GROEPENTHEORETISCHE ONDERZOEKINGEN

 DOOR

P.J.H. BAUDET






Aanvullende gegevens:
P.J.H. Baudet, Groepentheoretische Onderzoekingen, 's Gravenhage: Martinus Nijhoff (1918), XIV + 114 pp.
Het proefschrift ging vergezeld van een kort voorwoord en XVI stellingen.
Opgenomen is het eerste hoofdstuk. Het tweede hoofdstuk is in voorbereiding (paragrafen 7 en 8 klaar). Van hoofdstuk 3 zijn de eerste drie paragrafen opgenomen en van hoofdstuk 4 alleen de eerste. De voetnoten (op elke pagina opnieuw bij 1 begonnen te nummeren) zijn hier als eindnoten opgenomen, waarbij in elk hoofdstuk opnieuw bij 1 is begonnen.


INHOUD.

HOOFDSTUK I.

 Groepen.
1. Operaties 1
2. Dubbeleenwaardige correspondentie 7
3. Definitie der groepen 9
4. Andere beschouwingswijze 11
5. Terugvoering der tweede beschouwingswijze tot de eerste 14
6. Eindige groepen 16


HOOFDSTUK II.

Stelsels van Cauchy. Eigenschappen van
eindige groepen.

7. Stelsels 18
8. Stelsels van Cauchy. Deelers van eene groep 19
9. Normaalstelsels en normaaldeelers. Factorgroep 26
10. Isomorphisme 33
11. Transformatie. Geconjugeerde operaties 40
12. Verschillende eigenschappen 47
13. De compositiereeks van Jordan 54
14.. Hoofdreeks 65


HOOFDSTUK III.

Automorphismen. Groepen van de orden
p, pq, pqr.

15. Automorphismen 66
16. Uitbreiding der elementenverzameling V bij gegeven automorphisme 68
17. Direct product van twee groepen, welke met gegeven groepen holoëdrisch isomorph zijn. 71
18. Eigenschappen betreffende de groepen van de orden pq of pqr 72
19. Groepen van de orde p. Hare automorphismen 75
20. Groepen van de orde pq. Hare automorphismen 76
21. Groepen van de orde pqr 80
22. Automorphismen der groepen van de orde pqr 86


HOOFDSTUK IV.

Groepen van de orde pqrt.

23. De eigenschap van Frobenius 92
24. Bepaling der groepen van de orde pqrt 93
25. Aantallen der gevonden groepen 110



Bij de voltooiing van mijn proefschrift is het mij eene aangename taak U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde aan de Leidsche Universiteit dank te zeggen voor al hetgeen gij hebt bijgedragen tot mijne wetenschappelijke vorming.
Uwe boeiende colleges, Hooggeleerde Kluyver, zullen bij mij steeds in dankbare herinnering blijven.
U, Hooggeleerde Barrau, die zoo bereidwillig geweest zijt mij als promotor ter zijde te staan in de plaats van professor Schuh, betuig ik in 't bijzonder mijnen dank.
Ten slotte is het mij eene behoefte mijne oprechte dankbaarheid te uiten jegens U, Hooggeleerde Schuh, wiens private colleges, welke ik door Uwen vriendschappelijken omgang het voorrecht had te genieten, van zoo beslissenden invloed zijn geweest op mijne ontwikkeling. Uwe belangstelling voor mijn werk en Uwe goede raadgevingen bij de samenstelling van dit proefschrift zal ik nimmer vergeten. Het zijn uwe buitengewoon heldere lessen, gepaard aan Uwen frisschen arbeidslust, welke voor mij steeds eene stuwkracht zullen blijven bij verderen wetenschappelijken arbeid.


STELLINGEN.


I.


Het is onnoodig voor operaties associativiteit te postuleeren (vgl. W. BURNSIDE, Theory of groups of finite order, 2nd ed. § 12).


II.
In W. BURNSIDE, loc. cit. § 28, zijn de definitie van isomorphisme en de daaruit afgeleide eigenschappen niet met elkaar in overeenstemming.


