ANTWOORD AAN MEVROUW
EHRENFEST-AFANASSJEWA
Aanvullende gegevens:
Artikel verschenen in: Bijvoegsel op het Nieuw Tijdschrift voor
Wiskunde
I (1924-25), pp. 60-68.
Oorspronkelijk artikel met voetnoten, die op ieder pagina apart
genummerd waren.
Dit stuk was een reactie op het
artikel van mevr. Ehrenfest in hetzelfde
tijdschrift.
ANTWOORD AAN MEVROUW EHRENFEST-
AFANASSJEWA
DOOR
E.J. DIJKSTERHUIS.
Het antwoord van Mevrouw Ehrenfest op de critische
opmerkingen, die ik gemeend heb te moeten maken op hare brochure
over het Meetkunde-Onderwijs aan niet-wiskundige leerlingen,
geeft mij aanleiding tot een korte repliek. Ik stel mij voor, daarbij
ondergeschikte punten van meeningsverschil ter zijde te laten en
slechts op de hoofdzaken in te gaan.
Tot die hoofdzaken reken ik de vraag, wat wij, in den
gedachtengang van Mevrouw Ehrenfest, onder intuïtie hebben te verstaan.
De moeilijkheden, die ik op dit punt bij de lezing van hare brochure
ondervond, zijn door de nadere toelichting, die zij in haar antwoord
geeft, namelijk niet verdreven. Mevrouw Ehrenfest beklaagt
zich thans, dat hare critici, zelfs als ze tot hare geestverwanten
behooren, over de intuïtie als over iets wezenlijk onbewusts
spreken. Deze klacht begrijp ik niet; immers de door haar verworpen
opvatting kan nergens sterkere bewijsplaatsen vinden, dan
in haar eigen brochure. Definieert zij daarin de intuïtieve
werkzaamheid niet als het ontwaren von iets, zonder er zich rekenschap
van te geven en ook het ordenen daarvan zonder bewustwording
en omschrijft zij haar onderscheiding van logica en intuïtie in
de volgende alinea niet nader als een scheiding van het bewuste
en het onbewuste deel in het procédé van inzien? Vermeldt ze
niet enkele regels verder, als argument voor de noodzakelijkheid
van de intuïtie voor den wiskundige, hoe volgens H. Poincaré het
zoeken en vinden van wiskundige feiten dikwijls op onbewuste
wijze geschiedt? Stelt ze ook daar niet het ontwaren tegenover het
bewust worden? Verduidelijkt ze haar gedachtengang niet in de
noot op dezelfde bladzijde, door te spreken van het intuïtief gegeven
[pag. 61]
gebied, waarlangs de geest van H. Poincaré rondzwierf, voordat
het hem gelukte, het gezochte ook met zijn bewustzijn te vatten?
Als dit alles werkelijk te lezen staat op bladzijde 7 van
hare brochure, hoe kan Mevrouw Ehrenfest er zich dan nu over beklagen,
dat hare critici, wanneer ze haar gedachtengang trachten
te volgen, over de intuïtie als over iets wezenlijk onbewusts
spreken? Hoe kan zij mij in het bijzonder verwijten, dat ik ten
onrechte onbewust en intuïtief als synoniem opvat, wanneer
ik in een argumentatie ad hominem niets anders doe, dan letterlijk haar
eigen definitie toepassen?
Ik acht dan ook de contradictie, die ik in het spraakgebruik
van Mevrouw Ehrenfest heb meenen te vinden, geenszins opgelost door
haar nadere verklaring, dat zij de woorden bewust en onbewust
gebruikt in dezelfde beteekenis, die iedereen daaraan hecht en
ik voel mij in de overtuiging, dat er iets hapert aan haar terminologie,
versterkt door de uiteenzetting, dat de intuïtie nog bestaat,
nadat ze door het zoeklicht van het bewustzijn beschenen is, dus
niet meer onbewust is. Dit schijnt mij zelfs een argument te meer
voor mijn meening, dat Mevrouw E~hrenfest niet de intuïtie, het
,,inzicht'', als iets onbewusts had mogen aanduiden, maar dat
alleen de wijze, waarop dat inzicht tot stand komt, onbewust mag
worden genoemd.
Ik stap hierlnee weer van de qilaestie van de terminologie af;
ze is belangrijk, omdat ik in het mislukken van de pogingen van
Mevrouw Ehrenfest, om zóó, dat het voor den oplettenden lezer
begrijpelijk is, te zeggen, wat ze onder intuïtie verstaat, het bewijs
zie, dat zij zelve over dat begrip nog niet tot volkomen klaarheid
is gekomen; maar ze is niet overheerschend, omdat het in de
toepassingen, die zij van dit begrip maakt, wel mogelijk schijnt,
haar bedoeling te vatten.
