De Stelling van Pythagoras gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. |
Dames en Heren,
`Een inaugurele rede is dikwijls voorspelbaar.' Zo begint de afscheidsrede van mijn leermeester Jan Strooker, door hem uitgesproken in Utrecht op 17 oktober 1997. Hij vervolgt: `De intredende hoogleraar geeft een voor leken begrijpelijk overzicht van zijn vakgebied, met nadruk op eigen belangstelling en deskundigheid. Hij geeft aan, in welke richting hij het onderzoek gestalte wil geven en hoe hij de studenten denkt op te leiden.'
Dit jaar hoop ik mijn 25-jarig jubileum aan deze universiteit mee te maken. De behoefte om mij hier nu na zoveel jaren te presenteren is niet echt aanwezig. Mijn vakgebied is de Algebraïsche K-theorie, een onderdeel van de algebra waar maar weinigen kaas van gegeten hebben en ik zal deze rede niet gebruiken om daar verandering in te brengen.
In deze rede zal ik ingaan op de aard van de wiskunde en de plaats die hij in het onderwijs van vooral het VWO zou moeten innemen. Naar mijn mening is er meer verband tussen dat wiskundeonderwijs en belangstelling voor bèta-vakken dan algemeen wordt aangenomen. Juist omdat de studentenaantallen voor deze vakken zo klein zijn geworden wil ik van deze gelegenheid gebruik maken om daar de aandacht op te vestigen.
Ik zal achtereenvolgens ingaan op de volgende vragen
Wat is wiskunde?en zal besluiten met een korte schets van een plan.
Waar is wiskunde goed voor?
Waarom wiskundeonderwijs?
Wat gaat er mis?
Wat zou er moeten gebeuren?
Geachte toehoorders. Toen U na het betreden van deze zaal op een van de stoelen plaatsnam was dat een voor U ongecompliceerde gebeurtenis. U ziet een stoel, weet dat U op zoiets kunt plaats nemen en vervolgens doet U dat ook. In Uw hersenen is er een hersenspinsel op grond waarvan U deze actie snel en vol vertrouwen onderneemt. Zulke hersenspinselen zijn zeer belangrijk. U kunt niet zonder. Ik moet er niet aan denken dat ik eerst zou moeten nadenken over het soort materiaal waarvan de stoel vervaardigd is, of hij wel stevig genoeg zal zijn, enzovoorts. Met zo'n hersenspinsel gaat niet alles noodzakelijkerwijs feilloos: zo nu en dan zakken er mensen door stoelen. Hersenspinsels zijn talrijk en vaak ligt er enige wiskunde aan ten grondslag. Met wiskunde kun je er voor zorgen dat stoelen zo vervaardigd worden dat de kans op calamiteiten verwaarloosbaar klein is.
Bij andere voortbrengselen van de techniek is de rol van de wiskunde nog veel sterker aanwezig. Denk aan radio's, televisietoestellen, vliegtuigen, raketten, compact discs, computers. Veel te veel om op te noemen. Bij al dit soort apparaten heeft U zo Uw eigen hersenspinsels. Een compact-discspeler is een apparaat dat een duidelijk doel dient. Het is een doos met knoppen. Je kunt er een compact disc in stoppen. Als je op de juiste knoppen drukt dan gebeurt er meestal wel wat je ervan verwacht. Er komt muziek uit. Er is een ongelooflijke hoeveelheid kennis in zo'n apparaat verwerkt: kennis uit de natuurkunde, de informatica, de techniek, kortom kennis van al die vakken waarvan je iets zou leren als je de goede raad ``kies exact'' zou opvolgen. Bij al deze vakken speelt wiskunde op een of andere manier een rol en zelfs een cruciale rol.
Nu denkt U misschien dat ik nu ga zeggen dat wiskunde dus belangrijk is en dat daarom iedereen de wiskunde moet gaan bestuderen. Vervolgens beëindig ik deze rede en kunnen we na die gewichtige constatering snel aan de receptie beginnen. Ik wil het echter in een ander perspectief plaatsen.
Om een compact-discspeler te gebruiken hoef je geen wiskunde te kennen. Je kunt volstaan met een eenvoudig hersenspinsel. Daarvoor is zo'n apparaat een black box met enkele knoppen ter bediening ervan. Knappe koppen hebben het bedacht en U kunt het gebruiken en hoeft U niet te verdiepen in zulke duffe zaken als wiskunde. Dat is leuk voor nerds. Natuurlijk is het belangrijk en het is ook goed dat er mensen zijn die zich ermee bezig houden, maar dergelijk geestdodend werk kan ook door mensen uit andere landen gedaan worden. De immigratie uit de landen van het voormalige Oostblok begint trouwens al aardig op gang te komen.
Ook in de natuurwetenschappen bedient men zich van hersenspinsels. De bewegingswetten van Newton zijn vervat in formules, wiskunde dus. Het gaat hier om een stukje wiskunde waarmee we de werkelijkheid beschrijven en in dit geval zelfs op een verrassend goede wijze. Het is een hersenspinsel op grond waarvan we met succes uitspraken doen over de werkelijkheid. We beschrijven de voor ons vaak wat mistige realiteit met iets dat ongewoon helder is, met iets waarover wij exact kunnen redeneren.
