ABSTRACTS
Promotie Dennis E. Hesseling
Gnomes in the fog. The reception of Brouwer's
intuitionism in the 1920s.
Utrecht, february 19, 1999 (14:30).
Samenvatting
Achtergrond
In dit proefschrift staat de vraag wat wiskunde is centraal.
Om precieser te zijn:
in dit proefschrift geef ik een beschrijving en interpretatie van een periode
uit de twintigste eeuwse wiskunde, waarin gediscussieerd werd over de
grondslagen van de wiskunde1). Het komt zelden
voor dat er zulke uiteenlopende meningen
zijn en geuit worden over de vraag wat wiskunde is en wat geldig is in de
wiskunde. Als dit dan ook nog gebeurt door wiskundigen van wereldnaam en
in een fel debat, dan mag met recht gesproken worden van een unieke periode in
de geschiedenis van de wiskunde. Hoofdrolspelers in dit debat waren de
Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer, de grondlegger van het
intuïtionisme, en de Duitse wiskundige David Hilbert, de leider van de
formalistische stroming. Beide stromingen werden in het begin van deze eeuw
ontwikkeld.
In dit onderzoek zijn de reakties op de intuïtionistische
manier om tegen de grondslagen van de wiskunde aan te kijken in kaart gebracht
en bestudeerd. De omvang van het hier bij elkaar gebrachte materiaal maakt het
mogelijk om een veel gefundeerdere interpretatie van de grondslagenstrijd te
geven: waar eerdere studies gebaseerd waren op enkele tientallen reakties, komen
hier alle tot nu toe bekende publieke reakties op Brouwers
intuïtionisme in de periode van 1909 tot en met 1933, ruim 250, aan bod.
Daarnaast
heb ik onderzoek gedaan in de archieven van wiskundigen en filosofen die bij
het debat betrokken waren, om ook zicht te krijgen op hetgeen zich achter de
schermen afspeelde.
De standaardinterpretatie van de grondslagenstrijd luidt dat er als reaktie op
de zogenaamde `paradoxen van de verzamelingenleer' drie stromingen opkwamen die
een oplossing
van dit probleem voorstelden: formalisme, intuïtionisme en logicisme. Het
onderscheidende tussen deze stromingen zit hem in de manier waarop naar de
wiskunde gekeken wordt. Het logicisme zegt
dat logika de basis van de wiskunde vormt. In deze visie
moet alle wiskunde, tot en met de natuurlijke getallen, terug te leiden zijn tot
zuiver logische begrippen.
Volgens het intuïtionisme daarentegen bestaat de wiskunde uit
mentale konstrukties, die gemaakt worden door wiskundigen. Dit idee, dat
voortkomt uit een idealistische (in de filosofische zin van
anti-realistische)
visie op de wereld, heeft vèrgaande konsekwenties voor de wiskunde. Het
betekent dat wiskunde niet ontdekt wordt, maar gemaakt. Het betekent ook dat
wiskundige stellingen niet al waar waren voordat wiskundigen dat bewezen
hadden, maar dat ze waar worden op het moment dat iemand het bewijst. Het
betekent, kortom, dat de wiskunde niet meer of minder eeuwigheidswaarde en
absolute waarheid bevat dan de mens zelf. De formalistische visie op de
wiskunde, tenslotte, gaat er vanuit dat wiskundigen zich niet
met gedachten bezighouden, zoals in de intuïtionistische visie, maar met
formele
objekten: symbolen. Of die symbolen iets betekenen is geen vraag die
wiskundigen hoeven te beantwoorden. Het enige wat wiskundigen doen is symbolen
manipuleren volgens bepaalde regels. De enige
eis waaraan het formele systeem moet voldoen is dat er geen tegenstrijdigheid
in optreedt: het systeem moet konsistent zijn.
Konklusies
In dit proefschrift wordt om te beginnen een afbakening van de
grondslagenkrisis gegeven. Door te kijken naar de aantallen publieke reakties
per jaar
wordt duidelijk dat de grondslagenstrijd begon in 1921. In dat jaar publiceerde
Hermann Weyl een artikel waarin hij de grondslagenkrisis uitriep, Brouwer tot
de revolutie in de wiskunde verklaarde en zich achter hem schaarde. Daarmee
stonden twee vooraanstaande wiskundigen van de nieuw generatie tegenover de
gevestigde orde. Vanaf 1922 is er een monotoon
stijgende lijn in het aantal reakties, met als piek 1927; daarna variëert
het. Door ook te kijken naar de toonzetting van het debat, die in ieder geval
in 1930 is omgeslagen van vijandig naar koöperatief, en naar het gebruik van
de dominante metaforen `revolutie' en `krisis', dat vanaf 1928 sterk
terugloopt,
wordt duidelijk dat het einde van de grondslagenkrisis in enge zin in 1928
gelegd moet worden. Daarna loopt de diskussie nog wel door, maar in een
wezenlijk andere vorm.
