T. Ehrenfest - Zahlbegriff und Erfahrung

DER ZAHLBEGRIFF UND DIE ERFAHRUNG

VON

T. EHRENFEST-AFANASSJEEWA

Aanvullende gegevens:
Artikel verschenen in Euclides 14 (1937/38), pp. 1-23. Nummering van de voetnoten is behouden. Noot 8 ontbrak ook in het origineel, vermoedelijk betrof dit een zetfout.

§ 1. In der Entwickelung des Zahlbegriffes, welche auf der Schule beigebracht wird, gibt es zwei Punkte, die unseren Schülern besondere Schwierigkeiten bereiten, so wie sie auch manchem von uns bereitet haben: es sind die Erweiterungen des Begriffes ,,Multiplikation'' zunächst auf Brüche, dann auf negative Zahlen.
Man wird ungefähr längs diesem Wege geführt:
a) Gegeben die neue Zahlenart. b) Gefragt, was soll man unter Multiplikation mit solchen Zahlen verstehen (womit als von selbst sprechend angenommen wird, dass -- wenn es schon einmal eine ,,Zahl'' ist, so muss damit auch ,,multipliziert'' werden). c) Deutlich gemacht, dass der vorher gebrauchte Begriff der Multiplikation für diese neue Art von Zahlen sich als sinnlos ergibt und dass man ,,also'' einen allgemeineren Begriff ausarbeiten muss, von dem der alte bekannte ein für die alten bekannten Zahlen gültiger Spezialfall wäre. d) Die betreffende neue Definition gegeben.
Und nun kommt die Misère: alle Erweiterungen des Begriffes ,,Summe'', auch die Erweiterungen der Multiplikation auf Irrationalzahlen und auf Komplexe Zahlen schluckt man ohne Mühe. Aber die beiden oben genannten Erweiterungen empfindet man als paradoxal! 1) Und man kennt wohl manche verzweifelten Versuche, welche durch einige Lehrer gemacht werden um den Schülern zu beweisen, dass die vorgelegte Definition ,,die Richtige'' sei.
Hier möchte ich doch eine Kürieuse Erklärung anfähren, die im [pag. 2] XV Jahrhundert durch den Mathematiker Lucas Paciuolo 2) gegeben wurde. Seine Skrupel sind ja vielen van uns gemein gewesen; er drückt sie so aus: ,,Ist es nicht ein Widerspruch, wenn Brüche bei der Multiplikation mit einander sich gegenseitig kleiner machen, während multiplizieren, vervielfachen auf das Grösserwerden hinweisen, wie auch gesagt sei: Wachset und vervielfältigt Euch und füllet die Erde!'' -- und nun probiert er sich ruhig zu stellen, unter anderem, durch die Betrachtung, dass ,,grösser werden heisse sich mehr von der Einheit entfernen,'' und dass dieses ebenso ,,nach der Richtung des Gangen, wie nach der Richtung der Brüche'' geschehen könne, so dass in diesem Sinne

1	=	1	×	1
6	=	2	×	3

wirklich grösser als jeder der Faktoren sei!
Und noch eine andere Erklärung, die auf den ersten Blick sogar recht schön antut 3): ,,eine Zahl a mit der Zahl b multiplizieren soll stets bedeuten: eine neue Zahl c so aus a bilden, wie b aus der Einheit gebildet ist.''
Unbestritten: alle uns bekannten Multiplikationen sind unter diese Definition unterzubringen. Das Ueble aber ist, dass sie zu unbestimmt ist. Wie ist ³/₄ aus der Einheit gebildet? -- man sagt: die Einheit ist durch 4 geteilt und das Resultat ist verdreifacht. Aber ist nicht auch

3	=	1 + 1 + 1	?
4		1 + 1 + 1 + 1

Wie soll man denn zwischen

,,	3	× a = (	a	) × 3'' und ,,	3	× a =	a + a + a	'' wählen?
	4		4		4		a + a + a + a

Oder: wie ist

2 aus der Einheit gebildet? ist es nicht so:

2 =

(1 + 1) ? darf man also schreiben: ,,

2 × a =

(a + a)'' ? ! !

§ 2. Ein jeder Mensch mit gesundem Verstand wird einsehen, [pag. 3] dass ³/₄ Kilo einer Waare dreimal so viel kosten, wie ¹/₄ Kilo, und dass ¹/₄ Kilo ein Viertel des Preises eines ganzen Kilo kostet. Auch wird man -- wenn auch mit etwas mehr Mühe -- zugeben, das (5 - 2) × (10 - 3) = 5 × 10 - 5 × 3 - 2 × 10 + 2 × 3 sei. 4)
Dieses stimmt mit ,,plus-mal-minus gibt minus'', ,,minus-mal-minus gibt plus'' u.s.w.
Es hat, bekanntlich, auch ein anschauliches Gegenstück, das seit Euclides datiert: die Darstellung der Oberfläche eines Rechteckes, wovon die Seiten als Differenzen von gewissen Strecken gegeben sind, durch vier andere Rechtecke.
Es sind nicht diese Rechenmethoden, die befremdend wirken, denn ihre Richtigkeit ist beweisbar, sondern die Tatsache, dass diese so heterogenen Berechnungen (,,³/₄ von a bilden''; ,,a mit 2 multiplizieren und das Vorzeichen wechseln'') mit demselben Namen genannt und mit demselben Symbol bezeichnet werden, wie das Vervielfältigen.
Wollen wir unseren Schülern in diesem Punkte behilflich sein, so sollen wir uns selber die Rechenschaft darüber geben, was denn die Mathematiker veranlasst haben konnte 5) alle diese Berechnungen als ,,Multiplikation'' zu erklären.

Die allgemeinen Gesetze der Operationen.
§ 3. Die Erweiterung des Zahlbegriffes und die damit gepaarte Erweiterung der Operationenbegriffe vollzog sich -- so [pag. 4] wie die Entwickelung der meisten unserer Begriffe -- nicht auf Grund von systematischer Ueberlegung, sondern ohne viel Fragen und Erklären, unter dem Einflusse von den jeweiligen Problemen, die sich teilweise von Seiten der Praxis aufdrängten, teilweise sich auf dem Wege der Ausarbeitung des bereits gewonnenen theoretischen Materiales erhoben.
Neue Gebiete entdecken und die Methoden zu ihrer Verwertung erfinden ist eine Sache, das Erworbene begreifen lernen und zu logischer Klarheit bringen ist eine andere Sache, die nicht anders, als nach jener ersteren zustande kommen kann.
So geschah es, dass die Mathematiker sich erst gegen die Mitte des neunzehnten Jahrhunderts der Frage zuwandten 6), was denn eigentlich das Wesen der Berechnungen wäre, die man ,,Addition'' resp. ,,Multiplikation'' nennt. Und sie konstatierten, dass für alle Arten von den in der Algebra behandelten Zahlen die nun allgemein bekannten Gesetze gelten:

a + b = b + a a × b = b × a . . . . kommutatives.
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
assoziatives.
(a + b)c = a × c + b × c . . . . distributives. Somit hatte man erfahren, was das Gemeinsame war, das den sonst so verschiedenen Berechnungen den Namen ,,Multiplikation'' (resp. ,,Addition'') verlieh. Nun sind aber die Mathematiker, als Solche, vollständig befriedigt, wenn der rein mathematische Inhalt eines Begriffes klargelegt ist; für ihre Zwecke ist es nicht erforderlich die weitere Frage zu stellen (die für den Mathematiklehrer wohl von Belang ist): wieso kommt es, dass die Erweiterung der Addition und Multiplikation gerade diese Gestalt angenommen hat und keine andere?
Man kann von ihnen höchstens den Hinweis auf die Permanenz jener Gesetze bei dieser Erweiterung erhalten. Dieses ist aber keine Antwort auf unsere Frage: jede Begriffserweiterung besteht darin, dass man einige Eigenschaften des ursprünglichen Begriffes fallen lässt, aber gewisse anderen beibehält -- diese erscheinen dann eben als permanent. Aber damit ist nichts gesagt über die [pag. 5] Gründe für gerade ihre Permanenz 7)! Es wird dadurch auch nicht erklärt, warum es nötig wäre bei der Erweiterung des Zahlbegriffes von diesen beiden Operationen auch etwas übrig zu lassen, warum die Zahlen justamente -- auf welche Weise auch - ,,addiert'' und ,,multipliziert'' werden sollten.
§ 4. Wir sind also, scheinbar, auch nach der Entdeckung der allgemeinen Gesetze der Operationen nicht weiter gekommen in dem, was uns hier beschäftigt. Und doch wird uns gerade diese Entdeckung helfen in unser Problem eine grössere Uebersichtlichkeit hineinzubringen.
Der Zweck der Untersuchungen, welche zum Feststellen der obigen Gesetze führten, war derselbe, wie der der Axiomatisierung der Geometrie: man verfügte über ein recht ausgebreitetes, aber noch nicht ganz durchsichtiges Wissensmaterial, und es war notwendig die logischen Zusammenhänge darin einmal ganz deutlich zu überblicken.
Diese auf einem gewissen Entwickelungsstadium einer Wissenschaft unentbehrliche Leistung scheint aber Anlass zu manchem Misverständnis zu geben: einerseits wird die systematische und von jeder praktischen Motivierung losgelöste Darstellung der Zahl- und Operationenbegriffe zuweilen als eine Empfehlung aufgefasst auf eine abstrakte Weise die erste Bekanntschaft mit den Zahlen anzuleiten. Diese offenbar unhaltbare Auffassung bringt Manche zu einem vernichtenden Urteile über die ganze logische Analyse der Grundlagen, wofür diese wahrhaft unverantwortlich ist. Andrerseits wird die dabei deutlich gewordene logische Unabhängigkeit zwischen der Erweiterungsrichtung eines Begriffes und dem bis dahin entwickelten System von Begriffen oft als ein Beweis gedeutet für eine allseitige Ungebundenheit der mathematischen Begriffe, was dann manche Leute staunen lässt, wieso es doch kommt, dass die Mathematik so weitgehend praktisch anwendbar sei.
[pag. 6] Bei näherem Besehen ergeben sich jedoch die so abstrakt scheinenden Gesetze der Operationen durchaus nicht als vom Himmel gefallen. Weit davon entfernt ,,dem Leben fremd'' zu sein, zeigen sie sich als eine unmittelbare Abbildung der Erfahrung selber.

Erfahrungsgrundlage des Begriffes der ganzen Zahl. § 5. Unsere Auseinandersetzungen werden an Einheitlichkeit gewinnen, wenn wir darin auch die ganxen Zahlen einbeziehen.
Viele eminente Mathematiker sind der Meinung, dass der Ursprung unseres Begriffes der ganzen Zahl keiner Analyse zugänglich sei. 9) Ich will mir dessen ungeachtet eine dergleiche Analyse erlauben: der praktische Anlass zum Ausbilden dieses Begriffes scheint mir auf der Hand zu liegen; eine Tatsache ist es jedenfalls, das uns selber und unseren Kindern dieser Begriff längs dem Wege der Erfahrung beigebracht wird. 10).
Wollen wir einmal die Arithmetik neben den anderen Kalküls stellen: da haben wir, z.B., den Vektorenkalkül, den Matrizen-, den Logikkalkül u.s.w.
Ihre Objekte sind Symbole zweierlei Art: Symbole von Dingen und Symbole von Operationen. Die Operationen weisen gewissen Gruppen von Dingen (eigentlich: Dingsymbolen) andere Dinge derselben Art zu. Es bestehen Regeln, welchen gemäss man gewisse Operationen an gegebenen Dingen durch andere Operationen erstzen kann um dasselbe resultierende Ding zu ermitteln -- ,,identische Transformationen''. Alle identischen Transformationen [pag. 7] eines Kalküls sind logische Folgen aus gewissen elementaren identischen Transformationen, welche die Grundgesetze der elementaren Operationen ausmachen (kurz: ,,Operationengesetze'').
Die elementaren Operationen dieser verschiedenen Kalküls haben dieselben Namen -- ,,Addition'' und ,,Multiplikation'' -- wie die der Arithmetik, nur sind ihre Grundgesetze in den verschiedenen Kalküls verschieden (ohne das hätte man auch keine verschiedenen Kalküls!). So hat man, z. B., im Vektorenkalkül zwei verschiedene Arten von Multiplikation und nur für eine davon ist das kommutative Gesetz gültig.
Im Matrizenkalkül gilt die Kommutativität der Multiplikation nicht.
Im logikkalkäl hat man ein eigenartiges Additionsgesetz:
a + 1 = 1, welches zur Folge hat, dass die umgekehrte Operation keinen Sinn hat, und dass man neben dem Gesetz
(a + b) × c = a × c + b × c noch ein zweites distributives Gesetz hat: (a × b) + c = (a + c) × (b + c), welches aus dem ersten durch Vertauschung der Operationensymbole ,,+'' und ,,×'' gewonnen wird.
Welches sind die Dinge, auf die sich diese Kalküls beziehen, und woher hat man ihre Grundgesetze der Operationen? -- Sie sind ebenso wenig ,,frei versonnen'', wie die ganzen Zahlen mit ihren Operationengestetzen: alle diese Kalküls bilden einen Sach verhalt ab, den man auf einem oder anderen Gebiete vorgefunden hat. Sie helfen diese Gebiete zu ordnen und zu beherrschen.