Alleen binnen de wiskunde kan exact geredeneerd worden. Daar hebben we de wiskunde nu juist voor. De mogelijkheid om exact te redeneren heeft ook een prijs: wiskunde is abstract, het is geen realiteit. Het is een krachtig hulpmiddel, maar het is ook niet meer dan een hersenspinsel.
Wiskunde is een wetenschap. Wetenschappen gaan ergens over, zij hebben een object van studie. Wiskunde gaat over abstracte zaken. Bijvoorbeeld over getallen, zoals de natuurlijke getallen: 0,1,2,3, enz. Een getal is abstract. Je komt in de natuur geen getallen tegen. Wiskunde is geen natuurwetenschap. Abstracte zaken zijn door de mens zelf bedacht en deze bedenksels zijn op hun beurt weer object van studie geworden. Abstract is overigens niet hetzelfde als moeilijk: een kind weet wat een getal is.
Laten we voor de duidelijkheid even bij de natuurlijke getallen blijven. Hoewel ze abstract zijn kunnen ze wel eigenschappen hebben: ze kunnen even zijn of oneven, ze kunnen een priemgetal zijn of juist samengesteld. Een extra complicerende factor is dat er zo veel zijn: er zijn er oneindig veel. Zoiets kom je in de natuur ook niet tegen. Als je de natuurlijke getallen gaat opsommen dan kom je nooit klaar, want er is altijd weer een volgend getal dat je nog niet hebt gehad. Ook dat weet een kind.
Niet alleen getallen zijn bedenksels van de menselijke geest. Ook meetkundige objecten als punten, lijnen en cirkels zijn dat. Die lijken wel op wat je in de natuur tegenkomt, maar in de wiskunde zijn het geheel abstracte zaken.
Een zeer oude wiskundige stelling is de stelling van Pythagoras.
De Stelling van Pythagorasgelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. |
Er zijn vele bewijzen voor deze stelling. Het volgende bewijs is gemakkelijk te onthouden.
Bewijs van de Stelling van Pythagoras  De vier rechthoekige driehoeken hebben elk een oppervlakte 
en dus
 ofwel  Om in te zien dat de figuur met zijden c een vierkant is kan de stelling worden gebruikt die zegt dat de som van de hoeken van een driehoek 
is.
|
Er zijn oneindig veel rechthoekige driehoeken. Toch is het hiermee voor al deze
driehoeken bewezen. Het is een soort gedachtenexperiment: je voert
deze constructie uit op een willekeurige rechthoekige driehoek, d.w.z.
een driehoek waarvan je verder alleen maar weet dat hij rechthoekig is. Meer
mag je in het bewijs dan ook niet gebruiken. Verder
mag je natuurlijk al wel conclusies trekken op grond van al eerder bewezen
stellingen. Het bewijs brengt de te bewijzen uitspraak terug tot uitspraken die
we al als waar hebben geaccepteerd, zoals hier bijvoorbeeld de stelling dat de
som van de hoeken van een driehoek 
is. Dit alles hangt samen met
de axiomatische methode in de wiskunde. Deze stamt uit de Griekse oudheid
en is van grote invloed geweest op de ontwikkeling van het vak.
De Stelling van Pythagoras is geen natuurwet. Dan zou het de Wet van Pythagoras zijn. Hij zou dan zijn gevonden door een aantal rechthoekige driehoeken te tekenen, daarvan de zijden te meten, de gemeten lengten te kwadrateren en te constateren dat de som van twee van deze getallen dicht bij het derde getal ligt. Afwijkingen zijn dan toe te schrijven aan meetfouten.
Nog een stelling uit de Griekse oudheid: een stelling van Euclides.
Een Stelling van Euclides
 |
Een bewijs ervan berust op:
Hulpstelling
Ieder positief geheel getal n is op unieke wijze een product van een macht van 2 en een oneven getal.D.w.z. er zijn unieke natuurlijke getallen m en k zo dat  |
Ook hiervan wordt het bewijs geleverd door voor een willekeurig getal de waarheid aan te tonen: dit is een wiskundige stelling en geen natuurwet. De genoemde stelling van Euclides volgt eenvoudig.
Bewijs van Stelling van Euclides
Het bewijs gaat uit het `ongerijmde': |
Deze stelling is zelfs moeilijk als natuurwet te interpreteren. 
is
volgens de stelling van Pythagoras de lengte van de schuine zijde van een
rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van lengte 1. Maar met een
lineaal is de irrationaliteit niet te constateren.
 als lengte
Pythagoras:
 |
De wiskundige wereld is een abstracte wereld. Het is een abstracte wereld waar de een beter de weg weet dan de ander. Zij die er vaak in vertoeven weten dat het een wereld van een grote schoonheid is en dat er nog heel veel in te ontdekken valt. Wiskundig onderzoek heet dat.
Bij sommigen leeft het misverstand dat de wiskunde, omdat het om een door de mens bedachte wereld gaat en men alleen logisch redeneren toelaat, een aanschakeling is van tautologieën en dus niet interessant kan wezen. Dat alles kan men rustig denken, als men er maar niet de conclusie uit trekt dat het daarom allemaal gemakkelijk is.