III.
H. WEBERS's afleiding van de betrekkingen tusschen de binomiaalcoëfficienten mist bewijskracht (H. WEBER, Lehrbuch der Algebra, 2te Aufl. Bd. I pg. 46).


IV.
De eigenschappen, voorkomende in H. WEBER, loc. cit. Bd. I pg. 26, 2de alinea en pg. 36 no. 7, betreffende de vermenigvuldiging en de deeling van geheele rationeele functies, zijn onjuist.


V.
Het voorschrift gegeven door WERTHEIM (Anfangsgründe der Zahlentheorie pg. 18) en TANNERY (Leçons d'Arithmétique, 7e éd. pg. 160 probl. 140), om te onderzoeken, of een getal priemgetal is, is onjuist.


VI.
Bij de ontwikkeling van het getalbegrip verdient het aanbeveling de negatieve getallen in te voeren na de irrationeele.


VII.
Bij een additief-multiplicatief getalstelsel, dat bovendien aan de gewone ongelijkheidspostulaten voldoet, en waarbij de aftrekking a - b steeds en slechts dan mogelijk is, als a > b, kan alleen dan een echt deel der tegengestelden der getallen van het stelsel (voor zoover ze niet reeds tot het stelsel behooren) toegevoegd worden met behoud der bestaande postulaten, als het getalstelsel niet-Archimedisch is.


VIII.
Het gangbare bewijs, dat elke oneindige verzameling een aftelbare deelverzameling bezit, is waardeloos.


IX.
In de meetkunde van het aantal, dient scherp in het oog gehouden te worden, dat de multipliciteit van eene oplossing van een stelsel algebraïsche vergelijkingen geheel afhangt van het probleem waarmede men zich bezig houdt.


X.
a). Heeft men in eene ruimte van n afmetingen (n oneven) eene dubbeleenwaardige correspondentie tusschen hare punten en hare lineaire ruimten Rn-1 zoodanig, dat de bijbehoorende transformatie incidentie invariant laat, terwijl elk punt met zijn correspondeerende Rn-1 incident is, dan is die correspondentie continu.
b). Het is gewenscht een stelselmatig onderzoek in te stellen naar analoge gevallen, waarbij tot continuiteit eener transformatie kan worden besloten, zonder dat daarover in de definitie gesproken is.


XI.
In de definitie van de convergentie van een oneindig product heerscht verwarring (vgl. N. NIELSEN, Lehrb. der unendl. Reihen; E. CESARO, El. Lehrb. der alg. Analysis; Encycl. der Math. Wiss.). Aan te bevelen is de definitie, voorkomende in F. SCHUH, Oneindige producten, Nieuw Tijdschrift v. Wiskunde, 5e jaargang pg. 56.


XII.
Bij de differentiatie onder het integraalteeken verdient de methode, waarbij het begrip ,,gelijkmatige convergentie'' wordt gebruikt, den voorkeur boven de door PICARD gebezigde (E. PICARD, Traité d'analyse, 2e éd. T. I. pg. 41 sqq.).


XIII.
Methodologisch verdient het den voorkeur bij existentiebewijzen, die neerkomen op het aantoonen van het bestaan van een irrationeel getal (bijv. een maximum), het begrip ,,bovenste grens'' te benutten, zonder tot het mechanisme van het irrationeele getal terug te gaan.


XIV.
De stabiliteitsvoorwaarde, voorkomende in D.J. KORTEWEG, Over de verschillende evenwichtsstanden etc., Nieuw Archief voor Wisk., 2de reeks, Deel VIII, 1ste stuk pg. 11, is geen noodzakelijke.


XV.
Bij de behandeling van algemeene physische problemen is het wenschelijk gebruik te maken van het indeelingsprincipe van KLEIN.


XVI.
De door A.E. BECKER opgestelde hypothesen aangaande het Zeeman-effect kunnen de waargenomen verschijnselen niet verklaren (Astrophysical Journal, Nov. 1916 pg. 237).