Eén groot hersenspinsel

Doordat in de algebra steeds van een beperkt aantal axioma's wordt uitgegaan, worden vele concrete structuren tegelijk bestudeerd. Een ander uiterste van de axiomatische methode bestaat uit het opbouwen van de gehele wiskunde uit enkele eenvoudige beginselen. In de Griekse Oudheid is dat gedaan door Euclides in de dertien boeken Elementen. Vanaf toen was de wiskunde met recht een deductieve wetenschap en onderscheidde zich daarmee van andere wetenschappen. Het deductieve karakter werd het kenmerk van de wiskunde. Bij Euclides was wiskunde vrijwel identiek aan meetkunde. Het werk van Euclides heeft model gestaan voor de vele meetkundeboeken die tot voor kort in het onderwijs werden gebruikt. In Pathwaie to knowledge bijvoorbeeld legt Recorde uit hoe de meetkunde van Euclides is opgebouwd. Zijn The whetstone of witte gaat over getallen. Ook bij Euclides komen getallen voor, het zijn gewoonlijk verhoudingen van lengten van lijnstukken, maar het zijn geen objecten die een nadere verklaring behoeven. Pas in de negentiende eeuw is men begonnen getallen in een deductief systeem te vatten, bijvoorbeeld met de axioma's van Peano.

Sinds 1982 is het mijn taak geweest aan eerstejaars wiskundestudenten de beginselen van de wiskunde te onderwijzen. Mijn idee was de wiskundige denkwijze over te brengen aan de hand van getallen en getalstructuren. Ik heb dat niet al die jaren op dezelfde manier gedaan. In de vorm die het uiteindelijk heeft gekregen zijn de verschillende benaderingswijzen bij elkaar gekomen. Het collegedictaat is uitgegroeid tot een boek. Kenmerken zijn:

• Het is één groot bouwwerk van de axioma's van Peano tot aan de complexe getallen met uitlopers naar discrete wiskunde en getaltheorie.
• Op het college wordt meer behandeld dan er op het tentamen wordt geëist.
• In het boek staat meer dan er op het college wordt behandeld.
• Gestreefd is naar een samengaan van een logische en een didactische opbouw.
• Fundamentele wiskundige begrippen worden geïntroduceerd aan de hand van de opbouw van het getalsysteem zodat er voor de introductie van deze begrippen een duidelijke aanleiding is.

Toen het boek nog een dictaat was had het een omslag waarin de gulden snede was verwerkt. De uitgever wilde wat anders en er kwam een prent van Gregor Reisch uit 1503 op met de allegorische figuur Arithmetica tezamen met Boëtius en Pythagoras die met getallen bezig zijn, overigens op een manier die hen vreemd was.

In de University of Wales Swansea is een plaquette ter nagedachtenis van Recorde met daarop Arithmetica uit de prent van Reisch en de gulden snede in één ontwerp verenigd: