begin vorige volgende

Algebra en onderwijs

The whetstone of witte (1557), titelpagina
Wiskunde is hersenwerk. Uitgaande van veronderstellingen wordt geredeneerd en worden er conclusies getrokken. Twee zaken kun je daarbij nastreven:

  • een veelheid aan verregaande conclusies,
  • een kleine collectie eenvoudige veronderstellingen,
en liefst de combinatie van deze twee. Dit leidt tot de axiomatische aanpak in de wiskunde. Met name in de algebra is die succesvol gebleken. Ging het oorspronkelijk over het oplossen van vergelijkingen, door het ontstane inzicht in de aard van de oplossingen is de algebra verbreed tot een studie van structuren, vooral structuren die aan een klein aantal eenvoudige axioma's voldoen en waar dan ook vele voorbeelden van zijn, zoals bij wiskundige structuren die tegenwoordig groepen, ringen, lichamen of modulen worden genoemd. De algebra heeft zich ontwikkeld tot een discipline met een hoge mate van abstractie. Juist door die abstracte opzet is de algebra inzetbaar in vele delen van de wiskunde. De abstractie heeft de toepasbaarheid verhoogd.

The whetstone of witte van Robert Recorde heeft als ondertitel

whiche is the seconde parte of Arithmetike: containing the xtraction of Rootes: The Coßlike practis with the rule of Equation: and the woorkes of Surde Numbers
en behandelt technieken voor het oplossen van vergelijkingen en het rekenen met de oplossingen ervan, wat in onderwijskringen vaak wordt aangeduid als ‘algebraïsche vaardigheden’. Dat zijn vaardigheden met abstracte zaken. Zoals met zoveel wat je kunt leren, zijn er twee mogelijkheden: je snapt wat je doet of je snapt het niet. Bestaan die algebraïsche vaardigheden uit louter het opvolgen van recepten, dan verricht je handelingen zonder te begrijpen waar je mee bezig bent, zoals een computer dat doet, maar dan wel minder goed. Begrijp je ook wat je doet, dan hoef je er geen recepten in te stampen en ben je in staat zinvol te handelen ook in situaties waar de recepten niet direct van toepassing zijn. Het boek van Recorde is niet zomaar een boek met recepten.

Vroeger ging het wiskundeonderwijs over wiskunde en over niets anders. Het gebruik van de wiskunde werd aan anderen overgelaten. Dat leerde je bijvoorbeeld bij natuurkunde. Het had het gevaar in zich dat de zin van het vak onduidelijk bleef. Ook was er nogal eens sprake van vaardigheden zonder bijbehorend inzicht, van slecht onderwijs dus. Een reactie daarop was de realistische wiskunde. Met de leefwereld van het kind als uitgangspunt zou wiskunde onderwezen moeten worden. Beginnen op niveau 0 als het ware. Op zich geen slechte gedachte, maar in de praktijk bleef men op een laag niveau steken en had het onderwijs geen diepgang; het was zo plat als een pannenkoek. Het kind was met het badwater weggegooid. Hoe heeft dat kunnen gebeuren? De voornaamste fout die gemaakt werd was het leggen van de schuld van problemen in het wiskundeonderwijs bij de wiskunde zelf en natuurlijk ook bij de wiskundigen, die immers met die wiskunde bezig zijn. De wiskunde deugde niet. Er was andere wiskunde nodig!

In mijn inaugurele rede van 21 april 1998 uitte ik mijn zorgen over het wiskundeonderwijs. Mijn voornaamste zorg betrof de praktijk van de realistische wiskunde in de lagere klassen van het VWO, waar sprake was van een totale eliminatie van abstractie en logica. Niet iedereen was blij met mijn kritiek, zeker niet diegenen die verantwoordelijk waren voor dit onderwijs, zoals Prof. dr. J. de Lange, de toenmalige directeur van het Freudenthal Instituut. Zijn eerste reactie was te lezen in NRC Handelsblad: mijn oratie was ‘van een treurigheid zonder weerga’ en ik had een ‘beperkt denkraam’. Later dat jaar herhaalde hij zijn kritiek in de Nieuwe Wiskrant. Het kwam erop neer dat een andere opvatting van wiskunde meer op zijn plaats was en hij lichtte dat toe aan de hand van een voorbeeld waarbij citroenen en appels werden opgeteld met munten als uitkomst. Vervolgens liet hij zien dat het Nederlandse wiskundeonderwijs zo goed is aan de hand van een internationaal vergelijkend onderzoek waar Nederland niet aan mee had gedaan. Dat die andere opvatting van wiskunde van belang is, toonde hij aan met de gang van zaken bij het ongeluk met de Space Shuttle, waarbij zeven astronauten om het leven kwamen.

Een veel gehoord punt van kritiek: ‘Die wiskundigen maken steeds ruzie. Kijk naar de sterrenkundigen! Die vormen een eenheid naar buiten toe.’ Ik ben benieuwd wat er zou gebeuren als er een sterrenkundige met het verhaal komt dat ze eens op moeten houden met die sterren.

Sommige didactici volharden in hun standpunt, zoals Kees Hoogland die blijft roepen en schrijven: ‘Houd toch op met dat gezeur over die algebraïsche vaardigheden’. Desondanks vindt er nu in het wiskundeonderwijs een voorzichtig herstel plaats van oude waarden, hetgeen trouwens iets anders is dan een terugkeer naar oud onderwijs.

begin vorige volgende