Wanneer ik thans ten eerste de vraag stel, of Mevrouw
Ehrenfest in haar antwoord op den wezenlijken inhoud van mijn
kritiek is ingegaan, dan moet ik tot mijn spijt constateeren, dat dit
op de meeste punten niet het geval is. Ik had als de beslissende
logische fout in haar betoog deze meenen te vinden, dat zij, inplaats
van het ruimtelijk voorstellingsvermogen te beschouwen als een der
vele vormen, waarin de meetkundige intuïtie zich kan uiten, de
begrippen ruimtelijk voorstellingsvermogen en intuïtie als synoniemen
opvatte. Wel verre van deze bewering te weerleggen, zelfs
[pag. 62]
maar te bestrijden, levert Mevrouw Ehrenfest in haar antwoord het
treffende bewijs, dat hier inderdaad de zwakke plaats van haar
betoog ligt. Ze vertelt namelijk nu het geval van een mathematisch-physische
berekening, waarbij de auteur zoozeer was opgegaan
in het zuiver technische werk, in het rekenen, dat hij, komende
tot een physisch onbegrijpelijk resultaat, niettemin van de realiteit
van het gevonden effect overtuigd was. Blijkbaar vindt de schrijfster
-- en wie zal haar tegenspreken? -- dat zulk een zuiver
formeel gebruik van de wiskundige taal tot verdwazing voert en
ze herhaalt feitelijk dus nog eens, wat ze al in haar brochure had
betoogd en wat ik in mijn critiek als volkomen vanzelfsprekend
had beaamd: dat evenmin als formeel aaneenrijgen van syllogismen
zonder helder inzicht in de beteekenis van de bestanddeelen
daarvan, het algebraisch correct bewerken van formules zonder
voortdurende overweging van de beteekenis van de daarin optredende
symbolen, denken mag heeten.
Maar wat is nu de merkwaardige conclusie, waarvoor de
verhaalde anecdote als argument moet dienen? Dat meetkunde-onderwijs
niet vruchtdragend kan zijn zonder voorafgaande ontwikkeling
van het voorstellingsvermogen! Niet alleen leidt dus
Mevrouw Ehrenfest uit de praemisse, dat denken niet mogelijk
is zonder intuïtie (een stelling, die, ik herhaal het, nooit door iemand
betwijfeld is of kan worden) de conclusie af, dat meetkundig
denken niet bestaan kan zonder ruimtelijke voorstelling, maar ze
ziet zelfs in de ontwikkeling van het ruimtelijk voorstellingsvermogen
het voorbehoedmiddel tegen een verwaarloozing van de
intuïtie op andere gebieden van wetenschappelijk denken.
De overtuiging van de onmisbaarheid van dit vermogen schijnt
den geest van Mevrouw Ehrenfest zoozeer te beheerschen, dat
haar logisch denken een sprong kan maken, om de gewenschte
conclusie ook vanuit andere gedachtengangen, dan die er eigenlijk
heen voeren, te bereiken. Bovendien echter maakt deze overtuiging
haar vaak onbillijk tegenover hen, die andere wegen volgen, dan
zij zou wenschen.
Ziet slechts de schrille kleuren, waarin zij de gevolgen van
de gebruikelijke methode van meetkunde-onderwijs schildert: in
tegenstelling met de toekomstmethode laat de thans gebruikelijke
handelwijze den mensch òf zonder eenigen steun van wetenschappelijke
scholing tegenover de levensgebeurtenissen staan òf
[pag. 63]
ze leert hem, er op te reageeren op een wijze, waarvoor Mevrouw
Ehrenfest, met dat eigenaardig gevoel van superioriteit, waarmee
in onzen tijd intellectueele vrouwen zoo gaarne op het mannelijk
geslacht neerzien, geen minder waardeerende qualificatie, dan
,,mannenlogica'' kan vinden. Tusschen deze beide euvelen: niets
aan hun leerlingen geven of doctrinairen kweeken, moeten de ongelukkigen,
die de meetkunde nog in hoofdzaak volgens Euclides
doceeren, blijkbaar hun keus doen.
Mevrouw Ehrenfest houde mij ten goede, wanneer ik een
dergelijke voorsteling overdreven noem. Ik ben gaarne overtuigd, dat
ook bij haar de practijk zachtmoediger zal zijn dan de theorie,
maar blijkbaar beheerscht de theorie haar, wanneer zij schrijft en
haar geschriften zijn het, die wij hier te beoordeelen hebben.
