DE KEGELSNEDEN

IN DE PROJECTIVISCHE MEETKUNDE.

(EEN HISTORISCHE SCHETS).


REDE

BIJ DE AANVAARDING VAN HET HOOGLEERAARSAMBT AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT

TE GRONINGEN, DEN 29en SEPTEMBER 1881 UITGESPROKEN DOOR


DR. P. H. SCHOUTE.



Aanvullende gegevens:
Uitgegeven door J.B. Wolters te Groningen in 1881.
Gedrukt in de stoomdrukkerij van J.B. Wolters
Oorspronkelijke redevoering in druk 36 pp.
Voetnoten op iedere pagina opnieuw begonnen met nummeren. Daarnaast aantekeningen in de vorm van eindnoten opgenomen. Nummering daarvan was in letters, en is behouden. Opmaak van de eindnoten niet behouden waar het de tabellen en formules betreft. De cursieve latijnse a in de formules staat voor de Griekse letter [alpha].
Tekst begint op p. 5; op p. 4 stond nog het volgende motto:

,,Unter den Leistungen der letzten fünfzig Jahre auf dem Gebiete
der Geometrie nimmt die Ausbildung der projectivischen Geo-
metrie
die erste Stelle ein.''

(Dr. F. KLEIN, Vergleichende Betrachtungen über neuere
geometrische Forschungen
. Erlangen 1872).




EDEL GROOT ACHTBARE HEEREN CURATOREN VAN DEZE HOOGESCHOOL!

HOOGGELEERDE HEER RECTOR MAGNIFICUS, HOOGGELEERDE HEEREN
PROFESSOREN!

WELEDEL ZEERGELEERDE HEEREN DOCTOREN IN DE VERSCHILLENDE
FACULTEITEN!

WELEERWAARDE HEEREN LEERAREN VAN DEN GODSDIENST!

WELEDELE HEEREN STUDENTEN DEZER HOOGESCHOOL!

EN VERDER GIJ ALLEN, DIE DEZE PLECHTIGHEID MET UWE TEGEN-
WOORDIGHEID VEREERT!





ZEER GEACHTE TOEHOORDERS!



De rede, waarmee de beroemde wiskundige MICHEL CHASLES, die in December van het vorige jaar in Parijs is overleden, 22 December 1846 zijn cursus van hoogere meetkunde opende 1), begint met de volgende woorden:
,,Sedert meer dan een eeuw heeft het onderwijs in de meetkunde zich tot de eerste beginselen, de elementen, herleid. Deze naam ,,elementen'' wijst de eenvoudigste materialen van het gebouw, de eerste stappen, de inleiding in de wetenschap aan. Wanneer men echter bedenkt, dat de meetlrunde zich met de afmeting en de eigenschappen der uitgebreidheden bezig houdt, dan ziet men dadelijk in, dat zij zeer uitgestrekt is en men de grenzen zelfs niet bespeurt van het veld dat zij omvat. Want de uitgebreidheden, die men zich voorstellen kan, verschillen tot in het oneindige van elkaar en de eigenschappen der figuren die de natuur aanbiedt of onze geest schept, zijn zelve uiterst talrijk, om niet te zeggen onuitputtelijk. Hieruit zou men mogen verwachten, dat de meetkunde een groote plaats inneemt bij het openbaar onderwijs; [pag. 6] in welke meening men nog versterkt wordt door de bedenking, dat deze wetenschap, onafhankelijk van hare toepassing op technisch gebied, den grondslag uitmaakt van de wiskundige wetenschappen en de diepste denkers van alle tijden haar beschouwd hebben als eene uitstekende oefenschool van het logisch denken, als een uitnemend hulpmiddel tot het vormen van groote geesten. Werkelijk maakte de meetkunde in ouden en nieuweren tijd tot aan het begin der voorgaande eeuw een belangrijk deel uit van het openbaar onderwijs; maar sedert dien tijd is dit gewichtige deel onzer positieve kennis door schadelijke invloeden, waaraan zelfs de wetenschappen blootstaan, verwaarloosd en tot de elementen teruggebracht.''
Wat CHASLES voor omstreeks 35 jaar met recht beweerde, kan thans niet meer gelden. Aan de bijna onuitputtelijke scheppingskracht van hem en eenige andere eminente mannen is het te danken, dat in de laatste tijden alom is herleefd die meetkunde, welke hare bewijzen hoofdzakelijk op uit de figuur afgeleide redeneeringen grondt en naar gelang van den aard der op den voorgrond tredende methode en van de individueele opvatting der verschillende schrijvers nu eens ,,hoogere, nieuwere, zuivere, projectivische, synthetische of organische meetkunde,'' dan weer ,,meetkunde der ligging'' genoemd wordt. Aan de voornaamste hoogescholen en polytechnische scholen van het buitenland is haar de haar toekomende plaats ingeruimd. Ook de wiskundige faculteit van deze hoogeschool heeft het noodig beoordeeld der zich onder hare vanen scharende jongelingschap de gelegenheid open te stellen in dit deel der wiskundige wetenschap, afzonderlijk leiding te ontvangen. Dat zij in ons land de eerste is, die deze behoefte erkend en onder medewerking der over haar gestelde machten vervuld heeft, strekt haar tot niet geringe eer; dat ik de vereerende opdracht aannam, haar oog hierin met mijne zwakke krachten werkdadig behulpzaam te zijn, is mij, zeer geachte toehoorders, aanleiding thans met een enkel woord over deze ,,meetkundige meetkunde'' tot u te spreken. Ik wensch dit te doen in verband met een geschiedkundig overzicht van den ontwikkelingsgang der beschouwingen omtrent de kegelsneden, dat uit den aard der zaak zich slechts over hoofdzaken zal kunnen uitstrekken. Na daarbij gelegenheid gevonden te hebben de door CHASLES bedoelde schadelijke invloeden aan te wijzen, die een tijdelijk teruggaan der meetkundige methode hebben veroorzaakt, zal ik dan trachten u eenigermate de verdiensten te schetsen van hen, die voor mij den weg der nieuwe wetenschap [pag. 7] hebben geëffend. Daaraan gevoel ik thans behoefte; niet -- en hierbij kan ik met een kleine wijziging de woorden van een uwer 2) tot de mijnen maken -- niet omdat mijne gebrekkige hulde hun ten eenenmale boven mijnen lof verhevenen roem verhoogt, maar omdat niets mij beter geschikt voorkomt mij de ontoereikendheid van eigen kracht en eigen kennis te doen beseffen, mij tot strenge plichtsbetrachting en onvermoeiden arbeid aan te sporen, dan een juiste voorstelling van al het groote en verhevene, wat door deze geniale voorgangers is verricht.