§ 6. Die ganzen Zahlen bilden auch einen vorweg gegebenen Sachverhalt ab und zwar denjenigen, den wir in unserem alltäglichen Leben an den verschiedartigsten Versammlungen von diskreten Dingen vorfinden.
Um kurz zu sein, wollen wir diesen Sachverhalt recht abstrakt formulieren. Wenn wir bei verschiedenen gelegenheiten mit Versammlungen von mehreren Dingen zu tun haben, bemerken wir bald, dass diese nach dem folgenden Merkmale in verschiedene Kategorieen zerfallen: wenn wir die Elemente einer Versammlung den Elementen einer anderen Versammlung ein-an-ein zuordnen, so werden entweder diese beiden Versammlungen zugleich erschöpft, [pag. 8] oder aber ist die eine erschöpft, während von der anderen noch Elemente übrig bleiben. Dabei ist das eine oder das andere Resultat stets dasselbe unabhängig davon, welches Element der einen Versammlung welchem Elemente der anderen Versammlung zugeordnet wird. Alle Versammlungen, welche bei solcher Zuordnung an eine beliebige unter ihnen zugleich mit dieser erschöpft werden -- und nur solche -- rechnen wir zu einer und derselben Kategorie. Wir können uns beliebig viele beliebig verschiedene Versammlungen einer und derselben Kategorie denken, so dass das einzige, was ihnen allen gemeinsam ist, eben diese Eigenschaft ist: bei einer eineindeutigen Zuordnung zu einander zugleich erschöpft zu werden. Dieses ist die ,,Grundlage für die Begriffe ,,gleiche Anzahl'', ,,grössere'' resp. ,,kleinere Anzahl''. 11)
Die Erfahrung, welche diesen Begriffen zugrunde liegt, ist verhältnissmässig primitiv: sie reduziert sich darauf, dass die Eindrücke, welche wir von dem Leben (auch von unserem inneren Leben) bekommen, auf den ersten Blick in diskrete Stücke zerfallen (oder zumindest Verdichtungen aufweisen, wie H. Weber bemerkt 12), und dass diese (oder eventuell Erinnerungen an sie) eine genügende Existenzdauer haben damit wir sie als dieselben wiedererkennen 13). Die Welt entält (merklich) diskrete Dinge, unser Leben -- (merklich) diskrete Erlebnisse; diese gruppieren sich -- und zwar zunächst ohne unser eigenes Zutun -- in mehr oder weniger zahlreiche Versammlungen. Dass wir eventuell an ein zweites Ding denken, wo uns nur ein einziges gegeben ist, kann ich unmöglich als die allerprimärste Tat unseres Geistes auf dem Wege der Bildung des Zahlbegriffes erblicken l4). Ich g]aube nicht, dass ausser dem allgemeinen Vermögen Begriffe als Abstraktionen von der (äusseren und inneren) Erfahrung zu bilden noch eine spezielle Gabe nötig wäre um den Zahlbegriff zu bilden. [pag. 9]
§ 7. Es sei hervorgehoben, dass man mit den Begriffen der gleichen oder ungleichen Anzahl noch nicht weit genug ist um die Dinge zu zählen! Dazu ist noch der Begriff einer bestimmten Zahl erforderlich 15).
Wie sollen wir jemandem erklären, was für uns ,,sechs'' bedeutet? -- Wir können noch so viel suchen, wir finden nichts Besseres, als was bei einer solchen Gelegenheit einem Kinde vorgelegt wird: ein individuelles Beispiel von sechs Gegenständen.
Die Kategorie von Versammlungen, welche alle aus je sechs Elementen bestehen, kann nicht anders definiert werden, als durch den Hinweis auf einen speziellen Repräsentanten.
Wir verfügen, bekanntlich, seit jeher über eine Serie solcher speziellen Repräsentanten -- einen für jede Kategorie; sie werden folgendermaassen gebildet: man lernt auswendig eine Reihe von Symboten (,,eins'', ,,zwei'', . . . .) und zwar in einer bestimmten Reihenfolge. (Das Auswendiglernen wird zwar auf eine listige Weise auf einen recht kurzen Abschnitt dieser Reihe reduziert -- dank der Erfindung des Dezimalsystems -- aber die Reihe ist prinzipiell unbeschränkt). Man bildet aus diesen Symbolen Versammlungen und zwar so, dass eine Versammlung, welche ein gewisses Symbol enthält, (,,sechs'') auch alle in jener Reihe vorangehenden Symbole ,,drei'', ,,eins'', ,,zwei'', ,,fünf'' und ,,vier'') enthalte. Eine solche Versammlung ist dann der Repräsentant der bewussten Kategorie. ,,Zählen'' ist nichts anderes, als feststellen, welcher von allen diesen Versammlungen die gegebene Versammlung eineindeutig ohne Rest zuordenbar sei. Dass man bei dem Zuordnungsprozesse die Elemente der repräsentativen Versammlung stets in der erlernten Reihenfolge nimmt, ist eine Angelegenheit der -- überauss grossen -- Bequemlichkeit: es erspart uns das unbegrenzte Suchen; es trifft aber nicht das Wesen des Unterbringens unserer Versammlung in die entsprechende Kategorie, d.h. das Wesen des Zählens. Bekanntlich, wird das letzte Element des betreffenden Abschnittes der Symbolenreihe der gegebenen Versammlung als ihre ,,Zahl'' zugewiesen 16). [pag. 10]
Dass der Zahlbegriff uns nicht angeboren sei, wird wohl dadurch belegt, dass die Menschheit recht lange auf die Ausbildung einer Zahlenreihe warten liess: wie lange begnügte man sich mit dem Unterschiede ,,ein'' -- ,,zwei'' -- ,,viele''! Vielmehr erscheint er als eine langsam ausgearbeitete Abstraktion aus der menschlichen Erfahrung. Wie ich zu zeigen trachtete, haftet dem Begriffe einer bestimmten Zahl sogar die Erinnerung an eine ganz individuelle Erfahrung an: an einen bestimmten Abschnitt der memorierten Symbolenreihe.

Operationen an ganzen Zahlen und ihre Beziehung zu der
Erfahrung.
§ 8. Das ,,Addieren'' von zwei ganzen Zahlen ist die Abbildung des Vereinigens von zwei Versammlungen von Gegenständen zu einer einzigen. Hätte man nie die Gelegenheit zu einem solchen Vereinigen, so wäre auch kein Anlass da um den Begriff der Addition auszubilden l7).
Da das Resultat des Zählens unabhängig ist von der Reihenfolge, in welcher die verschiedenen Elemente der Versammlung den Zahlensymbolen zugeordnet werden, so ist es auch gleichgültig, welche von den Teilversammlungen zu diesem Zuordnungsprozesse als erste herangezogen wird. Dieses besagt, dass die Kommutativität der Addition durch den Karakter des Zahlbegriffes selber festgelegt ist. (Ein mir bekanntes Kind welches sonst keine besondere mathematische Veranlagung besass, gab auf die Frage ,,was ist mehr: zwei und drei oder drei und zwei, ganz prompt die richtige Antwort, versagte aber, als man fragte, wieviel es denn präzis wäre). M.a.W.: ist die ganze Zahl eine Abstraktion aus Versammlungen von diskreten Dingen, so ist die Addition von ganzen Zahlen mit allen ihren Eigenschaften eine Abbildung des sachsverhaltes an diesen Versammlungen. Diese Bemerkung breitet sich auch auf das assoziative Gesetz der Addition aus. [pag. 11]
Bei der Multiplikation tritt ein neues Symbol auf, welches die Anzahl der Summanden angibt. In der Formel a × b spielen a und b wesentlich verschiedene Rollen (nicht so, wie in ,,a + b''), die Kommutativität der Multiplikation kann daher nicht ohne Weiteres zugegeben werden. Der Beweis beruht aber unmittelbar auf dem Begriffe ,,gleicher Anzahl'' 18) und auf keiner neuen Erfahrungstatsache 19).
Dasselbe gilt für das assoziative und das distributive Gesetz der Multiplikation 20).
Wir künnen nun ganz allgemein behaupten: ist der Begriff der ganzen Zahl eine Abstraktion aus der Erfahrung, so ist alles [pag. 12] Weitere, was man an den ganzen Zahlen entdecken kann, eine logische Folge aus den Eigenschaften, die diesen Begriff ausmachen 21).

