalen noodzakelijk is) onbeperkt lang spreekt en daaruit concludeert, dat het tijdvak [p. 5] zelf onbeperkten duur heeft. Hiermede is de logische zijde van het vraagstuk volledig toegelicht.
Mathematisch kan men dit probleem nog iets dieper vervolgen. Ik wil dit doen en daarbij voor mijne bespreking Achilles en de schildpad kiezen. De handeling, die daarin bestaat, dat Achilles van uit den oorspronkelyken stand zich begeeft naar de plaats, waar oorspronkelijk de schildpad was, noemen wij den eersten stap. De tweede stap bestaat dan daarin, dat Achilles zich vanuit het eindpunt van den eersten stap begeeft naar de plaats, waar de schildpad zich bij het einde van den eersten stap bevindt, en zoo vervolgens. De tijd, dien Achilles noodig heeft tot het verrichten van een willekeurig aantal stappen, is minder dan de tijd, welke voor het inhalen benodigd is en die volgens eene andere redeneering gemakkelljk gevonden wordt. Bovendien merken wij op, dat, naarmate wij het aantal stappen doen toenemen, de afstand tusschen Achilles en de schildpad minder wordt met dien verstande zelfs, dat het niet moeilijk valt om aan te wijzen hoeveel stappen Achilles minstens doen moet om den afstand tusschen hemzelf en de schildpad kleiner te maken dan een vooraf te noemen lengte, hoe klein men deze ook kiezen moge 1). Dit heeft tengevolge, dat, als men het aantal beschouwde stappen maar groot genoeg kiest, de daarvoor benoodigde tijd van den voor het inhalen benoodigden tijd verschilt met een bedrag dat kleiner is dan een vooraf aangewezen tijdsduur, hbe gering deze ook zij. Dit laatste drukt men anders uit indien men zegt, dat de voor het inhalen benoodigde tijdsduur de limiet is van den tijdsduur benoodigd voor een aantal stappen, indien men het aantal dezer stappen onbeperkt laat toenemen. Men ziet, dat deze beroemde Grieksche paradox aanleiding had kunnen geven tot het scheppen van het limietbegrip. Bedenkt men daarbij, dat de Grieksche en ook latere wiskundigen tallooze problemen hebben opgelost zonder het limietbegrip, terwijl wij tegenwoordig dit begrip wel aanwenden bij de behandeling dier problemen, dan worden wij er toe gebracht eens een kijkje te nemen in de werkplaats dier wiskundigen.
Met dit doel bespreken wij vooreerst eenige van de talrijke [pag. 6] onderzoekingen van den grootsten wiskundige der oudheid, ARCHIMEDES. De inhoud en het oppervlak van den bol en van boldeelen, de oppervlakte van het parabolische segment, de bepaling van zwaartepunten en van het evenwicht van drijvende lichamen, alle zijn het problemen, die ARCHIMEDES het eerst heeft weten op te lossen. Deze eenigszins uitvoerig te bespreken zou hier onmogelijk zijn. Als grondslag voor kennismaking met de bewijsmethode van ARCHIMEDES kies ik zijne verhandeling over de later naar hem genoemde spiraal, welke hlj definieert als de baan van een punt, dat zich vanuit een vast punt eener om dat punt met een eenparige hoeksnelheid draaiende rechte op die rechte met eenparige snelheid voortbeweegt 2). Het vaste punt wordt de oorsprong van de spiraal genoemd.
De eerste voor ons interessante eigenschap betreffende de spiraal, welke men in de bedoelde verhandeling ontmoet, heeft betrekking op de raaklijn 3). Nu wordt de raaklljn asn een kromme tegenwoordig algemeen gedefinieerd als de limietstand van een snijlijn, indien één snijpunt vastgehouden wordt en de snijlijn zoodanig om [dat snijpunt] draait, dat een tweede snijpunt zich naar het vastgehouden punt begeeft. Men zou wellicht meenen bij ARCHIMEDES iets dergelijks aan te treffen, doch dat is geenszins het geval. Indien men de daar niet uitgesproken definitie van raaklijn en de bedoelde eigenschap in onze terminologie zou willen omzetten, dan verkrijgt men het volgende. De eigenschap bestaat daarin, dat de logarithmische spiraal overal naar dezelfde zijde gekromd is, terwijl de raaklijn in een gegeven punt van eene dergelijke kromme zou worden gedefinieerd als de lijn door dat punt, die in de omgeving van dat punt geheel aan eene zijde van de kromme gelegen is. Men ziet, dat deze definitie geheel verschillend is van de tegenwoordige, voor welke de grond gelegd werd door RENÉ DESCARTES.