Een tweede punt, waarop ik mijn critiek niet weerlegd kan
achten, is het volgende:
Erkennende, dat ontwikkeling van het voorstellingsvermogen
bij het onderwijs in de Stereometrie aan niet-wiskundige leerlingen,
voorzoover bereikbaar, zeer gewenscht is, had ik de meening verdedigd,
dat deze ontwikkeling gaandeweg, in samenhang met den
systematischen opbouw van de stereometrische kennis kan geschieden
en dat dit ook de meest gewenschte weg is. Ik kan nu niet
inzien, dat Mevrouw Ehrenfest in haar antwoord deze meening
weerlegd heeft: immers, sprekende over de velichting en de
bevrediging, die men aan de leerlingen schenkt, wanneer men ze
helpt, om het aanschouwelijke beeld van de figuraties, waarover
de Stereometrie handelt, op te bouwen, verklaart zij categorisch,
dat het te laat is, wanneer men met deze hulp komt midden in den
systematischen cursus. Nu schrijft zij mij in deze woorden een
andere meening toe, dan ik verkondigd had: ik wil niet met hulp
voor de voorstelling komen midden in den systematischen cursus,
maar ik wil van den aanvang af me overtuigen, dat bij iedere stelling,
die bewezen wordt, een heldere voorstelling aanwezig is,
en ik acht dan ook stoffelijke hulpmiddelen voor het vormen van
deze voorstelling zonder voorbehoud aanbevelenswaardig. Maar
bezwaren had ik tegen het bestudeeren van stoffelijke modellen van
gecompliceerde ruimtevormen, voordat het systematische
stereometrie-onderwijs een aanvang kan nemen; daarvan duchtte ik en
ducht ik nog schade aan de exactheid van uitdrukking, aan de
[pag. 64]
strengheid van bewijs.
1) Mevrouw Ehrenfest geeft opnieuw mijn
meening niet geheel juist weer, wanneer zij mij steeds laat verlangen,
dat de leerling logisch bevredigende stellingen zal kunnen
uitspreken over dingen, die hij zich niet kan voorstellen. In het
algemeen wil ik den omniddellijken samenhang van het uitspreken
der stelling en het aanwezig zijn der ruimtelijke voorstelling: ik
voeg er echter dadelijk aan toe, dat er gevallen zijn, waarin ik
het verlangen, dat haar zoo ongerijmd lijkt, werkelijk bezit en ik
kan nog steeds niet inzien, waarom Mevrouw Ehrenfest niet kan
toegeven, dat men iets meetkundigs volkomen kan begrijpen, zonder
dat er een heldere voorstelling aanwezig is. Ik wil daarom aan de
voorbeelden, die ik daarvoor reeds uit verschillende gebieden heb
aangehaald, nog een zeer eenvoudig, aan het H.B.S.onderwijs
ontleend, toevoegen.
Gevraagd wordt, op welke wijze drie vlakken A, B en C ten
opzichte van elkaar gelegen kunnen zijn. Men merkt nu b.v. op,
dat er twee mogelijkheden zijn: de vlakken A en B snijden elkaar
voigens een rechte 1 of ze snijden elkaar niet. In het eerste geval
zal de rechte l òf het vlak snijden in een punt O, òf er
evenwijdig aan loopen òf er in liggen. Wanneer men nu, weer de eerste
van deze mogelijkheden vervolgend, concludeert, dat drie vlakken dus
zoo gelegen kunnen zijn, dat ze één punt gemeen hebben, spreekt
men dan niet met volledig juist begrip een correcte stelling uit, ook
als men zich geen drievlakshoek kan voorstellen?
2) Moet men
[pag. 65]
werkelijk reeds eens aan een stoffelijk ding het bestaan van dit
geval hebben opgemerkt, op straffe van door Mevrouw Ehrenfest
ingedeeld te worden bij de categorie van de rekenaars zonder
physische intuïtie? En is het niet voldoende, wanneer men, eenmaal
overtuigd, dat er een drievlakshoek moet bestaan, eens rond
gaat zien, of men die ook ergens stoffelijk verwezenlijkt vinden kan?
En wanneer men, doorgaande met de boven aangevangen
redeneering, de vijf gevallen afleidt, die zich bij de onderlinge ligging
van drie vakken kunnen voordoen, gaat men dan niet logischer,
systematischer, strenger, kortom wiskundiger te werk, dan wanneer
men aan stoffelijke modellen van lichamen gaandeweg de
verschillende mogelijkheden opmerkt? Geeft dit opmerken ooit
de zekerheid, dat er niet meer dan vijf gevallen zijn?