Ook op geografisch en kultureel gebied kan de grondslagenstrijd afgebakend
worden. Het is met name een Europese
aangelegenheid, en daarbinnen is het Duitse taalgebied het best
vertegenwoordigd. Dit geeft aan dat ook kulturele faktoren een rol speelden in
hoezeer men betrokken was bij het debat over de grondslagen van de
wiskunde.
Op basis van dit onderzoek kan gekonkludeerd worden dat de
standaardinterpretatie van de grondslagenstrijd op
een drietal punten niet klopt. In de eerste plaats speelden de paradoxen van de
verzamelingenleer slechts een
bescheiden rol in de grondslagenstrijd. Hun belangrijkste funktie was die van
inleiding op het debat. De thema's waar het debat om draaide waren niet de
paradoxen van de verzamelingenleer, maar vooral
wiskundige existentie en de geldigheid van het principe van de uitgesloten
derde. Dit zijn beide onderwerpen waarbij intuïtionisten kritiek leverden
op de wiskunde zoals die toen bedreven werd. De positieve
bijdragen van het intuïtionisme, gebaseerd op keuzerijen, speelden
nauwelijks een rol van betekenis in het debat. Op deze manier ontstond een
eenzijdig beeld
van wat intuïtionisme was: een stroming die vooral kritisch was, maar
weinig opbouwends bood.
Bij wiskundige existentie ging het om de vraag
wanneer een wiskundig objekt (een punt in de ruimte, een funktie, ...) bestaat,
en wanneer wiskundige systemen bestaan. Volgens het intuïtionisme moet een
wiskundig objekt om te bestaan gedacht -- dat wil zeggen mentaal gekonstrueerd
-- kunnen worden. Volgens het formalisme is het voldoende dat het axiomatisch
systeem waarin de wiskundige objekten voorkomen konsistent is. De diskussie over
wiskundige existentie was dus in hoge mate terminologisch: het ging over de
vraag wat `bestaan' in de wiskunde betekende. Toch werd er gedurende het debat
geen terminologische oplossing, in de zin van het gebruiken van verschillende
termen voor de verschillende opvattingen over wiskundige existentie,
geaccepteerd. Daarnaast speelde het label
`konstruktief' een belangrijke rol in de diskussie over wiskundige existentie.
Dit label was zo
populair dat alle stromingen het claimden. Pas later in het debat kwam de
kritiek naar boven dat duidelijk omschreven moest worden wat `konstruktiviteit'
eigenlijk betekende.
Het principe van de uitgesloten derde is het logische principe dat zegt dat elke
uitspraak hetzij waar, hetzij onwaar is. De vraag naar de
geldigheid van dit principe spitste zich toe op de
situatie waarin uitspraken gedaan worden over een oneindige verzameling
objekten. Volgens het formalisme is een uitspraak van de vorm `alle objekten
van de verzameling V hebben niet de eigenschap E òf er is een objekt in
V dat de eigenschap E heeft' altijd waar. Hierdoor wordt een bewijs uit
het ongerijmde mogelijk: bewijzen dat er een objekt is dat de eigenschap
E heeft, door te laten zien dat het onmogelijk is dat alle objekten niet de
eigenschap E hebben. Op deze manier krijgen we een existentie-uitspraak,
namelijk `er is een objekt dat de eigenschap E heeft', zonder dat we
zo'n objekt aan kunnen wijzen -- een zogenaamde niet-konstruktieve
existentie-uitspraak. Volgens het intuïtionisme moeten we, om de uitspraak
`alle objekten van de verzameling V hebben niet de eigenschap E òf er is
een objekt in V dat de eigenschap E heeft' waar te maken, één
van de
twee alternatieven van deze disjunktie kunnen bewijzen. We moeten dus ofwel
kunnen laten zien dat alle elementen niet de eigenschap E hebben, of we moeten
een objekt kunnen konstrueren dat de eigenschap E heeft. Omdat we dat in het
algemeen niet kunnen, is er geen reden waarom we zouden kunnen veronderstellen
dat de uitspraak `alle objekten van de verzameling V hebben niet de eigenschap
E òf er is een objekt in V dat de eigenschap E heeft' algemeen geldig
is. Hiermee is ook duidelijk dat de standpunten over wiskundige existentie en
over het principe van de uitgesloten derde samenhangen, iets wat in de loop van
het debat ook voor steeds meer participanten duidelijk werd.