In de natuurwetenschappen komt men steeds meer tot inzichten die zijn samen te vatten als: eenvoud kan leiden tot complexiteit. DNA-moleculen bevatten blauwdrukken voor gecompliceerde organismen. Vele natuurverschijnselen hebben de structuur van een fractal: een wiskundig object met een heel eenvoudig constructie-principe en een zeer gecompliceerde structuur. De natuurlijke getallen 0,1,2,3,4 etc. vormen een eenvoudige structuur. Het gaat om een heel simpel hersenspinsel. Je kunt je er eenvoudige vragen over stellen. Soms duurt het eeuwen voor er een antwoord op dergelijke vragen wordt gevonden. Denk daarbij aan de laatste stelling van Fermat, een eeuwenoud probleem dat pas onlangs is opgelost door de Engelse wiskundige Andrew Wiles. Het is een resultaat van een eeuwenlang voortschrijdende verdieping van onze inzichten. De inzichten zijn inmiddels zo diep dat ze voor slechts weinigen nog toegankelijk zijn.
Een aansprekend voorbeeld van een complexe structuur die op een eenvoudig constructie-principe is gebaseerd is de Mandelbrot-verzameling. De constructie is als volgt:
Constructie van de Mandelbrot-verzameling
Bij ieder paar (a,b) van reële getallen is een rij
Met complexe getallen zijn deze rijen nog eenvoudiger te beschrijven. |
Het resultaat staat op de volgende bladzijde, waarbij ook getoond wordt wat het resultaat is van herhaald inzoomen met een factor van ongeveer 10.
 |
| |
 |
| |
 |
|
Heel deze structuur ligt besloten in de zogeheten reële getallen. Dat zijn de getallen die je mooi kunt laten corresponderen met de punten op een rechte lijn, in schoolboeken soms kommagetallen genoemd. Het duurde tot in de negentiende eeuw voor men hier tot de juiste inzichten kwam. Vooral een goed idee van het begrip limiet is daarbij onontbeerlijk.
De Mandelbrot-verzameling heeft een eenvoudig constructie-principe. Wat hem interessant maakt is een wiskundige interpretatie die we hier met het oog op de tijd niet uit de doeken zullen doen. Ik wil alleen maar zeggen dat het hier niet om zuiver Spielerei gaat. De Mandelbrot-verzameling is pas in de belangstelling gekomen toen Mandelbrot met gebruikmaking van de nieuwe vinding van de computer hem zichtbaar wilde maken. De opkomst van het rekentuig heeft hier een grote rol gespeeld.
Hoewel de wiskunde over abstracte zaken gaat, staat zij niet los van de realiteit, de wereld waarin wij leven en die object is van allerlei andere wetenschappen. Deze wetenschappen gebruiken de wiskunde. Ik geef een wel erg simpel voorbeeld uit de natuurkunde.
Als je een steentje in je hand hebt en het los laat, dan valt het naar beneden. Hoe hoger je het los laat, hoe langer het duurt voordat het op de grond valt. Je kunt meten hoe lang dat duurt. Voor verschillende hoogten kun je meten na hoeveel seconden het op de grond valt. Op grond van deze waarnemingen kun je vermoeden dat de tijd evenredig is met de vierkantswortel uit de afstand.
Waarnemingen leiden tot een formule:
 waarbij s de hoogte in meters en t de tijd in seconden is. Je krijgt zo de tijd als functie van de afgelegde weg. Natuurlijk kun je ook een experiment bedenken, waarbij je de afgelegde weg meet afhankelijk van de valtijd. Anderzijds leert heel simpele wiskunde je dat uit de vorige formule volgt  ofwel  |
Het experiment leidt tot een formule. Zo'n formule beschrijft een wiskundig abstract model van de werkelijkheid. Om terug te gaan naar de werkelijkheid moet je weten wat de interpretatie van je model is: wat stellen die s en t voor?
Wiskundig redeneren leidt tot nieuwe verbanden die een logisch gevolg zijn van het experimenteel gevonden verband. Dat geeft je de mogelijkheid om te toetsen of hetgeen je gevonden hebt wel met de werkelijkheid klopt. In de wetenschap vindt een wisselwerking plaats tussen de realiteit en de abstracte wiskundige wereld. Ben je goed thuis in de wiskunde dan zie je snel allerlei nieuwe betrekkingen. Het gaat hierbij om deductief redeneren in tegenstelling tot inductief redeneren, waarbij je uit een beperkt aantal waarnemingen komt tot uitspraken die verondersteld worden algemeen waar te zijn. Niet iedereen weet overal even goed de weg. De meeste mensen komen wel eens in de wereld van de wiskunde, maar de enige weg die ze er kennen is de weg terug. Wetenschappers komen er vaak. Experimenteel ingestelde wetenschappers zetten er gewoonlijk een paar passen om snel weer terug te keren om te kijken of het wel met de realiteit klopt of omdat ze er de weg niet zo goed kennen. Een ander uiterste is een theoretisch natuurkundige die op grond van natuurkundige problemen in de wereld van de wiskunde terecht komt en daar nooit meer uit komt omdat hij op zoek blijft naar nieuwe inzichten en nooit tot iets komt dat te toetsen valt. Wil je in de wetenschap goed functioneren, dan is het in ieder geval een groot voordeel als je op wiskundige wijze kunt redeneren. Dat is niet alleen goed in de natuurkunde, maar bijvoorbeeld ook in techniek, zeg om te beredeneren waarom een brug niet zal instorten of om te beredeneren hoe hard een raket de lucht in moet om niet meer terug te keren, of om te beredeneren hoe je een zachte landing op Jupiter kunt maken, etc. Ook is het van belang om te kunnen afleiden dat een computerprogramma doet wat je wilt dat het doet. Zoals u weet doen zulke programma's dat niet altijd. Soms met rampzalige gevolgen.
