Wiskundig denken

Een project voor leerlingen in het studiehuis vwo


De tekst op deze pagina is gebasseerd op het project van afgelopen schooljaar(2001/2002). De informatie over de opzet van het project in het nieuwe schooljaar(2002/2003) verschijnt in de week van 3 juni 2002.

In het schooljaar 2001/2002 gaat op de KUN het project "wiskundig denken" van start. Dit project is opgezet ten behoeve van leerlingen met een bovengemiddelde belangstelling voor abstractere wiskunde. In eerste instantie denken we hierbij aan leerlingen in het studiehuis vwo met profiel NG of NT.

Een noot vooraf 

Deze pagina is bedoeld om informatie te bieden aan zowel leerlingen als docenten.
De pagina is nog niet compleet. Een aantal aspecten van het project moet nog verder uitgewerkt worden. Daar wordt momenteel druk aan gewerkt. Wij vinden het belangrijk om u vroegtijdig op de hoogte te stellen van de mogelijkheden die dit project te bieden heeft.
Er is inmiddels een brief naar docenten wiskunde van het studiehuis vwo gestuurd. In augustus/september zullen er folders verspreid worden onder leerlingen.

De opzet van het project 

Het belangrijkste onderdeel van het project is de cursus "wiskundig denken", die op zeven woensdagmiddagen wordt verzorgd. Eerst wordt twee uur college gegeven, gevolgd door een interactieve bijeenkomst, waarin gereflecteerd wordt op de collegestof en waar de met leerlingen individueel ingeleverde sommen worden nabesproken.
De cursus kan worden afgesloten met een tentamen.

Naast de cursus wordt er begeleiding geboden bij het maken van praktische opdrachten of een profielwerkstuk.

De cursus "wiskundig denken" 

Eerstejaars wiskundestudenten volgen in het eerste kwartaal het vak bewijzen. Dit vak bestaat uit zes lessen. De cursus wiskundig denken is hierop gebaseerd. De inhoud van de lessen 1 t/m 6 is identiek aan de stof van bewijzen. Het dictaat van bewijzen is omgeschreven tot een internetversie: er zijn interactieve testjes ingebouwd en veel uitleg en achtergrondinformatie is toegevoegd via links. Bovendien zijn opgaven voorzien van hints.

De cursus begint met les 0, een inleiding op wat gaat volgen: wanneer je als leerling aan deze cursus begint, zal de manier waarop wiskunde bedreven wordt je nogal rauw op je dak kunnen vallen. De inleiding is bedoeld om de rol van de abstractie en het logisch redeneren binnen de wiskunde duidelijk te maken. Aan de hand van les 0 kun je ook beslissen of de cursus voor jou de moeite waard is.

Profielwerkstuk en praktische opdrachten 

De eindopdrachten behorende bij de cursus bieden onderwerpen voor een profielwerkstuk. Deze onderwerpen sluiten aan op de cursusinhoud. Uiteraard kun je ook zelf een onderwerp kiezen.

De docent kan betrokken worden bij de begeleiding, maar dit hoeft niet: deze kan geheel overgelaten worden aan de medewerkers van het project. In overleg met de school zal worden vastgesteld aan welke eisen het werkstuk moet voldoen.

Bij elke les horen ook kleinere opdrachten, die gebruikt kunnen worden als praktische opdracht. Ook bij het maken van praktische opdrachten wordt begeleiding geboden.

Een mogelijk onderwerp voor een profielwerkstuk is het verband tussen de Toren van Hanoi, de Zeef van Sierpinski en de Driehoek van Pascal.
Een mogelijke praktische opdracht is te onderzoeken voor welke natuurlijke getallen n geldt dat n4 - n een viervoud is.

Waar is het project voor in te zetten? 

  • De cursus kan gevolgd worden in het kader van een verdiepingsmodule. De cursus kan dan worden afgesloten met een tentamen of een opdracht.
  • Een bij de cursus behorende eindopdracht kan gebruikt worden als profielwerkstuk.
  • De cursus kan worden geplaatst in de vrije ruimte van de leerling.
  • Het inleidende college, maar ook de hele cursus kan worden ingezet in het kader van oriëntatie op studie en beroep.
  • De cursus kan worden gevolgd in het kader van het verbredingsproject, of in het kader van soortgelijke projecten die op school lopen.
  • Een enkel college en/of een kleinere opdracht kan als uitgangspunt dienen voor een praktische opdracht.

    Heeft u andere ideeën om het project in te zetten, laat het ons dan weten. Mail naar wiskundigdenken@sci.kun.nl of bel 024-3652986.

    Wat wordt er verder door de KUN geboden? 

  • een cursusdictaat op internet, afgestemd op de leerlingen, compleet met testjes, opgaven, tips, extra uitleg en achtergrondinformatie
  • een e-mail service: leerlingen kunnen vragen per e-mail stellen
  • mogelijkheid tot het inleveren van uitwerkingen van sommen en opdrachten en nabespreking daarvan met de leerling persoonlijk
    Over communicatiemogelijkheden via internet (denk aan een discussieforum) wordt nog nagedacht.