De tweede reden waarom de standaardinterpretatie van de grondslagenstrijd
niet klopt is dat de stromingen
intuïtionisme, formalisme en logicisme geen gelijkwaardige rol speelden.
Het intuïtionisme en formalisme waren prominent aanwezig; het logicisme
daarentegen maar marginaal. Bertrand Russell, de voorman van de
logicisten, had het grondslagentoneel verlaten, Wittgenstein was gestopt na
de publikatie van de Tractatus/, Ramsey zat relatief geïsoleerd in
het Verenigd Koninkrijk, en Carnap werd pas aktief toen het felste deel van de
diskussie al achter de rug was.
De derde korrektie op de standaardinterpretatie is dat er, in ieder geval
in het begin van het debat,
nauwelijks strijd plaatsvond tussen het formalisme en het intuïtionisme.
Dit wordt
duidelijk door te kijken naar de argumentaties die gebruikt werden in reaktie
op Brouwers intuïtionisme. Het formalistische argument bij uitstek,
namelijk `dit is het geval omdat we het formeel systeem zo gedefinieerd
hebben', kwam nauwelijks voor. In plaats daarvan gebruikte men vaak argumenten
die gebaseerd waren op een inhoudelijke (in plaats van een formele)
interpretatie van de wiskunde. Dit blijkt het sterkst bij de diskussie over
logika en het principe van de uitgesloten derde. Veelvuldig komt het argument
voor dat het principe van de uitgesloten derde, en daarmee de gehele klassieke
logika, wel waar moet/ zijn, aangezien dit de wetten van ons denken
weergeeft. Ook beargumenteerde men vaak dat een uitspraak wel waar of onwaar
moet/ zijn, ook al kunnen wij het niet bewijzen.
Pas in de loop van het debat werd velen duidelijk dat dit onhoudbare
stellingen zijn, en schoof men op naar een meer formalistische kijk op wiskunde
en logika. Zelfs bij Hilbert, die algemeen gezien wordt als de leider van de
formalistische stroming, zien we in het begin van de jaren twintig nog
veelvuldig verwijzingen naar de `gedachtenobjekten' die de wiskunde, naar zijn
idee, beschrijft. Pas in 1925 gaf Hilbert publiekelijk toe dat sommige van de
uitspraken die in de formalistische wiskunde bewezen worden inhoudsloos zijn,
en alleen dienen om het systeem kompleet te maken.
De intuïtionistische kritiek was niet alleen gericht op de
formalistische wiskunde, maar zeker ook op de inhoudelijke claims van de
klassieke
wiskunde. Dit verklaart waarom zo velen reageerden en waarom sommigen zo
emotioneel reageerden: ze voelden zich -- terecht -- aangevallen in hun visie
van wat wiskunde was. In de loop van het debat werd velen duidelijk dat de
eis van konsistentie van een axiomatisch systeem geen konstrueerbare gedachten
impliceert, en dat de klassieke logika niet altijd inhoudelijke uitspraken
oplevert. Op deze manier bereikte Brouwer het tegendeel van wat hem voor
ogen stond. Met zijn intuïtionistische wiskunde streefde hij naar een
volledig inhoudelijke, dat wil zeggen mentaal konstrueerbare wiskunde. Het
resultaat van de grondslagenstrijd was dat men accepteerde dat de wiskunde voor
een belangrijk deel inhoudsloos was. De intuïtionistische kritiek heeft
een wezenlijke bijdrage geleverd aan de ontwikkeling en verspreiding van de
hedendaagse, formalistische visie op de wiskunde.
Voetnoot
1) Deze discussie staat bekend als de
grondslagenstrijd. Ik gebruik in het Nederlands `grondslagenstrijd' als
equivalent aan het Engelse `foundational crisis', omdat de term
`grondslagenstrijd' in het Nederlands meer is ingeburgerd.