ABSTRACTS



Promotie Dennis E. Hesseling
Gnomes in the fog. The reception of Brouwer's intuitionism in the 1920s.

Utrecht, february 19, 1999 (14:30).



Samenvatting

Achtergrond
In dit proefschrift staat de vraag wat wiskunde is centraal. Om precieser te zijn: in dit proefschrift geef ik een beschrijving en interpretatie van een periode uit de twintigste eeuwse wiskunde, waarin gediscussieerd werd over de grondslagen van de wiskunde1). Het komt zelden voor dat er zulke uiteenlopende meningen zijn en geuit worden over de vraag wat wiskunde is en wat geldig is in de wiskunde. Als dit dan ook nog gebeurt door wiskundigen van wereldnaam en in een fel debat, dan mag met recht gesproken worden van een unieke periode in de geschiedenis van de wiskunde. Hoofdrolspelers in dit debat waren de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer, de grondlegger van het intuïtionisme, en de Duitse wiskundige David Hilbert, de leider van de formalistische stroming. Beide stromingen werden in het begin van deze eeuw ontwikkeld.

In dit onderzoek zijn de reakties op de intuïtionistische manier om tegen de grondslagen van de wiskunde aan te kijken in kaart gebracht en bestudeerd. De omvang van het hier bij elkaar gebrachte materiaal maakt het mogelijk om een veel gefundeerdere interpretatie van de grondslagenstrijd te geven: waar eerdere studies gebaseerd waren op enkele tientallen reakties, komen hier alle tot nu toe bekende publieke reakties op Brouwers intuïtionisme in de periode van 1909 tot en met 1933, ruim 250, aan bod. Daarnaast heb ik onderzoek gedaan in de archieven van wiskundigen en filosofen die bij het debat betrokken waren, om ook zicht te krijgen op hetgeen zich achter de schermen afspeelde.

De standaardinterpretatie van de grondslagenstrijd luidt dat er als reaktie op de zogenaamde `paradoxen van de verzamelingenleer' drie stromingen opkwamen die een oplossing van dit probleem voorstelden: formalisme, intuïtionisme en logicisme. Het onderscheidende tussen deze stromingen zit hem in de manier waarop naar de wiskunde gekeken wordt. Het logicisme zegt dat logika de basis van de wiskunde vormt. In deze visie moet alle wiskunde, tot en met de natuurlijke getallen, terug te leiden zijn tot zuiver logische begrippen. Volgens het intuïtionisme daarentegen bestaat de wiskunde uit mentale konstrukties, die gemaakt worden door wiskundigen. Dit idee, dat voortkomt uit een idealistische (in de filosofische zin van anti-realistische) visie op de wereld, heeft vèrgaande konsekwenties voor de wiskunde. Het betekent dat wiskunde niet ontdekt wordt, maar gemaakt. Het betekent ook dat wiskundige stellingen niet al waar waren voordat wiskundigen dat bewezen hadden, maar dat ze waar worden op het moment dat iemand het bewijst. Het betekent, kortom, dat de wiskunde niet meer of minder eeuwigheidswaarde en absolute waarheid bevat dan de mens zelf. De formalistische visie op de wiskunde, tenslotte, gaat er vanuit dat wiskundigen zich niet met gedachten bezighouden, zoals in de intuïtionistische visie, maar met formele objekten: symbolen. Of die symbolen iets betekenen is geen vraag die wiskundigen hoeven te beantwoorden. Het enige wat wiskundigen doen is symbolen manipuleren volgens bepaalde regels. De enige eis waaraan het formele systeem moet voldoen is dat er geen tegenstrijdigheid in optreedt: het systeem moet konsistent zijn.

Konklusies
In dit proefschrift wordt om te beginnen een afbakening van de grondslagenkrisis gegeven. Door te kijken naar de aantallen publieke reakties per jaar wordt duidelijk dat de grondslagenstrijd begon in 1921. In dat jaar publiceerde Hermann Weyl een artikel waarin hij de grondslagenkrisis uitriep, Brouwer tot de revolutie in de wiskunde verklaarde en zich achter hem schaarde. Daarmee stonden twee vooraanstaande wiskundigen van de nieuw generatie tegenover de gevestigde orde. Vanaf 1922 is er een monotoon stijgende lijn in het aantal reakties, met als piek 1927; daarna variëert het. Door ook te kijken naar de toonzetting van het debat, die in ieder geval in 1930 is omgeslagen van vijandig naar koöperatief, en naar het gebruik van de dominante metaforen `revolutie' en `krisis', dat vanaf 1928 sterk terugloopt, wordt duidelijk dat het einde van de grondslagenkrisis in enge zin in 1928 gelegd moet worden. Daarna loopt de diskussie nog wel door, maar in een wezenlijk andere vorm.