Een wiskundige kent de weg in de wiskundige wereld van abstracties. Hij is bedreven in het logisch denken. Het is echter een wijd verbreid misverstand dat alleen wiskundigen dit hoeven te kunnen. Gebruik je de wiskunde in wetenschap en techniek alleen maar als een receptenboek, dan laat je vele kansen liggen en is het gevaar van verkeerd gebruik van de wiskunde groot. Zelfs als je de wiskunde niet gebruikt, dan is het nog steeds zo dat het logisch kunnen denken van grote waarde is.
De wiskunde is bij uitstek geschikt om het logisch redeneren te leren. Dit komt omdat het daarbij gaat om redeneren in een volstrekt heldere context. Die context is wel abstract, maar juist daarom kan hij ook zo helder zijn. Het gaat immers om een hersenspinsel dat is gemaakt om exact denken mogelijk te maken. Daarin is de kracht van de wiskunde gelegen. In de wiskunde zijn uitgangspunten en regels absoluut helder. Dat is in de praktijk van alledag vaak anders en daarom is logisch denken dan ook vaak veel moeilijker. Ik acht het een goed didactisch principe dat niet alles door elkaar onderwezen wordt. Doelstellingen van onderwijsdelen dienen overzichtelijk te zijn. Het wiskundeonderwijs zou als primair doel moeten hebben het logisch denken te leren. Dat heeft een maatschappelijk nut dat ver uit gaat boven alle wiskundegebruik bij elkaar!
Leren exact te denken is een training van de hersenen. De rol van het wiskundeonderwijs is vergelijkbaar met die van de lichamelijke opvoeding. Bij hardlopen gaat het erom zo snel mogelijk van A naar B te lopen, waarbij A en B bijvoorbeeld 800 meter uit elkaar liggen. Waar A en B liggen doet er minder toe. Nooit hoor je beweren dat lichamelijke opvoeding zinloos is omdat je later toch niet meer hard hoeft te lopen. Wel heb ik medici, economen en zelfs wiskundigen horen klagen over het feit dat ze wiskunde hebben moeten leren die ze later nooit meer hebben hoeven gebruiken. Er valt veel onzin te beluisteren:
wiskunde moet maatschappelijk relevant zijn,Je mag alleen hardlopen als het maatschappelijk relevant is: als koerier bijvoorbeeld. Gemotoriseerd gaat het trouwens nog veel sneller. Waar is hardlopen nou goed voor? We hebben Van Gend & Loos toch?
wiskunde moet toegepast zijn,
alleen wiskunde die ergens over gaat mag worden onderwezen.
Natuurlijk hoeft niet iedereen wiskunde als topsport te gaan bedrijven. Met hardlopen gebeurt dat ook niet. Er zijn vele leuke dingen in het leven en niet iedereen heeft overal aanleg voor.
De nieuwste trend in het wiskundeonderwijs is realistische wiskunde. Ik heb al betoogd dat wiskunde bij uitstek abstract is. Wiskunde is niet realistisch. Realistische wiskunde bestaat niet. Met zoiets bereik je niks, evenmin als met abstract voetballen.
Natuurlijk ligt de kracht van de wiskunde in haar relatie met de realiteit: de realiteit van de wereld om ons heen en de realiteit in de zin van natuur en techniek. Maar het onderscheid moet wel blijven bestaan. Anders verdwijnt de wiskunde omdat dan het exact redeneren is afgeschaft.
Laten we eens terugkeren naar de Stelling van Pythagoras. Dat is dus een stelling en geen natuurwet. Je stelt hem dus niet op experimentele wijze vast zoals de bewegingswetten van Newton. Het is een resultaat van een redenering. Hoe wordt de Stelling van Pythagoras op school behandeld? Bij enkele methodes voor wiskundeonderwijs heb ik dit opgezocht. Mijn interesse gaat daarbij vooral uit naar het deductieve aspect. Het gaat niet om een onderzoek: ik geef hier slechts mijn ervaringen.
De grote educatieve uitgeverij Wolters-Noordhoff brengt meerdere methodes voor het wiskundeonderwijs op de markt. Een van deze methodes is Netwerk, een uitgave met vele gekleurde plaatjes en tekeningen. De Stelling van Pythagoras wordt behandeld in deel twee voor HAVO en VWO. In een paragraaf getiteld Oppervlakten, die vooraf gaat aan de paragraaf met titel De Stelling van Pythagoras, wordt geoefend in het berekenen van oppervlakten van op ruitjespapier getekende vierkanten die scheef in dit rooster van ruitjes liggen.
Berekenen van Oppervlakten in Netwerk
Hoe bereken je de oppervlakte van een vierkant dat scheef in een rooster
ligt?
|
Ik had het al eerder over wiskunde als receptenboek. Als U zich herinnert hoe de Stelling van Pythagoras bewezen kan worden, dan zou U zich ook kunnen indenken dat dit een uitstekende voorbereiding is op een bewijs dat op deze manier niet uit de lucht komt vallen: pas dit recept toe op een willekeurige rechthoekige driehoek en je krijgt de Stelling van Pythagoras. In de paragraaf over deze stelling wordt dit rekenwerk in een opgave herhaald met de drie vierkanten die op de zijden staan van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 2 en 5. Deze oppervlakten zijn dan 4, 25 en 29. Nog steeds een ogenschijnlijk goed doordachte voorbereiding op de Stelling van Pythagoras. Dan wordt de stelling geformuleerd. Je slaat de bladzijde om en ...geen bewijs, alleen rekenvoorbeelden. Je kijkt nog een bladzijde verder. In een opgave staat een ongewoon ingewikkelde veelkleurige figuur opgebouwd uit driehoeken, vierhoeken en vijfhoeken. Deze figuur moet je overtekenen. De drie-, vier- en vijfhoeken uitknippen en met deze figuren een legpuzzel oplossen. Ten slotte wordt je gevraagd wat je eigenlijk hebt aangetoond. De leerling zal wel denken dat dit nu hogere wiskunde is, daarin versterkt door de opmerking die daarna onder aan de bladzijde staat en die gaat over het begrip bewijs.