Onder de eerste winding van de spiraal verstaat ARCHIMEDES de baan, gelegen tusschen den oorsprong en de plaats van het bewegende punt, als de draaiende rechte 360o gedraaid is, terwijl hij als eersten cirkel betitelt den cirkel, waarvan de oorsprong middelpunt is en die gaat door het eindpunt van de eerste winding. Het oppervlak, begrensd door de eerste winding [pag. 7] en den voerstraal van het eindpunt der eerste winding noemt hij het eerste oppervlak en hij bewijst, dat het eerste oppervlak gelijk is aan het derde gedeelte van het oppervlak van den eersten cirkel 4). Zijne bewljsmethode wil ik nader uiteenzetten.
Teekenen wij een hoek, waarvan het hoekpunt samenvalt met den oorsprong van de spiraal, dan snijden de beenen van dien hoek de eerste winding elk in één punt. Trekt men door die snijpunten cirkelbogen met den oorsprong tot middelpunt, dan ontstaan twee cirkelbogen, waarvan de een kleiner en de andere grooter is dan het stuk van het eerste oppervlak, begrepen tusschen de beenen van dien hoek. Van die sectoren zeggen we, dat ze respectievelijk ingeschreven en omgeschreven zijn. Verdeelt men nu den hoek van 360o gevormd door den oorspronkelijken stand van de bewegende lijn en den eindstand behoorend bij de eerste winding in een willekeurig aantal gelijke deelen, dan is het duidelijk, dat de som van de oppervlakken van de ingeschreven sectoren van de opeenvolgende door die verdeeling ontstane hoeken kleiner is dan het eerste oppervlak, terwijl de som van de overeenkomstige omgeschreven sectoren grooter is dan het eerste oppervlak.
Thans komt een voor de bewijsvoering volgens de exhaustie-methode van EUDOXUS, volgens welke methode de Grieksche wiskundigen alle dergelijke problemen behandelden, welke wij thans met integraalrekening en dus met gebruikmaking van het limietbegrip oplossen, uiterst gewichtige stap. ARCHIMEDES beweert, dat het eerste oppervlak gelijk is aan het derde gedeelte van het oppervlak van den eersten cirkel, en als hij dit resultaat niet reeds bezat, zou het hem onmogelijk zijn zijne bewijsvoering te vervolgen. Om tot het inzicht van de juistheid zijner bewering te geraken neemt hij aan, dat die bewering onjuist was d. w. z. dat òf het eerste oppervlak kleiner, òf het eerste oppervlak grooter was dan het gezegde bedrag. Is het oppervlak kleiner dan het derde gedeelte van den eersten cirkel dan verdeelt hij den bovenbeschouwden hoek van 360o in zooveel deelen, dat de ingeschreven sectorsom grooter wordt dan de veronderstelde waarde van het eerste oppervlak, en hierin ligt eene ongerijmdheid. Evenzoo blijkt door het beschouwen [pag. 8] van de omgeschreven sectorsom, dat het eerste oppervlak niet grooter kan zijn dan het derde gedeelte van den eersten cirkel, en hiermee is dan het gestelde bewezen.
Bij elk vraagstuk, dat met behulp van de exhaustie-methode wordt opgelost vindt men een bewijsgang geheel analoog aan den bovenstaanden, en het is den Griekschen wiskundigen niet ingevallen eene algemeene abstracte theorie op te bouwen; die eene zelfstandige beteekenis zou hebben moeten toekennen aan de gevolgde methode als zoodanig, en die daarbij op den voorgrond tredende algemeene begrippen had moeten opstellen. Dat dit niet geschied is, behoeft ons geenszins te verwonderen. In de eerste plaats al lag eene zoodanige algemeenheid van beschouwingswijze in het geheel niet in den aard der Grieksche wiskunde. Bovendien zou deze beschouwingswijze een specifiek arithmetisch karakter hebben moeten dragen, zoodat ze daardoor reeds geheel buiten den sfeer van het Grieksche denken lag. Dit zou dan ook een vooruitgang van formidabelen omvang geweest zijn. Men zou terecht zijn gekomen bij het integraalbegrip, zooals CAUCHY dit heeft gegeven meer dan een eeuw na de uitvinding van den algorithmus der differentiaal- en integraalrekening door LEIBNIZ. Inderdaad zou de door de Grieken geeischte gestrengheid van bewijsvoering niet toegelaten hebben, dat zij zich met een 18e eeuwsche behandelingswijze hadden tevreden gesteld 5). Ik heb reeds opgemerkt dat ARCHIMEDES alvorens tot zijne bewijsvoering door exhaustie over te gaan 't resultaat moest kennen. Dit heeft tengevolge, dat men zich niet wel kan denken, hoe