Ook op geografisch en kultureel gebied kan de grondslagenstrijd afgebakend worden. Het is met name een Europese aangelegenheid, en daarbinnen is het Duitse taalgebied het best vertegenwoordigd. Dit geeft aan dat ook kulturele faktoren een rol speelden in hoezeer men betrokken was bij het debat over de grondslagen van de wiskunde.


Op basis van dit onderzoek kan gekonkludeerd worden dat de standaardinterpretatie van de grondslagenstrijd op een drietal punten niet klopt. In de eerste plaats speelden de paradoxen van de verzamelingenleer slechts een bescheiden rol in de grondslagenstrijd. Hun belangrijkste funktie was die van inleiding op het debat. De thema's waar het debat om draaide waren niet de paradoxen van de verzamelingenleer, maar vooral wiskundige existentie en de geldigheid van het principe van de uitgesloten derde. Dit zijn beide onderwerpen waarbij intuïtionisten kritiek leverden op de wiskunde zoals die toen bedreven werd. De positieve bijdragen van het intuïtionisme, gebaseerd op keuzerijen, speelden nauwelijks een rol van betekenis in het debat. Op deze manier ontstond een eenzijdig beeld van wat intuïtionisme was: een stroming die vooral kritisch was, maar weinig opbouwends bood.

Bij wiskundige existentie ging het om de vraag wanneer een wiskundig objekt (een punt in de ruimte, een funktie, ...) bestaat, en wanneer wiskundige systemen bestaan. Volgens het intuïtionisme moet een wiskundig objekt om te bestaan gedacht -- dat wil zeggen mentaal gekonstrueerd -- kunnen worden. Volgens het formalisme is het voldoende dat het axiomatisch systeem waarin de wiskundige objekten voorkomen konsistent is. De diskussie over wiskundige existentie was dus in hoge mate terminologisch: het ging over de vraag wat `bestaan' in de wiskunde betekende. Toch werd er gedurende het debat geen terminologische oplossing, in de zin van het gebruiken van verschillende termen voor de verschillende opvattingen over wiskundige existentie, geaccepteerd. Daarnaast speelde het label `konstruktief' een belangrijke rol in de diskussie over wiskundige existentie. Dit label was zo populair dat alle stromingen het claimden. Pas later in het debat kwam de kritiek naar boven dat duidelijk omschreven moest worden wat `konstruktiviteit' eigenlijk betekende.

Het principe van de uitgesloten derde is het logische principe dat zegt dat elke uitspraak hetzij waar, hetzij onwaar is. De vraag naar de geldigheid van dit principe spitste zich toe op de situatie waarin uitspraken gedaan worden over een oneindige verzameling objekten. Volgens het formalisme is een uitspraak van de vorm `alle objekten van de verzameling V hebben niet de eigenschap E òf er is een objekt in V dat de eigenschap E heeft' altijd waar. Hierdoor wordt een bewijs uit het ongerijmde mogelijk: bewijzen dat er een objekt is dat de eigenschap E heeft, door te laten zien dat het onmogelijk is dat alle objekten niet de eigenschap E hebben. Op deze manier krijgen we een existentie-uitspraak, namelijk `er is een objekt dat de eigenschap E heeft', zonder dat we zo'n objekt aan kunnen wijzen -- een zogenaamde niet-konstruktieve existentie-uitspraak. Volgens het intuïtionisme moeten we, om de uitspraak `alle objekten van de verzameling V hebben niet de eigenschap E òf er is een objekt in V dat de eigenschap E heeft' waar te maken, één van de twee alternatieven van deze disjunktie kunnen bewijzen. We moeten dus ofwel kunnen laten zien dat alle elementen niet de eigenschap E hebben, of we moeten een objekt kunnen konstrueren dat de eigenschap E heeft. Omdat we dat in het algemeen niet kunnen, is er geen reden waarom we zouden kunnen veronderstellen dat de uitspraak `alle objekten van de verzameling V hebben niet de eigenschap E òf er is een objekt in V dat de eigenschap E heeft' algemeen geldig is. Hiermee is ook duidelijk dat de standpunten over wiskundige existentie en over het principe van de uitgesloten derde samenhangen, iets wat in de loop van het debat ook voor steeds meer participanten duidelijk werd.