Opgave uit Netwerk
|
Vervolgens wordt er uitvoerig ingegaan op het gebruik van de stelling.
Eveneens van Wolters-Noordhoff is de methode Moderne wiskunde. De Stelling van Pythagoras staat in deel 2 voor MAVO, HAVO en VWO. Het is een uitgave in tweekleurendruk. Dat geeft hoop. Ook hier voorbereidend werk met scheef gesitueerde vierkanten. Hier wordt de Stelling pas een stelling nadat hij in vijf gevallen is nagerekend in plaats van in één geval. Verder moet gezegd worden dat er in de vorm van een opgave aandacht wordt geschonken aan het algemene geval, zij het op een te suggestieve wijze: van een hoek wordt zonder omwegen aangenomen dat hij recht is. Vanuit wiskundig standpunt is deze methode dus beduidend beter: er is aandacht voor het algemene geval. Wel wordt het bewijs weggestopt in een opgave.
Op een klein aantal scholen wordt De Wageningse Methode gebruikt. Hij is ontwikkeld door leraren met een Nijmeegse achtergrond en wordt tegenwoordig op een niet-commerciële basis uitgegeven. Ook hier zijn er voorbereidende oefeningen met het berekenen van oppervlakten. Hier wordt gerekend aan vier rechthoekige driehoeken. Belangrijk is dat de Stelling pas een stelling is als hij bewezen is. Het bewijs maakt deel uit van de leerstof: het staat gewoon in de tekst. Wel wordt ook hier het recht zijn van een hoek onder tafel gewerkt. Aan het gebruik van de stelling wordt overigens niet minder aandacht geschonken dan hetgeen bij Netwerk het geval is.
De methode Netwerk is niet bijzonder in zijn soort. Dat ik deze er uit haal is nogal toevallig. De schrijvers van Netwerk valt niets te verwijten: het is een uitwerking van de doelstellingen van de basisvorming. Toch zijn methodes als Netwerk een ramp voor het ontwikkelen van wiskundig inzicht. Bij de methode Moderne wiskunde is er, zonder gerichte prikkels van de kant van de leraar, te weinig uitdaging voor goede leerlingen. De Wageningse Methode heeft voor de wiskunde het hart op de juiste plaats, al valt er wiskundig nog wel wat te verbeteren: de tijdgeest laat ook hier zijn sporen na.
De stelling die zegt dat de som van de hoeken van een driehoek 
is,
ligt ten grondslag aan het bewijs van de Stelling van Pythagoras.
Deze logische samenhang wordt in de leerboeken niet op prijs gesteld. In Netwerk
wordt deze stelling niet geformuleerd, maar is weggestopt in een
`verdiepingsopgave' in deel 1. Die opgave gaat trouwens over Sander die na het
avondeten de hond moet uitlaten. In de Methode Realistische wiskunde,
uitgegeven door Malmberg, wordt de stelling over de hoeken van een driehoek
bewezen met tekenen, knippen, scheuren en plakken. Het gaat daar dus om een
natuurwet. Het kan gewoon niet realistischer. Het argument voor de stelling
is drie bladzijden eerder al aan de orde geweest. Liever knippen en plakken
dan logica.
Vroeger-toen ik op school zat-werd de Stelling van Pythagoras meestal als volgt bewezen:
Bewijs van de Stelling van Pythagoras
|
Dit bewijs maakt geen gebruik van het begrip oppervlakte, omdat het zo als wiskundig strenger werd ervaren. Oppervlakte werd dan later ingevoerd. Ik zat op een Amsterdamse lagere school waar het niet gebruikelijk was leerlingen door te verwijzen naar het middelbaar onderwijs dat op de universiteit voorbereidde. Ik was de enige in mijn klas die naar zo'n school ging: de Tweede Openbare Handelsschool (een categorale HBS-A), omdat ik teveel moeite met wiskunde zou hebben. Ik kreeg daar les van de heer Peters die de gehele meetkunde die je je eigen moest maken op bord schreef en die je dan kon overnemen in een schrift. Ziehier de hier relevante bladzijde en bedenk dat het een Handelsschool betrof:
|
De docent kon het niet laten als toegift het bewijs van Multatuli te vermelden. Dit bewijs lijkt op wat ik al eerder toonde, alleen de algebra is nog meer uitgebannen. Algebra is niet populair in het onderwijs.