het mogelijk is om langs dezen weg nieuwe resultaten te vinden en het heeft dan ook jaren lang veel hoofdbrekens gekost [pag. 9] kost te gissen, hoe ARCHIMEDES tot het vinden van zijne uitkomsten is geraakt. Men tastte hierbij geheel in het duister, totdat J.L. HEIBERG in 1906 een handschrift uit de 10e eeuw ontdekte, dat, behalve andere verhandelingen er eene bevatte, welke den naam ,,Methode'' droeg en waarin ARCHIMEDES aan ERATOSTHENES mededeelt, op welke wijze hij met behulp van mechanische beschouwingen vele zijner vondsten heeft ontdekt 6). Ook voor den huidigen wiskundige is het een genot deze verhandeling, getuigend van fijne scherpzinnigheid en enorme genialiteit, te bestudeeren.
Het wiskundig beginsel, dat aan dit opus ten grondslag ligt, is, indien wij het mechanische der beschouwingswijze als zijnde minder wezenlijk op de achtergrond schuiven, gelijkwaardig met het welbekende beginsel van CAVALIERI, dat in de 17e eeuw het leidende beginsel was bij de oplossing van die vraagstukken, welke tegenwoordig door integraalrekening behandeld worden. Wat met dit beginsel bedoeld is, wil ik met een voorbeeld duidelijk maken.
Stellen wij ons voor, dat wij te doen hebben met twee lichamen, die elk gelegen zijn tusschen eenzelfde paar evenwijdige grensvlakken. Verder veronderstellen wij, dat tusschen de evenwijdige grensvlakken een daarmee evenwijdig plat vlak is aangebracht. De doorsnede van dat platte vlak met elk der lichamen is eene figuur, en het zal kunnen voorkomen, dat bij willekeurige keuze van het snijvlak steeds de oppervlakken der twee ontstane vlakke doorsneden aan elkaar gelijk zijn. Is dit het geval, dan zegt het beginsel van CAVALIERI, dat door hem in 1635 uitdrukkelijk is uitgesproken, dat de inhouden der twee beschouwde lichamen gelijk zijn.
Het is niet onwaarschijnlijk, gelijk T.L. HEATH opmerkt, dat DEMOCRITUS in de 5e eeuw v. Chr. reeds analoge beschouwingen heeft gehouden. Vast staat, dat de inhoudsformule der pyramide hem bekend was, terwijl hij de volgende paradox onder het oog heeft gezien. Stellen wij ons voor een cirkelkegel en twee opvolgende doorsneden van dezen evenwijdig aan het grondvlak. Zijn de stralen dezer doorsneden gelijk of ongelijk? Veronderstellen we, dat ze ongelijk zijn, dan is het kegeloppervlak als het [pag. 10] ware gekarteld en zoo iets nemen wij in het geheel niet waar. Nemen wij echter aan, dat zij gelijk zijn, dan zijn dus alle opvolgende stralen gelijk en blijkt onze kegel een cylinder te zijn. Het feit, dat DEMOCRITUS zich hiermee heeft bezig gehouden, gepaard aan zijne inhoudsformule van de pyramide, doet inderdaad vermoeden, dat hij deze laatste op een wijze, aequivalent met die van CAVALIERI, gevonden zou hebben.
Hoe dit ook zij, het staat vast, dat het beginsel van CAVALIERI aanleiding heeft gegeven tot het vinden van vele nieuwe resultaten, zooals vooral ook uit 17e eeuwsche onderzoekingen blijkt. Van een bewijzen van dit beginsel is in dien tijd echter nog geen sprake. Men werkt er mede en slechts een enkeling, zooals bijvoorbeeld GULDIN, kende aan de desbetreffende beschouwingen geen bewijskracht toe.
Een belangrijk eind dichter bij het limietbegrip werd men gebracht door J. WALLIS, die aan zijn onderzoekingen omtrent oppervlakken en inhouden een arithmetischen ondergrond wist te geven.
Laten wij een zijner arithmetische stellingen bespreken, bijvoorbeeld stelling 20 zijner Arithmetica infinitorum 7). WALLIS beschouwt de som van de quadraten van de termen eener rekenkundige reeks, waarvan de eerste term nul is, en vergelijkt die met de som van evenzoovele termen, waarvan elk gelijk is aan het laatste quadraat der eerste reeks. Hij constateert dan, dat deze verhouding meer is dan 1/3 en wel, dat het meerdere bedrag gelijk is aan de eenheid gedeeld door zes maal het met 1 verminderde beschouwde aantal termen, zonder dit behoorlijk te bewijzen.