    Cursustijden 

    Woensdag 31 oktober
  • 13:45-15:30 College 0. Inleiding
  • 15:30: Borrel
    Woensdag 7 november
  • 13:45-15.30 College 1. Redeneren met getallen
  • 15:30-17:30: Interactieve bijeenkomst
    Woensdag 14 november
  • 13:45-15.30 College 2. Verzamelingen van getallen
  • 15:30-17:30: Interactieve bijeenkomst
    Woensdag 21 november
  • 13:45-15.30 College 3. Structuren
  • 15:30-17:30: Interactieve bijeenkomst
    Woensdag 28 november
  • 13:45-15.30 College 4. Volledige inductie
  • 15:30-17:30: Interactieve bijeenkomst
    Woensdag 5 december
  • 13:45-15.30 College 5. Recursie
  • 15:30-17:30: Interactieve bijeenkomst
    Woensdag 12 december
  • 13:45-15.30 College 6. Binomiaalcoëfficiënten en Catalangetallen
  • 15:30-17:30: Interactieve bijeenkomst

    Het is niet verplicht om bij alle colleges aanwezig te zijn. Als je een keer niet kunt is dat geen enkel probleem. De cursus te doen zonder een enkel college te volgen zal echter erg moeilijk zijn. Bovendien komt wiskunde op papier nogal taai en soms zelfs saai over. In een college blijkt dezelfde wiskunde vaak boeiend en inspirerend te zijn.

    Korte beschrijving cursusinhoud 

    Per les een overzicht van wat aan bod komt:

    0. Inleiding
  • De rol van abstractie en logisch redeneren in de wiskunde.
  • Enkele voorbeelden uit de meetkunde.
  • Een overzicht van de cursus.


    • 1. Redeneren met getallen
  • Een begin met het redeneren met getallen.
  • De structuur van definities, stellingen en bewijzen.
  • Eenvoudige voorbeelden van definities (zoals van `is deler van') en van hun rol bij het bewijzen.


    • 2. Verzamelingen van getallen
  • Een inleiding in het begrip verzameling.
  • De welordening van de natuurlijke getallen.
  • Het gebruik van de welordeningseigenschap: het bestaan van priemdelers, het bestaan van oneindig veel priemgetallen, de irrationaliteit van de wortel uit 2.


    • 3. Structuren
  • Over de rol van abstracte structuren in de wiskunde: relaties, grafen, ordeningen.
  • Enkele soorten van ordeningen: totale ordeningen, welordeningen.


    • 4. Volledige inductie
  • Herformuleringen voor de welordening van de natuurlijke getallen.
  • De sigmanotatie voor sommen van getallen.
  • Speciale sommen, zoals de som van de kwadraten van de eerste n natuurlijke getallen.


    • 5. Recursie
  • Definities die berusten op `eenvoudiger' gevallen.
  • Toepassingen op rijen van getallen.
  • Het vinden van niet-recursieve beschrijvingen, bijvoorbeeld van de Fibonaccigetallen.
  • Speciale getallen die het aantal elementen van een bepaalde verzameling weergeven, zoals binomiaalcoëffiënten.

    6.Binomiaalcoëffiënten en Catalangetallen
  • Eigenschappen van en relaties tussen speciale getallen.
  • De driehoek van Pascal.
  • Betrekkingen die verkregen worden door de elementen van eenzelfde verzameling op verschillende manieren te tellen.
  • Relaties tussen binomiaalcoëffiënten, Fibonaccigetallen en Catalangetallen.

    • Cursusdictaat  

    Om de lessen te bekijken heeft u het programma Acrobat Reader nodig, of een ander programma waarmee u pdf-bestanden kunt bekijken.
  • Les 0: Introductie
  • Les 1: Redeneren met getallen
  • Les 2: Verzamelingen van getallen
  • Les 3: Structuren
  • Les 4: Volledige inductie
  • Les 5: Recursie
  • Les 6: Catalangetallen

    Medewerkers van het project 

    Prof. Dr. F.J. Keune
    Dr. S. Oortwijn

    Heeft u suggesties 

    Misschien heeft u suggesties voor hoe het project nog meer is in te zetten. Misschien mist u wat in het aanbod, of heeft u een mooi idee. Wij horen het graag van u. Mail uw suggesties naar wiskundigdenken@sci.kun.nl. Heeft u geen e-mail, dan kunt u bellen: 024-3652986. Ook kunt u schrijven naar:

    Project wiskundig denken
    Subfaculteit Wiskunde
    Toernooiveld
    6525 ED Nijmegen


    Wilt u meer informatie

    Stuur dan een e-mail met uw vragen: wiskundigdenken@sci.kun.nl. Bellen kan uiteraard ook: 024-3652986.

    Op vrijdag 28 september vindt het 10e KUN-wiskundetoernooi plaats. Daar kunnen leerlingen en docenten informatie krijgen over dit project.

    Op donderdag 11 oktober is er op de subfaculteit wiskunde een docentendag. Daar kunt u als docent ook voor informatie terecht.

    Aanmelden 

    Het aanmedingsformulier voor de cursus in het schooljaar 2002/2003 verschijnt in de week van 3 juni 2002 op deze site.

    Wilt u als docent meerdere leerlingen aanmelden, dan kunt u de gegevens van de leerlingen ook per e-mail versturen naar     wiskundigdenken@sci.kun.nl. Vermeld wel voor elk van de leerlingen een huisadres of e-mailadres. Vermeld ook waar de leerlingen in geïnteresseerd zijn (introductiecollege, praktische opdracht, profielwerkstuk of hele cursus).
    Heeft u nog andere ideeën om het project in te zetten, mail dan ook gerust uw suggesties.