Het niveau van redeneren in de wiskunde heeft in de Griekse oudheid een grote sprong voorwaarts gemaakt. Eeuwen lang zijn wiskundelessen op scholen erop gebaseerd geweest en terecht. Ik zeg niet dat dat daarom dan ook goede lessen waren. Goede wiskunde kan gepaard gaan met een slechte didactiek. En dat was misschien meer regel dan uitzondering. Waar ik mij tegen verzet is de idee dat goede wiskunde slechte didactiek ís. We weten inmiddels dat ook de Babyloniërs gevoel hadden voor wiskunde. Zij deden iets dat we nu wiskunde zouden noemen. De sprong vooruit van de Grieken, die hadden zij niet genomen. In de realistische wiskunde wordt deze sprong genegeerd. Met zulke wiskunde wordt het nooit wat, hoeveel didactici er ook van gecharmeerd zijn.
Een andere sprong voorwaarts in de geschiedenis van de wiskunde is in de vorige eeuw gemaakt. Ik doel hier op het toen ontstane inzicht in de reële getallen. Dit inzicht is cruciaal bij alles wat met limieten te maken heeft. En dat is veel. Denk aan continuïteit, differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen, kansrekening, statistiek, fractals, chaos en nog veel meer: wiskunde die ten grondslag ligt aan onze gehele moderne technologie. Wat doen we op school? Omdat we moeilijkheden willen omzeilen, gaan we moeilijk doen over fundamentele begrippen. Weinig leerlingen die het echt begrijpen. Omdat velen het te moeilijk vinden is er vervolgens de tendens om nog meer onder het kleed te vegen.
Als iets zo belangrijk is, dat, als je het goed begrijpt, je opeens nog veel meer kunt gaan begrijpen, dan moet daar extra tijd aan besteed worden. Dat mag best ten koste gaan van wat allerlei wiskundegebruikers als noodzakelijk en onmisbaar zien. Waarom moet ieder kind de moderne wiskunde leren op het niveau van een Babyloniër? Welk doel is daarmee gediend?
Wat over reële getallen in schoolboeken staat is bedroevend. In Netwerk
bijvoorbeeld
vond ik niet meer dan de volgende definitie: een komma-getal is een getal
met een komma er in. De noodzaak om met andere getallen dan breuken te rekenen
ontstaat als we gaan worteltrekken. De schoolboeken komen niet verder dan
soms op te merken dat ze met benaderingen werken.
Dat 
irrationaal is, is niet realistisch en wordt derhalve niet
onderwezen. Voor de Grieken was het een schok, maar dat was hun probleem.
Wat is er volgens mij nu echt mis met veel van ons wiskundeonderwijs? De meest diepgaande fout is het verwarren van abstractie en realiteit. Abstractie is ontstaan uit de behoefte tot helderheid. In de hersenspinsels van de wiskunde is er sprake van absolute helderheid. In ons onderwijs wordt dat mistig gemaakt en dat is zonde. Het is een gemiste kans voor het leren van exact denken.
In het onderwijs gaat het verrassend weinig over getallen. Begrippen die een kind kan begrijpen worden niet behandeld, mogelijk omdat ze te weinig realistisch zijn. De meetkunde heeft het wat dat betreft gemakkelijker, maar daarmee loopt deze wel het gevaar door een realistische aanpak als natuurwetenschap te worden behandeld.
Maar het kan erger. De techniek staat voor niets. We kunnen nu de grafische rekenmachine gaan gebruiken in het onderwijs. Functies als de sinus krijg je in de vorm van een grafiek op een schermpje. Door waarnemen kun je nu eigenschappen aan de grafiek aflezen. Je kunt op het scherm zien dat bijvoorbeeld de som van de kwadraten van de sinus en de cosinus gelijk is aan 1. Je hoeft dan niet te begrijpen wat de sinus en de cosinus zijn en ook niet dat het hier om de Stelling van Pythagoras gaat. Zo'n grafische rekenmachine is een doos met knoppen. Heel handig voor het doen van berekeningen. In de handen van sommigen kan het in het onderwijs ingezet gaan worden om de wiskunde om zeep te helpen. Die is dan pas echt naar de knoppen. Onze hersenspinsels zijn dan niet in eerste instantie gericht op het beheersen van de realiteit, maar op het beheersen van deze doos met knoppen. En daar horen geheel andere hersenspinsels bij.
Op wiskundig gebied gaat tegenwoordig de computeralgebra het verst in het
uit handen nemen van wiskundige activiteit. In de wiskunde gaat het om
exactheid. Soms willen we een benadering van bijvoorbeeld 
met
een aantal decimalen. Vaak willen we het exacte getal hebben en daar verder
mee redeneren. Computeralgebra-pakketen kunnen met de exacte dingen rekenen
en ook met onbekenden, die we vaak met x aanduiden. Alles wat wiskundigen
aan algoritmen,
berekeningsmethoden bedacht hebben maakt deel uit van deze software. Sterker
nog: nu deze
mogelijkheden er zijn bedenken we steeds slimmere rekenmethoden die we hierin
kunnen implementeren. Veel wiskundig onderzoek heeft zo tot resultaat dat het
anderen mogelijk maakt om op domme wijze met wiskunde om te gaan.
Wiskunde is niet algoritmisch
van aard. Zelfs als men alleen in algoritmen is geïnteresseerd, dan is
het nog steeds zo dat er geen algoritmen zijn om algoritmen te bedenken.
We hebben nu fraaie uiterst krachtige wiskundige knoppendozen als
Mathematica en Maple. Deze zijn bijzonder nuttig voor het toepassen van
wiskunde en voor het doen van berekeningen in de wiskunde waar we als eenvoudig
sterveling anders niet toe zouden komen. Door zulke berekeningen kunnen we
trouwens soms ook ons inzicht vergroten. Het gebruik ervan kan ik van harte
aanbevelen. Dat ze in het VWO nog weinig worden gebruikt komt door de prijs.