Nu maakt hij de opmerking, dat, als men het aantal termen gestadig laat toenemen, het verschil van de beschouwde verhouding met 1/3 gestadig afneemt, met dien verstande, dat dit verschil ten slotte kleiner zal worden dan elk aanwijsbaar bedrag, en maakt dan den koenen stap, dat dit verschil nul zal zijn, indien men het aantal termen van de oorspronkelijk reeks oneindig groot neemt. Hoe hij zich dit laatste denkt, zal zoo dadelijk uit de bespreking van een zijner toepassingen blijken. Vooraf willen wij niet nalaten op te merken, dat uit het bovenstaande blijkt, dat WALLIS zeer dicht bij het [pag. 11] limietbegrip is geweest. Wij zouden echter niet zo ver willen gaan, zooals sommige schrijvers doen, te beweren, dat op grond van het besprokene WALLIS de eerste is, die het limietbegrip in zijne tegenwoordige beteekenis heeft vastgelegd. Niet alleen door den vorm is de tegenwoordige definitie, die ik de -definitie zou willen noemen, van de behandelingswijze van WALLIS verschillend, er is een nog veel dieper gaand verschil, dat reeds daaruit blijkt, dat het onmogelijk zou zijn op grond van de behandelingswijze van WALLIS eenige eigenschap der limieten te bewijzen8).
Gaan wij thans aan een voorbeeld na, hoe WALLIS bovenstaande stelling toepast en kiezen wij hiervoor de bepaling van het eerste oppervlak van de spiraal van ARCHIMEDES. Trekken wij door den oorsprong stralen, dan zullen deze de spiraal en den eersten cirkel snijden. De door deze twee respectievelijk afgesneden stukken van de stralen vat hij op als oneindig kleine cirkelsectoren. Daar deze gelijkvormig zijn, zullen hun oppervlakken zich verhouden als de quadraten der voerstralen. Nu vormen de lengten van de voerstralen van de punten der spiraal eene rekenkundige reeks, waarvan de eerste term nul is. De toename van den voerstraal is nl. evenredig met de toename van den draaiingshoek. Het eerste oppervlak bestaat dus uit de som van de quadraten van de termen eener rekenkundige reeks en is dus, aangezien het aantal der termen oneindig is, gelijk aan het 1/3 gedeelte van de som van evenzoovele termen, elk gelijk aan den grootsten term der eerste reeks, dus gelijk aan het 1/3 gedeelte van het oppervlak van den eersten cirkel.
Men ziet, de werkwijze van WALLIS is veel minder gestreng dan die van vele zijner tijdgenoten, wier gestrengheid toch al reeds verre achter staat bij die van de Grieksche wiskundigen. Daarentegen bezit de wijze, waarop WALLIS te werk gaat eene groote inventieve kracht, zóó groot zelfs, dat hij overgegaan is tot wat wij thans zouden noemen de integratie van x, waarin een willekeurig positief getal beduidt. Eene verbinding van zijne werkwijze met die van ARCHIMEDES zou hebben kunnen voeren tot het tegenwoordige limietbegrip. [pag. 12]
De 18e eeuw is voortgegaan aan gestrengheid de tweede plaats toe te kennen. Het aantal nieuwe resultaten, dat afgeleid werd, was legio, maar daarmede groeide ook aan het aantal der geheel zinledige en zelfs foutieve uitkomsten. Het is de niet hoog genoeg te schatten verdienste van CAUCHY, dat hij herhaaldelijk en met den meester nadruk gewezen heeft op het geheel ontoelaatbare van dergelijke methoden. Ook zijn tijdgenoot GAUSS werkte met geheel moderne begrippen, doch hij deed niet zoo groote moeite zijn tijdgenooten van de noodzakelijkheid van gestrengheid te overtuigen. De groote stoot ging uit van de civiel-ingenieur baron CAUCHY. Hij was 't, die betoogde, dat het gebruik van oneindige reeksen alleen dan een behoorlijken zin heeft, als die reeksen convergeeren en die voor het eerst scherp eigenlijke en oneigenlijke integralen onderscheidde. Het eenige, dat men op zijn Analyse algébrique van 1821 kan aanmerken, is, dat hij de definitie nog niet formeel opstelt, hetgeen dan ook de oorzaak is van het uitspreken van een onjuiste stelling, welke hij in 1853 verbeterd heeft en waarop wij nog terugkomen.
Thans is het oogenblik gekomen om te bespreken, hoe het mogelijk is, dat het limietbegrip in zoo hooge mate eene uitbreiding geeft aan de stof, die voor mathematische behandeling toegankelijk is. In het algemeen beteekent het opstellen van een nieuw begrip een stap vooruit. Ik zeg ,,in het algemeen'', want het spreekt van zelf, dat men begrippen kan vormen die ons niets verder brengen.