Additive Grössen.
§ 9. Die Multiplikation mit einer ganzen Zahl ist keine wesentlich andere Operation, als eine Addition. Es bestand daher ohne Weiteres kein Anlass um auch diesen Begriff bei der Erweiterung des Zahlbegriffes zu erweitern 22). Man brachte aber diesen Speziellen Fall der Addition in eine besondere Kategorie unter -- zusammen mit den gewissen Berechnungen an den erweiterten Zahlen -- aus dem Grunde, weil er als Spezialfall dieser Art von Berechnungen bei der Abbildung eines besonseren Sachverhaltes an Grössen und zwar an den additiven Grössen auftrat. [pag. 13]
Die Grössen treten uns zunächst ohne jede Arithmetisierung -- als blosse ,,Ausdehnungen'' entgegen. Für einige von ihnen gelingt es die Begriffe ,,gleich'', ,,grösser'' und ,,kleiner'' auszubilden. Von einigen unter diesen bemerken wir aber das Folgende:
a. manche Dinge, an welchen wir eine Grösse wahrnehmen, lassen sich in Teile zerlegen (sei es nur gedanklich), an welchen die betreffende Grösse auch anwesend ist (Wenn man ein Rechteck längs seiner Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, so haben diese Beiden, ebenso wie das Rechteck, eine Oberfläche; sie haben aber keine Diagonallänge).
b. die Grösse, welche dem ganzen Dinge zukommt, verhält sich zu den entsprechenden Grössenexemplaren der Teildinge, wie sich das Ganze zu seinen Teilen verhält (Die Längen der Teilstrecken einer Geraden sind Teile der Länge der Totalstrecke; die Oberflächen der oben genannten Dreiecke sind Teile der Oberfläche des Rechteckes, ihre Peripherieen sind aber nicht Teile der Peripherie des Rechteckes; die Massen der Teile einer Gasmenge sind Teile der Masse der ganzen Gasmenge, ihre Temperaturen lassen aber keine analoge Deutung zu).
Grössen, welche zugleich beide diese Eigenschaften in Bezug auf irgend welche Dinge besitzen können, wollen wir ,,additive'' Grössen nennen.

§ 10. Die additiven Grössen sind die ersten, die man ,,messen'', d.h. denen man Zahlen zuzuordnen gelernt hat.
Das Messen einer additiven Grösse kommt in den einfachsten Fällen auf ein Zerlegen dieser Grösse in gleich grosse Teile hinaus und wird längs diesem Wege auf das Zählen zurückgebracht. Somit werden zu dem Anwendungsgebiet der ganzen Zahlen neben den Versammlungen von diskreten Dingen nunmehr auch die kontinuierlichen additiven Grössen hinzugefügt.
Was sind die ,,gleich grossen'' Teile einer Grösse? Es sind jene Grössenexemplare ,,gleich gross'', welche identischen Dingen zukommen. Damit ist nicht gesagt, dass die physischen Gegenstände, an welchen wir eine gewisse Grösse vergleichen, in jeder Beziehung ,,identisch" zu sein brauchen 23): die Dinge, welche [pag. 14] dabei maassgebend sind, sind meistens Abstraktionen, d.h. Komplexe von nur einigen Eigenschaften, die wir an den Gegenständen beobachten. So sprechen wir von ,,identischen'' Rechtecken, welche wir von zwei verschieden gefärbten und verschieden schweren Quadern abstrahieren -- ihnen schreiben wir ,,gleiche Oberfläche'' zu; von ,,identischen Seiten'', die wir von sonst verschiedenen Figuren abstrahieren -- ihnen schreiben wir ,,gleiche Längen'' zu; von ,,identischen Pendelschwingungen'', die wir von dem recht komplizierten Gegenstande: dem Verlaufe der gesammten Lebenserscheinungen abstrahieren -- ihnen schreiben wir ,,gleiche Zeitintervalle'' zu; u.s.w., u.s.w.
So wird es möglich auch solchen Grössen, wie z.B. die Peripherieen oder sonstige Längen, die an einer Figur vorzufinden sind, Maasszahlen zuzuschreiben, obwohl diese Grössen in Bezug auf diese Figur als Ganzes nicht additiv sind. Jedoch ist es unmöglich, beim Gleichsetzen von Grössen vom Identischsein irgend welcher Dinge vollständig abzusehen: es würde dann kein Kriterium zum Vergleichen der Grössen übrigbleiben, der Begriff ,,gleiche Grössen'', ja .... der Begriff ,,Grösse'' selber würde dann zergehen.

Briiche.
§ 11. Der erste Anlass zum Bilden von Brüchen wird wohl dadurch gegeben, dass man eine Versammlung von Dingen in gleiche Teilversammlungen zerlegen soll, dieses aber nicht geht. Man zerlegt dann einige von den Dingen selber in (merklich) identische Teile. Wie sehr dem Begriffe des Bruches die idee eines Dinges anhaftet, kann man z.B. an den Worten ,,ein viertel Apfel'' bemerken: selbst unser Einer muss erst nachdenken, bevor er sagt, welcher Grösse hier eigentlich die zahl ¹/₄ zukommt.
Aber dieses Teilen von Dingen hat einen Sinn doch nur dann, wenn man irgend eine additive Grösse an ihnen in Betracht ziehen kann 24). [pag. 15]
Das Messen von additiven Grössen mit Einheiten, welche in den gegebenen Grössenexemplaren nicht aufgehen (was bald unvermeidlich wird, wenn man zwei Grössen mit einander vergleichen will), vertieft den Begriff des Bruches und veranlasst die Ausarbeitung der Operationenbegriffe 25).

Addition und Multiplikation von Brüchen.
§ 12. Niemand wundert sich über die Additionsregel der Brüche:

a	+	c	=	ad + bc	,
b		d		bd

Sie kann so leicht ,,bewiesen'' werden! Ja, der Beweis ist kurz und für einen Jeden einleuchtend, weil er von den additiven Grössen ausgeht: entschliesst man sich unter der ,,Addition'' stets die Abbildung des Vereinigens von zwei additiven Grössen zu verstehen, so volgt die Regel auf eine unzweideutige Weise. Wer würde aber unter Addition auch etwas Anderes verstehen wollen? [pag. 16] Daher bemerkt man nicht, dass dieser Beweis im rein mathematischen Sinne kein Beweis ist. Und für den Anfänger ist eine solche Finesse unnötig.
Geht man zu der Multiplikationsregel über, so tut man es gewöhnlich so, dass ihre mathematische Unbeweisbarkeit bloss gelegt wird. Und doch kann sie mit derselben bindenden Kraft motiviert werden, wie die Additionsregel, indem man auch in diesem Falle von den additiven Grössen ausgeht. Man bekommt den Anlass um Maasszahlen zu multiplizieren, wenn man an einem und demselben Dinge zwei verschiedene additive Grössen in Betracht zieht (Länge und Oberfläche eines Rechteckes von bestimmter Höhe; Menge und Preis einer homogenen Waare u. dergl.). In vielen Fällen genügen solche Grössen der folgenden Beziehung: wenn a, b, a + b die Maasszahlen der einen Grösse und g_a g_b, g_{a + b} die entsprechenden Maasszahlen der anderen Grösse sind, so ist
g_{a + b} = g_a + g_b . . . . . . (*) Dieses liefert die Möglichkeit die zweite Grösse aus der ersten zu berechnen, wenn man nur ihren Wert g₁ für einen Spezialfall (entsprechend dem Werte a = 1) kennt.
Die Beziehung (*) ist unabhängig davon, ob die Zahlen a und b ganze Zahlen sind. Entschliesst man sich die Berechnung von g aus g₁ und a in allen Fällen ,,Multiplikation'' zu nennen, so hat man damit die Multiplikationsregel für beliebige Werte von a (nicht nur Brüche, sondern auch Irrationalzahlen) festgelegt.
Die Beziehung (*) wird dann durch das distributive gesetz der Multiplikation abgebildet.
Entschliesst man sich nämlich stets g_m = ,,m × g₁'' zu schreiben, so hat man:
g_{a + b} = (a + b) × g₁; g_a = a × g₁; g_b = b × g₁, was, in (*) eingesetzt, gibt:
(a + b) × g₁ = a × g₁ + b × g₁ Mir persönlich scheint es unzweifelhaft, dass es gerade dieser Sachverhalt war, der die Mathematiker des Altertums bei der Ausarbeitung der Multiplikationsregel für nicht ganzzahlige Faktoren leitete. Aber jedenfalls kann der Hinweis auf diesen Sachverhalt als ein überzeugendes Motiv bei der Einführung der Multiplikationsregel auf der Schule dienen. [pag. 17]
Das Schema der Ableitung der Regel für die Brüche sieht dann so aus: aus (*) bekommt man leicht
g_{a + b + . . . + m} = g_a + g_b + . . . + g_m; für a = b = ... = m = 1 (angenommen, die Anzahl Summanden sei n), hat man dann
g_n = n × g₁; für a = b = ... = m = ¹/_k (angenommen, die Anzahl Summanden sei k), hat man
g₁ = (¹/_k + ¹/_k + . . . + ¹/_k)g₁ = g_{¹/_k +
¹/_k + . . . +
¹/_k} =
¹/_k × g₁ + . . . + ¹/_k × g₁ = k × (¹/_k × g₁). Hier ist das Symbol ,,¹/_k × g₁ zunächst rein formal gebraucht.
Aber aus der letzten Gleichung folgt: ,,¹/_k × g₁ = g₁ : k. Und schliesslich
^l/_k × g₁ = (¹/_k + ¹/_k + . . . ¹/_k) × g₁ = ¹/_k × g₁ + . . . + ¹/_k × g₁ = l × (g₁ : k). Für die Anfänger kann es so eingekleidet werden: anstatt zu fragen, ,,was solle die Multiplikation mit einem Bruche bedeuten'', lässt man sie an praktischen Beispielen die entsprechenden Berechnungen für ganze Zahlen und für Brüche ausführen und macht sie dann auf das Gemeinsame in allen Fällen aufmerksam, worauf dann die Einführung einer gemeinsamen Benennung folgen kann. Etwa so:

,,Ein	Kilo	Waare	kostet	a geldeinheiten
10	,,	,,	,,	10 × a
12	,,	,,	,,	10 × a + 2 × a
10½	,,	,,	,,	10 × a + soviel als ½ Kilo kostet, d.h.
				10 × a + a : 2

Wie lautet die Regel für die Lösung dieser Aufgabe?''
Schicken wir den Fall mit 10½ Kilo dem mit ¹/₂ Kilo voran, so wird der Name ,,Multiplikation'' auch nicht so paradoxal erscheinen. [pag. 18]

Multiplikation mit Irrationalzahlen.
§ 13. Die Festsetzung der Multiplikationsregel für Irrationalzahlen:
I × a = lim B_n × a, wo I eine Irrationalzahl, B_n, -- der n -- te approximierende Bruch ist, erscheint auch als eine Anpassung der Beziehung (*) des vorigen Paragraphen.
Ist I = B_n + R_n, so hat man, wegen (*):
g_I = g_{B_n} + g_{R_n} = B_n × g₁ + g_{R_n}. Dass g_{R_n} mit Vergrösserung van n zusammen mit R_n gegen Null strebt, ist leicht auf übliche Weise zu zeigen -- wenn man nämlich in Betracht zieht, dass g_A > g_B ist, falls A > B ist.

Negative Zahlen.
§ 14. Man muss gestehen, dass die Einführung der negativen Zahlen und das Fesfsetzen ihrer Operationenregeln längs einem formalen Wege gegangen ist, und dass der Verband zwischen diesen Zahlen und den Grössen erst viel später eine allgemeine Verbreitung erhielt. In diesem Falle scheinen die Grundgesetze der Operationen, welche für das vorangehende Stadium der Erweiterung des Zahlbegriffes galten, wirklich maassgebend gewesen zu sein bei der Gestaltung der Operationenregeln für das folgende Stadium. In der Tat, ohne die Permanenz jener Grundgesetze wäre ja das Gebrauchen von dem algebraischen Kalkül unmöglich geworden, vor allem die Lösungsmethoden der algebraischen Gleichungen: man könnte von vornherein nicht wissen, ob die Wurzel der gegebenen Gleichung nicht negativ ausfallen würde, aber in einem solchen Falle ohne die Permanenz der Grundgesetze -- wären die üblichen Transformationen, die zur Vereinfachung der Gleichung führen sollten, nicht erlaubt.
Wie die Vorzeichenregel der Multiplikation durch die Permanenz des Distributiven Gesetzes festgelegt wird, kann an dem einfachen Beispiele des § 2 gezeigt werden:
(5 - 2) × (10 - 3) = 5 × 10 - 2 × 10 - 5 × 3 + 2 × 3. Dieses an sich hat nichts mit negativen Zahlen zu machen. Nun kann man aber die Klammerausdrücke und die rechte Seite der Gleichung als algebraische Summen von positiven und negativen Zahlen deuten, also: [pag. 19]
5 - 2 = 5 + (-2); 10 - 3 = 10 + (-3);
5 × 10 - 2 × 10 - 5 × 3 + 2 × 3 = (5 × 10) + (-2 × 3) + (-5 × 3) + (2 × 3).
Wenn man dann die rechte Seite als das Resultat der identischen Transformation
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd deutet, so erscheinen die vier Terme der rechten Seite als die resp. Produkte von (+ 10) mit (+ 5), (+ 10) mit (-2) u.s.w., woraus die Vorzeichenregel dann mit Notwendigkeit folgt.
Jedoch darf man nicht leugnen, dass die negativen Zahlen keine so grosse Bedeutung bei der Untersuchung der Naturgesetze erhalten hätten, wenn sie nicht als Abbildungen von Grössen gedeutet werden könnten. Zugleich macht diese Deutung das Aneignen der Lehre von negativen Zahlen für den Anfänger viel leichter 26).