Dat is maar goed ook, want
ze bieden een veelheid aan mogelijkheden om de ontwikkeling van wiskundig
inzicht bij leerlingen tegen te gaan.
De laatste decennia zijn er met name in ons land veel pogingen ondernomen om een groter deel van de leerlingen te leren wiskunde te gebruiken. Daar heeft men succes mee gehad. Wel is er een zeer hoge prijs voor betaald: het karakter van abstractie en redeneren is voor een zeer groot deel verloren gegaan. Het gaat daarbij om het wezen van de wiskunde, om wat de wiskunde zo krachtig heeft gemaakt.
Wil men belangstelling voor de bèta-vakken kweken dan moet men niet op deze manier met bèta-vakken omgaan. Voor veel leerlingen met aanleg zijn deze vakken nu te moeilijk, niet omdat ze voor hen echt moeilijk zijn, maar omdat ze op deze wijze voor hen onbegrijpelijk zijn. Van de functie van de wiskunde daarbij, namelijk die van absolute helderheid, wordt geen gebruik gemaakt.
Bij veel leerlingen in de brugklas is er een nieuwsgierigheid naar
eigenschappen van getallen.
Een niet-wiskundige heeft onlangs een boek geschreven voor
kinderen over wiskunde. Hij laat bijvoorbeeld zien dat 
irrationaal
is: de radijs uit 2 is een onverstandig getal. Ik heb het over `De
telduivel' van Hans Magnus Enzensberger. Het is een bestseller!
Dat men in het onderwijs zo'n nieuwsgierigheid negeert doet het ergste vrezen
voor het toekomstige peil van de bèta-vakken in ons land.
Deze leerlingen krijgen niet wat hen toekomt.
Bij iedere onderwijshervorming wordt deze situatie slechter. Binnenkort
kunnen we deze ontwikkelingen zien
culmineren in het studiehuis, want de geringe waardering die er is voor
mondelinge overdracht van kennis, doet het ergste vrezen. Iedere wiskundige kan
namelijk vertellen hoe belangrijk mondelinge kennisoverdracht voor hem of haar
is geweest, maar naar wiskundigen wordt niet geluisterd. Bovendien krijgen we nu
profielen. Van het profiel natuur en techniek zou iets moois gemaakt kunnen
worden, maar het wordt bij voorbaat om zeep geholpen door de Technische
Universiteiten die nu vertellen dat voor hen een ander profiel net zo goed is.
Verder heeft de basisvorming zijn werk gedaan en kunnen goedbedoelde plannen
in de bovenbouw gaan stranden door het lage aanvangsniveau in
die bovenbouw. Het imago van bèta-vakken zal er opnieuw onder te leiden
hebben.
Leerlingen kiezen al snel voor veiliger wegen die tot het diploma leiden.
Het is hard nodig dat er op het VWO een leerweg komt die al in de brugklas begint speciaal voor leerlingen die enige aanleg voor exacte vakken hebben. En dat zijn meer leerlingen dan sommigen denken. Vroege selectie is heel goed mogelijk: wiskundeleraren hebben doorgaans in de brugklas omstreeks de Kerst al een goed beeld van de capaciteiten van hun leerlingen. De wiskunde zal in zo'n leerweg een centrale rol moeten hebben. Dat zeg ik niet omdat ik een wiskundige ben, maar op grond van inzichten in de rol van de wiskunde en het wiskundeonderwijs.
Nodig is een lesmethode voor wiskunde waarbij het deductieve karakter wordt hersteld. Dat wil niet zeggen dat het weer moet zoals vroeger. Liever niet meer bijvoorbeeld een bewijs van de stelling van Pythagoras zonder het begrip oppervlakte om de enige reden dat je hem dan ook kunt bewijzen. Er gaapt een kloof tussen het vroegere rigide wiskundeonderwijs en het huidige realistische. Het is heel goed mogelijk om het deductieve karakter te behouden zonder in voor leerlingen onbegrijpelijke haarkloverijen te vervallen. Didactiek van de wiskunde houdt ook onderzoek in naar een deductieve opzet die voor onderwijsdoeleinden bruikbaar is. Sommigen schijnen didactiek een vies woord te vinden, maar ik zou er graag deze betekenis aan willen koppelen. Het gaat om een uiterst serieuze maar schromelijk ondergewaardeerde bezigheid.
De beste stuurlui staan aan wal. Dat is het gezegde. Je moet maar eens voor de klas staan, dan piep je wel anders. Er zijn scholen die bij de vorming van leerlingen in de bèta-vakken duidelijk beter scoren dan andere. Dat is dan terug te voeren op de aanwezigheid van zeer capabele leraren. Voor leraren die onder de huidige omstandigheden er in slagen leerlingen te stimuleren heb ik veel respect. Hun adviezen zouden zwaarwegend moeten zijn.
De universiteit heeft een rol in het behoud van onze cultuur. Zij moet onder de huidige omstandigheden niet aan wal blijven staan. Er zijn initiatieven van haar kant nodig.