Gaan we DEMOKRITUS VAN ABDERA, die omstreeks 420 v. Chr. leefde en volgens PLUTARCHUS den kegel gesneden moet hebben met een ons echter onbekend gebleven gevolg, met stilzwijgend voorbij, dan mogen we MENECHMUS, een leerling van PLATO (430 - 347), als de ontdekker der kegelsneden beschouwen. Hij bracht een kegelvlak voort door een scherpen hoek, die kleiner, gelijk of grooter dan een halve rechte hoek was, om een zijner beenen te draaien en verkreeg dan door dezen kegel door een vlak loodrecht of een der standen van het bewegende been te snijden de ellips, de parabool of de hyperbool. De zoo ontstane krommen noemde hij echter nog slechts ,,de sneê van den scherpen, rechten en stompen kegel.'' Uit het gebruik, dat MENECHMUS van deze krommen maakte ter oplossing van het vraagstuk der ,,kubusverdubbeling,'' dat met de ,,trisectie van den hoek'' a) en de ,,kwadratuur van den cirkel'' de drie voornaamste meetkundige vraagstukken van de ouden vormde, moet worden afgeleid, dat hij bekend was met de eigenschap, die in het coördinatenstelsel van DESCARTES door de topvergelijking van de parabool en evenzoo met die welke bij de gelijkzijdige hyperbool door de vergelijking op de asymptoten wordt uitgedrukt. Want het vraagstuk der kubusverdubbeling hangt, zoo als bekend is, van de bepaling van x en y uit de evenredigheid a : x = x : y = y : b af, die tot de combinatie x² = ay en y² = bx, het snijpunt van twee parabolen, of tot de combinatie x² = ay en xy = ab, het snijpunt van een parabool met een gelijkzijdige hyperbool voert en deze beide constructies zijn door hem aangegeven. Velen is het een raadsel, hoe de school van PLATO reeds voor EUCLIDES [pag. 8] en APOLLONIUS zulk een juist inzicht had in den aard dier kromme lijnen in een tijd toen het zelf bij een zoo voor meetkundige ontwikkeling vatbaar volk als de Grieken nog mogelijk was, dat een in vele andere opzichten zeer ontwikkeld man, de geschiedschrijver THUCYDIDES, de oppervlakte der eilanden evenredig stelde aan den tijd dien men noodig had ze om te varen. Maar hun, die met dit voorbeeld van THUCYDIDES de wezenlijk bewonderenswaardige uitkomsten van MENECHMUS onwaarschijnlijk. willen maken, moet ik eenvoudig vragen of in onzen tijd de in alle opzichten harmonisch ontwikkelde mensch dan zoo menigvuldig is en of de geschiedenis der meetkunde van den tegenwoordigen tijd zelfs nog niet onophoudelijk spreken moet van dwalingen die later moeten worden hersteld. Welke bedenking aan den anderen kant ook strekken kan het oordeel te verzachten van hen, die THUCYDIDES een groote grief van willen maken, dat hij verviel in deze fout, die trouwens nog tot in de middeleeuwen is blijven voortleven.
Onder de schrijvers der oudheid, wier over kegelsneden handelende werken niet tot ons gekomen zijn, moeten we ARISTAEUS de oudere en EUCLIDES noemen. Van de eerste weten we alleen, dat hij in vijf boeken de elementen der kegelsneden kennen leerde; van de tweede, die omstreeks 300 v. Chr. onder PTOLEMAEUS SOTER in Alexandrië leefde en door zijn [stoicheia] (elementen), de grondslag der tegenwoordige lagere wiskunde, samenstelde, weten we, dat hij de kromme lijnen in het vlak deed ontstaan in verband met het vraagstuk onder bepaalde omstandigheden een vierkant te construeeren dat in inhoud gelijk is aan een gegeven rechthoek, waarbij dan de werkwoorden [elleipein], [paraballein], [hyperballein], de voorloopers zijn van de namen ellips, parabool en hyperbool. In elk geval is het echter zeer de vraag of EUCLIDES wist, dat de door hem behandelde kromme lijnen op den kegel te vinden zijn en of hij ze identisch beschouwde met de door MENECHMUS voor de kubusverdubbeIing gebruikte.
Heeft ARCHIMEDES omstreeks 250 v. Chr. de theorie der kegelsneden met de inhoudsbepaling van de ellips en van het parabolisch segment verrijkt, veel meer is deze theorie verschuldigd ean APPOLONIUS VAN PERGA (in Pamphylië), die 220 v. Chr. leefde. Uit zijne in acht boeken ingedeelde [conica], waarvan het laatste in het geheel niet en de drie daaraan voorafgaanden alleen door een Arabische vertaling tot ons gekomen zijn, blijkt, dat hij de drie kegelsneden voor het eerst met de namen die ze thans dragen uit een zelfden en zoowel uit de scheeven [pag. 9] als uit den rechten kegel afleidde. Hij beschrijft de assen met de toppen en het middelpunt, de brandpunten en den parameter; hij kent de standvastigheid van de som of het verschil der voerstralen, de gelijkheid van de hoeken door de raaklijn met de voerstralen gevormd; hij bewijst de bekende hoofdstellingen omtrent de toegevoegde middellijnen; hij zoekt de snijpunten van kegelsneden met cirkels en van kegelsneden onderling; in het kort hij geeft een vrij volledige theorie van deze krommen. Echter beschouwt hij ze nog niet als de meetkundige plaats der punten, wier afstanden tot een punt en een lijn in een gegeven verhouding staan; eerst bij de Arabieren treden in de middeleeuwen de richtlijnen op in hun organisch verband tot de brandpnnten. Als toepassing heeft hij in een afzonderlijk werk, dat ook door de Arabische vertaling voor ons bewaard bleef, een zeker vraagstuk ,,de sectio rationis'' met behulp van kegelsneden opgelost.
Treffen we bij MENELAUS de bekende stelling omtrent de zes segmenten op de zijden van een driehoek aan, die de grondslag is van de leer der transversalen, bij PAPPUS (450 n. Chr.) vinden we voor het eerst het anharmonisch rapport van vier punten op een rechte lijn beschouwd. Laatstgenoemde schrijver bewijst, dat het anharmonisch rapport van de vier punten, waarin vier door een punt gegeven lijnen gesneden worden door een vijfde lijn, niet verandert, wanneer men deze vijfde lijn verplaatst, een eigenschap, die het fundament is van de in 1852 verschenene ,,Géometrie Supérieure'' van CHASLES. Hij kent ook de involutorische ligging van de zes punten, waarin een willekeurige lijn de zijden van een volledigen vierhoek snijdt, een stelling, die in de zeventiende eeuw door DESARGUES meer algemeen gemaakt is, en bespreekt het naar hem genoemde vraagstuk ,,ad tres aut plures lineas,'' dat later door NEWTON synthetisch is opgelost. Omtrent zijn werk [synacocy] (verzameling) kan men met vrucht CHASLES' ,,Aperçu historique'' raadplegen. Na hem beschouwt SERENUS de doorsnee van den cilinder, terwijl PROCLUS de bekende constructie van de ellips aangeeft met behulp van een lijn van bepaalde lengte, waarvan de uiteinden over twee rechthoekige assen glijden. En wat de Arabieren,die in hun bloemrijke taal de stelling van PYTHAGORAS de ,,figuur der bruid'' noemden, daarna aan de theorie der kegelsneden toevoegden, is in hoofdzaak boven bij het bespreken van de richtlijnen reeds meegedeeld.
Met de middeleeuwen brak ook voor de studie der meetkunde een donkere tijd aan. Gold omstreeks 1500 aan de toen bestaande universiteiten [pag. 10] de regel, dat niemand tot de magisterwaardigheid zou mogen worden bevorderd, die niet de boeken van EUCLIDES had hooren uitleggen, waarschijnlijk liep het examen, wanneer dit al gehouden werd, over niet veel meer dan het eerste boek. Hiervoor pleit, dat het aan het eind van het eerste boek van EUCLIDES voorkomende theorema van PYTHAGORAS toen schertsend de ,,Magister matheseos'' genoemd werd. Werkelijk moest KEPLER, toen hij vermoedde dat de beweging der hemellichamen in elliptische banen plaats vond, tot den grooten APOLLONIUS teruggaan. Zoo als bekend is heeft de studie der kegelsneden door zijne sterrekundige ontdekking veel in gewicht gewonnen 3). Ook schiep KEPLER, om in staat te zijn de omstandigheden eener zoneclips na te gaan, een projectiemethode en is hij als zoodanig de voorlooper van MONGE, den ontwerper der beschrijvende meetkunde.
Kort na den dood van KEPLER deed PASCAL op zestienjarigen leeftijd zijn ontdekking, die gewoonlijk met den naam van ,,hexagrammum mysticum'' wordt aangeduid. Door de ellips te beschouwen als de centrale projectie van den cirkel vond hij, dat de drie paren overstaande zijden van een in een ellips beschreven zeshoek elkaar in drie punten eener rechte lijn snijden. Welke stelling de grondslag gweest is van verscheidene prachtige verhandelingen van wiskundigen van lateren tijd b). En na hem breidde DESARGUES de involutie van zes punten eener rechte lijn op een kegelsnee en een in deze beschreven vierhoek uit.
Hiermee zijn we genaderd aan DESCARTES, die in zijn in 1637 uitgegeven werk een omwenteling teweeg gebracht heeft in de wiskundige wetenschap. Zijn plaatsbepaling van het punt in het platte vlak door twee coördinaten -- omstreeks 1700 door PARENT op de ruimte uitgebreid door drie -- maakte de toepassing van de stelkunde op de meetkunde eerst volkomen mogelijk. Wijl namelijk een vergelijking tusschen de twee coördinaten van een punt eerst een dier beide grootheden bepaalt nadat de andere willekeurig aangenomen is, stelt zulk een vergelijking in het algemeen, zoo als bekend is, een aaneengeschakelde reeks van punten voor, die een kromme lijn vormen. Zoo leerde DESCARTES de kromme lijnen door vergelijkingen voorstellen en legde hij den grondslag van het deel der wiskunde, dat thans ,,analytische meetkunde'' heet. Dat DESCARTES in het volle licht stelde, wat bij de [pag. 11] ouden alleen in aanleg nog slechts in het halfdonker verborgen lag en eenigermate door hun porismen werd vervangen, heeft de wiskunde een groote schrede vooruit gebracht. ,,Position and form" zegt de bekende CLERK-MAXWELL, ,,which were formerly supposed to be in the exclusive possession of geometers, were reduced by DESCARTES to submit to the rules of arithmetic by means of that ingenious scaffolding of coordinate-axes which he made the basis of his operations'' 4).
Niet alleen dat de methode van DESCARTES in menig opzicht een veelvermogend instrument bleek te zijn, boven de oudere methoden muntte zij uit door haar algemeenheid. Moest men vóór haar een eigenschap eener algemeene figuur aantoonen voor al de verschillende standen, die de deelen dier figuur ten opzichte van elkaar kunnen innemen, zij maakte het mogelijk door het behandelen van de algemeene vergelijking der figuur, het algemeene geval in zijn geheel te overzien. Zij leerde de kegelsneden, die men vroeger slechts onafhankelijk van elkaar beschouwen kon, door de behandeling van de algemeene vergelijking van den tweeden graad in hun onderling verband onafhankelijk van den kegel of van de wijze van ontstaan in het vlak afleiden.
Ongeveer 50 jaar later deed de wiskunde een zeer zeker niet minder belangrijke schrede voorwaarts, toen LEIBNITZ en NEWTON bijna gelijktijdig de grondslagen legden van de leer der oneindig kleinen, de tegenwoordige differentiaal- en integraalrekening. Deze ontdekking, die een uitvloeisel was van de nauwkeurige beschouwing der raaklijnen aan kromme lijnen, opende voor de theorie der kromme lijnen en de vraagstukken van maxima en minima een weg, die boven de oudere methode van CAVALIERI C. S. zoo ontzaggelijke voordeelen opleverde en zich met zulk een wonderbaar gemak op de verschillende astronomische en physische viaagstukken van dien tijd liet toepassen, dat zij -- zoo getuigt CHASLES -- bijna uitsluitend het onderwerp werd van de overpeinzing der beroemdste wiskundigen.
De beide ontdekkingen, coördinatenleer en fluxierekening, die ik daar juist besprak, werkten, welk een buitengewoon gunstigen invloed ze ook uitoefenden op den algemeenen ontwikkelingsgang der wiskunde, ongetwijfeld schadelijk in op de beoefening der meetkundige methode. Men meende -- en GAUSS zelfs spreekt dit nog herhaaldelijk [pag. 12] uit -- dat de meerdere voortreffelijkheid van de analytische methode boven de synthetische door de werken van EULER, LAGRANGE en LAPLACE voldoende was aangetoond om gerechtigd te zijn zich verder met de meetkunde niet in te laten. ,,Van dit oogenblik af aan'' zegt CHASLES -- en deze woorden, die met ongeveer hetzelfde recht van het tijdstip van elk der beide ontdekkingen kunnen gelden, motiveeren de klacht van dien schrijver, waarmee ik aanving -- ,,werden de meetkunde der ouden en de vruchtbare beschouwingen van PASCAL, DESARGUES, etc. eenvoudig verwaarloosd.'' Maar niet door allen. En wel het allerminst door onzen landgenoot HUYGENS, door NEWTON meermalen ,,summus Hugenius'', door LEIBNITZ de eerste wiskunstenaar zijner eeuw genoemd, die hoewel hij in de methode van DESCARTES doorkneed was, getrouw bleef aan de meetkundige beschouwingen der ouden, waarmede zijn vernuft menigmaal moeielijkheden wist te overwinnen, die naar de meening uan LEIBNITZ en J. BERNOUILLI niet dan door de leer der oneindig kleinen uit den weg te ruimen zouden zijn. Ook NEWTON zelf bedient zich gewoonlijk van de meetkundige methode, o.a. waar hij in zijne organische beschrijving der kegelsneden de voorlooper is der projectivische meetkunde. Eveneens LA HIRE, die bij de kegelsneden voor het eerst van pool en poollijn spreekt, en die waar hij de kegelsneden met behulp van zijn ,,droites formatrice et directrice'' uit den cirkel afleidt de voorlooper is van de transformatiemethoden van deze eeuw. En eindelijk nog anderen als LE POIVRE, HALLEY, MACLAURIN, SIMSON, STEWART, LAMBERT, enz.
Zoo zijn we gekomen tot de mannen, die in het begin van deze eeuw de meetkundige methode weer op den voorgrond gebracht en daardoor de vorming der nieuwe meetkunde in de laatste helft ervan mogelijk gemaakt hebben. Onder deze moet ik vooreerst MONGE, den ontwerper der ,,beschrijvende meetkunde'' noemen. Deze wetenschap, die er eerst op aangelegd was in sommige behoeften der beeldende kunsten te voorzien, stelt zich zoo als bekend is ten doel, de lichamen met hun drie afmetingen in het platte vlak met zijn twee afmetingen af te beelden en omgekeerd uit deze afbeelding tot de onderlinge ligging van de verschillende deelen ten opzichte van elkaar en tot den vorm dier deelen te besluiten. Natuurlijk hadden de bouwmeesters ten allen tijde reeds het door hen te scheppen kunstwerk eerst in het platte vlak afgeteekend en zijn verscheidene schilderwerken der oudheid overgeblevene zichtbare teekenen van vroeger reeds op het gebied der perspectief [pag. 13] voorhandene kennis; maar MONGE heeft de hulpmiddelen, waarvan men zich vóór hem bediende, door het op den voorgrond stellen van zijn twee onderling loodrechte projectievlakken in zijne ,,Geometrie descriptive'' op een vasten grondslag doen steunen en ze tot een systematisch geordend geheel vereenigd. En met bewondering moet men erkennen, dat de oplossing van verschillende vraagstukken van een zoo groote scherpzinnigheid in het kiezen der methode blijk geeft, dat zij nog altijd als meesterstukken te beschouwen zijn.
Ongetwijfeld heeft de beschrijvende meetkunde veel tot ontwikkeling der nieuwere meetkundige methoden bijgedragen c). Eerst niet rechtstreeks, door dat zij de analytische meetkunde uitstekende diensten bewees bij de beschouwing der figuren in de ruimte en zij de studie van de oppervlakken van den tweeden graad -- eerst in 1748 door EULER uit de algemeene vergelijking afgeleid -- gemakkelijk maakte. Maar vooral rechtstreeks, door dat ze de wegbereider geweest is van de verschillende transformatiemethoden van den tegenwoordigen tijd. En reeds bij MONGE zelve vindt men sporen van die eigenaardige methode, waartbij eigenschappen van vlakke figuren uit ruimtefiguren worden afgeleid en waarvan de bekende stelling der perspectivisch liggende driehoeken, die van PAPPUS afstamt, en de stelling omtrent de merkwaardige ligging van de zes gelijkvormigheidspunten van drie cirkels -- waaruit dan weer die van de twaalf gelijkvormigheidspunten van vier bollen volgt -- eenvoudige voorbeelden zijn. Verder is MONGE een der eersten geweest, die aangegeven heeft, dat de eigenschappen eener figuur hun recht van bestaan kunnen blijven behouden, ook al worden sommige deelen der figuur onbestaanbaar; in welke richting zich ook CARNOT in zijn ,,Géométrie de position'' bewreegt, waar hij uitvoerig over den aard der negatieve en onbestaanbare grootheden handelt en daarna eenige met de theorie der transversalen in verband staande eigenschappen van krommen en oppervlakken ontwikkelt.
Met voorbijgang van DUPIN, die in zijn ,,Développements de Gémétrie'' met behulp van zijne karakteristieke kromme een meetkundige theorie van de kromming der oppervlakken op de kegelsnedeu baseerde, vinden we in J. V. PONCELET een man, die met buitengewoon veel vindingskracht en toewijding de meetkundige met methode heeft beoefend. Nadat hij in 1812 de herstelling van ons in 1809 door de Engelschen vernielde fort Rammekens geleid en 17 Juni van dat jaar bevel gekregen had zich bij het Fransche leger in Rusland te voegen, werd hij 18 Nov. [pag. 14] na de terugtocht uit Moskou te Krasnoe door de Russen krijgsgevangen gemaakt, en den 19den naar Saratoff aan de Wolga gozonden, waar hij in Maart 1813 uitgeput aankwam. Terwijl zijne medgezellen het zich in de gevangenschap daar dragelijk maakten door aan de kinderen der Russen les te geven, schreef PONCELET zonder enig hulpmiddel de voorbereidende studien voor zijn hoofdwerk: ,,Traité des propriétés projectives des figures'', dat in 1822 het licht zag en geheel op meetkundige methoden berust.
Men weet dat de eigenschappen der figuren verdeeld worden in graphische, die op onderlinge ligging der verschillende deelen betrekking hebben, en in metrische, die waarbij de grootte van lijnen en hoeken op den voorgrond treedt; de graphische hebben uit hun aard de eigenschap, dat zij bij evenwijdige zoowel als centrale projectie behouden blijven, dat zij m.a.w. projectief zijn; bij de metrischre is dit in het algemeen niet het geval, al kan het somtijds ook voorkomen. Nu heeft PONCELET een eenvoudig middel aan de hand gedaan, een bepaalde reeks van metrische en tevens projectieve eigenschappen eener figuur op te sporen. En daar nu de kegelsneden volgens de bepaling reeds door APOLLONIUS van deze krommen gegeven de centrale projectie zijn van een cirkel, was PONCELET door zijn eenvoudige beschouwing in staat met zeer weinig moeite een menigte van merkwaardige stellingen omtrent figuren, die uit rechte lijnen en cirkels bestaan, op kegelsneden over te dragen. Bleek het uit zijne in 1862 en 1864 onder den naam van ,,Applications d'Analyse et de Géométrie'' verschenene doch reeds in 1813 neergeschrevene studie, die aan zijn hoofdwerk vooraf ging, dat PONCELET zich bij vele zijner ontdekkingen eerst door de analyse had laten leiden, toch blijft zijn meetkundig hoofdwerk van onberekenbare waarde.
Van dit werk, waaraan PONCELET later eenige afzonderijke verhandelingen toevoegde, die bij de nieuwe uitgaaf in 1866 in een tweede deel vereenigd zijn, moet ik nog enkele algemeene beginselen bespreken. Vooreerst heeft PONCELET -- en hierover moet hij een kwaadwilligen aanval van CAUCHY verduren -- de wet der continuiteit zoo men al niet zeggen mag wiskundig bewezen dan toch breedvoerig beredeneerd en o.a. aangetoond, dat ook bij twee kegelsneden, wier vier snijpunten onbestaanbaar zijn, twee bestaanbare lijnen zijn aan te wijzen die de krommen in dezelfde onbestaanbare punten snijden; deze lijnen noemde hij ,,sécantes idéales communes.'' Verder is PONCELET de schepper van de theorie der weerkeerige poolfiguren, ,,des polaires reciproques'', een [pag. 15] uiting van de wet der dualiteit, die in meer algemeenen vorm met behulp van figuren op den bol reeds door GERGONNE was aangewezen; terwijl ook BRIANCHON, bij wien PONCELET meermalen ter school gaat, reeds zijne dualistische omkeering van het theorema van PASCAL gegeven had. Moeten we dus GERGONNE beschouwen als de ontdekker der dualiteit, die in de nieuwe meetkunde zulk een eerste plaats inneemt, zoo blijft aan PONCELET de eer door zijn wederkeerige poolfiguren te hebben doen gevoelen, wat men met het beginsel der dualiteit vermag. Echter wachtte deze theorie toen nog op een uitbreiding op de ruimte. Gaan we verder de theorie der homologie, een onderdeel der weldra te besprekene collineatie met stilzwijgen voorbij, dan blijft er in hoofdzaak nog te vermelden, dat PONCELET de door MACLAURIN ontworpene theorie der ,,middelpunten van gemiddelden afstand'' verder ontwikkelde d).
Zonder twijfel heeft PONCELET in zijn hoofdwerk en in andere geschriften, die ik met stilzwijgen moet voorbijgaan, zeer veel tot de ontwikkeling der meetkunde bijgedragen. Dat niet alle wiskunstenaars echter zijn werken even onbevoordeeld ontvingen, blijkt o.a. uit een schrijven van DUPIN, waarin deze PONCELET belooft te zullen trachten zijn werk bekend te maken bij de beoefenaars der analytische meetkunde, ,,qui se garderont bien de vous lire, parce qu'ils ne lisent qu'eux seuls.''
Maar ik moet deze beschouwing omtrent PONCELET eindigen; laat mij dit doen, zeer geachte hoorders, met enkele woorden uit de rede die DUMAS in 1867 bij het graf van dezen wiskunstenaar hield: ,,En jetant un coup d'oeil sur sa noble vie . . . on sent que PONCELET appartenait à cette race héroique pour qui le travail est la vie. Un mal sans remède l'avait condamné, des douleurs sans relâche et sans termes troublaient ses nuits et ses jours, les moments de calme lui étaient comptés avec une sévère parcimonie; cependant sa pensée, toujours ferme, toujours lucide, resaisissant après chaque souffrance le fil d'un raisonnement suspendu et d'une recherche interrompue, a poursuivi pendant des années entières des soIutions, des rédactions, des publications, qu'on prendrait, à les lire, pour les efforts heureux et généreux d'une jeunesse inspirée, calme et confiante.'' e)