Komplexe Zahlen.
§ 15. Ebenso wie die negativen Zahlen, sind die komplexen Zahlen längs dem formalen Wege eingeführt. Man ist auf sie bei dem Wurzelziehen -- und allgemeiner bei dem Lösen der quadratischen Gleichung geradezu gestossen. Wenn wir nachgehen, wie [pag. 20] dieses geschah, so finden wir, dass dabei die Permanenz der Grundgesetze der Operationen vorweg genommen war: ein wesentlicher Moment bei dem Aufstellen der Lösungsformel ist die Anwendung der identischen Transformation
(a + x)² = a² + 2ax + x².
Diese ist aber nur dann gültig, wenn die Transformationen

(a + x)(a + x) = aa + ax + xa + xx
ax = xa
ax + ax = (a + a)x oder ax + ax = (1 + 1)ax
gelten. Und die resultierende Formel für die Wurzel, welche die Form hat x = A + Bi, befriedigt die gegebene Gleichung nur weil es angenommen
(A + Bi)(A + Bi) = A² + 2ABi - B²,
welches wiederum auf der Ausbreitung der ursprünglichen Grundgesetze auf die imaginären Zahlen beruht.
Es sei beachtet, dass dieselben quadratischen Gleichungen auch durch andere Zahlen (hyperkomplexe) befriedigt werden, aber zu diesen ist man bei dem Suchen nach den Lösungen nicht gelangt, weil sie eben nicht allen ursprünglichen Grundgesetzen der Operationen folgen.
So wird z.B. die Gleichung
x² + 2 = 0 auch durch x = i + j befriedigt, wo i und j zwei von den drei verschiedenen Einheiten der viergliedrigen hyperkomplexen Zahlen -- ,,Quaternionen'' -- darstellen, die den folgenden Gesetzen genügen:
i² = j² = -1 . . . . . (1)
ij = - ji . . . .. . . . . (2) Die Beziehung (2) ist eine Durchbrechung des Kommutativen Gesetzes der Multiplikation. Das distributive Gesetz bleibt für diese Zahlen erhalten. So bekommen wir:
x² = (i + j)² = (i = j)(i + j) = i² + ij + ji + i² = -1 + ij - ij - 1 = - 2, also tatsächlich:
x² + 2 = 0.
[pag. 21] Auch für die komplexen Zahlen hat man hinterher Objekte in der Erfahrungswelt gefunden welche sie abbilden können. Diese Objekte sind aber keine einfache Grössen, sondern kombinationen von zwei Grössen. Dem entsprechend verliert auch die Gegenüberstellung ,,grösser-kleiner'' ihren Sinn; auf der kontinuierlichen Geraden, deren Punkte die kontinuierliche Folge von den vorher eingeführten -- reellen -- Zahlen darstellen, gibt es keinen Platz für die komplexen Zahlen.

Hyperkomplexe Zahlen.
§ 16. Beim Einführen von den komplexen Zahlen hatte man ohne jeden Skrupel angenommen, dass ihre Rechenoperationen den üblichen identischen Transformationen genügten, also, wie wir heute sagen können, der Permanenz der Grundgesetze entsprechen; und dieses hat sich gut bewährt. A priori hätte man jedoch nicht so sicher davon sein sollen. Dieses hat die Weiterentwickelung des Zahlbegriffes gezeigt.
Es scheint Gauss 27) als erster die Frage aufgeworfen zu haben, ob man nicht auch drei- und mehrgliedrige Zahlen, als lineare Verbindungen von entsprechender Anzahl von Einheiten mit reellen Koeffizienten (analog zu den zweigliedrigen komplexen Zahlen mit den ,,Einheiten'': 1 und i) einführen könnte, welche zur Abbildung der drei- und mehrdimensionalen Mannigfaltigkeiten dienen könnten, so wie die komplexen Zahlen zur Abbildung z.B. der Punktkoordinaten der Ebene dienen. Er fand, dass diese Idee verworfen werden sollte aus dem Grunde, weil solche Zahlen in den gewöhnlichen algebraischen Kalkül nicht hineinpassen würden: es wäre unmöglich die Rechenregeln für sie so festzulegen, dass sie zugleich allen Grundgesetzender Algebra genügen könnten.
Später nahm sich Weierstrass 28) desselben Problemes an.
Er stellte fest, dass man doch wohl für solche Zahlen jene Grundgesetze aufrecht erhalten könnte, wenn man nur bereit wäre zugleich etwas anderes aufzugeben: die Eindeutigkeit der Teilungsoperation. Solche Zahlen würden allerdings nicht dem Zwecke dienen, von welchem Gauss ausgegangen war. [pag. 22]
Inzwischen wurden mehrgliedrige Zahlensysteme aufgebaut, welche wohl den Sachverhalt auf gewissen Forschungsgebieten abbildeten, obwohl ihre Rechenoperationen nicht allen unseren alten Grundgesetzen gehorchten 29).
Es wäre auch die folgende Frage möglich: die Gleichungen ersten Grades mit reellen Koeffizienten haben nur 30) dann stets eine Wurzel, wenn man die negativen Zahlen einführt; die Gleichungen zweiten Grades verlangen zu diesem Zwecke die Einführung von komplexen Zahlen. Wird es nicht auch weiter so gehen, dass man stets ein n-gliedriges Zahlensystem einführen muss, will man, dass keine der Gleichungen n-ten Grades ohne Wurzel bleibt?
Doch wissen wir, dass dem nicht so ist: wie bereits d'Alembert [1746] und später auf vielfache Weise Gauss [1799 . . . 1842] bewiesen, genügt die Gesamtheit der gewöhnlichen komplexen Zahlen um darunter Lösungen von Gleichungen beliebig hohen Grades zu finden. Uebrigens, wie wir soeben besprochen haben, kann kein System von drei- oder mehrgliedrigen Zahlen konstruiert werden, welches ,,algebraisch'' im Sinne unserer gewöhnlichen Algebra wäre.

Abschliessende Bemerkungen.
§ 17. Die Herkunft der Zahl- und Operationenbegriffe liegt in unserer praktischen Erfahrung. Die Zahlen samt ihren Rechenoperationen erscheinen zunächst als Abbildungen des Sachverhaltes an Versammlungen von diskreten Dingen und an kontinuierlichen additiven Grössen.
Der Gebrauch von Buchstaben bei der Formulierung der Aufgaben und deren Lösungen führt dann längs einem formellen Wege zur Weiterentwickelung des Zahlbegriffes (negative und komplexe Zahlen), wobei dieselben Grundgesetze der Operationen automatisch vorweg angenommen werden. Doch ist die Entwickelung in dieser Richtung durch die Einführung von den komplexen Zahlen abgeschlossen. [pag. 23]
Die darauf folgende Erweiterung des Zahlbegriffes (eine beträchtlich mehr bewusste und systematische) konnte nur unter dem Verzichte auf einige von den Gesetzen der gewöhnlichen Algebra geschehen.
Die negativen und die komplexen Zahlen haben hinterher eine praktische Interprätation gefunden, aber auch einige von den mehrgliedrigen Zahlensystemen erweisen sich als Abbildungen des Sachverhaltes an gewissen Forschungsgebieten.
In dem Unterrichte können manche Schwierigkeiten bei der Erweiterung des Begriffes ,,Multiplikation'' vermieden werden indem man die Schüler so an sie heranführt, dass die verschiedenen Fälle der Multiplikation als die Abbildung einer allgemeinen Beziehung zwischen zwei additiven Grössen gesehen werden -- jener Beziehung, welche durch das distributive Gesetz der Multiplikation wiedergegeben wird.

23. XII. 36. Leiden.

T. EHRENFEST-AFANASSJEWA.

Voetnoten:

1) Ich meine, natürlich, die Schüler, welche zum Nachdenken geneigt sind. Ich weiss, dass sehr viele Schüer glauben, sie haben eine Erklärung begriffen, wenn sie nur begriffen haben, was der Lehrer von ihnen will. Aber es gibt eben auch jene anderen!