Met het doel het tij te keren heb ik een plan bedacht. Om het goed uit te voeren is een klein beetje geld nodig. Maar gezien het belang dat alom wordt gehecht aan het stimuleren van bèta-vakken kan ik mij nauwelijks voorstellen dat dat een obstakel zou kunnen zijn. Het plan is als volgt.
In de Subfaculteit Wiskunde van de nu bijna gevormde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica wordt een Centrum voor het Wiskunde-onderwijs gevestigd. In dit Centrum zal een samenwerking tot stand komen tussen wiskundigen werkzaam bij de Subfaculteit, de vakdidactiek wiskunde van de Unilo, leraren van het VWO en auteurs van onderwijsmethodes zoals de Wageningse Methode. Het stelt zich ten doel een leerweg wiskunde te ontwerpen en te onderhouden die speciaal bedoeld is voor VWO-leerlingen met enige aanleg voor exacte vakken. Deze methode zal vrij te gebruiken zijn. Er is geen tussenkomst van een commerciële uitgever. Hij zal vrij beschikbaar zijn op het Internet. Ook zullen gedrukte versies tegen materiaalkosten bij het Centrum verkrijgbaar moeten zijn. De mogelijkheid om interactief lesmateriaal op te nemen zal onderzocht moeten worden. Distributie kan dan ook goed op CD-ROM plaatsvinden.
De Methode zal tot stand komen door bijdragen van medewerkers van dit Centrum, maar ook door bijdragen van anderen die zich daartoe geroepen voelen. Het Centrum zorgt voor een consistent geheel. Zo wordt de te ontwerpen Internet-site een plaats waar een leraar ideeën kan opdoen en waar hij ideeën voor anderen beschikbaar kan stellen.
Tussen de theorie en de praktijk van het wiskundeonderwijs kan zo een wisselwerking ontstaan die leidt tot een lesmethode die door velen wordt gedragen en die de mogelijkheid heeft op een natuurlijke wijze te evolueren tot een methode van hoge kwaliteit.
Bij de hiertoe geëigende instanties zal ik binnenkort een aanvrage doen ter verwerving van middelen om dit plan te realiseren.
Ik citeer wederom uit Jan Strookers afscheidsrede, waar hij het heeft over het voorspelbare karakter van inaugurele redes: `Vervolgens bedankt hij de dekaan voor het in hem gestelde vertrouwen, hoopt op prettige en vruchtbare samenwerking met zijn collega's, en bedankt zijn oude leermeester die zo kranig de reis uit het verre X heeft aanvaard om hier in de zaal te zitten. Tot slot bedankt hij nog zijn lieve ouders, die zijn studie hebben bekostigd door brood te sparen uit de monden van jongere zusjes'.
In deze geest zal ik mijn rede besluiten.
Ik bedank iedereen van de Vakgroep Wiskunde, de Faculteit der Wiskunde en Informatica, het College van Bestuur en het Stichtingsbestuur van de KUN voor het in mij gestelde vertrouwen. Op grond van de voorafgaande 25 jaren heb ik de verwachting dat er de komende tijd een goed werkklimaat zal zijn.
Mijn afstudeerdocent en promotor Frans Oort heeft bij mij de belangstelling voor de algebra gewekt. Ook van Nico Kuiper, die een paar jaren geleden is overleden, heb ik veel geleerd, met name van de wijze waarop hij in colleges de wiskunde tot leven liet komen. De begeleider bij mijn promotieonderzoek, Jan Strooker, had veel vertrouwen in mijn kunnen en was altijd belangstellend. Dat was zeer stimulerend. Hij is nu zo kranig uit het verre Utrecht gekomen.
Hier in Nijmegen heb ik veel geleerd van de inzichten van Henry Varma in de aard van de wiskunde en de bestuurlijke consequenties daarvan. Mijn voorganger Ton Levelt heeft in Nijmegen de computeralgebra geïntroduceerd. Dat heeft hier tot interessante ontwikkelingen geleid die het zeker verdienen te worden voortgezet. Zijn emeritaat heeft bij hem niet geleid tot een verminderde wiskundige activiteit. Momenteel vertoeft hij in Angers.
Ik kom uit een niet-academisch milieu. Mijn ouders hadden alleen de lagere school gehad. Waar mijn aanleg en belangstelling voor wiskunde vandaan zijn gekomen weet ik niet. Terugkijkend weet ik dat het begon toen ik een jaar of tien was. Goede wiskundeleraren hebben daarna veel goeds verricht. In de jaren zestig, toen ik studeerde, was het beurzenstelsel van de overheid dusdanig dat mensen als ik-met aanleg en zonder geld-een academische studie konden volgen. Jongere zusjes waren er niet. Mijn ouders vonden dat ik beter een echt vak kon leren, maar gaven mij toch voldoende vrijheid.
Er is meer op de wereld dan wiskunde. Mijn gezin is steeds zeer behulpzaam geweest om mij dat goed te doen beseffen: katten, ratten, hamsters, slangen, konijnen, wandelende takken, Feyenoord, schaken, The Tazmanian Devil, 3T, Pencak silat, de Dagtopvijf, badminton, communicatiekunde, traditionele Chinese geneeskunde en, jawel, wiskundeonderwijs. Van mij mag dat nog lang in deze geest doorgaan.
Ik heb gezegd.
is een irrationaal getal
rationaal is. Dan zijn er positieve gehele getallen
a en b zo dat
van zulke paren gedefinieerd door
van complexe
getallen gedefinieerd door
ABC, 
CBD en 
ACD gelijkvormig, dus