Na dit kort historisch overzicht ga ik tot de projectivische meetkunde zelve over; Men zou deze wetenschap kunnen bepalen als ,,de meetkundige [pag. 16] behandeling der zes grondvormen en der hoogere organismen, die uit deze ontstaan.'' De zes grondvormen zijn de eenvondigste combinaties van de drie elementen, punt, lijn, vlak; zij worden naar gelang van het aantal soorten hunner elementen in drie groepen verdeeld. De eerste groep bevat de drie grondvormen met eensoortige elementen: a. de puntreeks (alle punten op een lijn), b. de vlakkenbundel (alle vlakken door een lijn), c. de vlakke stralenbundel (alle lijnen in een vlak door een punt); de puntreeks heeft punten, de vlakkenbundel vlakken, de vlakke stralenbundel lijnen tot elementen. De tweede groep bevat de twee grondvormen met twee soorten van elementen, d. het vlakke stelsel (alle punten en lijnen in een vlak), e. de stralenbundel in de ruimte (alle vlakken en lijnen door een punt); het vlakke stelsel heeft punten en lijnen, de stralenbundel in de ruimte vlakken en lijnen tot elementen. En de derde groep, bevat den eenigen grondvorm met drie soorten van elementen, f. het ruimtestelsel (alle punten, lijnen en vlakken in de ruimte).
Uit dit eenvoudig materiaal, deze zes ,,Grundgebilde'' vormt nu een eerste combinatie de ,,Elementargebilde'', de grondstelsels van den tweeden graad. f). Daartoe brengt men in het vlak twee gelijknamige grondvormen van de eerste groep, b.v. twee puntreeksen of twee vlakke stralenbundels, zoodanig met elkaar in verbinding, dat met een bepaald element van den eenen een bepaald element van den anderen overeenstemt. Hoe geschiedt dit? Laat mij trachten, zeer geachte hoorders, u dit met een enkel woord nader op te helderen.
Op een tafel denk ik mij een maatstaf neergelegd, die bij zijn deelpunten de cijfers 0, 1, 2, 3 . . . draagt. Deze deelpunten verbind ik door draden met een bepaald punt A van de tafel en bij elken draad plaats ik het cijfer van het deelpunt waarbij hij behoort. Zoo ontstaat een stralenbundel met van elkaar onderscheiden stralen, die ik den stralenbundel A zal noemen. Doe ik nu geheel hetzelfde met denzelfden maatstaf maar voor een ander punt B van de tafel, bijv. een punt aan de andere zij van den maatstaf gelegen, dan ontstaat er een tweede stralenbundel met van elkaar onderscheiden stralen, die ik den stralenbundel B noem. Nu kan ik beide stralenbundels A en B met elkaar in verbinding brengen, door die stralen van beide als met elkaar overeenkomende stralen aan te merken, die hetzelfde cijfer dragen. Hierdoor ontstaan dus twee stralenbundels, die zoo met elkaar in verbinding staan, dat met een straal van den eenen een bepaalden straal van den [pag. 17] anderen overeenkomt en omgekeerd. In ons geval hebben de stralenbundels echter ten opzichte van elkaar nog een bizonderen stand, waarvan de overeenkomst der stralen één aan één onafhankelijk is. Volgens de wijze van ontstaan komen namelijk de met elkaar overeenstemmende stralen in de punten eener rechte lijn -- in ons geval de maatstaf -- samen. Had ik na het samenstellen van den bundel A voor den tweeden bundel B een maatstaf gebruikt volkomen gelijk aan den eersten maar ergens anders op de tafel neergelegd, dan zouden er twee stralenbundels A en B ontstaan zijn, die wel de overeenkomst der stralen één aan één vertoonden, maar waarbij de overeenkomstige paren stralen snijpunten opleverden, die niet op, een rechte maar dp een kromme lijn gelegen waren. Deze kromme is juist een kegelsnee. Noemt men nu de overeenkomst der stralen één aan één een ,,projectivische'' overeenkomst en den bizonderen stand der beide stralenbundels in het eerste geval een ,,perspectivische'' ligging, dan vindt men dat twee projectief met elkaar overeenkomende stralenbundels een kegelsnee doen ontstaan, wanneer ze niet perspectivisch gelegen zijn. Zoo ontstaat de kegelsnee uit twee projectief met elkaar overeenkomende, korter gezegd uit twee ,,projectivische'' stralenbundels. En evenzoo omhullen -- maar daarover zal ik niet uitwijden -- de verbindingslijnen van de overeenkomstige punten van twee projectivische puntreeksen in het zelfde vlak een kegelsnee, als al deze lijnen niet door een punt gaan.
De voortbrenging der kegelsneden door middel van projectivische stralenbundels of van projectivische puntreeksen is het eerst aangewezen door JACOB STEINER in 1832 in zijn werk ,,Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander,'' dat op vijf deelen werd aangelegd, maar waarvan slechts een deel is verschenen. Dit deel bestaat uit drie hoofdstukken met een aanhangsel; het eerste hoofdstuk beschouwt de puntreeks en den stralenbundel in het vlak, het tweede bevat het projectief overeenkomen dier grondvormen met elkaar in de ruimte, het derde bevat de voortbrenging der kegelsneden en der met deze gelijkwaardige vormingen, de hyperboloïde met een blad en de hyperbolische paraboloïde; terwijl het aanhangsel bizondere gevallen behandelt en verwante vraagstukken oplost en opgeeft. Wat STEINER van plan was in de andere deelen te behandelen, heeft hij in hoofdzaak bij zijn academische lessen te Berlijn voorgedragen; ten deele zijn deze voor ons bewaard gebleven in het na STEINER'S dood verschenen werk ,,Vorlesungen über synthetische Geometrie,'' waarvan [pag. 18] het eerste deel ,,Die Theorie der Kegelschnitte'' door GEISER, het tweede deel ,,Die Theorie der Kegelschnitte gestützt auf projectivische Eigenschaften" door SCHRÖTER bewerkt is en in de verhandelingen van SEYDEWITZ, die, zooals GEISER zegt: ,,wie grüne Oasen aus der unendlichen Sandwuste des Grunert'schen Archivs auftauchen.''
STEINER'S beeld is in 1874 door zijn neef, den bovengenoemden GEISER, geteekend 5). Hij was in1796 in Zwitserland geboren en van boeren afkomst. Op zijn veertiende jaar eerst leerde hij schrijven. Zijn eerste opleiding genoot hij in het bekende opvoedingsgesticht van Pestalozzi. Van 1818 tot 1821 was hij privaatdocent te Heidelberg onder Professor SCHWEINS, wiens naam hij later op de door dezen onderwezene meetkunde overbracht; van daar trok hij naar Berlijn. Hier genoot STEINER weldra de bescherming van den bekenden WILLHELM VON HUMBOLDT, wien hij later uit dankbaarheid zijn hoofdwerk opdroeg; daar leerde hij CRELLE en den bekenden wiskundige ABEL kennen. Zoo groot was de naam, dien STEINER zich toen reeds op het gebied der meetkunde verworven had, dat CRELLE, bouwende op de scheppingskracht van STEINER en ABEL, den moed had zijn later zoo beroemd geworden Journaal te openen, ,,und oft,'' zegt GEISER, ,,troff man ADAM LUDWIG CRELLE mit seinen Schutzlingen auf Spaziergangen so dass sich die Vertrauten zum grossen Aerger STEINERS, der allerdings bei diesem Scherze slecht weg kam, zuriefen: Dort geht Adam mit seinen beiden Söhnen Kaïn und Abel." In 1834 werd STEINER, vooral door den invloed van JACOBI, die toen reeds van Berlijn naar Koningsbergen verplaatst was, buitengewoon hoogleeraar aan de universiteit te Berlijn, waar hij in 1865 stierf.
Door de tallooze ontdekkingen van STEINER op allerlei wiskundig gebied mag deze wiskunstenaar zonder twijfel in zijn richting de eerste van zijn tijd heeten. Zijn studien g) dragen altijd het kenmerk van oorspronkelijk te zijn en doen den lezer steeds verwonderd staan hoe het mogelijk is met zulke geringe middelen zulke ontzaggelijk groote uitkomsten te verkrijgen. Wanneer zijne leerlingen hun meetkundige nooten met stoommachines wilden kraken, riep hij hun toe: ,,Als ge niet onschuldig wordt als de kinderen, zult ge het hemelrijk niet binnen gaan.''
In de werken van STEINER en zijn vertolkers GEISER en SCHRÖTER [pag. 19] wordt het projectief zijn van het anharmonisch rapport stelkundig bewezen. Deze fout in de oogen der ,,puristen,'' die geen enkel stelkundig hulpmiddel in de meetkunde gebruikt willen zien, komt niet voor in het in 1847 verschenen werk van VON STAUDT, getiteld: ,,Die Geometrie der Lage,'' dat in 1860 gevolgd is door de ,,Beiträge zur Geometrie der Lage,'' waarin de onbestaanbare grootheden in de beschouwing opgenomen zijn. Dit werk heeft echter langen tijd niet de waardeering gevonden, die het verdient; het is dan ook door geen enkele figuur opgehelderd en in een stijl geschreven, die door karigheid van woorden onduidelijk wordt. Het is eerst op den rechten prijs geschat na de verschijning van REYE'S ,,Geometrie der Lage'' in 1869, waaraan het geheel ten grondslag ligt; naar mijn oordeel wijst dit werk, dat in zijn onlangs verschenen tweede druk belangrijk vermeerderd is, den beginner den geleidelijksten weg aan in de projectivische meetkunde en voert het hem in een betrekkelijk korten tijd midden in de theoriën van de verste strekking van den tegenwoordigen tijd. Het munt uit door duidelijkheid en aangenaamheid van vorm. Dit laatste kan ook beweerd worden van het ,,Lehrbuch der neueren Geometrie'' van STAUDIGL, dat in 1870 in Weenen verscheen.
In Frankrijk werd de synthetische voortbrenging der kegelsneden meer algemeen bekend gemaakt door CHASLES. Deze reeds meer genoemde wiskundige was in 1793 te Epernon geboren. Hij werd in 1812 leerling der nog zoo jeugdige polytechnische school te Parijs en debuteerde daar met het meetkundig bewijs van de dubbele voortbrenging der hyperboloïde met een blad, welk bewijs onmiddellijk door zijn leeraren in hun cursus werd opgenomen. Tusschen deze eerste openbaring van zijn vernuft en zijn laatste mededeeling aan de Fransche academie liggen 68 jaren van studie, die voor de wiskundige wetenschappen steeds van groote beteekenis zullen blijven h). Bij voorkeur beweegt CHASLES zich op het gebied der meetkunde en dat van hare geschiedenis. En gaat hij eens tot werktuigkundige onderwerpen over, dan bewijst hij daar wat men met eenvoudige meetkundige beschouwingen vermag, getuige zijne voorstelling van de elementaire beweging van een lichaam en zijne prachtige theorema's over de aantrekking eener ellipsoïde. Zijn geschiedkundige werken, het bekende ,,Aperçu historique,'' waaruit ik bij het voorgaande veel geput heb, en het vervolg ,,Rapport sur les progrès de la géométrie'' zijn meesterstukken van wetenschappelijke behandeling. En van zijne meetkundige werken moet ik hier afzonderlijk spreken.
[pag. 20] De ,,Géométrie supérieure,'' dat in de meeste opzichten een superieur werk is, legt het anharmonisch rapport aan de aan de beschouwingen ten grondslag; bovendien worden bijna alle resultaten uit vergelijkingen afgeleid en is deze schepping, al ontbreekt ook het coördinatenstelsel, dus in dit opzicht eerder een nieuwe analytische dan wel een nieuwe synthetische meetkunde te noemen; als een zuiver meetkundig werk staat het beneden de Duitsche die ik heb genoemd. In een vervolg, getiteld: ,,Traité des sections coniques,'' waarvan slechts een eerste deel verschenen is, behandelt CHASLES de kegelsneden, die in zijn ,,Géométrie supérieure'' alleen in hun ontstaan uit projectivische puntreeksen en stralenbundels geschetst zijn; hierbij neemt hij de steliing, dat het anharmonisch rapport van vier punten eener kegelsnee aan dat der vier raaklijnen in die punten gelijk is, tot uitgangspunt. Zijn latere geschriften ga ik thans met stilzwijgen voorbij, om er later nog even op terug te komen.
Blijkt uit deze korte beschouwing dat CHASLES' hoogere meetkunde een wel eenigzins stelkundig karakter draagt i), daarmee wil ik volstrekt niet beweren, dat CHASLES als meetkundige ,,pur sang'' onder STEINER gesteld moet worden. Steekt STEINER in enkele opzichten boven CHASLES uit, zeker was CHASLES meer algemeen ontwikkeld. Maar de vergelijking tusschen deze beide pionniers der wetenschap mag ik niet voortzetten, eenvoudig wijl ik mij volkomen incompetent moet verklaren ze te leveren. Zegt GEISER in 1874 van STEINER: ,,Mehr als zehn Jahre liegt er bereits in heimlicher Erde begraben, das Andenken an seine eigenartige Persönlichkeit beginnt allmählig im Gedächtniss seiner Zeitgenossen zu verwachsen und noch hat sich keine Freundeshand gefunden, sein Leben und Werken zu beschreiben'' en geeft hij met de vraag ,,wo wollte man z. B. den Kamm hernehmen um JACOB STEINER'S wilden Haarwuchs in akademische Formen zu kräuseln,'' de weinige geschiktheid van STEINER om voor heiligenbeeld te poseeren als reden hiervan op, dan geloof ik dat hij de ware reden voorbij ziet; dit onrecht aan de nagedachtenis van JACOB STEINER gepleegd zal wel hierdoor veroorzaakt zijn geworden, dat er zoo weinig wiskundigen zich sterk genoeg gevoelen de werken van STEINER te overzien. En hoe zou men dan van mij kunnen verwachten, dat ik ook maar eenigzins het nog veel moeilijker werk verrichtte STEINER en CHASLES in hun verdienste tegenover elkander te wegen?
Een van de hoofdkenmerken der nieuwe meetkunde is hare bizondere [pag. 21] eenvoudigheid en de geringe hoeveelheid voorbereidende kennis, die zij bij hare beoefenaars noodig heeft te onderstellen. Het is mijne vaste meening, dat iemand, die zich een goede voorstelling maken kan van de drie elementen, punt, lijn en vlak, voldoende is toegerust om onder hare leiding -- als het ware met een enkelen stap -- gevoerd te worden midden in de theorie der kegelsneden. Op de vraag, die PTOLEMAEUS SOTER volgens ARCHIMEDES eens aan EUCLIDES gedaan moet hebben, of er tot het vinden der meetkundige waarheden geen, kortere weg was in te slaan, dan die door de elementen heen leidt, zou EUCLIDEs geantwoord hebben, dat er voor koningen in de meetkunde geen rechte weg bestond. Met Betrekking tot verscheidene onderwerpen kan echter de projectivische meetkunde voor deze koninklijken weg gelden. Zoo zegt STEINER zelf: ,,Wenn man bedenkt, mit welchem Scharfsinne die Mathematiker in äterer und neuerer Zeit die Kegelschnitte erforscht, und welche fast zahllose Menge von Eigenschaften sie an denselben entdeckt haben, so ist er in der That auffallend, dass die vorgenannten Eigenschaften'' -- namelijk hun ontstaan uit projectivische grondstelsels -- ,,so lange verborgen bleiben konnten, da doch aus ihnen, wie sich zeigen wird, fast alle bekannten Eigenshaften (nebst vielen neuen) wie aus einem Gusse hervorgehen, etc.''. Werkelijk zijn bijv. de stellingen van PASCAL en BRIANCHON, die anders -- 't zij men ze uit den cirkel of uit de analytische meetkunde afleidt -- een vrij lang bewijs behoeven, hier slechts de eerste gevolgen van de wijze van ontstaan der kegelsneden.
Maar moet dan, zoo vraagt men, de projectivische meetkunde niet in de plaats treden van de euclidische? Zij die dit verlangen -- en ze zijn er -- zijn m. i. ,,plus royalist que les rois,'' de stichters van deze wetenschap, die ik boven heb aangewezen en behooren met betrekking tot den traditioneelen onderwijsgang tot de intransigenten. De vormende waarde der wetenschap geheel buiten beschouwing latende staat het toch vast, dat de eerste kundigheden, waaraan men op wiskundig terrein in het dagelijksch leven behoefte heeft, niet behooren tot de leer der kegelsneden en wat verder door de projectivische meetkunde wordt behandeld, maar betrekking hebben op lengte van lijnen, oppervlakte van vlakke figuren en inhouden van lichamen; welke graphische begrippen de nieuwe meetkunde in engeren zin van hare beschouwingen uitsluit, terwijl zij juist het hoofdonderwerp van beschouwing uitmaken van onze lagere meetkunde. Een andere vraag is het echter of het niet wenschelijk ware de eerste beginselen der projectivische meetkunde bij het middelbaar [pag. 22] onderwijs in te lijven, daar men in natuurkunde, kosmografie en werktuigkunde groote behoefte heeft aan eenige kennis van de kegesneden. Maar deze vraag valt thans buiten mijne beschouwing. Evenmin zal ik mij thans bezighouden met het onderzoek of de nieuwe meetkunde niet het deel der wiskundige wetenschap is, waarvan de beoefening als gymnastiek van den geest het meest is aan te bevelen.