Geeft in het algemeen het zintuigelijk waarnemen ooit het
dwingende gevoel van apodictische zekerheid en volkomen exactheid,
dat den stellingen der Euclidische Meetkunde, in spijt van alle sinds
Kant ontstane mathematische en physische inzichten, voor het mathematisch
ongeschoolde denken, nog steeds aankleeft?
Hiermee kom ik echter vanzelf tot een antwoord op de vraag,
die Mevrouw Ehrenfest stelt over mijn bedoeling met de uitdrukking
,,zekerheid van de grondslagen der Euclidische Meetkunde''. Natuurlijk
bedoel ik hier de subjectieve zekerheid, de evidentie, die deze
grondslagen voor het wiskundig ongeschoolde denken bezitten en die
zoo groot is, dat er een belangrijke mate van mathematisch-psysische
ontwikkeling vereischt wordt, om te kunnen inzien, dat met die zekerheid
de objectieve realiseering, de physische toepasbaarheid niet
gepaard behoeft te gaan. Inderdaad, er is een ,,véritable dislocation
intellectuelle'' noodig, om met Painlevé te spreken
3), om te leeren
twijfelen aan de hypothese van Kant, dat de Euclidische driedimensionale
ruimte de noodzakelijke vorm is, waarin het menschelijk
intellect de uitwendige ervaring ontvangt en nog steeds bezit het
ongeschoolde denken de axioma's der Euclidische Meetkunde als
door een soort instinct, dat men, door zich te beroepen op het
[pag. 66]
voortdurende contact met de vaste lichamen, wel kan trachten te
verklaren, maar dat men daarmee niet wegpraat.
Maar het zijn niet deze axioma's alleen, gaat Mevrouw
Ehrenfest voort, die evident voor hem zijn; tal van stellingen uit het begin
der Euclidische meetkunde vindt hij even vanzelfsprekend, als wat
hem als axioma wordt voortgezet; bovendien is het stelsel der
axioma's, dat men hem geeft, niet volledig. Zoo worden dus
sommige evidente feiten heelemaal niet uitdrukkelijk vermeld, andere
als axioma ingevoerd en weer andere zullen dan ineens bewezen
moeten worden?
Inderdaad zoo is het en geen voorstander van de klassieke
methode kan ontkennen, dat hier, theoretisch gesproken, de zwakke
plek van het systeem ligt. De vraag is nu echter maar, of de
handelwijze van Mevrouw Ehrenfest deze onoverkomelijke moeilijkheid
beter omzeilt dan de klassieke methode dat doet en deze
vraag zou ik voorloopig nog ontkennend willen beantwoorden.
Weliswaar moet men haar toegeven, dat het zonder bewijs
aannemen van stellingen, wanneer dit geschiedt als voorloopige maatregel
en onder uitdrukkelijke vermelding, dat het bewijs opzettelijk
achterwege wordt gelaten, niet onexact mag worden genoemd. Het
is vaak ongetwijfeld beter, iets niet te bewijzen, dan door een schijnbewijs
een illusie van exactheid te wekken. Maar uit deze overweging
volgt alleen een argument voor het weglaten van bewijzen op
grond van onvoldoende strengheid en men kan er geen enkel motief
aan ontleenen, om nu ook de wel exacte bewijzen, die in den opbovw
der meetkunde voor tal van eenvoudige en voor ieder dadelijk plausibele
stellingen worden geleverd, te verbannen.
Dit laatste echter wil Mevrouw Ehrenfest wel; zij toch zoekt
haar criterium voor het al of niet geven van een bewijs in de vraag, of de
stelling niet dan al voor alle leerlingen evident is en ze motiveert dit
door de bewering, dat de leerlingen voor het bewijs van een evidente
stelling geen belangstelling kunnen hebben, dat ze er hun gedachten
niet op kunnen concentreeren, omdat ze niet in staat zijn, aan de
stelling zelve te twijfelen. Het is dit psychologische argument, meer
dan het logische, dat ik boven vermeldde, dat haar, ook na den
propaedeutischen cursus, zulk een ingrijpende verandering in het
meetkunde-onderwijs doet eischen.