Bij een begrip onderscheidt men den omvang en den inhoud. De omvang wordt gevormd door de verzameling der objecten, welke als de dragers van het begrip optreden, de inhoud door de kenmerken, waaraan een object moet voldoen, opdat het als drager van het begrip beschouwd kan worden. Een begrip kan men dus op twee wijzen invoeren, hetzij door den omvang te geven, hetzij door den inhoud aan te duiden en beide wijzen zijn in de wiskunde in zwang.
De begripsbepaling door den omvang is die, welke in de wiskunde voorkomt onder den naam klassebegrip. Als voorbeeld noem ik het begrip gewone breuk; elke gewone breuk bestaat uit eene klasse van getallenparen, die aan zekere productgelijkheden voldoen. Het begrip breuk is de verzameling van al deze klassen. [pag. 13]
Een begrip, dat door zijn inhoud gedefiniëerd wordt, is b.v. het begrip deelbaarheid als eigenschap van één geheel getal. Bij het invoeren van een dergelijk begrip heeft men er zich van te vergewissen, of het wel omvang heeft, daar het anders geheel ijdel zou zijn. Het eerste vraagstuk, dat zich hierbij voordoet, is om uit te maken van een gegeven object of het al dan niet de gegeven eigenschap bezit.
Tot deze laatste categorie behoort het limietbegrip. Van belang is nu na te gaan, wat de bewering, dat zeker getal de limiet is bij een gegeven proces, inhoudt. Men heeft hier te doen met een zeer bijzonder soort van oordeel en dit blijkt direct, indien men van de definitie uitgaat. Immers, men bewijst, dat er voor elke positieve een van de gevraagde hoedanigheid bestaat, zoodat men een oneindig aantal oordeelen uitspreekt. In verband met het feit, dat het onmogelijk is, dit te reduceeren tot een eindig aantal oordeelen, schijnt het mij toe, dat juist hieraan het limiet-oordeel zijn buitengewone beteekenis ontleent.
Gaan wij nu over tot de bespreking van eenige stellingen uit de theorie der limieten. Hier behoort vooreerst genoemd te worden de algemeene limietstelling, welke zonder bewijs voorkomt in de reeds genoemde Analyse algébrique van CAUCHY.
Dat CAUCHY destijds die stelling niet bewezen heeft, is eensdeels daaraan te wijten, dat hij de formeele definitie nog niet bezat, anderdeels daaraan, dat de theorie van het irrationale getal, welke toen nog niet ontwikkeld was, aan eene bewijsvoering moet voorafgaan. Haar beteekenis heeft hij daarentegen volkomen doorgrond. Dit blijkt ten duidelijksten uit de wijze, waarop hij haar herhaaldelijk toepast 9).
Bedoelde algemeene limietstelling levert een criterium voor het bestaan eener limiet. Hierbij wordt uitsluitend gelet op de waarden, die het beschouwde getal aanneemt, voordat de limietovergang heeft plaats gevonden. De groote beteekenis van deze stelling is dus daarin gelegen dat men de limietwaarde niet eerst behoeft te kennen om van het bestaan eener limiet verzekerd te zijn. Hierdoor stelt zij ons in staat getallen en functies als limieten te definieeren. Het is deze stelling die men ten [pag. 14] grondslag behoort te leggen bij existentie-bewijzen aangaande limieten, zoo b.v. bij de afleiding van de algemeene eigenschappen der oneindige reeksen, in de theorie der bepaalde integralen en in 't bijzonder bij het bestudeeren van oneigenlijke integralen. Haar behoort een eereplaats in de theorie der limieten.
In het voorgaande hebben wij een fout van CAUCHY ter sprake gebracht en het getuigt wel van de grootheid van CAUCHY, dat een fout van hem zozeer onze belangstelling gaande maakt. Destijds meende hij nl., dat eene reeks van continue functies, die convergeert in een interval der veranderlijke, een som bezit, die eveneens in dat interval continu is. Dat dit geenszins het geval behoeft te wezen, bleek reeds vijf jaar laten uit een voorbeeld bij de trigonometrische reeksen, afkomstig van ABEL 10). Aan de convergentie der functiereeks moet nog eene voorwaarde worden opgelegd en het blijkt, dat de gelijkmatige of uniforme convergentie der reeks in het beschouwde interval een voldoende voorwaarde is voor de continuiteit der grensfunctie. Om U duidelijk te maken, wat hiermede in de wiskunde bedoeld is, zal ik trachten met een voorbeeld te laten zien, wat men onder gelijkmatig verstaat, waarbij ik dit begrip ontwikkel los van het limietbegrip.