Is het mijn streven geweest, zeer geachte toehoorders, u door het overzicht van de wijze, waarop de kegelsneden door de ouden, door DESCARTES en door de nieuwere meetkundigen worden beschouwd, een denkbeeld te geven van het wezen der beide methoden, die als de stelkundige en de meetkundige of als de analytische en de synthetische tegenover elkaar worden gesteld, laat mij thans trachten met een enkel woord hun onderlinge verhouding te schetsen. Kort na haar ontstaan stond de nieuwere methode geheel tegenover en boven de analytische. Was zij door hare scheppers STEINER en CHASLES tot een volledig stelsel opgebouwd, dat geheel onafhankelijk is van de analytische methode, haar resultaten reikten ook verder dan die harer oudere zuster. Zoo getuigt HESSE in 1863 nog bij den dood van STEINER: ,,Von da ab (1850) datiren seine zahlreichsten Entdeckungen, die weit über die Grenzen hinausgehen welche seine Zeitgenossen sich gesteckt haben. Sie sind gleich den Fermat'schen Sätzen, für die Mit- und Nachwelt Rätsel.'' Werkelijk was de nieuwere methode toen ter tijde de analytische ver vooruit en stelde zij deze geheel in de schaduw. Zij schiep zich zelfs meer algemeene coördinatenstelsels dan die welke de analytische meetkunde gebruikte en dreigde deze andere richting als onderdeel in zich op te nemen. Voor welken ondergang de analytische methode echter voornamelijk door PLÜCKER is bewaard. Want nadat MOEBIUS in zijn bekend werk ,,Der barycentrische Calcul'' zijn homogeene barycentrische coördinaten ontwikkeld had, gaf PLÜCKER in zijn ,,System der analytischen Geometrie'' (1835), behalve zijn homogeene verhoudingscoördinaten zijn eenvoudige vinding om de vergelijking eener rechte lijn door een enkele letter voor te stellen, waardoor het de analytische meetkunde mogelijk werd den stralenbundel in het vlak door een vergelijking met een parameter aan te duiden en de organische voortbrenging der kegelsneden over te nemen. Zoo was zij voldoende voorbereid tot het maken van die snelle vorderingen, waartoe de algebra der lineaire transformaties haar later gebracht heeft. Dat de analytische methode ook in dit opzicht [pag. 23] nog veel van de synthetische kon leeren wordt door HESSE erkend als hij zegt ,,Die Steiner'schen Sätze bleiben für den Analytiker ein Wegweiser zur Bildung und Erforschung von Functionen die in der höhern Algebra von grosser Bedeutung sind.'' En thans levert de analyse met haar invarianten en covarianten geheel met de door de synthese verkregene resultaten gelijkwaardige uitkomsten. Zoo zegt F. KLEIN in zijne ,,Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen,'' die in 1872 verschenen: ,,Den Unterschied zwischen neuerer Synthese und neuerer analytischer Geometrie hat man zur Zeit nicht als einen wesentlichen zu betrachten, da der gedankliche Inhalt sowohl als die Schlussweise sich auf beiden Seiten allmähllich ganz ähnlich gestaltet haben.'' Werkelijk gebeurt het thans meermalen, dat een meetkundige en een stelkundige behandeling van hetzelfde onderwerp tegelijkertijd of althans onafhankelijk van elkaar het licht zien. Als een voorbeeld hiervan noem ik de covariante systemen van kegelsneden, die bijna op hetzelfde oogenblik stelkundig behandeld zijn door STEPHEN SMITH en meetkundig door PICQUET; door REYE zijn deze in een meer in zijn stelsel passenden vorm in zijn ,,Geometrie der Lage'' opgenomen onder de reeks van vraagstukken over ,,Polvierecke und Polvierseite.''
Maar heeft de synthetische methode gegeven, zij heeft ook op hare beurt veel aan de analytische ontvangen en aan haar o.a. de beteekenis van de onbestaanbare meetkundige grootheden ontleend. Zoo komt aan CHASLES de eer toe door invoering van de onbestaanbare cirkelpunten in het oneindige in het vlak (en van den onbestaanbaren cirkel in het oneindige in de ruimte) de metrische begrippen ,,hoek'' en ,,afstand'' tot anharmonische rapporten omgevormd in de nieuwe meetkunde ingevoerd en deze daardoor van de beperking verlost te hebben, dat zij zich alleen met graphische begrippen bezig hield; hierdoor is de vlakke meetkunde geworden de behandeling van de ligging der figuren ten opzichte van de twee onbestaanbare cirkelpunten in het oneindige j).
Neemt men in aanmerking, dat de beide methoden steeds met elkaar hebben gewedijverd, dan kan het niet anders of de verhouding tusschen hare beoefenaars moet menigmaal gespannen geweest zijn. Menigmaal dan ook waren de stelkundigen wat te hard in hun oordeel wanneer zij beweerden dat de nieuwe meetkunde haar gemis aan algemeenheid door een onbeperkt gebruik van het beginsel der continuïteit trachtte goed te maken; menigmaal hechtten de synthetici te veel gewicht aan hun grief tegen de analytische methode, dat deze niet altijd in staat is [pag. 24] meetkundig rekenschap te geven van de beteekenis der midden in de stelkundige bewerking verkregene vergelijkingen; welk bezwaar tegen de analytische methode door STEINER kernachtig is uitgedrukt met de woorden: ,,Die Analyse zieht Einem die Schlafkappe über den Kopf; bei uns heisst es, Augen aufsperren, dann sieht man die Sachen auch.'' Maar moest de wedstrijd tusschen beide richtingen onvermijdelijk tot kleine onaangenaamheden leiden, zeker is het, dat beide richtingen aan hem haar ontwikkeling te danken hebben. Zeer veel hebben beide methoden van elkaar geleerd door in elkaars wezen door te dringen en veel van elkaar over te nemen. Ook hier maakte eendracht macht.
Met een kort woord beschouw ik thans enkele andere onderwerpen der projectivische meetkunde.