Dwingende kracht gaat er echter van dit argument niet op mij
uit. De eisch van het leveren van een bewijs beteekent heelemaal niet
[pag. 67]
noodzakelijk, dat men twijfel aan de juistheid van de stelling verlangt
en dat men dien twijfel door het bewijs wil wegnemen. Men
beoogt er slechts mee (wat Mevrouw Ehrenfest natuurlijk ook
beoogt, maar wat zij voor de evidente stellingen pas in den axiomatischen
cursus wil venvezenlijken), het logische verband tusschen de
bedoelde stelling en andere, zij het dan ook niet meer evidente, dan
toch eenvoudigere stellingen, op te sporen en, vooral, den leerling
eenvoudig oefenmateriaal te verschaffen voor het leeren hanteeren
van de verschillende meetkundige bewijsvormen, opdat hij niet, bij
het ontmoeten van niet evidente stellingen, tegelijk met de moeilijkheid
van de stelling, zijn technische onbeholpenheid in het bewijzen
zal hebben te overwinnen.
Ik kan ook niet toegeven, dat de leerlingen zóó
weinig belangstelling kunnen hebben voor dergelijk werk, dat ze, ook bij goeden
wil, hun belangsteling niet daarop zullen kunnen concentreeren; mocht
het in een enkel geval voorkomen, mocht ook eens een leerling
klagen over het bespottelijke, dat hij dingen moet bewijzen, die ,,je
toch zoo ziet'', dan zou mij dit niet zoo heel erg imponeeren. Een
kind moet ten slotte ook leeren, zich tot gedachtenconcentratie te
dwingen en het is niet altijd noodig, dat het het waarom beseft
van de dingen, die men het laat doen.
Resumeerende moet ik verklaren, dat ik nog steeds niet
overtuigd ben, dat de klassieke methode van meetkunde-onderwijs
werkelijk aan zoo groote bezwaren onderhevig is, als Mevrouw
Ehrenfest er tegen aanvoert en dat ik mijn bedenkingen tegen haar
plannen nog niet weerlegd kan achten.
En waar zij haar betoog eindigt met de verklaring, dat ons
meeningsverschil ten slotte berust op een verschil in ideaal, daar
zou ik mijn antwoord willen besluiten met dat tot op zekere hoogte
in twijfel te trekken. Beiden zullen we toch wel het doel hebben, om
de aan onze zorgen toevertrouwde leerlingen in te leiden in het
gebouw der Euclidische Meetkunde, een gebouw van zoo groote
schoonheid en, ondanks de hier en daar wat wankele fundamenten,
van zoo harmonische soliditeit, dat het iederen mensch geestelijk
goed moet doen, daarin eenigen tijd te verwijlen.
Maar wellicht beschouwt Mevrouw Ehrenfest de gidsen, die hun
bezoekers op de traditioneele wijze rondleiden, niet als de ware
vertolkers der wiskundige schoonheden; wellicht weet zij te wijzen
op fijne eigenaardigheden, die de anderen achteloos voorbij gaan.
[pag. 68]
In dat geval is haar doel inderdaad van andere, ja zelfs van hoogere
orde, dan het onze. Dan echter moge hier de uitnoodiging tot haar
gericht worden, op de uiteenzetting van haar methode nu ook een
nadere schildering van dat hoogere doel te laten volgen.
Oisterwijk, Januari 1925.
Voetnoten
1) Ter voorkoming van miverstand moge hierbij worden opgemerkt,
dat het toebrengen van deze schade door Mevrouw Ehrenfest niet wordt
beoogd; integendeel: zij beschouwd immers juist als een der essentieele
voordeelen van haar methode, dat het na den propaedeutischen cursus mogelijk zal
zijn, exactheid van redeneering met meer succes na te streven, dan bij de
gangbare methode geschieden kan. Door deze doelstelling kan zij echter niet
vootkomen, dat in den propaedeutischen cursus dingen zullen gebeuren, dit
uit wiskundig oogpunt niet toelaatbaar zijn: o.a. zullen de leerlingen bij het
spreken van over de ruimte-vormen die zij onder ogen krijgen, allerlei
wiskundige termen gebruiken, zonder in staat te zijn, onder woorden te brengen,
wat ze daaronder verstaan.
2) Het spreekt wel vanzelf, dat het ontstaan van die
voorstelling daarna zoo krachtig mogelijk zal moeten worden bevorderd. De
bedoeling van het bovenstaande was slechts, aan te toonen, dat men zonder de
ruimtelijke ervaring, die Mevrouw Ehrenfest in den Propaedeutischen cursus wil
verschaffen, door redeneering alleen tot de overtuiging van het bestaan van een
drievlakshoek komen.
3) P. Painlevé, Les Axiomes de la Mécanique.
Examen critique. p. 5. Paris, 1922.