2) M. Cantor, Geschichte d. Math. Bd. II, p. 289.

3) Sie wird keinem geringeren, als dem Euler zugeschrieben, obwohl ich, leider, kein bekräftigendes Zitat anführen kann.

4) Man sieht dieses auf eine Weise ein, die unabhängig ist von den speziellen Zahlenwerten, und man hat dabei an lauter positive (lieber: unrelative) Zahlen zu denken:
(10 - 3) kan mit (5 - 2) stückwiese multipliziert werden, erst mit 5, was zu viel gibt, dann mit 2 um dieses Produkt von 5 × (10 - 3) abzuziehen: 5 × (10 - 3) - 2 × (10 - 3). Ferner kann jeder dieser Terme wiederum stückweise ausgerechnet werden: 5 × (10 - 3) = 5 × 10 - 5 × 3, was einfach ist; endlich: anstatt 2 × (10 - 3) abzuziehen, kann man erst 2 × 10 abziehen, was zu viel abgezogen ist; also soll man, um zu korrigieren, 2 × 3 addieren.

5) Was sie wirklich veranlasst hat, darüber wage ich kein Urteil, aber glücklicherweise ist dieses für unsere Zwecke auch nicht so wichtig.

6) H. Hanckel, Vorles. über die komplexen Zahlen. [1867].

7) In diesem Sinne wurde im Jahre 1910 auf dem Kongresse der Mathematiklehrer in St. Petersburg von P. Ehrenfest die Frage gestellt. Sie blieb damals unbeachtet. Im Jahre 1932 erschien in russischer Sprache (Nachrichten des 2-ten Nordkaukasischen Pädagog. Inst.) ein Artikel von L. Kreer, wo der Einfluss der Lebenspraxis auf die Gestaltung des Multiplikationsbegriffes besonders stark betont wird. Der Autor spricht mit geringschätzung über die rein mathematisch-abstrakte Darstellungsweise.

9) Kronecker soll gesagt haben: ,,Die ganzen Zahlen hat Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk''. Es war mir unmöglich in den Werken von Kronecker einen Beleg dafür zu finden, aber jedenfalls werden diese Worte als die Seinen wiederholt und zwar in dem Sinne, dass die ganzen Zahlen irgendwie à priori unserem Bewusstsein gegeben seien. Und viele andere Mathematiker behaupten, die Zahlen seien eine freie Schöpfung unseres Geistes, die von der Erfahrung unabhängig ist.

10) Natürlich, meine ich nicht, dass das Zurückbringen eines Begriffes auf die Erfahrung den Progress der Begriffsbildung bis zu dem Boden erschöpft: dass so etwas, wie unser Bewusstsein besteht, dass es Erfahrungen erleben kann, dass es von Erfahrungen Begriffe abstrahieren kann -- das alles bleibt unergründet. Aber hier stehen wir vor einer einfacheren Frage: soll man dem Zahlbegriffe, speziell dem Begriffe der ganzen Zahl eine Sonderstellung geben unter allen anderen Begriffen, die anerkanntermaassen in der Erfahrung zumindest einige ihrer Wurzeln haben?

11) Russell, The principles of Mathematics [1903] Vol. I § 111, p. 115.

12) Weber u. Wellstein, Enzykl. der Elementarmath. Bd. I, p. 3. [1922].

13) G. Mannoury. Mathesis en Mystiek [1924]. In diesem Büchlein unterstreicht der Autor die Notwendigkeit dieser relativen Beständigkeit der Dinge für die Möglichkeit des Zählens. Uebrigens ist ihm delber dabei die Relativität wichtiger als die Beständigkeit.

14) L.E.J. Brouwer, Over de Grondslagen der Wiskunde, p. 81. [1907].

15) Es ist mir ein Fall bekannt, (aus einer wenig kultivierten Landstrecke), wo eine Mutter nicht sagen konnte, wie viel Kinder sie hatte, obwohl sie sie alle bei ihren Namen aufzählen konnte.

16) Vielleicht können die obigen Betrachtungen auch zu der Aufklärung der Frage beitragen, ob die Kardinal- oder die Ordinalzahl bei des Zahlbegriffes vorangehe.

17) Ich will damit nicht prinzipiell ausschliessen, dass das Vereinigen von zwei Versammlungen gelegentlich aus einem noch nicht ergründeten innern Drange vollbracht werden könnte -- dieses muss man wohl von jeder neuen Kombination von Dingen zugeben, die der Mensch vollbringt; ich will nur betonen, dass ein solches Vereinigen noch keine mathematische Handlung sei und dass es dem Bilden des Additionsbegriffes vorangeht.

18) In der Tat: ,,a × b'' bildet das Vereinigen von a Versammlungen gleicher Anzahl b ab. Bilden wir jetzt aus denselben Elementen neue Versammlungen auf eine solche Weise, dass jede von ihnen ein Element aus jeder der a ursprünglichen Versammlungen enthalte, also im Ganzen a Elemente. Wiederholen wir dieses, solange es geht. Nun ist das gleichzeitige Nehmen von je einem Elemente aus jeder Versammlung eine Form von eineindeutiger Zuordnung dieser Versammlungen zu einander; also müssen sie zugleich erschöpft sein, da sie alle dieselbe Anzahl b besitzen. Damit ist gezeigt, dass die gegebene Totalversammlung auf eine neue Weise als Vereinigung von gleichzahligen Versammlungen dargestellt werden kann und dass die Anzahl der Teilversammlungen genau b ist.

19) Wenn man für die Anfänger den Beweis an Hand von konkreten Zahlen führt, so ist es um bei ihnen die Begriffe ,,Zahl'' und ,,Produkt'' frisch zu halten, da sie sonst nicht imstande wären unseren Worten zu folgen, aber durchaus nicht um ihnen einen Induktionsschluss von der Art: ,, 3 × 4 = 4 × 3; 4 × 5 = 5 × 4' . . . . also stets a × b = b × a'' abzuzwingen. Die anschauliche Darstellung der Versammlungen etwa durch Punkte, die man auf zwei verschiedene Weisen zu gleich langen Reihen vereinigen kann, ist wohl geeignet um an ein Paar Spezialbeispielen das Wesentlichen und allen analogen Fällen Gemeinsame zu erfassen. Das Ausrechnen von Produkten um sie dann miteinander zu vergleichen ist dazu ungeeignet, es stärkt hingegen die Neigung um sich auf die unvollständige Induktion zu verlassen anstatt nach dem Kerne der Sache zu suchen. Damit trägt man der Entwicklung des kritischen Denkens bei den Schülern sicher nicht bei!

20) Ich möchte mir hier wieder eine didaktische Bemerkung erlauben: das assoziative Gesetz der Multiplikation scheint nicht allen Schülern ohne Weiteres einleuchtend zu sein. Sie sind nicht alle imstande den Verband zwischen diesem Gesetz und dem Sachverhalt, den es abbildet, selbstständig herzustellen. Man bemerkt es an dem Zögern bei dem Zerlegen der Zahlen in Faktoren (es ist nicht der Mangel an Rechentechnik allein, der sie dabie hindert). Eine Veranschaulichung des betreffenden Sachverhaltes, etwa durch Gruppen von Gruppen, die ihrerseits in gleichen Anzahlen von gleich langen Reihen von Punkten geordnet sind, wäre hier wohl am Platze.

