begin vorige volgende

Taal

De natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … kennen we allemaal. Toch valt het niet mee om te zeggen wat een natuurlijk getal is. Gelukkig is dat ook niet zo belangrijk. Het gaat erom wat je ermee kunt. Tellen bijvoorbeeld. Peano gaf enkele eenvoudige axioma's die alles vastleggen zoals we het willen hebben. Behalve het begrip natuurlijk getal is daarbij ook sprake van de opvolger van een natuurlijk getal en is er een speciale rol voor het natuurlijke getal 0. Peano begon bij 1, maar dat maakt geen groot verschil. Optellen komt niet voor, maar is hiermee wel vast te leggen (te definiëren). Verder verzinnen we namen voor natuurlijke getallen:

  • De opvolger van 0 is 1.
  • De opvolger van 1 is 2.
De definitie van optellen is dusdanig dat onmiddellijk volgt:
  • Het natuurlijke getal 1+0 is hetzelfde als 1.
  • De opvolger van 1+0 is 1+1.
Dus (logica!): 1+1 is de opvolger van 1, ofwel het is hetzelfde getal als 2. In plaats van 1+1 is gelijk aan 2 schrijven we: 1+1=2.

Het teken ‘=’ vervangt is gelijk aan. Wiskundigen gaan met natuurlijke getallen om alsof zulke dingen echt bestaan. Ze hebben een naam gekregen en we hebben die getallen eigenschappen toegedicht. Als je daar lang genoeg mee bezig bent, dan raak je met deze bedachte dingen vanzelf vertrouwd. Ze bestaan natuurlijk niet echt, al was het maar dat er noodzakelijkerwijs oneindig veel van zijn.

Uit: The whetstone of witte
Het symbool ‘=’ gebruiken we zo vaak, dat we ons nauwelijks kunnen voorstellen dat het ook iets anders had kunnen zijn. Het werd bedacht door Robert Recorde. Hij introduceert het in The whetstone of witte. Dat boek bevat 332 bladzijden en hij komt er pas mee op bladzijde 238, zie hiernaast. Wel is het symbool stukken langer dan we nu gewend zijn, hetgeen trouwens ook geldt voor de + en de —. Hij legt op die bladzijde uit waarom hij het invoert:
And to auoide the tediouse repetition of these woords : is equalle to : I will sette as I doe often in woorke vse, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: =‍=‍=‍=,
en ook waarom hij juist dit symbool heeft gekozen:
because no .2. thynges, can be moare equalle.

Pas sinds kort weet ik dat het $=$-teken van Recorde afkomstig is. Mijn dochter Anne was daar kennelijk al langer van op de hoogte:

Website Geschiedenis van de Wiskundige Notatie, Birgit van Dalen en Anne Keune, 2005

Met 1+1=2 wordt dus bedoeld dat 1+1 hetzelfde is als 2. De notatie 1+1 staat als het ware voor het eindresultaat van een proces: het optellen van 1 bij 1. Zeggen we ‘bereken 1+1’, dan vragen we naar de standaardvorm van dit getal. Met 0,9999… wordt ook een getal genoteerd. Dat getal wordt bepaald door de rij getallen

Ook hier is sprake van een proces, maar dan wel een proces zonder einde. Pas in de negentiende eeuw is er een nauwkeurige betekenis gegeven aan het begrip limiet. Deze rij getallen heeft een limiet, namelijk 1. De notatie ‘0,9999…’ staat voor die limiet en daarmee dus 0,9999…=1, of wat hetzelfde is:

Veel problemen bij het begrijpen van wiskunde beginnen al bij het lezen van wiskunde. Dat is iets anders dan dyscalculie, het is een soort wiskundig analfabetisme. Ter illustratie een gebeuren in het televisieprogramma De wereld draait door. De gebroeders Berkelmans zijn succesvol bij wiskundeolympiades en zijn voor het programma uitgenodigd. Om ze de gelegenheid te geven hun kunnen te tonen krijgen ze een probleem voorgelegd:

De wereld draait door, 13 november 2009

Als je weet wat de betekenis is, dan wordt het stukken eenvoudiger. De taal van de wiskunde is voor veel mensen als een onbekende vreemde taal, zo ook bij Matthijs van Nieuwkerk:

Wij hebben een som. Wij hebben een som. Mag ik jullie allebei een papier geven? Dit is … Ik weet niet wat er staat. Kunt u mij even uitleggen wat er staat? Wat wordt hier gevraagd?
Voor buitenstaanders bestaat het werk van wiskundigen uit het maken van sommen. Nu is dit ook echt een som en wel een met oneindig veel termen.

begin vorige volgende