Stellen wij ons voor, dat op een rechten weg ter breedte van één meter ergens loodrecht op de wegrichting eene lijn wordt getrokken en dat wij ons in het eene eindpunt dier lijn bevinden om het schouwspel gade te slaan, dat ik U zal bieden. In elk ander punt van de getrokken lijn wordt een Achilles geposteerd en deze Achillesen zullen het op nader te verklaren wijze ondernemen om ééne rustende schildpad in te halen. De schildpad zij geplaatst op eene lijn over deb weg getrokken evenwijdig aan de eerste en daar tien meter van verwijderd, en wij zeggen dat een willekeurige Achilles de schildpad inhaalt op het oogenblik, dat hij de lijn passeert. Het spel begint, zoodra de Achillesen zich gaan bewegen. Hierbij zal elke Achilles met een eigen snelheid loopen en wij maken de afspraak, dat het aantal meters, dat een zekere Achilles per seconde aflegt, gelijk zal zijn aan het aantal meters, waarop hij in den beginstand van ons, die zich in het uiteinde der eerste rechte lijn bevinden, verwijderd is. [pag. 15]
Wat gebeurt er nu, nadat het sein tot den wedloop gegeven is? De verst verwijderde Achilles, die tot ons een afstand van een meter heeft, loopt met eene snelheid van één meten per seconde en heeft de schildpad in 10 seconden bereikt. De Achilles, die zich in het midden van de eerste lijn bevindt, zal slechts half zoo snel loopen en dus 20 seconden noodig hebben en zoo heeft een meer nabij staande Achilles meer tijd noodig dan een verder van ons afstaande.
Nu constateeten wij twee feiten. In de eerste plaats is het duidelijk, dat elke Achilles de schildpad zal inhalen, aangezien elk zich met constante snelheid voortbeweegt en de schildpad in rust blijft, maar tegelijkertijd is het waar, dat zij nimmer allen de schildpad zullen hebben ingehaald. Men veronderstelle slechts, dat het tegendeel het geval is. Dan zal men zeker tijdsverloop kunnen noemen, waarna de schildpad door elken Achilles ingehaald is. Nemen wij aan, om de gedachten te bepalen, dat dit na een eeuw plaats heeft. De ongerijmdheid blijkt dan daaruit, dat wij een Achilles aanwijzen, die na een eeuw nog niet zijn doel heeft bereikt en deze is gemakkelijk te vinden. Aangezien nog een eeuw minder dan 1010 seconden is, zal de Achilles, die 10-9 meter, d.i. dus 1 millimicron van ons verwijderd is, meer dan 109 maal zooveel tijd noodig hebben als de Achilles, die oorspronkelijk één meter van ons verwijderd is, dus belangrijk meer dan een eeuw.
Het wil mij voorkomen, dat wellicht een leek de gelijktijdige juistheid der twee uitspraken nl., dat elke Achilles de schildpad na eindigen tijd inhaalt en dat zij haar toch nooit allen ingehaald zullen hebben, als paradoxaal zal voelen, hoewel hier toch in het geheel geen paradox aanwezig is. Dat er werkelijk geen tegenspraak in steekt, moge eenigszins verduidelijkt worden door de opmerking, dat het eerste oordeel eigenlijk bestaat uit oneindig veel oordeelen, die elk betrekking hebben op éénen Achilles. Het tweede oordeel is ééne enkele bewering, die iets uitdrukt omtrent alle Achillesen tegelijkertijd, dus allen als één geheel beschouwd. Het gelijktijdig juist zijn der twee bovengenoemde oordeelen zou men wiskundig kunnen uitdrukken door te zeggen dat alle Achillesen de schildpad inhalen, maar dat zij dit niet gelijkmatig doen.
Het begrip uniforme limietovergang laat zich gemakkelijk duidelijk maken met het beschouwen van een reeks, waarvan [pag. 16] elke term functie eener zelfde veranderlijke is. Is een degelijke reeks convergent voor waarden der veranderlijke, die tot een zeker interval behooren, dan zal men voor elke waarde dier veranderlijke een aantal termen kunnen bepalen, zoodanig dat de verkregen nauwkeurigheid binnen vooraf bepaalde grenzen blijft. Het aantal der benoodigde termen zal in het algemeen voor verschillende waarden der veranderlijke een andere zijn, en al heeft men nu bij elke waarde der veranderlijke een eindig aantal termen noodig om de verlangde nauwkeurigheid te bereiken, dan blijkt uit analogie met het beschouwde schildpad-voorbeeld direct, dat hieruit nog niet volgt, dat men een zelfde aantal termen kan aangeven, passend voor elke waarde der veranderlijke.
Kan men echter een getal aangeven, zoodanig dat het gebruik van een aantal termen (van de eerste af), dat grooter dan het genoemde getal is, voor elke waarde der veranderlijke minstens een vooruit bepaalde nauwkeurigheid oplevert, dan spreekt men van uniforme convergentie.
