Kristallografische groepen (WB039B)
Najaarssemester 2005
| Periode: |
05-09-2005 t/m 23-12-2005
(Herfstvakantie: 17-10-2005 t/m 21-10-2005)
|
| Collegetijden: |
Maandag, 8:45 - 10:30, A2041
Woensdag, 15:45 - 17:30, A2041
|
Inhoud
Kristallografische groepen zijn de symmetrie groepen van periodieke
discrete verzamelingen van punten, bijvoorbeeld (geidealiseerde) kristallen.
Ze hebben toepassingen in verschillende gebieden zo als de vaste stof fysica
en de scheikunde, maar zijn ook geschikt om esthetisch aansprekende patronen
te produceren.
We zullen in deze cursus de wiskundige opzet van kristallografische groepen
bekijken en hierbij een aantal abstracte begrippen over groepen een meer
aanschouwelijke betekenis geven. Bijvoorbeeld vormen de verschuivingen
in een kristallografische groep een abelse normaaldeler dat een rooster
genoemd wordt. De factor groep modulo deze normaaldeler is een eindige
ondergroep van de orthogonale groep, die een punt groep heet.
We zullen zien hoe we uit deze twee delen, een rooster en een punt groep,
een kristallografische groep kunnen opbouwen en wat de verschillende
mogelijkheden hiervoor zijn.
Hierbij komen een aantal belangrijke onderwerpen aan bod, bijvoorbeeld
presentaties van groepen en het berekenen van banen en stabilisatoren.
Met de opgebouwde kennis zullen we naar de verschillende manieren
kijken hoe we een 2-dimensionaal vlak of de 3-dimensionale ruimte periodiek
kunnen decoreren, waarbij de bijhorende symmetriegroep aangeeft,
wanneer we twee decoraties als hetzelfde beschouwen.
De wiskundige begrippen zijn zo algemeen dat we dezelfde vraag ook
in hoger-dimensionale ruimtes kunnen bekijken. Zo spelen 4-dimensionale
roosters een rol in het onderzoek van quasikristallen en kan het beroemde
'Penrose pattern' uit een 5-dimensionaal rooster geconstrueerd worden.
Als toegift zullen we zien dat de behandeling van gekleurde decoraties
ook niet veel meer vereist dan de gewone kristallografische groepen.
Een toepassing hiervan is het onderzoek van de magnetische eigenschappen
van kristallen waarbij de magnetische spins (up en down) als kleuren
(zwart en wit) beschouwd worden.
Dictaat
Er zal na afronding van een hoofdstuk een korte samenvattingen beschikbaar
gesteld worden.
Hoofdstuk 1: Introductie
pdf,
ps
(versie van 27/10/2005).
Hoofdstuk 2: Roosters
pdf,
ps
(versie van 27/10/2005).
Hoofdstuk 3: Algoritmen voor roosters
pdf,
ps
(versie van 27/10/2005).
Hoofdstuk 4: Voorstellingen van groepen
(komt iets later)
Hoofdstuk 5: Ruimtegroepen
pdf,
ps
(versie van 27/12/2005).
Opdrachten
Er zullen opdrachten gegeven worden die deels tijdens het werkcollege
bewerkt worden en deels als huiswerk ingeleverd moeten worden.
De studenten zijn geacht, hun oplossingen tijdens de werkcolleges
te presenteren.
Opgaven 1 (7 september 2005):
pdf,
ps.
Opgaven 2 (14 september 2005):
pdf,
ps.
Opdrachten 5 en 6 zijn als schriftelijk huiswerk in te leveren.
Opgaven 3 (21 september 2005):
pdf,
ps.
Opdrachten 9 en 11 zijn als schriftelijk huiswerk in te leveren.
Opgaven 4 (28 september 2005):
pdf,
ps.
Opdrachten 13 t/m 16 zijn tot 12 oktober als schriftelijk huiswerk in te
leveren. Opdracht 12 heeft tijd tot na de herfstvakantie.
Opgaven 5 (26 oktober 2005):
pdf,
ps.
Opdrachten 17, 20 en 22 zijn als schriftelijk huiswerk in te leveren.
Opgaven 6 (2 november 2005):
pdf,
ps.
Opdrachten 24, 25 en 26 zijn als schriftelijk huiswerk in te leveren.
Opgaven 7 (9 november 2005):
pdf,
ps.
Opgaven 8 (23 november 2005):
pdf,
ps.
Opdracht 32 is als schriftelijk huiswerk in te leveren.
Opgaven 9 (7 december 2005):
pdf,
ps.
Opgaven 10 (14 december 2005):
pdf,
ps.
Deze pagina met informatie over de cursus:
http://www.math.ru.nl/~souvi/kristgroep_05/index.html