De tweede reden waarom de standaardinterpretatie van de grondslagenstrijd niet klopt is dat de stromingen intuïtionisme, formalisme en logicisme geen gelijkwaardige rol speelden. Het intuïtionisme en formalisme waren prominent aanwezig; het logicisme daarentegen maar marginaal. Bertrand Russell, de voorman van de logicisten, had het grondslagentoneel verlaten, Wittgenstein was gestopt na de publikatie van de Tractatus/, Ramsey zat relatief geïsoleerd in het Verenigd Koninkrijk, en Carnap werd pas aktief toen het felste deel van de diskussie al achter de rug was.


De derde korrektie op de standaardinterpretatie is dat er, in ieder geval in het begin van het debat, nauwelijks strijd plaatsvond tussen het formalisme en het intuïtionisme. Dit wordt duidelijk door te kijken naar de argumentaties die gebruikt werden in reaktie op Brouwers intuïtionisme. Het formalistische argument bij uitstek, namelijk `dit is het geval omdat we het formeel systeem zo gedefinieerd hebben', kwam nauwelijks voor. In plaats daarvan gebruikte men vaak argumenten die gebaseerd waren op een inhoudelijke (in plaats van een formele) interpretatie van de wiskunde. Dit blijkt het sterkst bij de diskussie over logika en het principe van de uitgesloten derde. Veelvuldig komt het argument voor dat het principe van de uitgesloten derde, en daarmee de gehele klassieke logika, wel waar moet/ zijn, aangezien dit de wetten van ons denken weergeeft. Ook beargumenteerde men vaak dat een uitspraak wel waar of onwaar moet/ zijn, ook al kunnen wij het niet bewijzen. Pas in de loop van het debat werd velen duidelijk dat dit onhoudbare stellingen zijn, en schoof men op naar een meer formalistische kijk op wiskunde en logika. Zelfs bij Hilbert, die algemeen gezien wordt als de leider van de formalistische stroming, zien we in het begin van de jaren twintig nog veelvuldig verwijzingen naar de `gedachtenobjekten' die de wiskunde, naar zijn idee, beschrijft. Pas in 1925 gaf Hilbert publiekelijk toe dat sommige van de uitspraken die in de formalistische wiskunde bewezen worden inhoudsloos zijn, en alleen dienen om het systeem kompleet te maken.


De intuïtionistische kritiek was niet alleen gericht op de formalistische wiskunde, maar zeker ook op de inhoudelijke claims van de klassieke wiskunde. Dit verklaart waarom zo velen reageerden en waarom sommigen zo emotioneel reageerden: ze voelden zich -- terecht -- aangevallen in hun visie van wat wiskunde was. In de loop van het debat werd velen duidelijk dat de eis van konsistentie van een axiomatisch systeem geen konstrueerbare gedachten impliceert, en dat de klassieke logika niet altijd inhoudelijke uitspraken oplevert. Op deze manier bereikte Brouwer het tegendeel van wat hem voor ogen stond. Met zijn intuïtionistische wiskunde streefde hij naar een volledig inhoudelijke, dat wil zeggen mentaal konstrueerbare wiskunde. Het resultaat van de grondslagenstrijd was dat men accepteerde dat de wiskunde voor een belangrijk deel inhoudsloos was. De intuïtionistische kritiek heeft een wezenlijke bijdrage geleverd aan de ontwikkeling en verspreiding van de hedendaagse, formalistische visie op de wiskunde.


Voetnoot

1) Deze discussie staat bekend als de grondslagenstrijd. Ik gebruik in het Nederlands `grondslagenstrijd' als equivalent aan het Engelse `foundational crisis', omdat de term `grondslagenstrijd' in het Nederlands meer is ingeburgerd.