Als ik een vlak landschap voor mij zie en tusschen mijn oog en dit landschap een doorschijnend vlak, bijv. een glasruit, plaats, dan kan ik van dit landschap een perspectivisch beeld op de ruit ontwerpen. Met ieder punt van het landschap komt dan een bepaald punt der ruit, met iedere lijn van het landschap komt dan een bepaalde lijn der ruit overeen. Verplaats ik mij nu ten opzichte van de ruit en breng ik daarna het landschap ten tweeden male op dezelfde ruit in perspectief, maar nu bijv. in het blauw, terwijl ik het eerst in het rood deed, dan zullen er op de ruit twee figuren zijn ontstaan, een roode en een blauwe, die nu zoo met elkaar overeenkomen, dat met een punt van de roode een bepaald punt van de blauwe, met een lijn van de roode een bepaalde lijn van de blauwe overeenkomt. Deze overeenkomst in het vlak noemt men collineatie of homografie; zij is gemakkelijk op de ruimte uit te breiden. In het vlak heeft men drie, in de ruimte vier punten, die met hun overeenkomstigen samenvallen. Stelkundig komt met deze homografie een lineaire coördinatentransformatie overeen, die de eenvoudigste gedaante aanneemt, wanneer men de drie of vier punten tot hoekpunten van den coördinatendriehoek of van het coördinatentetraeder aanneemt. Nadat PONCELET een harer bizondere gevallen, de homologie, beschreven had, is zij in 1827 door MOEBIUS in zijn beroemd werk ,,Der barycentrische Calcul'' uit met het zwaartepunt in verband staande beschouwingen ontwikkeld en later door STEINER, CHASLES en in haar algemeenste opvatting door STURM behandeld k).
Tegenover deze collinatie staat de reciprociteit. Twee figuren in het [pag. 25] vlak zijn reciprook, waanneer met een punt van de eerste een lijnn van de tweede en met een lijn van de eerste een punt van de tweede overeenkomt. Zij laat zich gemakkelijk op de ruimte uitbreiden, maar dan komt met een punt een vlak, met een lyn een lijn en met een vlak een punt overeen. Deze overeenkomst is in haar algemeenen vorm door STEINER aangewezen; hierbij beslechtte hij den strijd tusschen GERGONNE'S dualisme en PONCELET'S weerkeerige poollijnen-theorie ten voordeele van den eerste. Door PLÜCKER'S Ontdekking van de lijncoördinaten in het vlak is zij onder den naam van dualiteit in de analytische meetkunde opgenomen als een eenvoudig gevolg hiervan, dat een homogeene vergelijking van den eersten gaad in drie veranderlijken een lijn voorstelt in puntcoördinaten en een punt in lijncoördinaten. Zij is in de nieuwe meetkunde eenvoudig een gevolg van voorafgaande dualistische beschouwingen l).
Zijn de regelrechte oppervlakken van den tweeden graad als met de kegelsneden gelijkwaardige scheppingen, als ,,Elementargebilde'', te beschouwen, dit is met de oppervlakken die geen rechte lijnen bevatten niet het geval. Deze oppervlakken worden voortgebracht door de reciproke overeenkomst van twee stralenbudels in de ruimte die een verschillenden top hebben, of van twee vlakke stelsels die niet in het zelfde vlak gelegen zijn; in het eerste geval is het oppervlak de verzamelplaats van een reeks snijpunten, in het tweede wordt het door een reeks van raakvlakken voortgebracht. Deze beide beschouwingswijzen staan in de ruimte weer dualistisch tegenover elkaar.
Een der aantrekkelijkste onderwerpen der nieuwere meetkunde is de ruimtekromme van den derden graad. Komen twee stralenbundels in de ruimte projectief met elkaar overeen, dan zullen twee met elkaar overeenkomende stralen elkaar in het algemeen niet snijden. De snijpunten der overeenkomstige stralenparen, die dit wel doen, zullen echter een kromme vormen, de bedoelde ruimtekromme van den derden graad. Deze kromme die, omdat ze in hare veelvuldige eigenschappen zooveel overeenkomst met de kegelsneden vertoont, de ,,kegelsnee der ruimte'' is genoemd, is een onderwerp van studie geweest van verscheidene wiskundigen als MOEBIUS, CAYLEY, CHASLES, SEYDEWITZ die haar classificeerde, CREMONA, VON STAUDT, REYE, STURM enz. m). Vooal op het gebied der ruimtekrommen heeft de nieuwe meetkunde veel boven de ananalytische methode vooruit; wijl de ruimtekrommen grootendeels niet door vergelijkingen zijn voor te stellen, is de meetkundige methode hier bijna alleenheerscheres. [pag. 26]
Volgens GRASSMANN is de meetkundige plaats van het snijpunt van de overeenkomstige vlakken van drie projectivische stralenbundels in de ruimte een oppervlak van den derden graad. Brengt men nu deze onderling projectivische stralenbundels reciprook met een vlak stelsel in verband, dan komt met elk punt van het oppervlak een punt van het vlak overeen en is het oppervlak van den derden graad ,,eindeutig'' op het vlak afgebeeld. Deze overeenkomst voert tot de kennis van de rechte en kromme lijnen op het oppervlak. Gemakkelijk komt men langs dezen weg tot de 27 rechte lijnen die op dit oppervlak liggen en vindt men hoe ze gelegen zijn. Zoo komt men tot de ,,dubbelzessen'' van SCHÄFLI en verscheidene der belangrijkste uitkomsten door STEINER, SYLVESTER, CREMONA en STURM omtrent dit oppervlak verkregen n).

Thans nog een enkel woord over de nieuwste richting der meetkundige beschouwingen, de ,,meetkunde van het aantal'', een wetenschap die haar oorsprong heeft in de werken van CHASLES o), die thans vertegenwoordigd wordt door ZEUTHEN, HALPHEN, STURM, MAILLARD, FOURET, HIRST en systematisch ontwikkeld is door SCHUBERT uit Hamburg in zijn ,,Kalkul der abzählenden Geometrie'', dat in 1879 verscheen. Een historisch overzicht der kegelsneden moet iets van haar meedeelen. Zij rekent met voorwaarden en stelt die zoodanig door symbolen voor, dat het teeken terzelfdertijd de voorwaarde en het aantal der beschouwde individuen, dat aan die voorwaarde voldoet, aanwijst. Als een der bewijsgronden, waarvan zij zich met voorliefde bedient mag ik hier de ,,wet van het behoud van het aantal'' noemen. Volgens dit beginsel zal een gevonden aantal, als het niet oneindig wordt, onveranderd blijven, wanneer men de meetkundige grootheden waarop het betrekking heeft een bepaalden stand in de ruimte geeft bijv. in het oneindige, wanneer men ze een bizonderen stand ten opzichte van elkaar geeft bijv. punten op lijnen legt, of wanneer men ze door eenvoudige grootheden van den zelfden graad vervangt bijv. een kegelsnee door twee elkaar snijdende lijnen of een kromme van hoogeren graad door een harer ontaardingen.
Omtrent de kegelsneden heeft de meetkunde van het aantal tot vele nieuwe resultaten geleid. Zoo leert ze in het vlak het aantal der kegelsneden kennen, die aan vijf enkelvoudige voorwaarden voldoen, bijv. vijf gegeven krommen aanraken p). Zoo vraagt zij in de ruimte naar het aantal der kegelsneden, die aan acht enkelvoudige voorwaarden voldoen, bijv. acht lijnen snijden; welk aantal 92 -- vreemd genoeg, [pag. 27] maar zonder eenig oorzakelijk verband -- overeenkomt met het aantal manieren waarop men acht koninginnen op het schaakbord zoo kan plaatsen, dat zij elkaar niet kunnen slaan q). De vele andere vraagstukken, die de meetkunde van het aantal behandelt, mag ik echter thans niet bespreken, wijl een andere taak mij wacht.