Uit de groote omslachtigheid, welke het onder woorden brengen van het begrip uniforme limietovergang in dit eenvoudigste geval vordert, blijkt wel ten duidelijkste het voordeel van de definitie van het limietbegrip.
Toen WEIERSTRASS 11) in 1841 zijn eerste verhandeling publiceerde, waarin hij de door hem ingevoerde uniforme convergentie benut, drukte hij de voorwaarde hiervoor dan ook in terminologie uit en het is niet wel te zien hoe men een bruikbare definitie van uniforme limietovergang in het algemeen zou kunnen geven, zonder de formulering.
De uniforme limietovergang speelt een hoofdrol bij die vraagstukken, waarbij twee limietovergangen achtereenvolgens moeten worden verricht en waarbij men er naar vraagt, of de volgorde, waarin deze limietovergangen geschieden, invloed heeft op het resultaat.
Het blijkt, dat hiertoe een voldoende voorwaarde is, dat de eene dezer limietovergangen gelijkmatig plaats heeft ten opzichte van de waarden, die bij den anderen limietovergang optredende veranderlijke kan aannemen. [pag. 17]
Uit het bewijs, dat CAUCHY in 1853 geeft van de reeds genoemde stellng, aangaande de continuïteit van de som eener functiereeks, blijkt direct, dat de uniforme convergentie dier reeks geen noodzakelijke voorwaarde is, aangezien hij uitsluitend daarvan gebruik maakt, dat de vereischte nauwkeurigheid kan verkregen worden door het beschouwen van een volkomen bepaald aantal termen, dus meer technisch uitgedrukt, voor één enkele bepaalde waarde van n. Dit gaf aanleiding tot de invoering van het begrip semi-uniforme convergentie door DINI, maar ook de semi-uniforme convergentie bleek geen noodzakelijke voorwaarde te zijn voor de continuïteit der grensfunctie 12).
Gebrand als de wiskundige steeds is om voorwaarden te vinden, die zoowel noodzakelijk als voldoende zijn, lag het voor de hand, dat de onderzoekingen in deze richting niet zouden gestaakt worden voor men al het mogelijke had verricht. Ten slotte gelukte het ARZELA de verlangde voorwaarde te vinden, die daarin bestaat, dat het mogelijk moet zijn de voorgeschreven nauwkeurigheid voor elke waarde der veranderlijke te bereiken, als men voor ieder dier waarden de keus mag doen uit en eindig aantel n-waarden, die boven een gegeven bedrag gelegen zijn (quasi-uniforme convergentie).
Zooals men wellicht opgemerkt zal hebben, heb ik mij bij de keuze mijner voorbeelden steeds bepaald tot gevallen, waarbij de veranderlijke, of althans één der veranderlijken de rij der geheele getallen doorliep of een rij daarmee evenredige getallen. Wiskundig uitgedrukt heb ik mij dus bepaald tot gevallen, waarbij een variant optreedt. Daarnaast staan gevallen, waarbij die variant vervangen wordt door een variabele. Ik stip hierbij aan, dat ook de quasi-uniforme limietovergang in de algemeenere veronderstelling behandeld kan worden.
Die gevallen, waarbij een variant optreedt zijn wezenlijk gemakkelijker, wat hieraan is toe te schrijven, dat de verzameling van waarden, die deze kan aannemen, zooveel eenvoudige structuur heeft. Historisch ziet men dan ook steeds de variant aan de variabele voorafgaan. Desniettemin heeft het limietbegrip voor varianten en variabelen een gemeenschappelijken [pag. 18] grondslag, al vindt men in alle leerboeken, die twee gevallen gescheiden behandeld. Bovendien heeft de limietovergang, die bij de definitie van de bepaalde integraal gemaakt wordt, weer een ander voorkomen, zoodat men daar weder eene aparte verklaring der handelwijze vermeld vindt. Men kan niet ontkennen, dat het uiterst gewichtig geacht moet worden het gemeenschappelijk element in deze materie op te zoeken. Het resultaat van een dergelijk onderzoek moet zijn het opstellen van een limiet-definitie van zoo groote algemeenheid, dat zij alle gevallen omvat, waarbij dit begrip ter sprake komt en dat zij in staat is de algemeene stellingen omtrent limieten op algemeene wijze te doen formuleeren en bewijzen. Wij mogen er ons in verheugen en wij rekenen het tot onze eer, dat onze landgenoot FRED. SCHUH hierin geslaagd is, em zijne desbetreffende resultaten dit jaar heeft gepubliceerd 13).