21) In verband damit möchte ich auf eine Auffassung weisen, die -- meines Erachtens -- unrichtig ist: es wird oft gesagt, dass die Behauptung: ,,2 × 2 = 4'' unbeweisbar sei, weil es eine Definition wäre (des Begriffes ,,4''? des Begriffes ,,×''?) Nun kann man allerdings den Aufbau einer Theorie von verschiedenen Enden beginnen, man kann gewiss auch die Zahl ,,vier'' etwa durch die obige Relation einführen. Aber dann werden sich andere Beziehungen als beweisbar erweisen, die jedoch nie als solche erwähnt werden. Wir wollen aber von dem gebräuchlichen Wege sprechen, längs welchen man die verschiedenen individuellen Zahlen und ihre Eigenschaften kennen lernt. Auf diesem Wege wird das ,,Produkt'' als ,,Summe von gleich grossen Summanden'' definiert und die Zahl ,,vier'' wird vor der Frage nach ,,2 × 2 = ?'' beriets als ,,3 + 1'' bekannt. Aber dann ist

2 × 2 = 4, d.h. 2 × 2 = 3 + 1
eine ebenso des Beweises bedürftige Tatsache, als

376 × 153 = . . . .
-- der Leser finde selber heraus, was da rechts stehen soll; er wird zugeben, dass er keine willkürliche Ziffer an jene Stelle setzen darf, wie es der Fall wäre, wenn jene Gleichung zur Definition der rechten Seite dienen sollte.

22) Von diesem Standpunkte aus darf man wohl sagen: die Frage ,,was soll man unter einer Multiplikation mit einem Bruche verstehen?'' ist nicht nur unbeantwortbar, sondern konnte in der tatsächlichen Geschichte des Zahlbegriffes auch kaum gestellt werden. Nur die späteren Kommentatoren -- wie Lucas Paciuolo und die Schullehrer, welche vor dem fait accompli standen, konnten bei der Darstellung der Zahlenlehre die Situation umkehren und so tun, alsob die Erweiterung des Multiplikationsbegriffes an und für sich ein natürliches Problem wäre. Die Verleitung dazu war vielleicht diese, dass der Name der Operation dem ersteren Spezialfalle entnommen war.

23) Ohne uns hier auf die genauere Bedeutung des Wortes ,,identisch'' einzulassen, dürfen wir wohl sagen, dass dieser Begriff dem Gleichsetzen von zwei Grössenexemplaren vorangeht.

24) Es ist wahr: prinzipiell wäre es denkbar den Begriff des Bruches samt den elemtaren Operationen auf rein formalem Wege einzuführen, etwa so:
x sei die Lösung der Gleichung ax = b, wo a und b ganze Zahlen sind, unabhängig davon, ob b durch a teilbar ist oder nicht. In allen Fällen schreiben wir: x = (b,a).
Alle Regeln für die Transformationen der Gleichungen und alle idenaischen Transformationen von Operationen welche für ganzzahlige x gelten, sollten auch in allgemeineren Falle gelten (die Widerspruchslosigkeit dieser Forderung möge hinterher kontrolliert werden). Dann haben wir:

	aus	ax = b,
wegen		max = mb, folgt: (b,a) = (mb, ma).
Ferner:	aus	ax = b und cy = d,
wegen		cax = cb, und acy = ad, und ac = ca
folgt:		cax + cay = cb + ad, und
wegen		mx + my = m(x + y),
folgt:	ca(x + y)	= cb + ad, d.h. x + y = (cb + ad, ca),

welches im Falle, wo x und y ,,Brüche sind, nichts anderes als die bekannte Additionsregel für Brüche ist.
Ferner: ax = b besagt: a mit x ,,multiplizieren'' bedeutet, aus a die Zahl b erhalten. Nun, wenn wir a durch a teilen und das Resultat mit b multiplizieren, so erhalten wir b. Dieses soll den Begriff ,,Multiplikation mir (b, a)'' festlegen, u.s.w.
Wir wissen jedoch, dass es historisch anders gegangen ist. Es sei auch beachtet, dass man auf diesem Wege nicht zu unserem wirklichen Begriffe ,,Teil der Einheit'' kommen würde, auch wenn man diese Wörterverbindung formell gebrauchte.

25) Es wird manchmal behauptet, dass die Brüche uns deshalb um soviel vertrauter sind, als die Irrationalzahlen, weil die Messungen uns nur Brüche liefern. Ich glaube, dass man mit demselben Rechte hätte sagen können, dass die Irrationalzahlen uns geläufiger sein dürften, als die Brüche: immerhin, bei jeder einigermaassen aufmerksam ausgeführten Messung bleibt ein Rest da, der vernachlässigt wird; sollte dieses nicht suggerieren, dass die grössen in vielen Fällen irrationale Werte hätten?! Ich glaube aber, dass die relative Leichtigkeit des Erfassens des Begriffes ,,Bruch'' einfach daran liegt, dass die Bildung eines Bruches auf das Zählen zurückkommt.

26) So erscheint es zweckmässig die soeben angeführte Berechnung durch das euclidische Beispiel der Darstellung der Oberfläche eines Rechteckes durch die bewussten vier anderen Rechtecke zu illustrieren.
Ich möchte aber warnen vor dem Versuche die Vorzeichenregel aus dem Verhalten der Grössen abzuleiten: solche Ableitungen enthalten stets ein dubieuses Element, denn von den drei Grössen -- den beiden Faktoren und dem Produkte lassen sich schwerlich alle als gerichtete Grössen deuten. So z.B. bei der Berechnung der Oberfläche des euclidischen Rechteckes kann man schwerlich in der Gleichung (a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd die rechte Seite als eine alg. Summe von positiven und Negativen Flächen deuten: es sind eher Flächen, die man abziehen soll. In dem sehr beliebten Beispiele ,,Weg = Geschwindigkeit × Zeit'' happert es, wenn man an die negative Zeit herankommt, als an ,,die Zeit während welcher ein gewisser Weg abgelegt wurde.'' Dergleiche Beispiele illustrieren wohl, wie praktisch in vielen Fällen die Einführung von negatieven Zahlen sein kann, da sie die Behandlung von allen verschiedenen Specialfällen durch eine gemeinsame Formel zulässt -- und als Illustrationen ist es auch wünschenwert sie anzuführen. Sie können aber nicht die Notwendigkeit der Vorzeichenregel beweisen, schon deshalb nicht, weil es auch Fälle gibt, welche zu einer anderen Regel führen würden, wenn man sich an sue anpassen wollte -- z.B. die Berechnung des totalen Weges, welchen ein hin- und her maneuvrierender Zug ablegt.

27) Gauss [1831] Werke, Bd. 2, p. 178.

28) Weierstrass, Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten komplexen Grössen. Gött. Nachr. [1884].

29) Vergl. die bahnbrechende Arbiet von Hamilton, Lectures on Quaternions [1853]. Für das Weitere: L.E. Dickson, Linear Algebras (Cambridge Tracts in Mathem and Math. Phys. 1914).

30) Wenn man nur an Zahlensysteme denkt, welche stets denselben Grundgesetzen gehorchen.