Edelgrootachtbare Heeren Curatoren dezer Universiteit, aangenaam is het mij, volgens het gebruik, een enkel woord tot U te richten. Gij hebt de op mij gevallen keuze met Uw zegel willen bekrachtigen. Ontvangt daarvoor mijn oprechten dank. Bij het aanvaarden dezer betrekking druk ik den wensch uit U en Uwen secretaris nog tot in lengte van dagen voor de Hoogeschool gespaard te mogen zien en beveel ik mij aan in Uw aller welwillende achting, die ik ten hoogste op prijs stel.
Hooggeleerde Rector Magnificus, Hooggeleerde Heeren Professoren dezer Hoogeschool, met schroom begroet ik U als mijne ambtgenooten. Levendig gevoel ik wat het zegt plaats te nemen in die lange rij van mannen, die aan de wetenschap reeds zoo menig geheim hebben ontlokt. Met vrijmoedigheid vraag ik Uwe ondersteuning, waar ik mij beijveren zal mij die plaats waardig te maken en het door Uwe wis- en natuurkundige faculteit in mij gestelde vertrouwen niet te beschamen.
Mijn Voorganger, Hooggeleerde Professor Enschedé, Gij hebt het voorrecht gesmaakt Uwe professorale loopbaan te mogen voleinden en kunt thans Uw welverdiende rust gaan genieten; dat het U vergund moge zijn nog langen tijd met genoegen op de jaren Uwer werkzaamheid terug te zien. Maar Gij gaat ons nog niet verlaten en zult als bibliothekaris U nog aan de belangen der Hoogeschool blijven wijden. Bewijst Gij hiermede der Hoogeschool in het algemeen groote diensten, mij zelven verplicht Gij in het bizonder door dit besluit, daar ik vertrouw, dat mijn daaruit voortvloeiende aanraking met U mij het vooruitzicht opent, door Uwe rijpe ervaring te zullen worden voorgelicht.
WelEdele Heeren Studenten in de Wis- en Natuurkunde, wanneer ik Uwe belangstelling ook vraag voor de meetkundige theoriën, die ik zoo even met een enkel woord mocht aanduiden, dan reken ik er op, dat Gij verheven zijt boven het standpunt van hen, die zich op de eene of andere tak van wetenschap toeleggen alleen met de bedoeling om aan zekere bij de wet gestelde eischen te voldoen. Gij weet het, het hooger onderwijs verlangt iets meer. Het eischt van ons de grootste [pag. 28] krachtinspanning, want zonder deze bereikt men zelfs het middelmatige niet. Laat mij het U met betrekking tot ons geval nog even herhalen, de beide methoden, die we als de analytische en de synthetische hebben leeren kennen, vullen elkaar aan; de een leert de ander beter verstaan en waardeeren. Geldt elders de waarheid dat men geen twee heeren dienen kan, met betrekking tot analyse en synthese moet men het doen, wil men voor groote eenzijdigheid bewaard blijven. Verleen mij dan waar ik trachten zal U in beide richtingen te leiden Uw vertrouwen, sympathie, schenk mij op wetenschappellijk gebied Uw vertrouwen, geloof dat ik tot U kom met het ernstig verlangen mijne kennis dienstbaar te maken aan Uwe ontwikkeling, opdat ik onder Uwe medewerking naar mijne zwakke krachten moge bijdragen tot bevordering van den bloei dezer Hoogeschool.


Ik heb gezegd.





Voetnoten

1) Traité de géométrie supérieure, Paris 1852, blz. 35 der voorrede.

2) JACOB GRIMM, de schepper de historische spraakkunst, inwijdingsrede van Prof. Dr. B. SYMONS, Groningen 1881.

3) Verder laat ik ter bekorting de verschillende toepassingen der kegelsneden in de natuurwetenschappen weg.

4) ,,Remarks on the Mathematical Classification of Physical Quantities,'' Proceedings of the London Mathematical Society, vol. II, p. 225.

5) ,,Zur Erinnerung an Jacob Steiner,'' ein Vortrag von Dr. C.F. GEISER, Schaffhausen 1874.



Aantekeningen

a. De ,,trisectie van den hoek'' is in 1875 technisch opgelost door C.A. Laisant (député de la Loire-Inférieure) door middel ven zijn ,,compas trisecteur'' (Annuaire de l'Association Française pour l'avancement des scieces, Congrès de Nantes) en door Petersen (,,En mekanism Apparat til Vinklens Trideling'', Zeuthens tijdschrift, reeks 3, deel 5 blz. 123), welke laatste oplossing schijnt overeen te stemmen met die van Thomas Cava in de Acta Eruditorum van 1695.
Bovendien heeft H. Brocard in 1874 eenige vraagstukken verzameld, waarvan de oplossing tot de bedoelde trisectie voert (,,Mémoire sur divers problèmes de géométrie, dont la solution dépend de la trisection de l'angle'', Alger).

b. Zes punten eener kegelsnee doen, zoo als men weet, zestig verschillende in de kegelsnee beschrevene zeshoeken ontstaan, die tot de vorming van zestig Pascal'sche lijnen aanleiding geven. Omtrent deze merkwaardige figuur kan men raadplegen:
Steiner, ,,Théorèmes sur l'hexagrammum mysticum.''
Gergonne's Annales de Math., deel 18, (1827 - 28), blz. 339 - 340.
Systematische Entwichelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten'',
(1832), blz. 60, vraagstuk 54.
,,Théorème de Pascal et ses consequences.''
Nouv. Ann. de Math., deel 11 (1852), blz. 163--176.
Chasles, ,,Propriétée des surfaces du second degré analogues aux théorèmes de Pascal et de Brianchon.''
Bulletin van de Brusselsche Academie, deel 6, (1839), blz. 248 - 255.
Salmon, ,,On the properties of surfaces of the second order which correspond to the theorems of Pascal and Brianchon on conic sections.''
Phil. Magaz., deel 24, (1844), blz. 49 - 51.
Nouv Ann. de Math., deel 12, (1853), blz. 287 - 289.
Cayley, ,,Demonstration of Pascal's theorem.''
Camb. Math. Journ., deel 4, (1845), blz. 18 - 20.
,,On Pascal's theorem.''
Quarterly Journ. of Math., deel 9, (1868), blz. 361 - 373.
Plücker, ,,Note sur le théorème de Pascal.''
Journ. v. Crelle, deel 34, (1847), blr. 337 - 340.
Kirkman, ,,On the complete hexagon inscribed in a conic section.''
Camb. and Dub. Math. Journ., deel 5, (1850), blz. 185 - 200.
Hesse, ,,Eine Bemerkung zum Pascal'schen Theorem.''
Journ. v. Crelle, deel 41 (1851), blz. 269 - 271.
,,Ueber die Reciprocität der Pascal - Steiner'schen und der Kirkman- Cayley- Salmon'schen Sätze in dem Hexagrammum mysticum.''
Journ. v. Crelle, deel 68,(1868), blz. 193 - 207.
,,Vorlesungen über analytische Geometrie der Raumes'', (1869), blz. 41 - 52.
,,Des relations analytiques entre six points situés sur une conique''
Bulletin des Sciences Math. et Astron., deel 1, (1870), blz., 33 - 38.
Lüroth, ,,Zur Theorie des Pascal'schen Sechsecks''
Sclöm. Zeitschrift, deel 10, (1865), blz. 390-402.
Klein (F.), ,,Uebertragung des Pascal'schen Satzes auf Raumgeometrie''
Erlanger Berichte, 1873. [pag. 30]
Folie, ,,Note sur l'extension des théorèmes de Pascal et de Brianchon aux courbes planes et aux surface de 3e ordre et de 3e classe.''
Memoires ds Liège, reeks 2, deel 3, blz. 663 - 671.
,,Extension des théorèmes analogues à celui de Pascal à des courbes tracées sur une surface quelconque.''
Bulletin de Belgique, reeks 2, deel 38, blz. 65 - 67.
Bauer, ,,Ueber das Pascal'sche Theorem.''
Münchener Abhandl., 1874, blz. 109.
Hunuady, ,,Ueber die verschiedenen Formen der Bedingungsgleichung, welche ausdrückt, dass sechs Punkte auf einem Kegelschnitt liegen.''
Journ. v. Crelle, deel 83, (1877), blz. 76 - 85.
Serret (P.), ,,Sur une nouvelle analogie aux théorèmes de Pascal et de Brianchon.''
Comptes Rendus, deel 82, blz. 208 - 210.
Thieme, ,,Untersuchungen über das sphärische Pacal'sche Sechseck und das sphärische Pascal'sche Sechsseit.''
Gr. Archiv., deel 60, blz. 43 - 64.
Verollese, ,,Nuovi teoremi sull' exagrammum mysticum.''
Atti della R. Accad. dei Lincei, reeks 3a, deel 1, (1877).
Hesse-Gudelfinger, ,,Ueber Sechsecke im Raume.''
Journ. v. Crelle, deel 85, (1878), blz. 304 - 317.
Graese, ,,Einige Notizen über das Pascal'sche Seckseck.''
Schlöm. Zeitschrift, deel 25, (1880), blz. 215 - 217.
De studie der bedoelde figunr heeft in den laatsten tijd een nieuwe aantrekkelijkheid gekregen, doordat men haar met ruimtefiguren in verband gebracht heeft. Zoo leidt Cremona haar af uit een ruimtefiguur die bestaat uit 15 lijnen, die 3 aan 3 in 15 vlakken liggen (,,Teoremi stereometrici dai quali si deducono le proprietà dell' esagrammo di Pascal'', Atti della R. Accad dei Lincei, reeks 3a, deel 1, 1877), welks figuur in verband met de ,,dubbelzessen'' van Schäfli bij de 27 rechte lijnen van een oppervlak van den derden graad voorkomt en zoo als Cremona aantoonde met den pentaeder van Sylvester in verband staat (,,Ueber die Polarhexaëder bei den Flächen dritter Ordnung'', Math. Ann. van Clebsch, deel 13, blz. 301).
Op deze beschouwingen gaat Caporali in een den 5den Februari van dit jaar in de Academie te Napels gehouden voordracht voort (,,Sull' esaedro completo'' Rendiconti della R. Accad. di Napoli), nadat hij de figuur in kwestie in 1878 door middel eener ruimtefiguur, bestaande uit 10 vlakken die 4 aan 4 door 15 punten gaan, met de bizondere vlakken en punten van het oppervlak van Kummer in verband gebracht had. (,,Sopra i piani ed i punti singolari delle superficie di Kummer'', Atti della R. Accad. dei Lincei, reeks 3a, deel 2, 1878). Van dit oppervlak geeft de tweede druk van Reye's ,,Geometrie der Lage'' een uitstekende meetkundige behandeling.

c. Heeft de beschrijvende meetkunde van Monge het ontstaan der projectivische meetkunde voorbereid, omgekeerd is ook deze niet zonder invloed op de ontwikkeling der beschrijvende meetkunde gebleven. Het in 1875 in 2de druk verschenen werk van Fiedler, getiteld: ,,Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage'' is hiervoor een duidelijk bewijs. Een geheel anderen weg slaat echter Mannheim in, waar hij in zijn ,,Géométrie descriptive'' de uitbreidingen der beschrijvende meetkunde op cinematisch terrein zoekt. Werkelijk hebben de cinematische en infinitesimale beschouwingen van dezen geleerde, zoo als bekend is, de meetkunde in menig opzicht vooruit gebracht.

d. De theorie der middelpunten van gemiddelden afstand is de grondelag vsn de algemeene theorie der poolkrommen, die omstreets 1829 door Bobillier is ontwikkeld in kleine verhandelingen, voornamelijk in Gergonne's orgaan verschenen (o.a. ,,Théorèmes sur les polaires successives,'' Gergonne's Ann. de Math, deel 19, blz. 302 - 307). Op haar beurt maakt deze weer het fundament uit van een reeds gedeeltelijk door Steiner gegevene en later door Cremona volmaakte meetkundige theorie van vlakke kromme lijnen en van oppervlakken. (,,Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane,'' Bologna 1862 en ,,Preliminari di una teoria geometrica delle superficie,'' Milaan 1868, welke beide werken door M. Curtze in bet Duitsch vertaald zijn). Deze werken van Cremona wijzen m. i. den kortsten weg aan tot de formules van Plücker en Cayley, tot de zoogenaamde krommen van Steiner, Hesse en Cayley, enz. [pag. 31]

e. Voor dit geschiedkundig overzicht heb ik, behalve uit Chasles' ,,Aperçu historique'' veel geput uit Cantor's ,,Geschichte der Mathematik,'' waarvan nog slechts een deel verschenen is en uit het op veel kleinere schaal aangelegde werk van Hankel, getiteld: ,,Zur Geschichte der Mathematik im Altherthum und im Mittelalter.'' Laatstgenoemde wiskundige, die in '69 hoogleeraar werd te Tubingen (met een merkwaardige inwijdingsrede: ,,Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten''), doch in '73 reeds overleed, schreef ook een verdielijk werk over de nienwe meetkunde: ,,Die Elemente der projectivischen Geometrie in synthetischer Behandlung,'' waarin o.a. ook de toepassingen der projectivische meetkunde op de theorie van een lenzenstelsel opgenomen is.