Edelgrootachtbare Heeren Curatoren dezer Hoogeschool,


Wilt mijnen oprechten dank aanvaarden voor het vertrouwen, dat gij in mij hebt gesteld door mij aan te bevelen voor het Hoogleeraarsambt aan deze Hoogeschool. Ik geef U de verzekering, dat ik zal trachten mijne beste krachten te wijden aan de taak, die mij is opgelegd, opdat ik Uw vertrouwen zal blijken waardig te zijn.

Hooggeleerde Heeren Profesoren der Technische Hoogeschool,


Het is mij aangenaam U te zeggen, dat ik het mij een eer reken in Uw midden te worden opgenomen en ik hoop, dat gij mij, zoo noodig, Uw steun en voorlichting zult willen verschaffen. [pag. 19]

Hooggeachte Ambtgenooten van de Afdeeling der Algemeene Wetenschappen,


Voor Uwe aanbeveling, welke de eerste aanleiding tot mijne benoeming was, breng ik U mijn hartelijken dank. In het bijzonder verzoek ik U, Hoogleeraaren in de Wiskunde, om Uwen steun, waar ik dien zal behoeven. Gedachtig aan den vriendschappelijken omgang, welke ik met eenige onder U reeds mocht hebben, durf ik het vertrouwen uitspreken, dat Gij mij Uwe voorlichting niet zult onthouden.

Hooggeleerde Schuh, Hoogvereerde Mentor,


Het is mij eene oprechte behoefte in dit uur tot U in het bijzonder het woord te richten en van uit deze plaats uiting te geven aan mijn gevoel van bewondering voor Uwe zeldzame gave. Ik acht het mij een voorrecht voortaan in Uwe nabijheid te mogen arbeiden; moge ik steeds den invloed van Uw scherpen geest blijven ondervinden. Het zij mij vergund U, hooggeschatte leermeester, thans mijn innig gemeenden dank te betuigen voor de vele goede wenken, die ik van U mocht ontvangen en voor alles, wat ik aan U verplicht ben.

Dames en Heeren Studenten aan de Technische Hoogeschool,


Het vak, waarin ik U onderwijs zal geven is er vermoedelijk niet een, dat gij om het vak zelve bestudeert. Het doel, dat ik mij voorstel, is U den weg te effenen voor het verkrijgen van de voor U noodzakelijke kennis. Gaarne zal ik daarbij, zooveel in mijn vermogen is, aan uw eventueele wenschen tegemoet komen. Moge het mij gelukken, zij het ook slechts bij enkelen onder U, de belangstelling voor de wiskunde zelve te wekken.

Ik heb gezegd.


Voetnoten

1) Verondersteld is, dat Achilles sneller loopt dan de schildpad en dat de verhouding der snelheden en de oorspronkelijke afstand bekend zijn.

2) Archimedes opera omnia Ed. HEIBERG Vol. II, pg. 51 (Latijnsche vertaling).

3) Loc. cit. pg. 57. De bedoelde eigenschap luidt, dat eene raaklijn aan eene Archimedische spiraal deze in één enkel punt aanraakt.

4) Loc. cit. pg. 89-107.

5) Het blijft toch bevreemdend, dat de Grieken geene poging hebben gedaan hun bewijstrant af te korten, vooral daar deze bij voortgezette studie als uiterst vervelend aandoet, omdat telkens weer dezelfde soort bewijsvoering voor elk bijzonder geval in extenso geschiedt. Toch was eene bekorting mogelijk geweest en deze had hen zeer na aan het limietbegrip gebracht. Nadat bv. ARCHIMEDES voor het eerste oppervlak van de spiraal heeft aangetoond, dat het verschil tusschen om- en ingeschreven sectorsom willekeurig klein kan worden gemaakt, zou hij hebben kunnen volstaan met op de te merken, dat eene willekeurige omgeschreven sectorsom grooter en eene willekeurige ingeschreven sectorsom grooter dan het derde gedeelte van den eersten cirkel. Dit laatste is bovendien een direct gevolg van ongelijkheden, die Archimedes bij zijn bewijsvoering benut. Het is weer de algemeene beschouwing, voor de rechtvaardiging hiervan noodzakelijk, die den Grieken vreemd was.

6) Van deze verhandeling vindt men eene Duitsche vertaling in de uitgave van Archimedes' werken door F. KLIEM (naar de Engelsche vertaling van T.L. HEATH).

7) Wallis Opera To I, pg. 373.

8) Wallis is wel buitengewoon weinig gestreng. Telkens als hij het woord ,,patet'' (het is duidelijk) neerschrijft, mankeert aan de bewijsvoering zeer veel. Het is als voelde hij de noodzakelijkheid van overreding door suggestie. Zijn groote verdienste blijft echter het opsporen van den gemeenschappelijken arithmetischen grondslag van op 't oog zeer verschillende meetkundige problemen.

9) Behalve de reeds geciteerde Anal. Alg., zie men Moigno Calcul intégral Leçon VII no. 46

10) Oeuvres (Lie & Sylow) To. I pg. 224.

11) Werke I pg. 67.

12) Bij de semi-uniforme convergentie moet boven elk vast bedrag een n aan te wijzen zijn.

13) Kon. Akad. De XXVII 3 Mei 1919 en Handelingen van het Nat. en Geneesk. Congres 1919.