f. Is er in de terminologie der verschillende schrijvers niet altijd een volkomene overeenstemming en hebben de woorden bundel, net en stelsel, enz. niet bij allen dezelfde draagwijdte, bij het overbrengen van deze namen in onze taal ondervindt men nog weer bezwaren van anderen aard. Hoe bijv. ,,8trahlenbüschel'' en ,,Strahlenbündel'' in onze taal anders te onderscheiden dan als stralenbundel in het vlak en stralenbundel in de ruimte? Waarschijnlijk verdient het navolging den naam ,,gerbe'' die Dewulf voor ,,8trahlenbündel'' gebruikt (,,Eléments de géométrie projective'' par L. Cremona, traduit par Ed. Dewulf) over te nemen en nu van ,,waaier'' en van ,,schoof te spreken. Deze begrippen duiden de meetkundige grondvormen genoegzaam aan en verdienen door hun kortheid aanbeveling.

g. Het ligt geheel buiten het bestek van dezen kleinen arbeid en boven het bereik meiner krachten van Steiner's werken een kritisch overzicht te geven. Zij, die hieromtrent eenige vingerwijzingen willen ontvangen, kunnen de aangehaalde rede van Geiser naslaan. Bovendien geeft de ,,Catalogue of Scientific Papers,'' die door de ,,Royal Society'' ie samengesteld een opnoeming van de 134 verschillende geschriften en verhandelingen van Steiner en eindelijk geeft de Academie van Berlijn ,,Jacob Steiner's gesammelte Werke'' uit en is daarvan het eerste deel bewerkt door Weierstrass dit voojaar verschenen.

h. Is het mij onmogelijk een overzicht te geven van de werken van Steiner, in nog sterkere mate is dit het geval met die van Chasles, wijl ze talrijker zijn en over meer uiteenloopende onderwerpen handelen. Behalve de opnoeming zijner tot 1873 verschenen werken in de ,,Catalogue of Scientific Papers'' vindt men eenige aanwijzingen omtrent Chasles' leven en werken in het Bulletin des sciences math. et. astron. (aflevering van December 1880), in Nature (aflevering van 6 Jan. 1881) en in de helaas in het Russisch geschveren monografie ,,over de wiskundige werken van Chasles'' door Liguine van Odessa.
Ik herinner nog alleen, dat Chasles in vereeniging rnet de Jonquières de projectivische voortbrenging op vlakke krommen vsn hoogeren graad heeft uitgebreid (Comptes Rendus 1857 ,,Détermination du nombre des points, etc.'' en ,,Deux théorèmes généraux, etc.'' en de Jonquières ,,Essai sur la génération des courbes etc.'')

i. Is het natuurlijk billijk, dat men in een meetkundig handboek de onderwerpen meetkundig behandeld wil zien, aan den anderen kant heeft een geheel meetkundigen behandeling wel degelijk haar bezwaren. Om een eenvoudig voorbeeld te noemen haal ik de bepaling der projectivische overeenkomst aan. Zoo als bekend is, zyn twee grondvormen projectief, wanneer met een element van den eenen een bepaald element van den anderen overeenkomt en omgekeerd. En nu laat deze bepaling, voorzover ik weet, alleen een stelkundig bewijs toe van de geleikheid der dubbelverhoudingen van vier overeenkomstige puntenparen. Deze klip hebben von Staudt en Reye vermeden door de bepaling van de projectivische overeenkomst anders te geven; zij zeggen dat twee grondvormen dan eerst projectief zijn wanneer, behalve het voorgaande, nog deze betrekking bestaat, dat met vier harmonische elementen van den eenen, vier harmonische elementen van den anderen overeenstemmen. Maar deze toevoeging mag eigenlijk niet toegelaten worden, wijl ze blijkens de stelkundige behandeling in de schijnbaar engere bepaling besloten ligt. En Staudigl ontwijkt de bepaling geheel door twee puntreeksen in het vlak projectief te noemen, wanneer de een door middel van projectie uit de andere af te leiden is. Maar dan kan men [pag. 32] vragen of zijn bepaling der projectiviteit een even wijde strekking heeft als de overeenkomst één aan één. In deze richting is m.i. dus nog verbetering aan te brengen.

j. Vervangt men de twee oneindig ver gelegen onbestaanbare cirkelpunten door een bestaanbare sn niet ontaardende kegelsnee, dan gaat deze meetkunde in de zogenaamde ,,niet-euclidische meetkunde'' over. Zoo als bekend is hebben Gauss (1831), Bolyai (1832), Legendre (1833) en Lobatschewsky (1840) getracht na te gaan, wat er van de meetkunde zou worden, wanneer men het axioma omtrent de evenwijdige lijnen niet aannam en zijn deze beschouwingen voornamelijk door Cayley in zijn ,,Sixth Memoir upon Quantics'' (Philosophical Magazine, deel 147, 1859) en later door F. Klein in zijn ,,Ueber die sogenannte nicht-euclidisohe Geometrie'' (Math Annal, dee1 4, blz 579 - 625, deel 6, blz. 112 - 145 en deel 7, blz. 53-537) op wetenschappelijken grondslag gevestigd. Hierbij vormt de vervanging der twee cirkelpunten door een kegelsnee (,,the absolute conic'') het gronddenkbeeld. Vergelijk hieromtrent Clebsch-Lindemann's ,,Vorlesungen über Geometrie,'' blz. 150 in de noot, en het handboek van Frischauf ,,Die Elemente der absoluten Geometrie,'' dat in Grunert's Archiv, deel 60, blz. 1 - 11 door Günther beoordeeld is.
Zeer lezenswaard is ook ,,Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea'' van Beltrami (Battagl. Giorn., deel 6, bladz. 285 - 315) in welke later door Hoül vertaalde verhandeling de oppervlakken met standvastige negatieve kromming op den voorgrond treden. Verder moet ik nog de verhandeling van Battaglini ,,Nota sui circulo nella geometria non-euclidea'' (Battagl. Giorn., deel 12, blz. 212-220), die van Paolis ,,La trasformazione piana doppia di secondo ordine e la sua applicazione alla geometria non euclidea'' (R. Accad dei Lincei, 1878) en die van Killing ,,Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen'' (Journ. v. Crelle, deel 89 1880, blz. 265 - 288) aanhalen.

k. Sturm heeft deze meer uitgebreide opvatting gepubliceerd onder den titel: ,,Dass Problem der Projectivität'' (Math. Annal., deel 1, blz. 533 - 575) ,,Das Problem der räumlichen Projectivität'' (Math. Annal., deel 6, blz. 513 - 550), ,,Dass Problem der Collineation'' (Math. Annal., deel 10 blt. ll7 - 137) en ,,Ueber correlative oder reciproke Bündel'' (Math. Annal., deel 11, blz. 254 - 361). Na het verschijnen van Schubert's ,,Kalkul der abzählenden Geometrie'' heeft Sturm de tweede verhandeling vereenvoudigd in ,,Vereinfachnng des Problems der räumlichen Projectivität'' (Math. Annal., deel 15, blz. 407 - 424).
De collineatie is de eenvoudigste der ,,eindeutigen'' transformatoes (waarbij met een punt van het eene stelsel een punt van bet andere overeenkomt en omgekeerd); zij draagt een lineair karakter (wijl met een lijn van het eene stelsel insgelijks eene lijn van het andere stelsel overeenkomt). Op haar volgt in eenvoudigheid de kwadratische transformatie, waarbij met een punt wel een punt maar met een lijn een kegelsnee overeenstemt; deze overeenkomst is het eerst door Magnus en daarna door Steiner beschouwd. Neemt men in een vlak twee kegelsneden aan en laat men met elk punt van het vlak het snijpunt der beide poollijnen van dit punt ten opzichte van de beide kegelsneden overeenkomen, dan heeft men met een kwadratische transformatie te doen (vergelijk de tweede druk van Reye's ,,Geometrie der Lage'', blz. 169, vraagstuk 61). Het beginsel der wederkeerige voerstralen, waardoor de cylcide van Dupin uit het ringoppervlak werd afgeleid en wel stelkundig door Mannheim (Nouv. Ann. de Math., reeks 1, deel 19, 1860) en meetkundig door Reye (tweede druk ,,Geometrie der Lage,'' vraagstuk 65 - 79), vormt er een bizonder geval van; eveneens de bekende betrekking tusschen de rechtlijnige en de cirkelvormige beweging in de stelsels van Peauceillier, Hart, Kempe, enz. (vergelijk Liguine ,,Sur les systêmes de tiges articulés'' Nouv. Ann. de Math., 2e reeks, 1875, waarin weer andere bronnen worden opgegeven, enz.). Beide, de collineatie en de kwadratische transformatie zijn weer bizondere gevallen van de algemeene Cremona'sche transformaties, waarbij met een punt een enkel punt en met een lijn een bepaalde kromme van den nden graad overeenstemt (vergelijk Clebsch-Lindemann's ,,Vorlesungen über Geometrie,'' waar men verder literatuur vindt, o.a. de bondige uiteenzetting van Dewulf in het Bulletin van Darboux, deel 5, blz. 206-240).
Naast de beschrevene ,,eindeutigen'' komen de eenvoudigste ,,mehrdeutigen'' te staan, waarbij met een punt van het eene stelsel dan een punt van het tweede [pag. 33] stelsel overeenkomt, maar met deze bij elkaar van het tweede omgekeerd slechts een punt van het eerste. Het eenvoudigste voorbeeld hiervan is de dubbele transformatie, waarbij met een punt van het eerste stelsel twee punten van het tweede maar omgekeerd met deze twee punten van het tweede slechts een punt van het eerste overeenkomt (vergelijk hieromtrent drie verhandelingen van de Paolis, opgenomen in de werken der ,,R. Accademia dei Lincei'' en getiteld: ,,Le trasformstioni piane doppie'' 1877, ,,La trasformazione piane doppie di secondo ordine'' 1878 en ,,La trasformazione piana, doppia di terzo ordine'' 1878 en ook mijn beide stukjes in de ,,Annuaires'' van '79 en '80 van de Association Française).
Behalve de genoemde transformaties haal ik onder het onnoemelijk aantal der meetkundigen alleen nog die aan waardoor Mannheim het golfoppervlak van Fresnel uit de ellipsoïde afleidt en hierdoor een menigte eigenschappen van dit oppervlak meetkundig bewijst (,,Annuaires de l'Association Française'' van '74, '75, '76 en '77). Verder moet ik hen, die omtrent een algemeene opvatting der transformaties (bij Klein, Lie, Nöther, enz.), wat meer verlangen te weten, verwijzen naar de uitstekende bronnengids, getiteld: ,,Jahrbnch über die Fortschritte der Mathematik'' waarin elk jaar een afzonderlijk hoofdstuk voorkomt met den titel: ,,Verwandtschaft, eindeutige Transformationen, Abbildung'' (vergelijk voor dit laatste punt de noot n).
De studie der transformaties is een der belangrijkste van de wiskunde; reeds in zijn ,,Eléments de Statique'' zegt Poinsot: ,,En Géométrie comme en Algèbre la plupart des idees différentes ne sont que des transformations; les plus lumineuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul.''

l. De dualistische overeenkomst voert bij de regelmatige lichamen tot merkwaardige uitkomsten. Met voorbijgang van de regelmatige lichamen uit de stereometrie wijs ik haar aan bij de overige heelvlakkige kristalvormen uit het tesserale stelsel in het volgende schema:
granatoëder een combinatie van kubus en octaëder, waarin beide even sterk ontwikkeld zijn;
pyramidenkubus een octaëder, waarvan de hoeken zijn afgestompt door de kubus;
pyramiden-octäeder een kubus, waarvan de hoeken zijn afgestompt door de octaëder;
leucitoëder een kubus, waarvan de hoeken zijn afgestompt door de octaëder en de ribben door de granatoëder, terwijl octaëder en granatoëder hierbij even sterk ontwikkeld zijn;
diamantöide als het voorgaande maar met een octaëder, die sterker ontwikkeld is dan de granatoëder.

Dat de bedoelde overeenkomst bij het tesserale stelsel zich blijkbaar ook over maatverhondingen uitstrekt heeft een dieperen grond. Laat men namelijk met de drie onderling loodrechte assen van een kristal de lijnen overeenstemmen volgens welke de telkens door de beide andere assen gebrachte vlakken het vlak in het oneindige snijden, dan verkrijgt men in de plaats van de reeks van punten op iedere as de reeks van vlakken loodrecht op iedere as, zodat men de overeenkomst nader aangeven en met ieder punt van eene as het vlak door dit punt loodrecht op die as kan laten overeenkomen. Dan gaat men van het stelsel, dat men ter bepaling van de zijvlakken van het kristal aanwendt, het bepalen van zulk een vlak door de stukken die het van de drie assen van het kristal afsnijdt, tot het gewone rechthoekige coördinatenstelsel over, waarbij een punt bepaald wordt als de doorsnee van drie vlakken loodrecht op de assen. Zoo komt met een kristalvorm a, ma, na een ander lichaam overeen, waarvan de coördinaten der hoekpunten tot elkaar staan als 1 : m : n.

m. Omtrent de literatuur over ds kromme lijnen van de derde orde in de ruimte kan ik verwijzen naar het proefschrift van Dr. Zeeman, getiteld: ,,De kromme lijnen van de derde orde in de ruimte,'' 1878. Hierin worden deze krommen synthetisch afgeleid uit drie projectief met elkander overeenstemmende vlakkenbundels, een wijze van voortbrenging, die door Chasles is aangegeven.
Latere bronnen zijn Schubert's ,,Kalkul der abzählenden Geometrie'' en Schubert's verhandeling ,,Beschreibung der Ausartungen der Raumcurven dritter Ordnung,'' Math. Annal. deel 15, blz. 539 - 533. Verder geeft Hurwitz in zijn opstel ,,Ueber unendlich vieldeutige geometrische Aufgaben insbesondere Schliessungsprobleme'' [pag. 34] (Math. Annal., deel 15, blz. 14) een merrkwaardige stelling omtrent de ligging van een reeks van ruimtekrommen van den derden graad met betrekking tot twee andere.

n. Omtrent de afbeelding van een oppervlak punt voor punt op een plat vlak en de haar omvattende rationeele transformatie in de ruimte kan men raadplegen:

1° de bekende leerboeken ,,Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächsn in synthetischer Behandlung'' van Cremona-Curtze (Hoofdstuk IV, blz. 168 - 196), ,,Die Geometrie der Lage'' van Reye (2de druk, 2de afdeeling, blz. 191 - 204),

2° de verhandelingen:
Math. Ann.,
deel 1. ,,Ueber die Abbildung algebraïscher Flächen insbesondere der vierten und fünften Ordnung'', (blz. 253 - 317) Clebsch.
,, ,,Die Abbildung einer Fläche vierter Ordnung mit einer Doppelcurve zweiten Grades und einem oder mehreren Knotenpunkten'', (blz. 592 - 627) Korndörfer.
met vervolgen in:
deel 2, blz. 41 - 65.
deel 3, blz. 496 - 523.
deel 4, blz. 117 - 135.
,, ,,Bemerkungen über die Geometrie auf den windschiefen Flächen dritter Ordnung'', (blz. 634 - 637) Clebsch
deel 2. ,,Note über ein Problem der Abbildung'', (blz. 140 - 143). Weber
,, ,,Ueber die Abbildung der Complexflächen vierter Ordnung und vierter classe'', (blz. 371 - 373) F. Klein.
,, ,,Ueber die ebene Abbildung der geradlinigen Flächen vierter Ordnung, welche eine Doppelcurve dritten Grades besitzen'', (blz. 445 - 467) Clebsch.
,, ,,Abbildung der Flächen zweiten Grades nach Aenlichkeit der Flächenelemente'', (blz. 504 - 514) Hoppe.
deel 3. ,,Ueber den Zusammenhang einer Classe von Fächenabbildungen mit der Zweitheilung der Abel'schen Functionen'', (blz. 45 - 76) Clebsch.
,, ,,Ueber Flächen welche Schaaren rationaler Curven besitzen'', (blz. 161 - 228) Nöther.
,, ,,On the transformation of unicursal surfaces'', (blz. 469 - 475). Cayley.
,, ,,Ueber die eindeutigen Raumtransformationen insbesondere in ihre Anwendung anf die Abbildung algebraïscher Flächen'', (blz. 547 - 581) Nöther.
deel 4. ,,Etudes géométriques de quelques-unes des propriétés de deux surfaces dont les points se correspondent un-à-un'' (blz. 21 - 50) Zeuthen.
,, ,,Ueber die Abbildung algebraïscher Flächen'', (blz. 213 - 231) Cremona.
,, ,,Ueber die Modificationen, welche die ebene Abbildung einer Fläche einer Fläche dritter Ordnung durch Auftreten von SIngularitäten erhält'', (blz. 442 - 476) Diekman.
deel 5. ,,Ueber die geradlinigen Flächen vom Geschlechte p = 0'', (blz. 1-27) Clebsch.
,, ,,Ueber die ebene Abbildung einer Fläche dritter Ordnung'', (blz. 419 - 422) Clebsch.
deel 7. ,,Bemerkungen über die Abbildung einer gewissen Fläche dritter Ordnung'', (blz. 512 - 517) Frahm.
Journ. v. Crelle
deel 69. ,,Ueber die Flächen vierter Ordnung, welche eine Doppelcurve zweiten Grades besitzen'' (blz. 142 - 185). Clebsch.
deel 70. ,,Ueber die einfache Correlation in zwei räumlichen Gebieten'', (blz. 137 - 156) Richelot. [pag. 35]
Brioschi's Giornal,
deel 1, (reeks 2). ,,Representazione di una classe di superficie gobbe sopra un piano, e determinazione delle loro, curve assintotiche'', (blz. 248 - 259) Cremona.
deel 4. ,,Intorno alle representazione della superficie gobbe di genero p = 0 sopra un piano'', (blz. 50 - 73) Armenante.
deel 7. ,,Recherches des surfaces que l'on peut réprésenter sur un plan'', (blz. 61) Bonnet.
Göttinger Nachrichte
1870. ,,Ueber die auf Ebenen eindeutig abbildbaren algebraïscher Flächen'', (blz. 1 - 6) Nöther.
,, ,,Ueber die Abbildung algebraïscher Flächen'' (blz. 486) Clebsch.
1873 ,,Zwei neuen Kriterien des eindeutigen Entsprechens algebraïscher Flächen'', (blz. 248 - 254) Nöther.
Bulletin de Darboux
deel 2. ,,Sur une surface de cinquième ordre et sa représentation sur le plan'' (blz. 40 - 64) Darboux.
deel 7. ,,Des transformations rationelles dans l'espace'', (blz. 37 - 48) Cremona.
Rend. d'Ist. Lomb.,
1871. ,,Sulla trasformazioni rationali nello spazio'', (blz. 269 - 279 en 315 - 324) Cremona
Proceed. o/t Lond. Math. Soc. deel 3 ,,On the rational transformation between two spaces'' (blz. 127 - 180) Cayley.
Zeitschrift v. Schlömilch, deel 18, (reeks 2). ,,Geometrische Verwandtschaften räumlicher Systemen'', (blz. 523 - 543) Silldorf.
Report o/t Brit. Assoc., 1869/70. ,,On a correspondance of points and lines in space''. Cayley.
Annuaire de l'Assoc. Franç., 1880. ,,Sur une classe de surfaces représentable point pour point sur un plan'' Guccia.
en 3° de brochures
,,Ueber die einfachste allgemeine Beziehnng zwischen räumlichen Gebilden'', Breslau 1870, Wenzel.
,,Ueber die geradlinigen Flächen dritter Ordnung und deren Abbildung auf eine Ebene'', Diss. Strassburg, Benno Klein.

o. De uitkomsten door Chasles gevonden, berusten hoofdzakelijk op zijn ,,correspondentiewet'' en zijn ,,karakteristiekentheorie.'' Volgens de eerste zal het bij een verwantschap tusschen twee punten x en y op een lijn, die zoodanig is dat ieder punt x met m punten y en ieder punt y met n punten x overeenstemt, m+n maal gebeuren, dat een punt x met een zijner overeenkomstige punten y samenvalt. Zij is een eenvoudig gevolg van de gelijkstelling van de afstanden [xi] en [eta], (der punten x en y tot een vast punt der lijn) in de vergelijking die de afhankelijkheid van [xi] en [eta] uitdrukt. Van deze wet gaf Cayley een uitbreiding (Comptes Rendus, deel 62, blz. 531) die door Brill bewezen werd (Math. Ann., deel 6, blz. 33). Volgens de karakteristiekentheorie zal het aantal kegelsneden van een reeds aan vier enkelvoudige voorwaarden voldoend stelsel, dat aan een zekere vijfde voorwaarde onderworpen wordt, lineair uit te drukken zijn in het aantal m der kegelsneden van het stelsel die een willekeurige lijn aanraken en het aantal n der kegelsneden van het stelsel die door een willekeurig punt gaan en dus worden voorgesteld door an + ßn, waarin a en ß van de vijfde voorwaarde afhangende coefficiënten zijn. De grootheden m en n worden dan de karakteristieken van het stelsel genoemd. Vergelijk hieromtrent Schubert's ,,Kalkul der abzählenden Geometrie'', blz. 274 en omtrent Halphen's rectificatio ven deze niet in het algemeen doorgaande beschouwing van Chasles de aanteekening in dit boek op blz. 344 onder Lit. 51 en bovendien Halphen's nieuwe verhandeling ,,Sur la theorie des carateéristique pour les coniques'', Math. Ann., deel 15, blz. 16 - 39. Zeer lezenswaard zijn ook Schubert's toepassing van de theorie der karakteristieken op de oppervlakken van den tweeden graad (Journ. v. Crelle, deel 71, bl. 366) en T.A. Hirst's verhandeling: ,,On the correlation of two planes.''

p. Omtrent de puntalgemeene kromme Cn (de kromme van de nden graad die geen dubbelpunten heeft) leert de beschouwing van de discriminante, dat er in een [pag. 36] vlak 2·(n - 1) krommen zijn die door [n·(n + 3)/1] - 1 punten gaan en ééne lijn aanraken. Stelt men nu algemeen de voorwaarde, dat de kromme door p punten gaat en q lijnen aanraakt door apbq voor, dan heeft men verder:
voor C2 voor C3 (Schubert, t.a.p., blz. 162) voor C3 (Schubert, blz. 187),
a5 = 1 a9 = 1 a14 = 1
a4b = 2 a8b = 4 a13b = 6
a3b2 = 4 a7b2 = 16 a12b2 = 36
a2b3 = 4 a6b3 = 64 a11b3 = 216
ab4 = 2 a5b4 = 256 a10b4 = 1296
b5 = 1 a4b5 = 976 a9b5 = 7776
a3b6 = 3423 a8b6 = 46656
a2b7 = 9766 a7b7 = 279600
ab8 = 21004 a6b8 = 1668096
b9 = 33616 enz.
Uit deze uitkomsten, waarvan de eerste algemeen bekend en de anderen voornamelijk door Zeuthen gevonden zijn, spreekt tot op zekere hoogte een schijnbaar algemeene wet. Noemt men den graad der kromme n, dan geldt hier de regel:
a[n(n + 3)/2] - q · bq = 2q(n - 1)q
van q = 0 tot en met q = 2(n - 1). De vraag, of deze wet algemeen is en hoe de andere getallen voor q > 2(n - 1) er van afwijken, verdient overweging.

q. Over de kegelsneden in de ruimte raadplege men:
Lüroth, ,,Ueber die Anzahl der Kegelschnitte, welche acht Geraden im Raume schneiden''.
(Journ. v. Crelle, deel 68, blz. 185 - 190).
Vergelijk hierbij Güntber: ,,Zur mathematischen Theorie der Schachbretts'', (Gr. Arch. deel 56, blz. 90).
Chasles, (Comptes Rendus, deel 61, blz. 391).
Hierholzer, ,,Ueber Kegelschnitten im Raume''
(Math. Ann., deel 2, blz. 564 - 587).
Lüroth, ,,Eine Aufgabe über Kegelschnitte im Raume'',
(Math. Ann., deel 3, blz. 124).
Schubert, ,,Kalkul der abzählenden Geometrie'', blz. 91 - 103.